2022年初中數(shù)學：實際問題與二次函數(shù)-詳解與練習,推薦文檔

1、試卷第 1 頁，總 12 頁初中數(shù)學專項訓練：實際問題與二次函數(shù)一、利用函數(shù)求圖形面積的最值問題一、圍成圖形面積的最值1、 只圍二邊的矩形的面積最值問題例1、如圖 1，用長為18 米的籬笆（虛線部分）和兩面墻圍成矩形苗圃。（1）設矩形的一邊長為x（米） ，面積為y（平方米），求 y 關于 x 的函數(shù)關系式；（2）當 x 為何值時，所圍成的苗圃面積最大？最大面積是多少？分析：關鍵是用含x 的代數(shù)式表示出矩形的長與寬。解： （1）設矩形的長為x（米） ，則寬為（ 18- x ） （米），根據(jù)題意，得：xxxxy18)18(2；又180,0180 xxx（2）xxxxy18)18(2中， a= -1

2、 0， y 有最大值，即當9)1(2182abx時，81)1(41804422maxabacy故當 x=9 米時，苗圃的面積最大，最大面積為81 平方米。點評：在回扣問題實際時，一定注意不要遺漏了單位。2、 只圍三邊的矩形的面積最值例2、如圖 2，用長為50 米的籬笆圍成一個養(yǎng)雞場，養(yǎng)雞場的一面靠墻。問如何圍，才能使養(yǎng)雞場的面積最大？分析： 關鍵是明確問題中的變量是哪兩個，并能準確布列出函數(shù)關系式解：設養(yǎng)雞場的長為x（米），面積為y（平方米），則寬為（250 x）（米） ，根據(jù)題意，得：xxxxy2521)250(2；又500,02500 xxxxxxxy2521)250(2中， a=210，

3、 y 有最大值，即當25)21(2252abx時，2625)21(42504422maxabacy精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -試卷第 2 頁，總 12 頁故當 x=25 米時，養(yǎng)雞場的面積最大，養(yǎng)雞場最大面積為2625平方米。點評：如果設養(yǎng)雞場的寬為x，上述函數(shù)關系式如何變化？請讀者自己完成。3、 圍成正方形的面積最值例 3、將一

4、條長為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個正方形 (1)要使這兩個正方形的面積之和等于17cm2，那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少? (2)兩個正方形的面積之和可能等于12cm2嗎? 若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請說明理由（1）解：設剪成兩段后其中一段為xcm，則另一段為（20-x ） cm 由題意得：17)420()4(22xx解得：4,1621xx當161x時， 20-x=4 ；當42x時， 20-x=16 答：這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是16 厘米、 4 厘米。（2）不能理由是： 設第一個正方形的邊長為xcm ，則第二個正方形的邊長為)5(4420 x

5、xcm，圍成兩個正方形的面積為 ycm2，根據(jù)題意，得：25102)5(222xxxxy，25102)5(222xxxxy中， a= 2 0， y 有最小值，即當2522102abx時，225241025244422minabacy=12.5 12, 故兩個正方形面積的和不可能是12cm2.練習 1、如圖，正方形efgh 的頂點在邊長為a 的正方形 abcd 的邊上，若ae=x ，正方形efgh的面積為 y.(1) 求出 y 與 x 之間的函數(shù)關系式；(2) 正方形 efgh 有沒有最大面積？若有，試確定e點位置；若沒有，說明理由.精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - -

6、 - - - - - - 第 2 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -試卷第 3 頁，總 12 頁二、利用二次函數(shù)解決拋物線形建筑物問題例題 1 如圖（ 1）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當水面在l 時，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面2m ，水面寬 4m 如圖（ 2）建立平面直角坐標系，則拋物線的關系式是 .212yx= -.【解析】試題分析：由圖中可以看出，所求拋物線的頂點在原點，對稱軸為y 軸，可設此函數(shù)解析式為：y=ax2，利

7、用待定系數(shù)法求解.試題解析：設此函數(shù)解析式為：2yax=，0a1；那么（ 2， -2）應在此函數(shù)解析式上則24a-=即得12a = -，那么212yx=-考點：根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關系式.練習 1 某地要建造一個圓形噴水池，在水池中央垂直于水面安裝一個花形柱子oa ，o 恰在水面中心，安置在柱子頂端 a處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過oa的任一平面上，拋物線形狀如圖（1）所示 . 圖（ 2）建立直角坐標系，水流噴出的高度y（米）與水平距離x（米）之間的關系是4522xxy. 請回答下列問題：(1) 柱子 oa的高度是多少米？(2) 噴出的水流距水平面的最大

8、高度是多少米？(3) 若不計其他因素，水池的半徑至少要多少米才能使噴出的水流不至于落在池外？2一座橋如圖，橋下水面寬度ab是 20 米，高 cd是 4 米. 要使高為 3 米的船通過，則其寬度須不超過多少圖 （ 1）圖 （2）精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -試卷第 4 頁，總 12 頁米.（1）如圖 1，若把橋看做是拋物線的一部分，建

9、立如圖坐標系.求拋物線的解析式；要使高為3 米的船通過，則其寬度須不超過多少米?（2）如圖 2，若把橋看做是圓的一部分.求圓的半徑；要使高為3 米的船通過，則其寬度須不超過多少米?三、利用拋物線解決最大利潤問題例題 1 某市政府大力扶持大學生創(chuàng)業(yè)李明在政府的扶持下投資銷售一種進價為每件20 元的護眼臺燈 銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y( 件) 與銷售單價x( 元) 之間的關系可近似的看做一次函數(shù)：y 10 x500.（1）設李明每月獲得利潤為w(元) ，當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？（6 分）（2）如果李明想要每月獲得2 000 元的利潤，那么銷售單價應定為多少元？（3 分）（3）

10、物價部門規(guī)定，這種護眼臺燈的銷售單價不得高于32 元，如果李明想要每月獲得的利潤不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？( 成本進價銷售量) （3 分）答案： （1）35； （2）30 或 40； （3）3600.【解析】試題分析：（1）由題意得，每月銷售量與銷售單價之間的關系可近似看作一次函數(shù)，根據(jù)利潤=（定價 - 進價）銷售量，從而列出關系式；（2）令 w=2000，然后解一元二次方程，從而求出銷售單價；（3）根據(jù)函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)的性質求出最低成本即可試題解析：（ 1）由題意得出：2wx20 yx2010 x50010 x700 x10000，ba100352a ，精品

11、學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -試卷第 5 頁，總 12 頁當銷售單價定為35 元時，每月可獲得最大利潤（2）由題意，得：210 x700 x100002000，解這個方程得：x1=30，x2=40李明想要每月獲得2000 元的利潤，銷售單價應定為30 元或 40 元（3）a100，拋物線開口向下. 當 30 x40 時，w 2000.x

12、32，當30 x32 時，w 2000.設成本為p（元），由題意，得：p2010 x500200 x10000，k=2000， p隨 x 的增大而減小當 x=32 時， p最小 =3600答：想要每月獲得的利潤不低于2000 元，每月的成本最少為3600 元考點：二次函數(shù)的應用練習 1某玩具批發(fā)商銷售每只進價為40 元的玩具，市場調查發(fā)現(xiàn)，若以每只50 元的價格銷售，平均每天銷售 90 只，單價每提高1 元，平均每天就少銷售3 只（1）平均每天的銷售量y( 只) 與銷售價 x( 元只 ) 之間的函數(shù)關系式為；（2）求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w(元) 與銷售只x( 元只 ) 之間的函數(shù)關系式；

13、（3）物價部門規(guī)定每只售價不得高于55 元，當每只玩具的銷售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少元一系列“三農”優(yōu)惠政策，使農民收入大幅度增加某農戶生產經銷一種農產品，已知這種產品的成本價為每千克20 元，市場調查發(fā)現(xiàn)，該產品每天的銷售量y( 千克 ) 與銷售價x( 元 / 千克 ) 有如下關系：y2x80. 設這種產品每天的銷售利潤為w元.（1）求 w與 x 之間的函數(shù)關系式；（2）該產品銷售價定為每千克多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？2為了落實國務院的指示精神，地方政府出臺了3某公司營銷,a b兩種產品，根據(jù)市場調研，發(fā)現(xiàn)如下信息：信息 1：銷售a種產品所獲利潤y

14、( 萬元 ) 與所售產品x( 噸 ) 之間存在二次函數(shù)關系精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -試卷第 6 頁，總 12 頁2yaxbx. 當1x時，1.4y；當3x時，3.6y信息 2：銷售b種產品所獲利潤y ( 萬元 ) 與所售產品x( 噸) 之間存在正比例函數(shù)關系0.3yx根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1) 求二次函數(shù)解析式；(2)

15、該公司準備購進,a b兩種產品共10 噸，請設計一個營銷方案，使銷售,a b兩種產品獲得的利潤之和最大，最大利潤是多少？4為鼓勵大學畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市政府出臺了相關政策：由政府協(xié)調，本市企業(yè)按成本價提供產品給大學畢業(yè)生自主銷售，成本價與出廠價之間的差價由政府承擔李明按照相關政策投資銷售本市生產的一種新型節(jié)能燈已知這種節(jié)能燈的成本價為每件10 元，出廠價為每件12 元，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系近似滿足一次函數(shù)：10500yx（1）李明在開始創(chuàng)業(yè)的第一個月將銷售單價定為20 元，那么政府這個月為他承擔的總差價為多少元？（2）設李明獲得的利潤為w（元） ，當銷售單價定為多少元

16、時，每月可獲得最大利潤？（3）物價部門規(guī)定， 這種節(jié)能燈的銷售單價不得高于25 元如果李明想要每月獲得的利潤不低于3000 元，那么政府為他承擔的總差價最少為多少元？5某文具店銷售一種進價為10 元 /個的簽字筆，物價部門規(guī)定這種簽字筆的售價不得高于14 元 /個，根據(jù)以往經驗：以12 元/ 個的價格銷售，平均每周銷售簽字筆100 個；若每個簽字筆的銷售價格每提高1 元，則平均每周少銷售簽字筆10 個. 設銷售價為x 元/ 個.（1）該文具店這種簽字筆平均每周的銷售量為個（用含x 的式子表示）；（2）求該文具店這種簽字筆平均每周的銷售利潤w（元）與銷售價x（元 / 個）之間的函數(shù)關系式；（3）

17、當 x 取何值時，該文具店這種簽字筆平均每周的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -試卷第 7 頁，總 12 頁6一汽車租賃公司擁有某種型號的汽車100 輛公司在經營中發(fā)現(xiàn)每輛車的月租金x( 元) 與每月租出的車輛數(shù) (y) 有如下關系：x3000320035004000y100969080（1）觀察表格，用

18、所學過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關知識求出每月租出的車輛數(shù)y（輛）與每輛車的月租金x（元）之間的關系式.（2）已知租出的車每輛每月需要維護費150 元，未租出的車每輛每月需要維護費50 元用含 x（x3000）的代數(shù)式填表 :租出的車輛數(shù)未租出的車輛數(shù)租 出 每 輛 車 的 月 收益所有未租出的車輛每月的維護費（3）若你是該公司的經理，你會將每輛車的月租金定為多少元，才能使公司獲得最大月收益？請求出公司的最大月收益是多少元初中數(shù)學專項訓練：實際問題與二次函數(shù)參考答案一、 1 （1）y=2x2-2ax+a2 (2) 有. 當點 e是 ab的中點時，面積最大.【解析】本題考查了二次函數(shù)的

19、應用.（1）先由 aas證明 aef dhe ，得出 ae=dh=x 米， af=de= （a-x ）米，再根據(jù)勾股定理，求出ef2，即可得到 s與 x 之間的函數(shù)關系式；（2）先將（ 1）中求得的函數(shù)關系式運用配方法寫成頂點式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質即可求解解：四邊形abcd 是邊長為a 米的正方形， a=d=90 ， ad= a 米四邊形efgh 為正方形，feh=90 ， ef=eh 在 aef與 dhe中， a=d ， aef= dhe=90 - deh ，ef=eh aef dhe （ aas ），ae=dh=x米， af=de= （a-x ）米，y=ef2=ae2+af2=x2+（a

20、-x ）2=2x2-2ax+ a2，即 y=2x2-2ax+ a2；（2） y=2x2-2ax+ a2=2（ x-2a）2+24a，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -試卷第 8 頁，總 12 頁當 x=2a時， s有最大值故當點 e是 ab的中點時，面積最大二、練習1 （1）45（2）49（3）25【解析】本題考查了二次函數(shù)的應用.（1

21、）本題需先根據(jù)已知條件把x=0 代入拋物線的解析式，從而得出y 的值，即可求出答案（2）通過拋物線的頂點坐標求得（3）本題需先根據(jù)已知條件把y=0 代入拋物線求出所要求的式子，再得出x 的值，即可求出答案解： （1）把 x=0 代入拋物線的解析式得： y=45，即柱子oa的高度是45（2）由題意得：當x=2=121（）時， y=49, 即水流距水平面的最大高度（3）把 y=0 代入拋物線得：4522xx=0，解得， x1=12( 舍去，不合題意) ， x2=52故水池的半徑至少要52米才能使噴出的水流不至于落在池外2 （ 1）21425yx； 10； （2） 14.5 ；4 7【解析】試題分析

22、：（ 1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；根據(jù)題意得出y=3 時，求出x 的值即可；（2）構造直角三角形利用bw2=bc2+cw2，求出即可；在 rtwgf 中，由題可知，wf=14.5，wg=14.5 1=13.5 ，根據(jù)勾股定理知：gf2=wf2wg2，求出即可試題解析：（ 1）設拋物線解析式為：2yaxc，橋下水面寬度ab是 20 米，高 cd是 4 米， a （10，0） ，b （10，0） ，d （0，4） ，10004acc，解得：1254ac，拋物線解析式為：21425yx；要使高為3 米的船通過，3y，則213425x，解得：5x， ef=10米；（2）設圓半徑r 米，圓心為w

23、 ， bw2=bc2+cw2，222(4)10rr，解得：14.5r；在rt wgf中，由題可知，wf=14.5，wg=14.5 1=13.5 ，根據(jù)勾股定理知：gf2=wf2 wg2，即gf2=14.5213.52=28，所以 gf=2 7，此時寬度ef=4 7米精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -試卷第 9 頁，總 12 頁考點： 1

24、二次函數(shù)的應用；2垂徑定理的應用三、 1(1） y=-3x+240 ；(2)w=-3x2+360 x-9600 ；(3) 定價為 55 元時，可以獲得最大利潤是1125 元.【解析】試題分析： （1）根據(jù)題意知銷售量y( 只) 與銷售價x( 元只 ) 之間的函數(shù)關系式為y=90-3（x-50 ）=-3x+240 ；(2) 根據(jù)“總利潤=每件商品的利潤銷售量”可知w=（x-40 ） y=（x-40 ） （-3x+240 ）=-3x2+360 x-9600 ；(3) 求獲得最大利潤，也就是求函數(shù)w=-3x2+360 x-9600 的最大值 .試題解析： ( 1 ）y=90-3 （ x-50 ）即

25、y=-3x+240 ；（2）w=（ x-40 ）y=（x-40 ） （-3x+240 ）=-3x2+360 x-9600 ；(3) 當 x60， y 隨 x 的增大而減小，當 x=55 時， w最大=1125所以定價為55 元時，可以獲得最大利潤是1125 元 .考點： （1）一次函數(shù)；（2）二次函數(shù)2 （ 1）2w2x120 x1600； （2）該產品銷售價定為每千克30 元時，每天銷售利潤最大，最大銷售利潤 200 元.【解析】試題分析：（ 1）根據(jù)銷售額 =銷售量銷售價單x，列出函數(shù)關系式； （2）用配方法將（2）的函數(shù)關系式變形，利用二次函數(shù)的性質求最大值.試題解析：（ 1）由題意得：

26、2wx20yx202x802x120 x1600，w與 x 的函數(shù)關系式為：2w2x120 x1600.（2）22w2x120 x16002 x30200， 20，當 x=30 時， w有最大值 w最大值為200.答：該產品銷售價定為每千克30 元時，每天銷售利潤最大，最大銷售利潤200 元.考點： 1. 二次函數(shù)的應用；2. 由實際問題列函數(shù)關系式；3. 二次函數(shù)的最值.3見解析【解析】試題分析：（ 1）因為當x=1 時， y=1.4 ；當 x=3 時， y=3.6 ，代入2yaxbx得1.4933.6abab解得0.11.5ab，所以，二次函數(shù)解析式為y=-0.1x2+1.5x ；（2）設

27、購進a產品 m噸，購進b產品（ 10-m）噸，銷售a、b兩種產品獲得的利潤之和為w元，根據(jù)題意可列函數(shù)關系式為：w=-0.1m2+1.5m+0.3 （10-m）=-0.1m2+1.2m+3=-0.1 （m-6）2+6.6 ，因為 -0.1 0，根據(jù)二次函數(shù)的性質知當m=6時， w有最大值6.6 ，試題解析：（ 1）當 x=1 時， y=1.4 ；當 x=3 時， y=3.6 ，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - -

28、- - - - 第 9 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -試卷第 10 頁，總 12 頁1.4933.6abab解得0.11.5ab，所以，二次函數(shù)解析式為y=-0.1x2+1.5x ； 3分（2）設購進a產品 m噸，購進b產品（ 10-m）噸，銷售a 、b兩種產品獲得的利潤之和為w元，則 w=-0.1m2+1.5m+0.3 （10-m）=-0.1m2+1.2m+3=-0.1 （ m-6）2+6.6 ，-0.1 0，當 m=6時， w有最大值6.6 ，購進 a產品 6 噸，購進b產品 4 噸，銷售 a、b兩種產品獲得的利潤之和最大，最大利潤是6.6 萬元考點： 1. 待定系數(shù)

29、法求解析式.2. 二次函數(shù)性質.4 （1）政府這個月為他承擔的總差價為600 元； （2）當銷售單價定為30 元時，每月可獲得最大利潤4000；（3）銷售單價定為25 元時，政府每個月為他承擔的總差價最少為500 元.【解析】試題分析：（1）根據(jù)每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系可求得每月銷售量，又由單價和成本間關系得到每件節(jié)能燈的差價，則可得到總差價. （2）求每月可獲得最大利潤，即為求該二次函數(shù)的最大值，將二次函數(shù)配方法，可得該函數(shù)的最大值. （3）3000w同時滿足25x，根據(jù)函數(shù)圖象的性質知道，0k 隨 x 的增大而減小，當25x =時，該函數(shù)有最大值時，p有最小值500.

30、試題解析：（ 1）當20 x =時，105001020500300yx， 300(1210)3002600?=?，政府這個月為他承擔的總差價為600 元。（2）依題意得，10105001060050001030400022w=x-x+=x +x-= -x -+，q100a = -，當30 x =時，w有最大值4000.當銷售單價定為30 元時，每月可獲得最大利潤4000（3）由題意得：10600500030002x +x -，解得：120 x =，240 x =.q100a = -，拋物線開口向下，結合圖象可知：當2040 x時，3000w3.又q25x，當2025x時，w3000 .設政府每

31、個月為他承擔的總差價為p元，121010500px201000 x.q200k = -，p隨 x的增大而減小 .當25x =時，p有最小值500.銷售單價定為25 元時，政府每個月為他承擔的總差價最少為500 元.精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -試卷第 11 頁，總 12 頁【考點】 1. 二次函數(shù)的性質；2. 二次函數(shù)的圖象；3. 二次函數(shù)的綜合應用.5 （1） （22010 x） ； （2）2103202200wxx（）當 x=14 時，該文具店這種簽字筆平均每周的銷售利潤最大是320 元【解析】試題分析：用含x的式子表示文具店這種簽字筆平均每周的銷售量為（22010 x）個，列出函數(shù)關系式(22010 )(10)wxx，再運用二次函數(shù)的性質解決問題，由題意可知101