數學北師大版八年級下冊三線合一

1、專題訓練（六）_ “三線合一 ”好解題?類型之一證明線段相等1.已知：如圖6-ZT-1所示，在等邊三角形 ABC的AC邊上取中點 D, BC的延長 線上取一點 E,使CE=CD.求證：BD = DE.解析欲證BD = DE,只需證Z DBE = Z E.根據等腰三角形的 “三線合一 ”和等邊三角 1一， 一一 形的性質可得/ DBE =Q/ABC =30 .再根據三角形的外角性質和等邊三角形的性質可得/ E= 30°.由此可得結論.證明：ABC為等邊三角形，BD是AC邊上的中線，BD ± AC , BD平分/ ABC ,1，,，一 ,.ZDBE = 2/ABC = 30.（

2、等腰三角形的三線合一 ） .CD = CE, .1.ZCDE= / E.ZACB 為4CDE 的外角，/ACB = 60° , .zCDE + ZE = 60°. .zCDE = ZE=30°.又. / DBE = 30° , BD = DE.（等角對等邊）2.如圖 6-ZT-2 所示，點 D, E 在4ABC 的邊 BC 上，AB = AC , BD = CE.求證：AD = AE.A圖 6-ZT- 2解析本題可通過全等三角形來證線段相等.在 ABD 和 4ACE 中，已知 AB = AC,BD = EC且/B=/C,由此可證得兩三角形全等，即可得出A

3、D = AE的結論.也可根據等腰三角形三線合一來證明.證明：過點A作AF，BC于點F.圖 ZT 6 1,. AB=AC, AJBC,BF= CF.（等腰三角形底邊上的高是底邊上的中線）又 BD= CE,BF-BD=CF-CE,即 DF=EF,. AF是DE的垂直平分線，AD = AE.?類型之二證明兩線垂直3.如圖 6ZT3 所示，在 ABC 中，AB = AC , / ABD = / ACD ,求證：AD ± BC.圖 6-ZT- 3解析首先證明/ DBC = / DCB ,可得 DB = DC ,再加上條件 AB=AC,公共邊 AD =AD ,可利用 SSS證明ABD AACD

4、,進而得到/ BAD = / CAD ,再根據等腰三角形 頂角的平分線與底邊上的高線重合可證出ADLBC.本題通過證明 AD是BC的垂直平分線也可得證，如下面的證法.證明：延長 AD 交 BC 于點 M , . AB = AC ,ZABC = / ACB.又/ ABD = / ACD ,"BC / ABD = / ACB / ACD ,即 / DBC = / DCB , . DB = DC.AB = AC , DB = DC ,.AD是線段BC的垂直平分線，AD ±BC.B M C圖 ZT 6 2，一.1 ,4.如圖 6-ZT-4,在ABC 中，AB = AC , D 為

5、AC 上一點，/ DBC =,2BAC.求證:AC ± BD.圖 6-ZT-4解析首先過點 A作AEBC交BC于點E,交BD于點F.由AB =AC ,根據等腰三1一，1，角形 二線合一 的性質，可彳#/CAE=2/BAC ,又由Z DBC =-ZBAC ,在4ADF與4BEF中，易證得 Z ADF= Z BEF = 90° ,即可得ACBD.證明：如圖ZT-6-3,過點A作AELBC于點E,交BD于點F.圖 ZT 6 3,. AB=AC, AE ± BC,/ CAE =，/ BAC.（等腰三角形的“三線合一” ）又. / DBC=1/ BAC , 2 ./ CAE

6、 = Z DBC. / 1=/ 2, / ADF = 180° -Z 2-Z CAE, / BEF= 180° -Z 1-Z DBC, ./ ADF =/ BEF. AEXBC, ./ BEF =90° . ./ ADF = 90 ° .-. BD ±AC.?類型之三證明角的倍分關系5.已知：如圖 6 ZT 5所示，AF平分/ BAC , BCXAF,垂足為 E, AE=ED, PB 分別與線段 CF, AF相交于點P, M , / F= /MCD.求證：/ BAC = 2/MPC.B圖 6-ZT- 5一 ，一，、一1一，,一 ，一解析先由AF

7、平分/ BAC證明/ BAE =/BAC ,再根據等腰三角形三線合一 和1 一一，一線段垂直平分線的性質證明/ CDE = / BAE.從而/ CDE = ZBAC.然后在 MDC 和 MPF1中證明 / MDC =/MPF.進而得 /MPF = /MDC , /MPC= Z CDE = 2 ZBAC 即可.證明：.AF 平分/BAC, BCXAF,1 ./BAE =/CAE=2/BAC , CE=BE.CEXAE , AE = ED,. AC = CD.一 ，1，zCDE = / CAE = 2/BAC.1 .BCXAF , CE=BE,. CM =BM.zCMA = / BMA.又. /

8、BMA = / PMF,2 .zCMD = ZPMF.又. / F= / MCD ,/MPF= 180° -(Z F+ Z PMF) , ZMDC = 180° -(/MCD + / CMD), .dMPF= / MDC.1皿PC = / CDE = / CAE =2ZBAC.zBAC =2/ MPC.?類型之四 證明線段的倍分關系6.如圖6-ZT-6,在4ABC中，AB = AC ,點E為BC上一點，EDLBC于點E,交CA的延長線于點 F,求證：AD = AF.圖 6-ZT-6解析方法一：由AB=AC,根據等邊對等角的性質，可得/B=/C.又由DEXBC,根據等角的余角

9、相等和對頂角相等，可得ZF=ZADF,又由等角對等邊，可證得 AD =AF.£BEG C圖 ZT 6 4方法二：過點 A作AGLBC,由等腰三角形的“三線合一”可得/ BAG =Z CAG.再由平行線的性質證明/ F=Z CAG , / ADF = / BAG .進而可得結論.證明：（方法一）AB =AC ,，ZB = /C.DEXBC,，zC+/F=90° , zB+/BDE = 90°.zF= ZBDE.1 . zADF = / BDE ,.zF= / ADF. AD =AF.（方法二）如圖ZT 64,過點A作AGBC于點G,. AB = AC ,/BAG =

10、 / CAG.（等腰三角形“三線合一 ”）. AG ±BC, ED± BC. AG /EF.zF= Z CAG , ZADF = / BAG.zF= ZADF. AD =AF.7. 2013五河期末改編如圖6ZT 7所示，過等邊三角形 ABC的邊AB上一點P,作PE± AC于點E.Q為BC延長線上一點，且 PA= CQ ,連接PQ交AC邊于點D. 求證：（1）PD=DQ;1 (2)DE = 2AC.圖 6-ZT- 7解析過點P作BC的平行線交 AC于點F,通過證明4PDF和4QDC全等，可推出 PD=DQ;1.一（2）由4APF是等邊二角形和 PE± AC ,可推出 AE = EF =外5.由 PDF和 QDC全等,一,r ,1可得出FD= CD = 2FC,進而可得 DE的長.證明：（1）過點P作PF / BC,交AC于點F.圖 ZT 6 5.ABC 是等邊三角形，/ B = Z ACB = 60° . 又 PF/ BC,2 .Z APF=Z AFP = Z B = Z ACB =60° .APF 是等邊三角形.PA=AF=PF.又. PA=CQ,，PF=CQ. PF/ BC,FPD=Z Q.在 PF