函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(上課)

1、 函數(shù)的函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)極值與導(dǎo)數(shù) （一）（一）觀察下圖中觀察下圖中p點(diǎn)附近圖像從左到右的變化趨點(diǎn)附近圖像從左到右的變化趨勢(shì)、勢(shì)、p點(diǎn)的函數(shù)值以及點(diǎn)點(diǎn)的函數(shù)值以及點(diǎn)p位置的特點(diǎn)位置的特點(diǎn)o oax1x2x3x4bxyp(x1,f(x1)y=f(x)q(x2,f(x2)33r(x ,f(x )44s(x ,f(x )1 函數(shù)函數(shù)y=f(x)在在 等點(diǎn)的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的等點(diǎn)的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？函數(shù)值有什么關(guān)系？2 y=f(x)在這些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值是多少？在這些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值是多少？3 這些點(diǎn)附近，這些點(diǎn)附近，y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么規(guī)律？的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么規(guī)律？1234,x

2、x xx 一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在在點(diǎn)點(diǎn)x0附近有定義附近有定義，如果對(duì)如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)附近的所有的點(diǎn),都有都有f(x)f (x0),我們就說(shuō)我們就說(shuō)f (x0)是函數(shù)是函數(shù)f(x)的一個(gè)的一個(gè)極大值極大值,記記作作y極大值極大值= f (x0)；如果對(duì)如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)附近的所有的點(diǎn),都有都有f(x)f (x0)，我們就說(shuō)我們就說(shuō)f (x0)是函數(shù)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值，記作的一個(gè)極小值，記作y極小值極小值=f (x0). 極大值與極小值同稱為極值極大值與極小值同稱為極值. 函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的定義o oax1x2x3x4bxyp(x1,f(x1)y=f(

3、x)q(x2,f(x2)33r(x ,f(x )44s(x ,f(x )（1 1）極值是某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言的極值是某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言的, ,是函數(shù)是函數(shù)的局部性質(zhì)的局部性質(zhì), ,不是整體的最值不是整體的最值; ;（2 2）函數(shù)的極值不一定唯一函數(shù)的極值不一定唯一, ,在整個(gè)定義區(qū)間內(nèi)在整個(gè)定義區(qū)間內(nèi)可能有多個(gè)極大值和極小值；可能有多個(gè)極大值和極小值；（3 3）極大值與極小值沒(méi)有必然關(guān)系，極大值可極大值與極小值沒(méi)有必然關(guān)系，極大值可能比極小值還小能比極小值還小. . （4 4）極值點(diǎn)是自變量的值，極值指的是函數(shù)值極值點(diǎn)是自變量的值，極值指的是函數(shù)值; ;（5 5）函數(shù)的極值點(diǎn)一定在區(qū)間的

4、內(nèi)部，區(qū)間的函數(shù)的極值點(diǎn)一定在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn). .觀察圖像并類比于函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系觀察圖像并類比于函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系的研究方法的研究方法,看極值與導(dǎo)數(shù)之間有什么關(guān)系看極值與導(dǎo)數(shù)之間有什么關(guān)系?o a x0 b x yo a x0 b x y xx0 0左側(cè)左側(cè) x0 x0 0右側(cè)右側(cè) f (x) f(x) xx0 0左側(cè)左側(cè) x0 x0 0右側(cè)右側(cè) f (x) f(x) ( )0fx ( )0fx ( )0fx ( )0fx ( )0fx ( )0fx 增增增增減減減減極大值極大值極小值極小值v若尋找若尋找可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)極值點(diǎn),可否只由

5、可否只由f (x)=0 0求得即可求得即可? ?思考思考探索探索: x =0是否為函數(shù)是否為函數(shù)f(x)=x3的極值點(diǎn)的極值點(diǎn)?x yof ( (x) ) x3 3 f (x)=3x2 當(dāng)f (x)=0時(shí)，x =0，而x =0不是該函數(shù)的極值點(diǎn).f (x0) =0 =0 x0 是可導(dǎo)函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)的極值點(diǎn) x0左右側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào)左右側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào) x0 是函數(shù)是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)的極值點(diǎn) f (x0) =0=0注意：注意：f /(x0)=0是函數(shù)取得極值的必要不充分條件是函數(shù)取得極值的必要不充分條件函數(shù)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)y/與函數(shù)值和極值之間的關(guān)系為與函數(shù)值和極值之間的關(guān)系

6、為( )a、導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)y/由負(fù)變正由負(fù)變正,則函數(shù)則函數(shù)y由減變?yōu)樵鲇蓽p變?yōu)樵?且有極大值且有極大值b、導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)y/由負(fù)變正由負(fù)變正,則函數(shù)則函數(shù)y由增變?yōu)闇p由增變?yōu)闇p,且有極大值且有極大值c、導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)y/由正變負(fù)由正變負(fù),則函數(shù)則函數(shù)y由增變?yōu)闇p由增變?yōu)闇p,且有極小值且有極小值d、導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)y/由正變負(fù)由正變負(fù),則函數(shù)則函數(shù)y由增變?yōu)闇p由增變?yōu)闇p,且有極大值且有極大值d31443f(x)xx求求函函的的極極值值數(shù) 解解: : f (x)=x2- 4,由由f (x) =0解得解得 x1=2,=2,x2=-2.=-2.當(dāng)當(dāng)x變化時(shí)變化時(shí), , f (x) 、 f(x)的變化情況如下表：的變化

7、情況如下表： f(x) f (x) x 當(dāng)當(dāng)x=-2=-2時(shí)時(shí), ,y極大值極大值=28/3=28/3；當(dāng)當(dāng)x= =2 2時(shí)時(shí), , y極小值極小值=-4/3=-4/3. .(-,-2)(-,-2)-2-2(-2,2)(-2,2)2 2(2,+)(2,+)+ +0 00 0- -+ +28/3- 4/31yxxxx1+0-0+極大值極大值極小值極小值( )fx( )f x所以，當(dāng)所以，當(dāng)x=-1是，函數(shù)的極大值是是，函數(shù)的極大值是-2，當(dāng)，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)的時(shí)，函數(shù)的極小值是極小值是22221,011( )1( )01xxxxfxfxxxxx 解：f(x)=所以，時(shí)，當(dāng) 變化時(shí)，f(x),f(

8、x)變化如下表導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)是交替出現(xiàn)的嗎？不是不是求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟：求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟：2333(1) ( )62(2) ( )27(3) ( )6 12(4) ( )3f xxxf xxxf xxxf xxx求下列函數(shù)的極值1、極值的判定方法、極值的判定方法2、極值的求法、極值的求法注意：注意：1、f /(x0)=0是函數(shù)取得極值的必要不充分條件是函數(shù)取得極值的必要不充分條件2、要想知道、要想知道 x0是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)就必是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)就必須判斷須判斷 f (x0)=0=0左右側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)左右側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào). 函數(shù)的函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)極值與導(dǎo)數(shù) （二）（二）題型題型 1 1：

9、圖像與函數(shù)的極值：圖像與函數(shù)的極值12 導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖像如圖，試找出函數(shù)的圖像如圖，試找出函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)，并指出那些是極大值點(diǎn)，的極值點(diǎn)，并指出那些是極大值點(diǎn)，那些是極小值點(diǎn)？那些是極小值點(diǎn)？xyoax1x2x3x4x5x6by=f(x)x2,x4為極值點(diǎn)為極值點(diǎn)x2為極大值點(diǎn)為極大值點(diǎn)x4為極小值點(diǎn)為極小值點(diǎn)3 導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖像如圖，在標(biāo)記的的圖像如圖，在標(biāo)記的點(diǎn)中哪一點(diǎn)處點(diǎn)中哪一點(diǎn)處（1）導(dǎo)函數(shù)）導(dǎo)函數(shù)y=f(x)有極大值？有極大值？（2）導(dǎo)函數(shù)）導(dǎo)函數(shù)y=f(x)有極小值？有極小值？（3）函數(shù)）函數(shù)y=f(x)有極大值？有極大值？（4）函數(shù)）函數(shù)y=

10、f(x)有極小值？有極小值？x1x2x3x4y=f(x)xyox2x4x3x5x54 4 已知汽車在筆直的公路上行駛：已知汽車在筆直的公路上行駛：（1 1）如果函數(shù)）如果函數(shù)y=y=f(xf(x) )表示時(shí)刻表示時(shí)刻t t時(shí)汽車與起點(diǎn)的距時(shí)汽車與起點(diǎn)的距離，請(qǐng)標(biāo)出汽車速度等于離，請(qǐng)標(biāo)出汽車速度等于0 0的點(diǎn)的點(diǎn)（2 2）如果函數(shù)）如果函數(shù)y=y=f(xf(x) )表示時(shí)刻表示時(shí)刻t t時(shí)汽車的速度，那時(shí)汽車的速度，那么（么（1 1）中標(biāo)出點(diǎn)的意義是什么？）中標(biāo)出點(diǎn)的意義是什么？y=f(t)5 以下圖形分別表示一個(gè)三次函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在以下圖形分別表示一個(gè)三次函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖像，其中一

11、定不正確的序同一坐標(biāo)系中的圖像，其中一定不正確的序號(hào)是（號(hào)是（ ）xyoxyoxyoxyo(1)(2)(3)(4)a (3)(4) b (1)(3) c (2)(4) d(1)(2)a分析：如果函數(shù)有極大值又有極小值，說(shuō)明函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符分析：如果函數(shù)有極大值又有極小值，說(shuō)明函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有從正變到負(fù)和從負(fù)變到正的時(shí)候，也就是說(shuō)到導(dǎo)函數(shù)有號(hào)有從正變到負(fù)和從負(fù)變到正的時(shí)候，也就是說(shuō)到導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)相異的實(shí)根兩個(gè)相異的實(shí)根2 若不等式若不等式 對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x都都成立，求實(shí)數(shù)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍的取值范圍4342xxa分析：由不等式可以知道分析：由不等式可以知道 ,則要求則要求a的范圍，只

12、要的范圍，只要a 大于函數(shù)大于函數(shù) 的最大的最大值即可，問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值即可，問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)f(x)的最值的最值3442axx34( )42f xxx1 通過(guò)圖像來(lái)觀察函數(shù)的極值點(diǎn)2 利用極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系來(lái)求函數(shù)中參數(shù)的范圍 函數(shù)的函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)極值與導(dǎo)數(shù) （三）（三）目標(biāo)：目標(biāo)： 根據(jù)函數(shù)的極值與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系來(lái)求解函數(shù)的解析式 數(shù)形結(jié)合來(lái)解決問(wèn)題例1若函數(shù)若函數(shù) 在在x=-1和和x=3時(shí)有極時(shí)有極值，則值，則a=_,b=_3227yxaxbx-3-9a=-3,b=-9,c=2,極小值為極小值為-25 ( (2006年年北京卷北京卷) )已知函數(shù)已知函數(shù)32( )f xaxbxcx在點(diǎn)在點(diǎn) 處取得極大值處取得極大值5,其導(dǎo)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù) 的圖像