測量不確定度

1、測量誤差與測量不確定度測量誤差 測量誤差被定義為“測量結(jié)果與被測量真值之差” 。以公式表示為： 測量誤差=測量結(jié)果-真值。測量結(jié)果是量的實驗表現(xiàn)，通常只是對測量所得被測量值的近似或估計。顯 然它是人們認(rèn)識的結(jié)果， 不僅與量值本身有關(guān)， 而且與測量方法、 計量器具或裝 臵、測量環(huán)境以及測量人員等有關(guān)。真值是量的定義的完整體現(xiàn)，是與量的定義完全一致的值。它是通過完善的 或完美無缺的測量， 才能獲得的值。 所以，真值反映了人們力求接近的理想目標(biāo) 或客觀真理， 本質(zhì)上是不能確定的， 實際上用的是約定真值， 須以測量不確定度 來表征其所處的范圍。因而作為測量結(jié)果與真值之差的測量誤差，也是不能確定或確切獲

2、知的，它 是一個定性概念。 隨著科學(xué)技術(shù)水平和人們認(rèn)識水平的提高， 可以控制和盡量減 小測量誤差，但不可能完全消除。 從理論上和實踐上研究測量誤差， 分析其來源、 表現(xiàn)形式及性質(zhì)， 正確處理測量的數(shù)據(jù)， 目的是設(shè)法抵償和減少誤差， 使其處于 允許范圍之內(nèi)，從而保證測量結(jié)果具有實用價值。關(guān)于測量誤差的來源，通常從被測對象、方法誤差、裝臵或器具誤差、環(huán)境 誤差以及人員誤差等方面考慮分析；分析時要求既不遺漏，也不重復(fù)。關(guān)于測量誤差的表現(xiàn)形式及其性質(zhì)，迄今依然存在著或可分為隨機(jī)誤差、系 統(tǒng)誤差以及疏失或粗大誤差三類。 在實際測量中，某些誤差的性質(zhì)是難以判斷的， 有時在判斷上認(rèn)識不一。隨機(jī)誤差在同一量的

3、多次測量過程中， 以不可預(yù)知方式變化的測量誤差的分 量。測量誤差中以不可預(yù)知方式變化的分量， 是指相同條件下多次測量時誤差的 絕對值和符號變化不定的分量，它時大時小，時正時負(fù)，不可預(yù)定。事實上，多次測量時的條件不可能絕對地完全相同， 多種因素的起伏變化或 微小差異綜合在一起，共同影響而致使每個測得值的誤差以不可預(yù)定的方式變 化。隨機(jī)誤差按其本質(zhì)被定義為測得值與對同一被測量進(jìn)行大量重復(fù)測量所得結(jié) 果的平均值之差。這里的重復(fù)測量，是在“重復(fù)性條件”下進(jìn)行的。所以就單個 隨機(jī)誤差而言， 它沒有確定的規(guī)律； 但就誤差的整體而言， 卻服從一定的統(tǒng)計規(guī) 律，故可用統(tǒng)計方法估計其界限或它對測量結(jié)果的影響。

4、隨機(jī)誤差大抵來源于影響量的變化， 這種變化在時間上和空間上是不可預(yù)知的或 隨機(jī)的，它會引起被測量重復(fù)觀測值的變化，故稱之為“隨機(jī)效應(yīng)” 。由此造成 的測量結(jié)果的隨機(jī)誤差， 不能通過修正予以補(bǔ)償， 但因其期望值為零， 故常?？?以通過增加觀測次數(shù)使之減少。隨機(jī)誤差的統(tǒng)計規(guī)律性，可歸納為對稱性、有界性和單峰性三條： 對稱性是指絕對值相等而符號相反的誤差。 出現(xiàn)的次數(shù)大致相等， 也即測得值是 以它們的算術(shù)平均值為中心而對稱分布的。 由于所有誤差的代數(shù)和趨近于零， 故 隨機(jī)誤差又具有抵償性， 這個統(tǒng)計特性是最為本質(zhì)的； 換言之， 凡是具有抵償性 的誤差，原則上均為可按隨機(jī)誤差處理。 有界性是指測得值誤

5、差的絕對值不會超過一定的界限， 也即不會出現(xiàn)絕對值很大 的誤差。單峰性是指絕對值小的誤差比絕對值大的誤差數(shù)目多， 也即測得值是以它們的算術(shù)平均值為中心而相對集中地分布。 系統(tǒng)誤差在同一被測量的多次測量過程中， 保持恒定或以可預(yù)知方式變化的測量 誤差的分量。測量誤差中保持恒定的分量， 是指相同條件下多次測量時誤差的絕對值和符號保 持固定不變的分量， 它可以通過替代測量法、 交換測量法或反向測量法等予以抵 償。在相同誤差中， 有時會同時含有恒定不變和規(guī)律性變化的分量。 從對系統(tǒng)誤差識 別或掌握的程度來看， 通常又分為已定和未定兩種： 已定系統(tǒng)誤差是指符號和絕 對值已經(jīng)確定的系統(tǒng)誤差， 又稱為表面系

6、統(tǒng)誤差； 未定系統(tǒng)誤差是指符號或 （和） 絕對值尚未確定的系統(tǒng)誤差，通常可以估計其界限。 系統(tǒng)誤差按其本質(zhì)被定義為：對同一被測量進(jìn)行大量重復(fù)測量所得結(jié)果的平均 值，與被測量真值之差。這里的重復(fù)測量，是在“重復(fù)性條件”下進(jìn)行的。系統(tǒng) 誤差及其原因， 如同真值或隨機(jī)誤差一樣， 是不能完全認(rèn)知的。 因而系統(tǒng)誤差不 能完全消除，但是經(jīng)常可以減少或抵償。系統(tǒng)誤差大抵來源于影響量， 它對測量結(jié)果的影響若已識別并可定量表述， 則稱 之為“系統(tǒng)效應(yīng)”。該效應(yīng)的大小若與準(zhǔn)確度相比是顯著的，則可通過估計的修 正值予以補(bǔ)償。另外，為了盡可能消除系統(tǒng)誤差， 計量器具經(jīng)常地用計量標(biāo)準(zhǔn)或標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)進(jìn)行調(diào) 整或校準(zhǔn)；但是同時

7、須考慮的是：這些標(biāo)準(zhǔn)本身仍帶著不確定度。粗大誤差 明顯超出規(guī)定條件下預(yù)期的誤差。 粗大誤差明顯歪曲了測量結(jié)果， 它往往是由于粗心大意而錯誤讀取示值 （諸如讀 錯、記錯、算錯），使用有缺陷的計量器具，計量器具使用不當(dāng)，或過大的環(huán)境 干擾（例如測量過程中受到突然沖擊、振動、氣流、溫變）等原因所致，也稱為 疏失誤差、寄生誤差或粗差。對含有粗差的異常值，應(yīng)從測控數(shù)據(jù)中剔除。在測量過程中，若發(fā)現(xiàn)有的測 量條件不符合規(guī)定的要求， 可將該測量數(shù)據(jù)從記錄中劃去， 但須注明原因。 在測 量完成后， 為判斷某個測得值是否異常， 可利用粗差剔除準(zhǔn)則， 例如格拉布斯標(biāo) 準(zhǔn)、狄克遜標(biāo)準(zhǔn)及3 c準(zhǔn)則等。所以，要估計的誤差

8、實際上只有系統(tǒng)誤差和隨機(jī) 誤差兩類。 測量準(zhǔn)確度 表示測量結(jié)果與被測量的（約定）真值之間的一致程度。 準(zhǔn)確度是一個定性的概念， 反映了測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的綜合， 即測 量結(jié)果既不偏離真值， 測得值之間又不分散的程度。 所謂定性的即性質(zhì)上的或品 質(zhì)上的概念， 意味著可以用準(zhǔn)確度的高低表示測量的品質(zhì)或測量的質(zhì)量， 即準(zhǔn)確 度高指其不確定度小，準(zhǔn)確度低指其不確定度大。 特別應(yīng)注意，不要用術(shù)語“精密度”來表示“準(zhǔn)確度” ，因為前者僅反映分散性， 不能替代后者。 多次對同一量測量所得的分散性可能很小， 但若測得值與真值都 差同一個較大的值，則測量“正確度”顯然不高，故測量準(zhǔn)確度仍然是低下的。

9、測量重復(fù)性 在實際相同測量條件下， 對同一被測量進(jìn)行連續(xù)多次測量時， 其測量結(jié)果之間的 一致性。 實際相同測量條件下是指下述所有的條件： 相同的測量程序；相同的觀測者；在相同條件下使用相同的計量器具；相同的地點；在短時間內(nèi)重復(fù)測量；這些條件也可稱為“重復(fù)性條件”。測量重復(fù)性的完整稱呼應(yīng)當(dāng)是“測量結(jié)果的 重復(fù)性”，它可以用測量結(jié)果的分散性來定量地表示。通俗的說，就是用在盡量 相同的條件（程序、人員、裝臵、環(huán)境等）下和在盡量短的時間內(nèi)（以致隨時間 變化可以忽略）所得測量結(jié)果的分散性，來表示測量結(jié)果的重復(fù)性。計量器具的誤差基本誤差計量器具在標(biāo)準(zhǔn)條件下所具有的誤差?；菊`差也稱為固有誤差。它是在標(biāo)準(zhǔn)條

10、件下工作的計量器具的誤差，主要來源 于計量器具自身的缺陷，諸如機(jī)械的、光學(xué)的或電氣的性能不完善等固有的因素。 因此，在評價計量器具的性能時，比方在劃分準(zhǔn)確度等級時，主要以基本誤差作 為衡量的依據(jù)。允許誤差技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)、檢定規(guī)程等對計量器具所規(guī)定的允許的誤差極限值。由于規(guī)定的是誤差極限值，所以這里的允許誤差實際上是最大允許誤差， 它可以 用絕對誤差或相對誤差表示。引用誤差計量器具的絕對誤差與其特定值之比。特定值一般稱為引用值，它可以是計量器具的量程、標(biāo)稱范圍的最高值或測量范 圍的上限值等等。例如：某臺標(biāo)稱范圍為0 150V的電壓表，當(dāng)在示值為100.0V處，用標(biāo)準(zhǔn)電壓 表校準(zhǔn)所得到的實際值為99.4

11、V，故該處的引用誤差為：100.0 -99.4"00% =0.4%150而該處的相對誤差則為：100.0 -99.499.4100% =0.6%3當(dāng)用測量范圍的上限值作為引用值時，也可稱之為滿量程誤差或滿度誤差，并在 誤差數(shù)字后附以Full Scale的縮寫符號F.S或FS。例如：某測力傳感器的滿量程誤差為0.05%F.S等。由相對誤差的表達(dá)式可知：對于示值的絕對誤差S在量程內(nèi)大致相等的計量器具，當(dāng)測量點靠近測量范圍上限時，相對誤差SR小，而靠近下限時S R大，即相對誤差是隨示值而變化的。為了便于計算和劃分準(zhǔn)確度等級，有必要選擇某一 特定值為分母，從而引入了 “引用誤差”的概念，實際

12、上它是實用而方便的相對 誤差。例如：壓力表的準(zhǔn)確度等級0.4級，通常表明其引用誤差不會超過 0.4%,即 引用誤差的極限值為0.4%,即當(dāng)測量范圍為0 10Mpa時，測量點X附近的示值 允許誤差為：絕對允許誤差SW 10=0.4%相對允許誤差S RW X10 0.4%從引用誤差的觀點看，X接近滿量程10Mpa時，測量的準(zhǔn)確度趨高，而遠(yuǎn)離 滿量程時趨低。因此，以引用誤差表示的計量器具，應(yīng)盡量在其測量范圍上限的鄰近或者量 程的 75以上使用。即在選擇這類計量器具時，應(yīng)兼顧準(zhǔn)確度等級及測量范圍 上限或量程。五、【計量器具】的準(zhǔn)確度計量器具給出接近于被測量真值的示值的能力。 測量準(zhǔn)確度是一個定性的概念

13、， 而這里的準(zhǔn)確度是指計量器具給出準(zhǔn)確示值 的能力；換言之，可用它來定性地表示計量器具的品質(zhì)或特性。例如：準(zhǔn)確度為某級的壓力表，準(zhǔn)確度為某等的標(biāo)準(zhǔn)砝碼，準(zhǔn)確度等級為某 一代號的稱重傳感器，等等。準(zhǔn)確度盡管是定性的概念，但具體來講，還是可以定量表征的。例如：準(zhǔn)確 度為0.1級的壓力表，其滿量程誤差為0.1%FS所以，計量器具的準(zhǔn)確度往往 用誤差來表征， 但誤差和準(zhǔn)確度屬于不同的概念， 兩者之間不能劃等號。 值得提 醒的是，測量準(zhǔn)確度是針對測量結(jié)果來說的， 而這里的準(zhǔn)確度是針對計量器具性 能來說的。六、【計量器具的】重復(fù)性和重復(fù)性誤差 計量器具的重復(fù)性被定義為：在規(guī)定的使用條件下，重復(fù)用相同的激勵

14、，計 量器具給出非常相似相應(yīng)的能力。規(guī)定的使用條件是指下述所有的條件：由觀測者帶來的變化減至最小；在相同的地點；在相同的工作條件下； 在短時間內(nèi)重復(fù)； 計量器具的重復(fù)性，可以用計量器具示值的分散性來定量地表示。 值得強(qiáng)調(diào)的是， 測量重復(fù)性是針對測量結(jié)果來說的， 而計量器具的重復(fù)性是針對計量器具性能而 言。計量器具的重復(fù)性誤差則是“計量器具的隨機(jī)誤差分量” 。重復(fù)性誤差是指計量 器具示值的隨機(jī)誤差，它可以用規(guī)定的使用條件下示值的分散性來定量地表示， 即用計量器具的重復(fù)性表示。顯然，它是衡量計量器具性能的指標(biāo)之一。 事實上，重復(fù)性誤差與重復(fù)性的含義類似， 只是定義的角度不同， 習(xí)慣上叫法不 一。從

15、誤差的角度，對應(yīng)于計量器具示值的系統(tǒng)誤差，人們還定義了偏移誤差。 值得強(qiáng)調(diào)的是， 這里的重復(fù)性誤差和偏移誤差都是針對計量器具示值而言的， 而 測量重復(fù)性、測量誤差及其系統(tǒng)誤差或隨機(jī)誤差等，都是針對測量結(jié)果而言的， 它們都可定量表示。七、測量不確定度表征被測量的真值所處量值范圍的評定。這里的評定指的是估計或估計值，這就是說，測量不確定度是一個估計值， 用它來表征被測量真值所處的量值范圍。 換言之，它表示測量結(jié)果附近的一個范 圍或區(qū)間， 而被測量真值以一定的概率落于其中。 所以，它是對測量結(jié)果質(zhì)量優(yōu) 劣的一種評定： 測量結(jié)果愈接近真值， 其質(zhì)量愈高， 則測量不確定度愈小， 反之， 測量結(jié)果愈遠(yuǎn)離真

16、值，其質(zhì)量愈低，則測量不確定度愈大。從計量學(xué)的觀點看，一切測量結(jié)果不但要附有計量單位，而且還必須附有測 量不確定度，才算是完整的測量報告，沒有單位的數(shù)據(jù)不能表征被測量的大小， 沒有不確定度的測量結(jié)果不能判定測量技術(shù)的水平和測量結(jié)果的質(zhì)量， 從而失去 或減弱測量結(jié)果的可比性?！皽y量不確定度”是合理地表征被測量分散程度的一個參數(shù)。它與誤差緊密 相連但卻有區(qū)別：測量誤差定義為測量結(jié)果與其真值之差，這是一個理想化的概念，因它的真 值常常不能確切地知道，假如知道它的修正值（或更精確的近似值） ，則可修正 該測量結(jié)果，使其更接近真值。測量不確定度是對影響產(chǎn)生誤差的分散性的估計， 即它是用以表示測量結(jié)果 分

17、散區(qū)間的量值，也就是描述未定誤差特征的量值，是可以用估計方法求出的。 “不確定度”不是指具體的、確切的誤差值，雖可估計出，但卻不能用于修正量 值。注意：一個量值用修正值修正后，可能會更靠近真值，但由于增加了運(yùn)算環(huán) 節(jié)，其不確定度不但不減小， 有時反而會更大。 這主要還是因為我們不能確切知 道真值為多少，僅對測量結(jié)果靠近真值程度或離開真值程度所作的估計而已。先介紹幾個名詞的含義標(biāo)準(zhǔn)不確定度： 用標(biāo)準(zhǔn)偏差表示的測量結(jié)果的不確定度， 稱為標(biāo)準(zhǔn)不確定度。 按照估計方法的不同， 它可分為兩類： 用統(tǒng)計方法計算者， 稱為 A 類標(biāo)準(zhǔn)不確定 度，或稱為標(biāo)準(zhǔn)不確定度的 A 類估算法；不同于 A 類的其它方法計

18、算者，稱為 B 類標(biāo)準(zhǔn)不確定度，或稱為標(biāo)準(zhǔn)不確定度的 B 類估算法。將標(biāo)準(zhǔn)不確定度區(qū)分為A類和B類的目的，只說明計算方法的不同，以便于 研究，并非表明兩種方法得到的分量在本質(zhì)上存在差異， 兩種方法均基于概率分 布。合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度： 根據(jù)其它一些量值的測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度求出被測 結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度， 它等于各項分量標(biāo)準(zhǔn)不確定度的平方和的正平方根， 即通 常所說的方和根。擴(kuò)展不確定度，又稱總不確定度：是指定義測量結(jié)果區(qū)間的有關(guān)量，即被測 量的值以某一可能性 （即臵信水平） 落入該區(qū)間中。 擴(kuò)展不確定度一般是該區(qū)間 的半寬，我們過去常說誤差界限與此類似。覆蓋因子：為獲得控制不確定度，作為合成標(biāo)

19、準(zhǔn)不確定度乘數(shù)的數(shù)字因子。 亦可以說，它是擴(kuò)展不確定度與合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的比值，過去用3 c表示極限誤差，其中的“ 3”有些類似于覆蓋因子。測量不確定度的來源可能有： 被測量的不完整的定義； 被測量定義復(fù)現(xiàn)的不理想； 取樣被測樣品不能代表定義的被測量； 沒有充分了解環(huán)境條件對測量過程的影響，或環(huán)境條件的不完善； 模擬儀表讀數(shù)時有人為的固定系統(tǒng)誤差；儀器分辨率或鑒別閾值； 賦予測量標(biāo)準(zhǔn)或標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)的值； 根據(jù)外部來源獲得并在數(shù)據(jù)簡化計算中使用的常數(shù)及其它參數(shù)值； 測量方法和測量過程中引入的近似值及假設(shè)； 在相同條件下被測量重復(fù)觀測值的變化。未被認(rèn)識的系統(tǒng)影響也會導(dǎo)致誤差的出現(xiàn) 標(biāo)準(zhǔn)偏差的計算正態(tài)分

20、布用均值和方差所定義的鐘形概率分布密度函數(shù)或曲線，稱為正態(tài)分布。其密度函 數(shù)表達(dá)式為：Y（x） =exp _（x；a）g2兀2cr1可簡單等價表示為：X N （a, （7 2）式中：a為無窮多個測得值的算術(shù)平均值，72和7分別稱為測得值或其誤差的方差和標(biāo)準(zhǔn)偏差，指數(shù)函數(shù) exp（z）=e2，冗3.1416和e 2.7183為數(shù)學(xué)常數(shù)， X為隨機(jī)變量，N表示正態(tài)分布。A和72兩個參數(shù)一經(jīng)確定，正態(tài)密度函數(shù)也就確定了。統(tǒng)計特征【數(shù)學(xué)】期望【值】是指對同一量的無窮多測得值的算術(shù)平均。方差是指無窮多個誤差平方的算術(shù)評平均。標(biāo)準(zhǔn)偏差7為方差的正平方根。隨機(jī)變量X的期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)偏差也常用下列數(shù)學(xué)符號表

21、示為：fEx= a，Dx=7 2， + DX =-對應(yīng)誤差二二x - a，則有E6=0,d6=u2豐 J=厲（分布曲線圖）常用術(shù)語如圖所示：P"-稱為臵信水平，臵信概率，臵信度。它表示隨機(jī)變量或誤差落在區(qū)間（£aGCaG中的可能性。a稱為顯著形水平，顯著度；Ca稱為臵信因子，分位數(shù)、百分點臨界值；Cac稱為臵信限；（一Ca二,C亦）稱為臵信區(qū)間 正態(tài)分布臵信因子表2正態(tài)分布臵信因子dPCa0.50.50.67450.31730.682710.050.951.960.04550.954520.010.992.580.00270.99733誤差絕對值大于3 7的概率僅為0.00

22、27 0.3%，粗略地說，在1000個誤差中,只有3個超過3c。100個誤差中，只有0.3個（0.30）超過3 c。故測量次 數(shù)不多的測量，其誤差沒有一個超過 3 c是正常的。如果有超過3 c的誤差，則 出現(xiàn)了異常。由此，可建立粗大誤差或異常值的剔除準(zhǔn)則。我國常常采用 3 c作 為正常的誤差界限的依據(jù)，在國外也有用 2 c的。臵信因子的重要作用在于：當(dāng)已知誤差限時，用此限除以臵信因子，可得到標(biāo)準(zhǔn) 偏差；當(dāng)已知標(biāo)準(zhǔn)偏差時，用此標(biāo)準(zhǔn)偏差乘以臵信因子，可獲得對應(yīng)的誤差限。t分布或?qū)W生分布貝賽爾公式在實際相同的條件下，對某一穩(wěn)定的是進(jìn)行幾次測量，值得XI,，Xn?？汕蟮茫核阈g(shù)平均值：X = (X1 .

23、 Xn)/n殘余誤差：Vi二 Xi x , 1=1，.n殘余平方和：Q =vf v；自由度：二n “標(biāo)準(zhǔn)偏差（估計值）：（此式稱貝賽爾公式）x的標(biāo)準(zhǔn)偏差：（x）二S/.何謂自由度？自由度是殘余誤差平方和中獨立項的數(shù)目。因為：v Xl _ x Vn K X可求得：W Vn Xn - nX =0亦即，若已知V1,，v2，則通過上述條件可求得Vn，故獨立的殘余誤差只有n-1 個。請注意：在n個測量值中，確定一個被測量值為 X，自由度為n-1。在更廣 義的情況下，如果n個測量值用最小二乘法確定出 m個不同的被測量值，則其自 由度為n-m。例：對某量等精度測量 5次得：29.18, 29.24, 29.

24、27, 29.25, 29.26，求平均值及標(biāo)準(zhǔn)偏差。-29.18+29.24+29.27 +29.25 +29.26“ cx29.245Vi = 一0.06，0，0.03，0.01，0.02從上可見，S與C是有所不同的，S是在有限的幾次測量中求得的，它是C的估計值，當(dāng)n 時，S；.。所以，稱c為理論或總體標(biāo)準(zhǔn)偏差，S稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差或標(biāo)準(zhǔn)差估計值。在不發(fā)生誤解時，簡稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差。ISO稱為標(biāo)準(zhǔn)不確定度。當(dāng)n心 時，S 二，可見，正態(tài)分布是t分布的極限分布，是t分布的一 個特例；而t分布是包含了正態(tài)分布的一個更為廣義的分布。t分布臵信因子設(shè)自由度為：，臵信水平為P,對應(yīng)t分布的臵信因子為tp（），該值可從表2 中查取。上例中，二4，x = 29.24 , S=0.035,給定臵信水平 P= 99%,查表以9（4） = 4.60，對應(yīng)臵信限為：E = 4.60 0.035/ . 5 = 0.072。即被測量以99%的概率落在以下區(qū)間：29.240.072 或29.168, 29.312自由度V臵信水平P%67.28909595.459999.7311.846.3112.7113.9763.66235.8021.322.924.304.539.9219.2131.202.353.183.315.849.