函數(shù)間斷點(diǎn)分類及類型

1、1.5.3 函數(shù)的間斷點(diǎn)及其類型函數(shù)的間斷點(diǎn)及其類型p17 a-b=0a-b=0 a-b0a-b0說明說明a a與與b b相等相等的的說明說明a a與與b b接近（幾乎）相等接近（幾乎）相等（a a與與b b是緊緊挨著的）是緊緊挨著的）極限概念當(dāng)中的極限概念當(dāng)中的“無窮小無窮小”是可以描述是可以描述“緊緊緊緊”跟跟隨隨復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)oxy112oxy112“緊緊緊緊”跟隨跟隨四個(gè)字概括連續(xù)函數(shù)圖像的特點(diǎn)四個(gè)字概括連續(xù)函數(shù)圖像的特點(diǎn)是：是：00m(i)l0 xyf xx 函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)處處連連續(xù)續(xù)00lim( )()xxf xf x aa bb30( );f xx 在在點(diǎn)點(diǎn) 處處有有定定義義0lim

2、( )= ();xxf xA存存在在00lim( )()xxf xAf x00,()(),()().fxxxfx如如果果上上述述三三個(gè)個(gè)條條件件中中則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)處處不不只只要要有有一一連連續(xù)續(xù) 或或間間斷斷并并稱稱點(diǎn)點(diǎn)為為的的不不連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn) 或或個(gè)個(gè)不不間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)滿滿足足1. 間斷點(diǎn)的定義間斷點(diǎn)的定義0lim( )xxf x 0()f x0( ):f xx函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)處處連連續(xù)續(xù)必必須須滿滿足足的的三三個(gè)個(gè)條條件件0( )f xx函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)處處連連續(xù)續(xù)在某點(diǎn)沒定義在某點(diǎn)沒定義極限不存在極限不存在極限與函數(shù)值不相等極限與函數(shù)值不相等4oyx0 xoyx0 xoxy112

3、oyx0 x2、間斷點(diǎn)圖形舉例：、間斷點(diǎn)圖形舉例：函數(shù)在一點(diǎn)函數(shù)在一點(diǎn)間斷間斷，其圖形在該點(diǎn)，其圖形在該點(diǎn)斷開斷開.oxy5oyx0 x間斷點(diǎn)圖形舉例：間斷點(diǎn)圖形舉例：函數(shù)在一點(diǎn)函數(shù)在一點(diǎn)間斷間斷，其圖形在該點(diǎn)，其圖形在該點(diǎn)斷開斷開.不見了不見了在某點(diǎn)沒定義在某點(diǎn)沒定義極限不存在極限不存在極限與函數(shù)值不相等極限與函數(shù)值不相等6間斷點(diǎn)圖形舉例：間斷點(diǎn)圖形舉例：函數(shù)在一點(diǎn)函數(shù)在一點(diǎn)間斷間斷，其圖形在該點(diǎn)，其圖形在該點(diǎn)斷開斷開.在某點(diǎn)沒定義在某點(diǎn)沒定義極限不存在極限不存在極限與函數(shù)值不相等極限與函數(shù)值不相等oxy112掉隊(duì)了掉隊(duì)了f(1)=11(x)2limxf1(x)2(1)1limxff7間斷點(diǎn)

4、圖形舉例：間斷點(diǎn)圖形舉例：函數(shù)在一點(diǎn)函數(shù)在一點(diǎn)間斷間斷，其圖形在該點(diǎn)，其圖形在該點(diǎn)斷開斷開.在某點(diǎn)沒定義在某點(diǎn)沒定義極限不存在極限不存在極限與函數(shù)值不相等極限與函數(shù)值不相等f(x0)有定義嗎？00 x(x )limxf有嗎？oyx0 x另立山頭另立山頭8間斷點(diǎn)圖形舉例：間斷點(diǎn)圖形舉例：函數(shù)在一點(diǎn)函數(shù)在一點(diǎn)間斷間斷，其圖形在該點(diǎn)，其圖形在該點(diǎn)斷開斷開.在某點(diǎn)沒定義在某點(diǎn)沒定義極限不存在極限不存在極限與函數(shù)值不相等極限與函數(shù)值不相等f(x0)有嗎？00 x(x )limxf有嗎？oyx0 x井水不犯河水井水不犯河水9間斷點(diǎn)圖形舉例：間斷點(diǎn)圖形舉例：函數(shù)在一點(diǎn)函數(shù)在一點(diǎn)間斷間斷，其圖形在該點(diǎn)，其圖形

5、在該點(diǎn)斷開斷開.在某點(diǎn)沒定義在某點(diǎn)沒定義極限不存在極限不存在極限與函數(shù)值不相等極限與函數(shù)值不相等f(x0)有嗎？各自為政各自為政oxy-00 x(x )limxf有+00 x(x )=limxf不存在10oyx0 xoyx0 xoxy112oyx0 x間斷點(diǎn)圖形舉例：間斷點(diǎn)圖形舉例：函數(shù)在一點(diǎn)函數(shù)在一點(diǎn)間斷間斷，其圖形在該點(diǎn)，其圖形在該點(diǎn)斷開斷開.不見了不見了掉隊(duì)了掉隊(duì)了井水不犯河水井水不犯河水另立山頭另立山頭oxy各自為政各自為政11跳躍跳躍間斷點(diǎn)與間斷點(diǎn)與可去可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類第一類間斷點(diǎn)間斷點(diǎn).特點(diǎn)特點(diǎn).0處處的的左左、右右極極限限都都存存在在函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn) x第一類間

6、斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)000( )(),().f xxf xf x如果在點(diǎn)處間斷，且都存在000()(),( ).f xf xxf x如果則稱點(diǎn)為函數(shù)的可去間斷點(diǎn).)(),()(000的跳躍間斷點(diǎn)的跳躍間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)如果如果xfxxfxf 12oyx0 xoyx0 xoxy112oyx0 x第一類間斷點(diǎn)的特點(diǎn)：左右極限都存在第一類間斷點(diǎn)的特點(diǎn)：左右極限都存在oxy可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)00()()f xf x00()()f xf x00()()f xf x第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn).)(,)(),()(0000的第二類間斷點(diǎn)的第二類間斷點(diǎn)函數(shù)函數(shù)為

7、為則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)在在至少有一個(gè)不存至少有一個(gè)不存處的左、右極限處的左、右極限在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxfxfxxf oyx0 xoxy左、右極限都不存在左、右極限都不存在左極限存在，右極限左極限存在，右極限不存在不存在14例例1 1,0,( )01,0,xxf xxxx判斷函數(shù) 間斷點(diǎn)的類型解：解：, 0)0( f, 1)0( f),0()0( ff0.x第一類跳函數(shù)的躍間斷點(diǎn)為oxy(0)0,f第一類第一類跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)15例例2 201,2,( )11,1,1,xxf xxxx討論函數(shù)oxy112xy 1xy2 解解, 1)1( f, 2)1( f, 2)1( f2)(lim1 xfx)

8、,1(f 0.x第一類可函數(shù)的去間斷點(diǎn)為會(huì)不會(huì)連續(xù)呢？會(huì)不會(huì)連續(xù)呢？還是間斷點(diǎn)還是間斷點(diǎn)=1x在處的連續(xù)性，如果不連續(xù)說出它到類型16例例3 31,0,( )0.,0,xf xxxxx討論函數(shù)在處的連續(xù)性解解oxy, 0)0( f,)0( f0.x函數(shù)在處不連續(xù)，它第二類為函數(shù)的間斷點(diǎn)是(0)0,f17總結(jié)總結(jié)兩類兩類間斷點(diǎn)間斷點(diǎn):第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn):跳躍型跳躍型,第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)可去型可去型思考：極限與連續(xù)之間的關(guān)系思考：極限與連續(xù)之間的關(guān)系: f(x)在在 x0 點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù) f(x)在在x0點(diǎn)存在極限點(diǎn)存在極限18o1x2x3xyx xfy 練習(xí)：判斷下列間斷點(diǎn)類型練習(xí)：判斷下列間斷點(diǎn)類型:191 、函