清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義第二章-Griffith斷裂理論

1、第二章：Griffith理論熱力學(xué)（回顧）Griffith 理論G的實(shí)驗(yàn)測量一柔度標(biāo)定Griffith理論在非理想脆性材料中的修正一些討論熱力學(xué)第零定律：若兩個熱力學(xué)系統(tǒng)均與第三個系統(tǒng)處于熱平衡狀態(tài)，此兩個系統(tǒng)也必 互相處于熱平衡。熱平衡的標(biāo)志為系統(tǒng)的各個部分溫度相等熱力學(xué)第一定律：對于非孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)的總能量始終是守恒的。仍"0+創(chuàng)爲(wèi)h+創(chuàng)乩U是狀態(tài)量，Q、ech、Wex說是過程量（路徑依賴）系統(tǒng)又有往能量極小演化的趨勢乎有矛盾，怎么回事?熱力學(xué)第二定律=Clausius2不可能從單一熱源吸收能量，使之完全變?yōu)橛杏霉Χ划a(chǎn)生其他影響。Kelvin-Planck不可能把熱量從低溫物體

2、傳遞到高溫物體 而不產(chǎn)生其他影響。3Q = TdS熱力學(xué)第二定律揭示了系統(tǒng)在保持總能量不變1W況下的發(fā)展方向熱能區(qū)別于其他能形式很多能量都最終耗散轉(zhuǎn)化為熱能事實(shí)上系統(tǒng)演化是一個炳増的過程能量最小原理:對于具有定常體積、外參量和儲的封閉系統(tǒng)，系統(tǒng)總的內(nèi)能將趨向減小, 當(dāng)達(dá)到平衡狀態(tài)時，總的內(nèi)能達(dá)到極小值。封閉系統(tǒng)：系統(tǒng)與環(huán)境之間只有能量交換，沒有物質(zhì)交換。內(nèi)能niin(/)焙/(S,P)= (/ + PVniin (H)Helmholtz 自由能F(TyV)= U-TSniin(F)Gibbs 自由能G(T,P) = U + PV-TSniin(G)達(dá)到平衡狀態(tài)能量最小原理是熱力學(xué)第二定律的另一

3、種表述。Lege ndre 變換200 year portrait debacleLegendre 變換Adrien-Marie LegendreLouis Legendre/(X)=> g(p)p = df I dx=maxXdpx-fxwhere = 0dx在熱力學(xué)里，使用Legendre變換主要的目的是：將一個函數(shù)與所含有的一個自變量，轉(zhuǎn)換為一個新函數(shù)與所含有 的一個新自變屋，此新自變量是舊函數(shù)對于舊自變量的偏導(dǎo)數(shù)；將舊函數(shù)減去新自變量與舊自變量的乘積，得到的 差就是新函數(shù)。Legendre變換可以用來在各種熱力勢(thermodynamic potential)之間作轉(zhuǎn)換。Gri

4、ffith 理論Alan Arnold Griffith (1893-1963). He was born in London on 13 June 1893. He earned his B.Eng. in mechanical engineering in 1914, M.Eng. in 1917, and D.Eng. in 1921, all from the University of Liverpool. In 1915, he entered the Royal Aircraft Factory (later known as the Royal Aircraft Establi

5、shment), and advanced through a workshop traineeship followed by other positions to become senior scientific officer in1920. In 1917, together with G丄 Taylor, he published a pioneering paper on the use of soap films in solving torsion problems, and in 1920 he published his famous paper on the theory

6、 of brittle fracture. He then worked on the design theory of gas turbines. Griffith was Head of the Engine Department of the Royal Aircraft Establishment in 1938 and joined Rolls Royce as research engineer in 1939. He worked first on conceptual design of turbojet engines and later on vertical takeof

7、f aircraft design. He retired in 1960 but continued working as a consultant for Rolls Royce. He died on 13 October 1963.Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society, Vol. 10, (Nov., 1964), pp. 117-136/stable/769315橢圓孔的應(yīng)力分布（彈性力學(xué)解）Charles Inglis, 1913尖銳的裂紋for a pC E Inglis,

8、Stress in a plate due to the presence of cracks and sharp corners, 1913.Energy balanee conceptftftfHttf toDifferenee in elastic energy between the cracked sheet and the uncracked sheetTtcrcrBU = 一 Plane strainEHomework (作業(yè)題)2-OociUs = 4aByTotal energyTtcrcrB A U =-+ AciByEEquilibrium conditionduda=0

9、«=>y Surface energyd2Uda<0Crack growth will be unstable! 隨后深入討論穩(wěn)定性！Cracked sheet has the free surfaceAA. Griffith, Phenomena of rupture and flow in solids, Philosophical Transactions of the RoyalSociety of London, A221, 163-198 (1921).作業(yè)題1 閱讀Griffith的論文。根據(jù)如下兩個公式回答Inglis的解與Griffith理論之間的關(guān)系，

10、并說明哪個解更復(fù)合實(shí)際情況，為什么?同時給出在什么情況下兩者是基本一致的?Inglis的解Griffith 的解2如下圖所示，在楔形處插入高力的方形木塊，楔形的楊氏模量為 E,表面能為Y,求解裂紋起裂時的臨界條件，即aE,h,d,處,并判 斷裂紋擴(kuò)展是否穩(wěn)定，同時用圖示說明？（注：考慮單位厚度的 能量即可，計算能量時不需考慮力F的做功，僅需將懸臂段考慮 成梁，計算其彎曲能即可）能量最小原理:對于具有定常體積、外參量和儲的封閉系統(tǒng)，系統(tǒng)總的內(nèi)能將趨向減小, 當(dāng)達(dá)到平衡狀態(tài)時，總的內(nèi)能達(dá)到極小值。封閉系統(tǒng)：系統(tǒng)與環(huán)境之間只有能量交換，沒有物質(zhì)交換。狀態(tài)函數(shù)內(nèi)能u(sw)Helmholtz 自由能G

11、ibbsH(S,P)= U + PVF(T,V)= U-TSG(T,P)= U + PV TSniin(/) niin (H) niin(F) niin(G)儲不變達(dá)到平衡狀態(tài)Legendre 變換能量最小原理是熱力學(xué)第二定律的另一種表述。Lege ndre 變換200 year portrait debacleLegendre 變換Adrien-Marie LegendreLouis Legendre/(X)=> g(p)p = df I dx=maxXdpx-fxwhere = 0dx在熱力學(xué)里，使用Legendre變換主要的目的是：將一個函數(shù)與所含有的一個自變量，轉(zhuǎn)換為一個新函數(shù)與

12、所含有 的一個新自變屋，此新自變量是舊函數(shù)對于舊自變量的偏導(dǎo)數(shù)；將舊函數(shù)減去新自變量與舊自變量的乘積，得到的 差就是新函數(shù)。Legendre變換可以用來在各種熱力勢(thermodynamic potential)之間作轉(zhuǎn)換。斷裂過程中的能量平衡及轉(zhuǎn)化考察一個斷裂過程中的能量平衡3W=dUe +dr + （dUT + 辺）SW外界對系統(tǒng)做的功dUe系統(tǒng)的彈性應(yīng)變能增加系統(tǒng)新增表面能dUT +辺） 斷裂過程中系統(tǒng)產(chǎn)生的熱 dUT系統(tǒng)內(nèi)部熱能增加辺傳出系統(tǒng)的熱量熱力學(xué)第二定律要求 （dUT +8Q）Q由?。┦降?W-dUe-dr>0斷裂的驅(qū)動力斷裂阻力r單位面積表面能，或表面張力驅(qū)動力斷裂是

13、一個材料生成新表面的過程!GBda = 3W-dUe >drdr = 2BydaGBda = SW-dUeGeorge Rankine IrwinG裂紋前進(jìn)單位面積的機(jī)械能量減少，稱為能量釋放率。Irwin GR Onset of fast crack propagation in high strength steel and aluminum alloys SagamoreResearch Conference Proceedings, Vol. 2, 1956, pp. 289-305.GBda = 6W-dUe>dr上式給出了在斷裂過程中最一般的能量平衡和轉(zhuǎn)換關(guān)系以及 判斷

14、準(zhǔn)則。下面我們首先研究最簡單的例子，在斷裂過程中沒有系統(tǒng)和外界功的交換，即SW=O/一個典型例子：Griffith脆斷理論/ / / / / / /問題：多長的裂紋會自動擴(kuò)展?GBda = 6W-dUe>drY單位面積表面能外界對系統(tǒng)做功3W = 0位移固定邊界如何計算彈性應(yīng)變能的改變dt? ?計算彈性應(yīng)變能曠(有限板情形)，采用疊加原理/(a)為什么可以用疊加原理?上下的疊加哪個正確?為什么?/(c)宏微觀斷裂力學(xué)/ /厶丄（b）7/才2丨力-1/ X X（C）如何檢查疊加是否正確？線性系統(tǒng)（線彈性、小變形、小轉(zhuǎn)動） 檢查以下等式是否都滿足“）=卅）+ <T（C）£&#

15、171;） = £（b） + £（C）=嚴(yán)+瀘）“=嚴(yán)）+嚴(yán)）廣）=嚴(yán)）+廣）其實(shí)只要邊界和外載處滿足疊加條件即可，為什么？若系統(tǒng)由線彈性和非線彈性部分組成，可否用疊加原理?計算彈性應(yīng)變能曠(有限板情形)，采用疊加原理/ /厶么 、 、(C)假設(shè)(b)為應(yīng)變能零狀態(tài),要求解(a)狀態(tài)能量洗轉(zhuǎn)換成求 (c)狀態(tài)能量，及裂紋張開所需的應(yīng)變能。對于無限大板(L»a),參見隨后的作業(yè)題3對于一般的問題能用疊加來計算能量嗎?若不能，為什么這里可以？計算彈性應(yīng)變能曠（有限板情形），采用疊加原理/ /厶么通過計算做功來計算能量差異CF狀態(tài)（a）和（b）之間 的差異（讓裂紋閉合所

16、 做的功）狀態(tài)（b）和（c） 之間的差異計算彈性應(yīng)變能”（有限板情形），采用疊加原理/(a)上面是位移邊界作業(yè)題4如果采用力邊界，如何采用疊加原理計算帶有中心裂紋板的能量？仿照課程講義關(guān)于位移邊界的情況，討論有限板和無限大板的情況。最一般形式GBda = 3W-dUe>dr對于位移固定加載的系統(tǒng)6W = 0裂紋擴(kuò)展的臨界狀態(tài)對應(yīng)于/ / / / / / / d（）=dr da da考慮Griffith裂紋（如右）的情況riBy臨界裂紋長度臨界應(yīng)力2Ey7VJ-34匕平面應(yīng)變二，平面應(yīng)力11 + 1/E,平面應(yīng)力=E/（l-y2）平面應(yīng)變結(jié)合作業(yè)題，簡單討論尺度效應(yīng)最一般形式GBda =

17、3W-dUe>dr對于位移固定加載的系統(tǒng)3W = 0裂紋擴(kuò)展的臨界狀態(tài)對應(yīng)于da da<0裂紋擴(kuò)展需滿足da dad （廠+）da對于位移固定加載的系統(tǒng)，可以用總能量=表面能+彈性應(yīng)變能%十U作為狀態(tài)函數(shù)來確定系統(tǒng)演化的方向.系統(tǒng)朝總能量減小方向演化。位移固定邊界下裂紋擴(kuò)展的臨界狀態(tài)d（廠+tr） 0 _dUe drdada da裂紋擴(kuò)展的驅(qū)動力=裂紋擴(kuò)展的阻力隨裂紋擴(kuò)展釋放的應(yīng)變能=生成新表面需要能量能量釋放率:注意到 GBda=6W-dUe1 dU以心)A代表面積.G量綱為J/m2(N/m),代表廣義能量力A是裂紋的投影面積，是新増表面積的一半司定力加載時是否有對應(yīng)的狀態(tài)函數(shù)來

18、確定演化方向？如何確定G?位移固定sw=oG亠dA1 dUe帀% Qgm載荷固定（力固定）3P = 06W = P6A-dUe =GBda 臨界狀態(tài)GBda = PdA-dU= P8A+A8P-dUe= P5A+A5P-dUe= 5(P4-U")PA-UeG=axUC(A,P) = PA-Ue示能量改變qqqq位移固定qqqqqqqqq載荷固定（力固定）qqqqqq基于Legendre變換的理解5Ue =P5A-G5 AUe A.A) = Ue (a.A)dUe加©將曠轉(zhuǎn)換為另外一個函數(shù)以尸為自變量-Uc(A,P)= Ue-PA將一個函數(shù)與所含有的一個自變量，轉(zhuǎn)換為一個新函

19、數(shù)與所含有的一個新自變量， 此新自變量是舊函數(shù)對于舊自變量的偏導(dǎo)數(shù)；將舊函數(shù)減去新自變量與舊自變量的 乘積，得到的差就是新函數(shù)。能量釋放率dA1 dUe B da sdUe _ drda da理想脆斷對于平衡態(tài)靜止裂紋材料對裂紋臨界擴(kuò)展的抗力G = = 2yc dAGriffith起裂準(zhǔn)則G < G,不起裂G=G臨界狀態(tài)裂紋擴(kuò)展的穩(wěn)定性條件da da穩(wěn)定裂紋dG _ dGc da da隨遇裂紋字字 失穩(wěn)擴(kuò)展更準(zhǔn)確的應(yīng)該是?oa daq隨。的變化稱為材料的斷裂阻力曲線斷裂阻力曲線Gc=Const外加載荷R_般情形長/短裂紋的擴(kuò)展穩(wěn)定性?當(dāng)裂紋足夠小時，裂紋擴(kuò)展總是 不穩(wěn)定。對長裂紋而言，裂

20、紋擴(kuò) 展初期是穩(wěn)定的，但隨著載荷的 增大，將變得不穩(wěn)定。G的實(shí)驗(yàn)測量一柔度標(biāo)定考慮更一般的情況，包含試驗(yàn)機(jī)和試件兩個系統(tǒng)。下面的例子試件子 系統(tǒng)與外界會有功的交換，但是若將試驗(yàn)機(jī)和試件視為一個總系統(tǒng),G的實(shí)驗(yàn)測量一柔度標(biāo)定G的實(shí)驗(yàn)測量一柔度標(biāo)定首先仍研究沒有功交換的情形。試驗(yàn)機(jī)柔,C（Q）與裂紋有關(guān)的試件柔度整個加載系統(tǒng)的總彈性能為能量釋放率G =（6葉、1'0U 芽、_ P2 dCB刼）,B daTT totale1 &2 C（6?）+Cw能量釋放率與加載方式無關(guān)!失穩(wěn)擴(kuò)展 竺旦隨遇平衡 卩穩(wěn)定裂紋d2Cda2裂紋擴(kuò)展的穩(wěn)定性討論裂紋擴(kuò)展的穩(wěn)定性與加載方式有關(guān)！Cw值越大，越

21、容易實(shí)現(xiàn)裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展5=0 剛度無窮大.剛性加載，控制位移加載5十控制載荷加載為什么?理解8P8PGw T8 E=> 刃TOEgon OrowanGriffi th理論在非理想脆性材料中的修正Irwin (1948, 1957)和Orowan (1948)Gc=2y + yp仁每單位裂紋長度擴(kuò)展時在斷裂過程7區(qū)內(nèi)i肖耗的塑性變形功材料常數(shù)？-塑性變形僅局限于裂紋尖端(即塑性區(qū) 尺寸遠(yuǎn)小裂紋長度或其他特征長度尺寸)-裂紋擴(kuò)展所釋放的機(jī)械能大部分消耗于 裂紋尖端的塑性變形功-塑性功的大小足以表征材料的斷裂性能一些討論什么是表面能?裂紋長度a是否單調(diào)增的?-如何理解能量釋放率G與加載方式無關(guān)（

22、廣義構(gòu)型力、能量平衡）？Legendre變換和狀態(tài)函數(shù)的選擇？是否存在一個特征尺度（尺寸效應(yīng)）?什么是表面能(Surface energy) ?在Griffith理論里有一個表面能的概念。其解釋是生成單位面積新表面所 需要的能量。主要以下幾個問題：1、表面能跟什么有關(guān)？可以肯定的是跟材料性質(zhì)有關(guān)，如鋁、鐵應(yīng)該有不同的表面能。還有其 他因素嗎？跟材料的楊氏模量會不會有關(guān)系？2、怎么能得到一種材料的表面能？如果要通過實(shí)驗(yàn)得到材料的表面能，能否通過斷裂力學(xué)的方法得到？除 了這個還有其他方法嗎？3、如果一個材料是各向異性的，比如楊氏模量有E2o那么如果利用 Griffith理論，是不是應(yīng)該得到具有方向

23、性的表面能？什么是表面能(Surface energy) ?Surface energy VS. Surface tens i onL> FdxSurface tension form force:The force, F, involved in stretching a film is F = yLThis means y= F/L i.e. force/unit length; Units: N/m or mN/mSurface energy from work:The work, dW, involved in increasing the surface by a length

24、 dx is,dW = dG = y L dx = y dAThis means, y = dG/dA i.e. free energy/unit area; Units: J/m2 = N/mSurface tension and surface energy are interchangeable definitions with the same units.什么是表面能(Surface energy) ?Experimental measurement for SolidThe surface energy of a solid is usually measured at high

25、temperatures. At such temperatures the solid creeps and even though the surface area changes, the volume remains approximately constant. If y is the surface energy density of a cylindrical rod of radius r and length I at high temperature and a constant uniaxial tension P, then at equilibrium, the va

26、riation of the total Gibbs free energy vanishes, so8G = PSI + ySA 0 => y = PSI/SAvariation of areaA = l/rr1 + Ijrrl 3 SA = 4/crSr + 27rrSl + 17rlSrvariation of volumeV = ;rr2l => SV - 27rrl3r- 7rr231 = 0 => Sr = -rSl/2lSurface energyPlY /、Only for isotropic solids7rr(l-2r)In the case of sin

27、gle-crystal materials, anisotropy in the surface energy leads to faceting. The shape of the crystal (assuming equilibrium growth conditions) is related to the surface energy by Wulff construction.Calculatio nsDuring the deformation of solids, surface energy can be treated as the “energy required to

28、create one unit of surface area”，and is a function of the difference between the total energies of the system before and after the deformation, soEdoAIn the ab initio calculations, formation energy of the crystalline solid can be calculated by,slabIp7Epab is the total en ergy of a symmetric slab (i.

29、e. one with in version symmetry, and where both sides of the slab have been relaxed), Ehulk is the total energy of a bulk unit cell, Nslab is the number of atoms in the slab, and Nbulk is the number of atoms in the bulk unit cell. （C）O載荷與裂紋幾何參數(shù)組合VS純粹的材料參數(shù)組合載荷參數(shù)VS純粹的材料參數(shù)組合HIM相似性？存在一個材料內(nèi)稟的特征尺度！ ！ ！斷裂力

30、學(xué)中的尺度效應(yīng)畀o.olGao and Ji內(nèi)稟特征長度H*4Ey0?P31.01缺陷不敏感性/容忍性Flaw Insensitivity/Toleranceao._._.P4生物材料中缺陷不敏感性/容忍性生物材料中缺陷不敏感性/容忍性ocrackGriffith律cr2/?(l-v2)2E生物材料中缺陷不敏感性/容忍性裂紋初始擴(kuò)展生物材料中缺陷不敏感性/容忍性生物材料中缺陷不敏感性/容忍性Buehler M. IWNM, 2004生物材料中缺陷不敏感性/容忍性生物材料中缺陷不敏感性/容忍性4yE<4(1-護(hù))從Gr i ffth斷裂到材料的理論強(qiáng)度的轉(zhuǎn)變當(dāng)h<hcrl材料呈現(xiàn)為缺

31、陷不敏感性, 在缺陷附件沒有明顯的應(yīng)力集中。材 料斷裂時，裂尖應(yīng)力均勻，達(dá)到理論 強(qiáng)度。斷裂強(qiáng)度不依賴結(jié)構(gòu)尺寸。Ackbarow T, Sen D, Christian Thaulow C, and Buehler M. Pios One, 4:e6015, (2009).Qin 乙 and Buehler M. ACS Nano, 5:3034 (2011).aii IIIiiiivC l o蛋白質(zhì)折疊、a-卩轉(zhuǎn)變或滑移macroscale deformationoc螺旋的蛋白質(zhì)網(wǎng)絡(luò)的斷裂應(yīng)變對于結(jié)構(gòu)缺陷不敏感。陶瓷中缺陷不敏感性陶瓷中缺陷不敏感性Indentation Dimension (jum)IO"410°101102103Indentation Load (N)陶瓷中缺陷不敏感性陶瓷中缺陷不敏感性Bennison SJ, Padture NP, Runyan JL, and Lawn BR. Phil. Mag. Lett., 64:191, (1991).機(jī)制：裂紋的擴(kuò)展被內(nèi)在的缺陷所抑制或阻止納晶薄膜中缺陷不敏感性Kumar S, Haque A, and Gao H. APL, 94:253104, (2009).試樣：長100 gm ,寬3. 5-5 pm