全國高中數(shù)學聯(lián)賽級預賽模擬試題

1、全國高中數(shù)學聯(lián)賽省級預賽模擬試題第卷（選擇題 共60分）參考公式1三角函數(shù)的積化和差公式sincos=sin(+)+sin(-),cossin=sin(+)-sin(-),coscos=cos(+)+cos(-),sinsin=cos(+)-cos(-).2球的體積公式V球=R3（R為球的半徑）。一、選擇題（每小題5分，共60分）1設在xOy平面上，0<yx2,0x1所圍成圖形的面積為。則集合M=(x,y)|x|y|, N=(x,y)|xy2|的交集MN所表示的圖形面積為A B C1 D2在四面體ABCD中，設AB=1，CD=，直線AB與直線CD的距離為2，夾角為。則四面體ABCD的體積

2、等于A B C D3有10個不同的球，其中，2個紅球、5個黃球、3個白球。若取到一個紅球得5分，取到一個白球得2分，取到一個黃球得1分，那么，從中取出5個球，使得總分大于10分且小于15分的取法種數(shù)為A90 B100 C110 D1204在ABC中，若(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC，則AABC是等腰三角形，但不一定是直角三角形BABC是直角三角形，但不一定是等腰三角形CABC既不是等腰三角形，也不是直角三角形DABC既是等腰三角形，也是直角三角形5已知f(x)=3x2-x+4, f(g(x)=3x4+18x3+50x2+69x+48.那么，整系數(shù)多項式函數(shù)g(x)的各

3、項系數(shù)和為A8 B9 C10 D116設0<x<1, a,b為正常數(shù)。則的最小值是A4ab B(a+b)2 C(a-b)2 D2(a2+b2)7設a,b>0，且a2008+b2008=a2006+b2006。則a2+b2的最大值是A1 B2 C2006 D20088如圖1所示，設P為ABC所在平面內(nèi)一點，并且AP=AB+AC。則ABP的面積與ABC的面積之比等于A B C D9已知a,b,c,d是偶數(shù)，且0<a<b<c<d, d-a=90, a,b,c成等差數(shù)列，b,c,d成等比數(shù)列。則a+b+c+d=A384 B324 C284 D19410將數(shù)列3

4、n-1按“第n組有n個數(shù)”的規(guī)則分組如下：（1），（3，9），（27，81，243），。則第100組的第一個數(shù)是A34950 B35000 C35010 D3505011已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點A關于直線A1C、直線BD1的對稱點分別為點P和Q。則P，Q兩點間的距離是A B C D12已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，P為雙曲線左支上的任意一點。若的值為8a，則雙曲線離心率e的取值范圍是A(1,+) B(0,3 C(1,3 D(1,2第卷（非選擇題 共90分）二、填空題（每小題4分，共16分）13已知，且。則的值是_.14. 設正數(shù)數(shù)列an的前n項之和為b，數(shù)列

5、bn的前n項之積為cn，且bn+cn=1.則數(shù)列中最接近2000的數(shù)是_.15.不等式的解集為 _.16. 已知常數(shù)a>0，向量m=(0,a),n=(1,0)，經(jīng)過定點A(0,-a)以m+n為方向向量的直互與經(jīng)過定點B(0,a)以n+2+m為方向向量的直線相交于點P，其中，R。則點P的軌跡方程為_.三、解答題（共74分）17.（12分）甲乙兩位同學各有5張卡片。現(xiàn)以投擲均勻硬幣的形式進行游戲。當出現(xiàn)正面朝上時，甲贏得乙一張卡片；否則，乙贏得甲一張卡片，規(guī)定投擲硬幣的次數(shù)達9次或在此之前某人已贏得所有卡片時，游戲終止。設表示游戲終止時擲硬幣的次數(shù)。求取各值時的概率。18.（12分）設A，B

6、，C是ABC的三個內(nèi)角。若向量，且mn=.(1)求證：tanAtanB=；(2)求的最大值。19. （12分）如圖2，ABC的內(nèi)切圓I分別切BC，CA于點D，E，直線BI交DE于點G。求證：AGBG.20（12分）設f(x)是定義在R上的以2為周期的函數(shù)，且是偶函數(shù)，在區(qū)間2，3上，f(x)=-2(x-3)2+4。矩形ABCD的兩個頂點A，B在x軸上，C，D在函數(shù)y=f(x)(0x2)的圖象上。求矩形ABCI面積的最大值。21.（12分）如圖3所示，已知橢圓長軸端點A，B，弦EF與AB交于點D，O為橢圓中心，且|OD|=1，2DE+DF=0，。（1）求橢圓長軸長的取值范圍；（2）若D為橢圓的焦

7、點，求橢圓的方程。22（14分）已知數(shù)列xn中，x1=a, an+1=.（1）設a=tan，若，求的取值范圍；（2）定義在（-1，1）內(nèi)的函數(shù)f(x)，對任意x,y(-1,1)，有f(x)-f(y)=，若，試求數(shù)列f(xn)的通項公式。答案：第卷1B MNd xOy平面上的圖形關于x軸對稱，由此，MN的圖形面積只要算出在第一象限的圖形面積乘以2即可。由題意知MN的圖形在第一象限的面積為2C 過點D作DFCB，過點A作AEBC，聯(lián)結CE，ED，AF，BF，將棱錐補成棱柱。故所求棱錐面積為CECDsinECDh=3C 符合要求的取球情況共有四種：紅紅白黃黃，紅紅黃黃黃，紅白白白黃，紅白白黃黃。故不

8、同的取法數(shù)為4A 左邊=sinAcosA+sinAcosB+sinBcosA+sinBcosB=(sin2A+sin2B)+sin(A+B)=sin(A+B)cos(A-B)+sin(A+B),右邊=2sin(A+B).所以，已知等式可變形為sin(A+B)cos(A-B)-1=0.又因為sin(A+B)>0，所以cos(A-B)=1.故A=B。另一方面，A=B=300，C=1200也符合已知條件。所以，ABC是等腰三角形，但不一定是直角三角形。5A 設g(x)的各項系數(shù)和為s，則f(g(1)=3s2-s+4=188. 解得s=8或（舍去）。6B 當時，取得最小值(a+b)2.7B 因為

9、a2008+b2008a2006b2+b2006a2,又(a2006+b2006)(a2+b2)=a2008+b2008+a2006b2+b2006a22(a2008+b2008),且a2008+b2008=a2006+b2006,所以a2+b22.8C 如圖4所示，延長AP到E，使得AP=AE。聯(lián)結BE，作ED/BA交AC延長線于點D。由，得AC=CD。故四邊形ABED是平行四邊形。所以又，則9D 設a,b,c,d分別為b-m,b,b+m,又，則 因a,b,c,d為偶數(shù)，且0<a<b<c<d，可知m為6的倍數(shù)，且m<30.設m=6k，代入式得代入檢驗知k=4,b

10、=32.故m=24,b=32,a,b,c,d依次為8，32，56，98。所以a+b+c+d=194.10.A. 前99項的個數(shù)和為1+2+99=4950。而第1組是30，第100組的第一個數(shù)應為34950。11A 建立空間直角坐標系，有D(0,0,0),A(1,0,0),A1(1,0,1),C(0,1,0), B(1,1,0),D1(0,0,1). 設P(x,y,z)，AP的中點為由APA1C=0，MC/A1C，得解得同理， 故12C 根據(jù)雙曲線的定義有|PF2|-|PF1|=2a,|PF1|+4a+當且僅當，即|PF1|=2a時，上式等號成立。設點P(x,y)(-xa)，由雙曲線第二定義得|

11、PF1|=-ex-ac-a，即2ac-a.于是 又e>1，故1<e3.第卷132 14。1980。 依題意，有又bn+cn=1，則，即由c1=b1,c1+b1=1,可得c1=b1=故所以，數(shù)列中最接近2000的數(shù)是44×45=1980。15x|3-.原不等式即為令3=y2，不等式可化為由雙曲線的定義知，滿足上述條件的點在雙曲線(x-3)2-的兩支之間的區(qū)域內(nèi)。因此，原不等式與不等式組同解。所以，原不等式的解集為16y2+a2=2a2x2，去掉點(0,-a).設點P(x,y)，則AP=(x,y+a),BP=(x,y-a).又n=(1,0),m=(0,a)，故m+n=(,a)

12、,n+2m=(1,2a).由題設知向量AP與向量m+n平行，有(y+a)=ax.又向量BP與向量n+2m平行，有y-a=2ax.兩方程聯(lián)立消去參數(shù)，得點P(x,y)的軌跡方程是(y+a)(y-a)=2a2y2，即y2-a2=2a2x2，去掉點(0,-a).17.的取值為5，7，9，則P(=5)=, P(=7)=P(=9)=18（1）由mn=,得，即亦即4cos(A-B)=5cos(A+B).所以tanAtanB=（2）因，而所以tan(A+B)有最小值。當且僅當tanA=tanB=時，取得最小值。又tanC=-tan(A+B)，則tanC有最大值故的最大值為19如試題中圖2所示，聯(lián)結AI，DI

13、，EI。則EDC=DIE=(1800-C)=(ABC+BAC).又EDC=DBG+BGD，所以BGD=BAC=IAE。故四邊形AIEG內(nèi)接于圓，有AGI=AEI=900。所以20當0x1時，有f(x)=f(x+2)=-2(x-1)2+4；當-1x0時，有f(x)=f(-x)=-2(-x-1)2+4；當1x2時，有f(x)=f(x-2)=-2-(x-2)-12+4=-2(x-1)2+4.設D(x,t), C(2-x,t).則t=-2(x-1)2+4，易知S矩形ABCD=|AB|BC|=(2-2x)t=當且僅當，即時，矩形ABCD面積最大值21（1）建立如圖5所示的直角坐標系，D(-1,0)，弦E

14、F所在直線方程為y=x+1.設橢圓方程為由2DE+DF=0，知y1+y2=-y1,y1y2=-2由消去x得(a+b)y-2by+b-ab=0.則=4b4-4(a+b)(b-ab)=4ab(a+b-1)>0（因(a+b>1）由韋達定理知y消去y1得，即0<b2=解得1<a2<5. 故2<2a<2因此，橢圓長軸長的取值范圍為(2,2).(2) 若D為橢圓的焦點，則c=1. 故b2=a2-1.可得解得所以，橢圓方程為22（1）因x1=a>0，故所有xn>0.又，所以xn(0,1因為x3<，所以，即解得或x2>2.又x2(0,1，則0&

15、lt;x2<而，故因為2，所以或（2）令x=y=0，得f(0)=0.令x=0，得f(0)-f(y)=f(-y)，即f(-y)=-f(y).故f(x)為奇函數(shù)。注意到f(xn+1)=即所以，數(shù)列f(xn)是等比數(shù)列。故f(xn)=f(x1)2n-1=f(a)2n-1=2n-2.全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試題第一試試題一、選擇題（每空6分）1將20個乒乓球（不加區(qū)分）裝入5個不同的盒子里，要求不同的盒子中的球數(shù)互不相同，且盒子都不空，一共有_種不同裝法。A7 B14 C D7×5！2若對實數(shù)x10,+）恒有|logmx|2，則m取值范圍是_。A（0，1） B C D3橢圓的中心為原點O，

16、焦點在x軸上，過橢圓的左焦點F的直線交橢圓于P，Q兩點，且OPOQ，則橢圓的離心率e的取值范圍是_。A B C D4若p,qN+且p+q>2007, 0<p<q2007，(p,q)=1，則形如的所有分數(shù)的和為_.A B C D15已知A，B，C為ABC的三個內(nèi)角，記y=sin3A+sin3B+sin3C，則y的取值范圍是_。A0，2 B C-2，2 D6對任意一組非負實數(shù)a1,a2,an，規(guī)定a1=an+1，若有恒成立，則實數(shù)的最大值為_.A0 B. C1 D二、填空題（每題9分）7四棱錐PABCD的底面是直角梯形，腰DA垂直于底邊AB，PD是棱錐的高，PD=AD=AB=2C

17、D=1，則二面角APBC大小為_。8數(shù)列an滿足a1=1, a2=2, an+1=(n-1)(an+an-1)n2，則an的通項公式為an=_。9滿足條件：對任意xR,都有f(f(x)=x且f(f(x)+1)=1-x的函數(shù)f(x)有_個。10AM為拋物線的一條弦，C為AM的中點，B在拋物線上，且BC平行于拋物線的對稱軸，E為AC中點，DE/BC，且D在拋物線上，則_。11已知平面向量a=(,-1),b=，若存在非零實數(shù)k和角，使得c=a+(tan2-3)b, d=-ka+(tan)b，且cd，則k=_。（用表示）12已知復數(shù)z1,z2,z3滿足|z1|1,|z2|1,|2z3-(z1+z2)|

18、z1-z2|，則|z3|的最大值與最小值的差為_。三、解答題（每題20分）13設拋物線S的頂點在原點，焦點在x軸上，過焦點F作一條弦AB，設AO，BO延長線分別交準線于C，D，若四邊形ABCD的面積的最小值為8，試求此拋物線的方程。14給定a>2，數(shù)列an定義如下：a0=1, a1=a, an+1=，證明：對任何kN，有。15已知a>0, y>0，且0<x2+y2，求證：1+cosxycosx+cosy.第二試試題1見圖1，以ABC的三邊向外作正方形ABED，BCGF和CAIH，直線DI，EF，GH交成LMK，其中K=DIEF，M=DIGH，L=EFHG。求證：KLM中

19、KM上的中線LNBC。2設非負整數(shù)數(shù)列a1,a2,a2007滿足：ai+ajai+jai+aj+1，對一切i,j1,i+j2007成立。證明：存在實數(shù)x，使對一切1n2007，有an=nx.3試找出最大的正整數(shù)N，使得無論怎樣將正整數(shù)1至400填入20×20方格表的各個格中，都能在同一行或同一列中找到兩個數(shù)，它們的差不小于N。答案：第一試試題解答1D 問題等價于求方程x1+x2+x3+x4+x5=20滿足ij,xixj的正整數(shù)解組數(shù)，先考慮方程y1+y2+y3+y4+y5=5滿足0y1y2y3y4y5的非負整數(shù)解，設滿足y1+y2+yk=n滿足0y1y2yk的非負整數(shù)解組數(shù)為f(k,

20、n).則f(5,5)=1+f(4,5) =1+1+f(3,5)=2+f(2,2)+f(2,5)=7.所以所求方程正整數(shù)解有7×5！組。故選D。2.D 當x10時，logmx-2即lgxlgm2或lgxlgm-2(m>0且m1)，解得 1<m或3A 設橢圓方程為(a>b>0), P(r1cos,r1sin),Q, 即Q(-r2sin,r2cos)，因為P，Q在橢圓上，所以。設O到PQ距離為d.則，解得4C 記2007=n，往證當n=2時，顯然成立。設當n=k時成立，當n=k+1時，取所有滿足p+q=k, (p,q)=1的的和記為S，所有形如(p<k, (k

21、,p)=1)的和記為T，則Sk=Sk-1+T-S；再證S=T，在S中任取一個分數(shù)，T中恰有一對分數(shù)，與之對應，而且，這樣的對應是一一對應，所要Sk-1=Sk，所以5B 當A=B，C0時，y-2，設ABC，則C，所以sin3C0,所以y>-2；又當A=B=時，且y=sin3A+sin3B+sin3C6.C 因為，所以又當a1=a2=an時，“=”成立，所以最大為1。7900 延長AD，BC交于E，連結PE，則DE=DA，PA=PE=AE=2，所以PEPA，又PDAB，ABAD，所以AB平面PAE，所以PEAB，所以PE平面PAB。所以APBC為直二面角。8由an+1=(n-1)(an+an

22、-1)得an+1-nan=-an-(n-1)an-1，所以an+1-nan是首項為a2-a1=1，公比為(-1)的等比數(shù)列，所以an+1-nan=(-1)n-1，所以 在中用2，3，n-1代替n并相加得+(-1)n-2所以。90 假設存在這樣的函數(shù)f(x)，則由條件知它為單射，且f(f(0)=0=f(f(1)+1)，所以f(0)=f(1)+1. 又f(f(1)=1=f(f(0)+1)，所以f(1)=f(0)+1，與矛盾。10 設拋物線方程為，點C(x1,y1)把AM參數(shù)方程代入y2=2px得t2sin2+2(y1sin-pcos)t+-2px1=0，所以，又，所以，同理，所以11。由ab=(,

23、-1)=0得ab，又cd，則a+(tan2-3)b-ka+(tan)b=0,即ka2=(tan3-3tan)b2，所以k|a|2=(tan3-3tan)|b|2,由題設|a|=2,|b|=1。從而。12 由|2z3-(z1+z2)|z1-z2|得2|z3|-|z1+z2|z1-z2|和|z1+z2|-2|z3|z1-z2|，所以(|z1+z2|-|z1-z2|)|z3|(|z1+z2|+|z1-z2|).又|z1+z2|-|z1-z2|=當且僅當z1,z2輻角相差時，|z3|取最大值又|z3|0，當且僅當z2,z1輻角相差時，z3可以為0，所以|z3|min=0.13解 若拋物線的開口向右，設

24、其方程為y2=2px(p>0)，設，。因為A，O，C三點共線，所以，所以 同理，由B，O，D共線有，又因為A，F(xiàn)，B共線，所以y1y2=-p2,所以，所以點C坐標為，D坐標為。所以AD/BC/x軸，所以ABCD為直角梯形。由拋物線定義，|BF|=|BC|，|AF|=|AD|，設BFx=，則ABCD面積SABCD=|AB|2sin=，當且僅當時，SABCD取最小值2p2，由已知2p2=8，所以p=2。故所求拋物線方程為y2=±4x.14證明 記f(x)=x2-2，則f(x)在0,+）上是增函數(shù)，又，所以=a2-a>a，所以，依此類推有，再用數(shù)學歸納法證明原命題。（1）當k=

25、0,1時，不等式顯然成立。（2）設當k=m時，原不等式成立。當k=m+1時，因為其中f(0)(a)<a，所以<1+得證。15證明 （1）若0<x1，則0<xyy<，所以cosxy>cosy，又cosx1，所以1+cosxy>cosx+cosy；（2）若0<y1，同理可得1+cosxy>cosx>cosy；（3）若x>1,y>1，則xy,記，則0<t2,所以xyt2，所以cosxycost2,又cosx+cosy=2cos所以只需證1+cost22cost，即證f(t)=1+cost2-2cost0.這里，則,因為0<t<t2<，所以sint2>sint>,所以所以f(t)在上單調(diào)遞減，又而（因為），所以所以，所以f(t)>0。所以原不等式成立。第二試試題解答1 證明 取DI中點Q，作APBC于P。因為2 =所以AQBC，所以Q，A，P三點共線。延長AP至R，使AR=CG，則，又因為ADBE，所