第4講定積分的概念與微積分基本定理

1、第4講 定積分的概念與微積分基本定理2013年高考會(huì)這樣考】1. 考查定積分的概念，定積分的兒何意義，微積分基本定理.2. 利用定積分求曲邊形面積、變力做功、變速運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】定積分的考查頻率不是很高，本講復(fù)習(xí)主要掌握定積分的概念和幾何意義，使用 微積分基本定理計(jì)算定積分，使用定積分求曲邊圖形的面積和解決一些簡(jiǎn)單的物 理問(wèn)題等.01考基自主導(dǎo)學(xué)必考必記i教學(xué)相長(zhǎng)基礎(chǔ)梳理1. 定積分(1) 定積分的定義及相關(guān)概念如果函數(shù)冗兀)在區(qū)間a, b上連續(xù),用分點(diǎn)a=xo<x<xi-<xi<<xn=b9將區(qū) 間a, b等分成兀個(gè)小區(qū)間,在每個(gè)小區(qū)間竝一1，

2、兀上任取一點(diǎn) 刃=1,2,，斤)，作和式y(tǒng)(c)ax=f/=1. i字g),當(dāng)一8時(shí)，上述和式無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)幾0在區(qū)間儀，b上的定積分，記作卩兀皿.在f(x)dx中，。與b分別叫做積分卜限與積分上限，區(qū)間s，創(chuàng)叫做積分區(qū)間,/u)叫做被積函數(shù)，丄叫做積分變量，/u)clr叫做被積式.(2) 定積分的性質(zhì)©j6kf(x)(h=khf(x)dx(k 為常數(shù)).3a fl/i 切dx=-fi(x)dx±f2(x)dx.a4 f(x)dx=+jb/(x)dx(中 a<c<b).aac2. 微積分基本定理如果倫)是區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，并月.fm f

3、(x)dx = f(b)-f(a),這個(gè)結(jié)論叫微積分基本定理，又叫牛頓一萊布尼茲公式.3. 定積分的應(yīng)用(1)定積分與曲邊梯形的而積沱積分的概念是從曲邊梯形面積引入的，但是定積分并不一定就是曲邊梯形的面積.這要結(jié)合具體圖形來(lái)定:y r=/(x)0| a設(shè)陰影部分面積為s.®s=f(x)dx；s=沁皿; a(§)s= 7 dx 7ck；s=沆c)dx pg(x)dx=g(x)dx(2)勻變速運(yùn)動(dòng)的路程公式作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過(guò)的路程5,等于其速度函數(shù)v = v(o(v(oo)在時(shí)間區(qū)間a, b上的定積分，即s= bv(t)dr.=助 < < 博一種思想廈積分基

4、本晝想的核空走上以.直代曲二丄甩上直f艮二的.歩驟解決:尢限二過(guò)程矽回.題?其龍塗是上分.割求近似.，求祀舉扱隊(duì)二?利用運(yùn)程方法烹推導(dǎo)睦的表甌積. 和佟積公式簣恩檜斯賞經(jīng)把對(duì)數(shù)的發(fā).明亠解析丿i何.的.創(chuàng)始.叢良微枳分的建立并. 栓為1z世紀(jì)-數(shù)學(xué)戲二左成就：三條性質(zhì)(1) 常.數(shù)可提到積分號(hào).生;(2) 祀墓的積分簣土積分的枳羞;.(3) .積.分:可分段逛彳工.一個(gè)公式由微積分基本定理可知求定積分的關(guān)鍵是求導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)，由此可知，求導(dǎo)與積一分是亙?yōu)槟孢\(yùn)一算:測(cè)1 (2011-福建)p(ex + 2x)dx 等于().丿0a. 1d. e+1解析1 (ev + 2x)dx答案 c2. (2

5、011-湖南)由直線x=-7cy=0與曲線=c o s兀所圍成的封閉圖形的而積為()a.*b1da/5解析片-彳cos xdx = 2 f 彳ocos xdx = 2sin xlo = y3.答案3(2011山東)rhilli線=/歹=疋圍成的封閉圖形面積為( )1apb-4cl小7d12解析# -條4寬為2的矩形oabc內(nèi)，曲線y = sin x(0w兀冬兀)與x9y =對(duì),3 得交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0), (1j),因此所求圖形面 v = r,積為 s = x2 - x3)dx = 0姣幸 a4 口賀圖，在一個(gè)長(zhǎng)為兀,軸i韋i成如圖所示的陰影部分，向矩形oabc內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)（該點(diǎn)落在矩形oab

6、c內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的）,則所投的點(diǎn)落在陰影部分的概率是（)b.271解析陰影部分的面積s=cosx$= 一（一1一）=丿02,矩形的面積為2九陰影部分的面積矩形面積2 1二石&做應(yīng)選a.答案a5.（人教a版教材習(xí)題改編）汽車以y=（3r+2）m/s作變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，在第1 s至第2 s間的1 s內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程是.解析2 + 2)dt = 1|r2 + 力= x4 + 4-l| + 2l= 10-|12kaoxiangtanjiudaoxi 研析考向i案例突破修案猜向探究導(dǎo)析考向一定積分的計(jì)算【例1】計(jì)算下列積分r2(1)2/1 ro(2)sin(cosn(5)v x工;ri(xcos

7、jc5sin x2) djc.當(dāng)原函數(shù)較難求時(shí)，可考慮由其幾何意義解得.【訓(xùn)練1122工丄sin可d工十 jo /7ri(;1 .smjc'jl x djc=j 1jr"21 cos 丁 i9dh0乙3=衛(wèi)_丄o mrl可利用面積求得j 1因此原式=銖_2v= 7 < +2rr= vl (兀一l)'丫上0jy = 1 ( x 1) j妙01 (父一1)20 ov =1 ( x 1 ) 2i由圖形可知:j ov仝 +2 rr=7t4由)j=xcosx5sinx為奇函數(shù)1 (xcosx5sinx+2)(k= p 12dx=2 兀打=4. 丿-1方法總結(jié)(1)利用微積

8、分基本定理求定積分，其關(guān)鍵是求出被 積函數(shù)的原函數(shù)，求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)與求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是 互逆運(yùn)算，因此應(yīng)注意掌握一些常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(2)根據(jù)積分的幾何意義可利用面積求積分.若y=./(兀)為奇函數(shù)，則=0.考向二利用定積分求面積【例2】求下圖屮陰影部分的面積審題視點(diǎn)觀察圖象要仔細(xì)，求出積分上下限，找準(zhǔn)被積函數(shù).解方程組y=x4,手=2兀，兀=2v=-2 * 或x=sy=4s陰彬=80o6=18.cy/2xdx8+ c2y2xdx+2 丿o丿o方法總結(jié)求由兩條曲線圍成的圖形的面積的解題步驟（1）畫出圖形，確定圖形的范圍，通過(guò)解方程組求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo).定出積分的 上、下限；（2）確定被積函數(shù)

9、，特別要注意分清被積函數(shù)的上、下位置；（3）寫出 平面圖形面積的定積分的表達(dá)式；（4）運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分，求出平 面圖形的面積.【訓(xùn)練2】求|11|線y=眾,)=2兀，y=*所圍成圖形的面積.)=&,y=2x,y=2x1 得交點(diǎn)b(3, 1).=3 + 6 + 3=考向三定積分的應(yīng)用【例3 一質(zhì)點(diǎn)在直線上從時(shí)刻f=0(s)開始以速度p =4r+3(m/s)運(yùn)動(dòng).求: (1)在丫=4$的位置； (2)在/=4 s內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程.審題視點(diǎn)理解函數(shù)積分后的實(shí)際意義，確定被積函數(shù).解(1)在時(shí)刻(=4時(shí)該點(diǎn)的位置為j(r2-4r+3)dr= |jr3、.一4即在t=4 s時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)距出

10、發(fā)點(diǎn)亍m.(2)因?yàn)椤?一4汁3 = (/1)(13),所以在區(qū)間0,1及3,4上的叩)20,在區(qū)間1,3上，叩)w0,所以f=4s時(shí)的路程為-4r+3)dr2?+3rj o+ls= f(r2 丿o1 j"+3”pl +(-2?+3=|+|+|=4(m),即質(zhì)點(diǎn)在4s內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程為4 m.方法總結(jié)由$ =如+ ga"通過(guò)求導(dǎo)可推出v = vo +川，反之根據(jù)積分的幾何意義, 由v = v(t)(v(t)o)可求出f a,切時(shí)間段內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程.【訓(xùn)練3已知甲、乙兩車曲同一起點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，并沿同一路線(假定為直線) 行駛，甲車、乙車的速度曲線分別為“甲和o乙(如圖所示).那么對(duì)

11、于圖屮給定的 to和門，下列判斷中一定正確的是().b. 門時(shí)刻后，甲車在乙車后面c. 在fo時(shí)刻，兩車的位置相同d. fo時(shí)刻后，乙車在甲車前面解析 可觀察出曲線。甲，直線t = tx與/軸圍成的面積大于曲線q乙，直線 與/軸圍成的面積，故選a.答案akaotizhuanxiangtupo考題展示i名師解讀03考題專項(xiàng)突破難點(diǎn)突破8積分的綜合應(yīng)用定積分的考查在試卷中不是必然出現(xiàn)的，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，試 題難度不人，在近兩年的高考中，考查的i般是定積分的計(jì)算和定積分在求曲邊 圖形面積中的應(yīng)用等，如2011年福建卷，陜西卷考查的是定積分的計(jì)算，新課 標(biāo)全國(guó)卷、湖南卷、山東卷考查的是

12、定積分求曲邊形的面積.一、積分的幾何意義【示例】已知廠0,則j*rp?ch =(si)-找原函數(shù)直接汁算校堆尋求兀他方法i積分的幾何意義血該式又轉(zhuǎn)化為求半圓的面被積函數(shù)q0> 0 <=>2 2 2y = r .<：0./ + v2市此口jtfl曲線y =>/ -；r2為半圓則i :右些定積分的計(jì)算比接使用微積分基本定理/j :困堆.這時(shí)又以轉(zhuǎn)化為根據(jù)其兒何意義進(jìn)行.反感)f：數(shù)v=."，：)在區(qū)間匕的定積分是函數(shù)v： ；=/( x)的圖象與直線：r.= “：r =":r軸所i時(shí)成匚 1的曲邊圖形面積的代數(shù)和.二、積分與概率【示例】(2010-陜西)從如圖所示的