第3講圓錐曲線(xiàn)中的綜合問(wèn)題

1、錐曲線(xiàn)中的綜合問(wèn)題規(guī)范專(zhuān)練 hui fan zhuan lian.»熱點(diǎn)o圓錐|線(xiàn)屮的最值與范圍問(wèn)題訓(xùn)練捉示:求解授值與范圍問(wèn)題的關(guān)鍵是尋找冃標(biāo)函數(shù)或關(guān)系式,將所求量轉(zhuǎn)化求解.1. 已知圓m: (x+vta)2+y2=16a (a>0)及定點(diǎn)n(va, 0),點(diǎn)p是圓m上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)g在mp上,且 滿(mǎn)足|gp| = |gn|,g點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)c.求曲線(xiàn)c的方程；(2)若點(diǎn)a (1, 0)關(guān)于直線(xiàn)x+y-t=0(t>0)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在曲線(xiàn)c上，求a的取值范圍.所以a的取值范圍為豐,+8).2. 已知拋物線(xiàn)c:x2=4y, f為其焦點(diǎn).設(shè)p為直線(xiàn)1: x-y-2=0上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)p作

2、拋物線(xiàn)c的兩條切線(xiàn)pa, pb,當(dāng)點(diǎn)p(x°, y0)為直線(xiàn)1上的定點(diǎn)時(shí),求直線(xiàn)ab的方程；(2)當(dāng)點(diǎn)p在直線(xiàn)1上移動(dòng)時(shí)，求|af| |bf|的最小值.解：(1)拋物線(xiàn)c的方程為x2=4y,即y±x；求導(dǎo)得=|x.設(shè) a (xi, yi), b(x2, y2)(其中 yi=, y2=?), 則切線(xiàn)pa, pb的斜率分別為lx】,二?.所以切線(xiàn)pa的方程為y-y尸學(xué)(x-xj, 即 y二汽卑+丫1,即 xix-2y-2yi=0.mv同理，可得切線(xiàn)pb的方程為x2x-2y-2y2=0. 因?yàn)榍芯€(xiàn)pa, pb均過(guò)點(diǎn)p (xo, y0), 所以 xixo-2yo-2yi=0, x2

3、xo-2yo-2y2=o.所以(xi, yi), (x2, y2)為方程 xox-2yo-2y=0 的兩組解. 故直線(xiàn)ab的方程為xox-2y-2yo=o.(2)由拋物線(xiàn)定義可知| af | =yi+l, | bf | =y2+l, 所以 |af| ibf| = (yi+1) (y2+1) =yiyz+ (yi+y2)+1.聯(lián)立方程卜吟洱=6i 礦=4y,消去 x 整理得 y2+(2yo-x5)y+4=o,由根與系數(shù)的關(guān)系可得*+丫2胡-2y(), yiy2=j'5,所以 |af| |bf| =yiy2+ (yi+y2) +i=v|+r5-2yo+l.又點(diǎn)p(xo, yo)在直線(xiàn)1上，

4、所以xo=yo+2.所以 m+坊 -2刃+1=2 殆+2y°+5=2 (y°+2+;.所以當(dāng)y。二二時(shí),|af|ibf|取得最小值，且最小值為»熱點(diǎn)爭(zhēng)圓錐曲線(xiàn)中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題 訓(xùn)練捉示：rfl直線(xiàn)方程確定定點(diǎn)，若得到直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式:y-yo=k(x-xo),則直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn) (xo, yo);若得到了直線(xiàn)方程的斜截式:y=kx+m,則宜線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)(0, m).證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變 量)無(wú)關(guān);也可令系數(shù)等于零，得出定值.3. 已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)a(4, 0),且在y軸上截得弦mn的長(zhǎng)為8.(1) 求動(dòng)圓圓心

5、的軌跡c的方程；(2) 已知點(diǎn)b(-l, 0),設(shè)不垂直于x軸的直線(xiàn)1與軌跡c交于不同的兩點(diǎn)p, q,若x軸是zpbq 的角平分線(xiàn)，證明直線(xiàn)1過(guò)定點(diǎn).由題意,|o】a| = |o】m|,當(dāng)0i不在y軸上時(shí)， 過(guò)作oh丄mx交mn于h, 則h是mn的中點(diǎn),所以又尸+嚴(yán), 所以企嚴(yán)4嚴(yán)二點(diǎn)化簡(jiǎn)得 y8x(xh0).又當(dāng)oi在y軸上時(shí),0占0重合，點(diǎn)01的坐標(biāo)(0, 0)也滿(mǎn)足方程y2=8x, 所以動(dòng)圓闘心的軌跡c的方程為y2=8x.證明：如圖，由題意，設(shè)直線(xiàn)1的方程為y二kx+b(kh0),p(x), y】)，q(x2, y2),將 y=kx+b 代入 y2=8x 中，得 k2x2+(2bk-8)

6、 x+b2=0, 其中二-32kb+64>0.由根與系數(shù)的關(guān)系得,xi+x?二學(xué)，x1x2,因?yàn)閤軸是zpbq的角平分線(xiàn),所以詮竊 即 yi(x2+l)+y2(xi+l)=0,(kxi+b) (x2+l) + (kx2+b)(x1+1)=o,2kx)x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,將代入，并-整理得2kbs(k+b) (8-2bk)+21?b=0, 所以k二-b,此時(shí)a>0,所以直線(xiàn)1的方程為y=k(x-l),所以直線(xiàn)1過(guò)定點(diǎn)(1,0).4. 已知直線(xiàn)1 :y二x+愿,圓0:x2+y2=5,橢圓e:±+g二1 (a>b>0)的離心率e二于,直線(xiàn)1被圓

7、0截得的弦長(zhǎng)與橢圓的短軸長(zhǎng)相等.(1) 求橢圓e的方程；(2) 過(guò)圓0上任意一點(diǎn)p作橢圓e的兩條切線(xiàn)，若切線(xiàn)都存在斜率，求證兩切線(xiàn)斜率之積為定 值.解：(1)設(shè)橢圓半焦距為c,圓心0到1的距離 則1被圓0截得的弦長(zhǎng)為 所以b二憶由題意得id2 =+ c2a又 b 二 vz所以 a2=3, b2=2.所以橢圓e的方程為亍+1.證明：設(shè)點(diǎn)p(xo, yo),過(guò)點(diǎn)p的橢圓e的切線(xiàn)lo的方程為y-yo=k(x-xo), 整理得 y二kx+yo-kxo,聯(lián)立肓線(xiàn)1。少橢圓e的方程得消去 y 得 2 kx+ (yo-kxo) 2+3x2-6=0,整理得(3+2k2) x"+4k (y0-kx0)

8、 x+2 (kx()-y(>)'-6二0,因?yàn)?。與橢圓e相切，所以 a = 4k (yo-kxo) 2-4 (3+2k2) 2 (kxo-yo) 26二 0,整理得(2-)k2+2xoyok-(4-3)=0,設(shè)滿(mǎn)足題意的橢閲e的兩條切線(xiàn)的斜率分別為kb k2,則kk二-器.因?yàn)辄c(diǎn)p在圓0上，所以好+藍(lán)=5,所以 kik2= v8=l -所以?xún)蓷l切線(xiàn)斜率z積為常數(shù)1.»熱點(diǎn)9圓錐曲線(xiàn)中的存在性問(wèn)題訓(xùn)練提示:存在性問(wèn)題，先假設(shè)存在，進(jìn)行一系列推理，若推理正確則存在，若得出矛盾則不存 在.5. 已知橢圓c:各+召二1 (a>b>0)的右焦點(diǎn)為f,離心率為扌，過(guò)點(diǎn)

9、f且與x軸垂肓的肓線(xiàn)被橢圓截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為込0為坐標(biāo)原點(diǎn).(1) 求橢圓c的方程；(2) 設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為n,是否存在直線(xiàn)1交橢圓于p, q兩點(diǎn)，使點(diǎn)f為apqn的垂心?若存在,求出直線(xiàn)1的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解得m二-3或m=l.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)m二1時(shí)，apqn不存在，故舍去m=l.當(dāng)m二-=時(shí)符合，直線(xiàn)1的方程為y二x-=.6. 已知橢圓m的左、右焦點(diǎn)分別為fi(-a 0), f2(謂,0),且拋物線(xiàn)x2=4y的焦點(diǎn)為橢圓m的 頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)p(0, 2)的直線(xiàn)1與橢圓m交于不同的兩點(diǎn)a, b.(1)求橢圓m的方程；求aoab血積的収值范圍；若saoab=|,是否存在大于1的常數(shù)m,使得橢圓

10、m上存在點(diǎn)q,滿(mǎn)足必二皿(心+碼)？若存在, 試求出m的值;若不存在,試說(shuō)明理由.解:(1)由題意得拋物線(xiàn)x2=4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0, 1).所以橢圓m的一個(gè)頂點(diǎn)為(0,1),又其焦點(diǎn)為 f)0), f?.(¥, 0).故 c二、吟,b二 1, a=2.所以橢圓m的方程為斗+二1.(2)存在.當(dāng)直線(xiàn)1的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)1即為y軸，此吋a,b為橢圓m短軸的兩個(gè)端 點(diǎn),a, b, 0三點(diǎn)共線(xiàn)，顯然不符合題意.當(dāng)直線(xiàn)1的斜率存在時(shí)，設(shè)為k,則直線(xiàn)1的方程為y二kx+2.y = kx + 2,消去 y 得 x2+4 (k2x2+4kx+4) -4=0, 整理得(4k2+l) x2+16kx

11、+12=0,設(shè)as, yj, b(x2, y2),由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得,xi+x?二畢,x嵌卡rh *1*1va *(xlx2)2= 5 + x2)mx.x2=(器)匚4 x 三4林旳(皿)8(4旳)寺故 |x1-x2 =| ab| =v 14 k2 xl 一 x2而點(diǎn)0到總線(xiàn)1的距離c1二亠.所以aoab的面積sx設(shè)t二匸恥30,故k亠二,所以呂4f 4因?yàn)閠>0,所以t+沖卞仔4,當(dāng)且僅當(dāng)14 即t=2時(shí)取得等號(hào)，此時(shí)k2=£t解得k=±rr, s取得授大值1.故zxoab面積的取值范圍為（0, 1.v -s 二 |（2）可知,s/oab= 二即 5j

12、4fc2-3=4k2+l,兩邊平方整理得 4k-23k2+19=0,x解得k2=i或k2=¥.設(shè) q(x°,y°),由隔ig+的),解得 xo=m（xi+x2）二竽, yo=m(yi+y2) =m(kxi+2+kx2+2) =mk(xi+x2)+4；陰佗由點(diǎn)q在橢圓m上可得上二_+(*)匕1,tft *rl整理得 64km2+16m2= (4k2+l)2,n解得n?二；1故話(huà)或m2=.因?yàn)閙>l,故m晉.所以存在實(shí)數(shù)m公,使得橢圓m上存在點(diǎn)q,滿(mǎn)足厲二譏加+侗).拓展訓(xùn)練tuo zhan xun lian類(lèi)型一:圓與圓錐曲線(xiàn)的綜合1. 設(shè)拋物線(xiàn)c:x2=2p

13、y (p>0)的焦點(diǎn)為f,準(zhǔn)線(xiàn)為1, a為c上一點(diǎn)，已知以f為圓心,fa為半徑的 圓f交1于b,d兩點(diǎn).若zbfd=90° , aabd的面積為4說(shuō),求p的值及圓f的方程;(2)若a, b, f三點(diǎn)在同一直線(xiàn)m上,直線(xiàn)n與m平行，且n與c只冇一個(gè)公共點(diǎn),求坐標(biāo)原點(diǎn)到 距離的比值.解：(1)由已知可得bfd為等腰直介三介形，| bd | =2p,圓f的半徑| fa | =v7p,又點(diǎn)a到1的距離 d=|fa|=v7p所以耳bd| - d=4vz bp7><2pxv7p=4v7,ab止所以p二-2 (舍去)或p=2所以圓f的方程為x2+(y-l)2=8(2)因?yàn)閍, b

14、, f三點(diǎn)在同一直線(xiàn)m上，所以ab為圓f的直徑,zadb=90° . 又由拋物線(xiàn)定義知| ad |二| fa |二耳ab |,所以zabd=30° ,m的斜率為甘或?qū)ぎ?dāng)m的斜率為于時(shí),可設(shè)n方程為y二x+b.代入x2=2py得px-2pb=0,由于n少c只有一個(gè)公共點(diǎn)，故a wp'+8pb二0a又因?yàn)閙的截距bl?罟二3,所以處標(biāo)原點(diǎn)到1、n的距離的比值為3.當(dāng)m的斜率為孚時(shí)，由圖形對(duì)稱(chēng)性知，坐標(biāo)原點(diǎn)到m、n的距離z比仍為3.綜上，坐標(biāo)原點(diǎn)到m, n距離的比值為3.2. 平面直角坐標(biāo)系中,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，給定兩點(diǎn)a(l,0),b(0,-2),點(diǎn)c滿(mǎn)足os 陽(yáng)+ b如,

15、 其中 a, b wr,且 a-2p=l.(1)求點(diǎn)c的軌跡方程；a fl設(shè)點(diǎn)c的軌跡與橢圓-+§=1 (a>b>0)交于兩點(diǎn)m, n,且以mn為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，求證:寺+寺ia- 占為定值.解:設(shè) c(x, y),由oda s4+b 0乞可得(x, y) = a (1, 0) + p (0, -2),所以 代入a -2 0=1有x+y=l,即點(diǎn)c的軌跡方程為x+y=l.證明：山/fj + y = 1 £. => (a2+b *) xj"2a2x+az"a*b2=0.十汁1設(shè) m(xb yi), n(x2, y2),則x1+x2電呂戶(hù)兇

16、為以mn為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)0, 所以0陰 0n=0=>xix2+yiy2=00x1x2+ 仃一xi) (i-x2) =1-(x1+x2) +2xix2習(xí)去+2二 0=>a2+b2-2a2b2=0,所以右二二2為定值a e類(lèi)型二:圓錐曲線(xiàn)屮的最值問(wèn)題3. (2015鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測(cè))己知?jiǎng)狱c(diǎn)p到定點(diǎn)f(l, 0)和到總線(xiàn)x=2的距離之比為設(shè)動(dòng)點(diǎn)p的軌跡為曲線(xiàn)e,過(guò)點(diǎn)f作垂直于x軸的直線(xiàn)與|11|線(xiàn)e相交于a, b兩點(diǎn)，直線(xiàn)1 :y二mx+n 與曲線(xiàn)e交于c, d兩點(diǎn),與線(xiàn)段ab相交于一點(diǎn)(與a, b不重合).求曲線(xiàn)e的方程；(2)當(dāng)直線(xiàn)1為圓x2+y2=l相切吋，四邊形acbd的面積

17、是否有最大值，若有，求出其最大值及對(duì) 應(yīng)的直線(xiàn)1的方程;若沒(méi)冇，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：設(shè)點(diǎn)p(x, y),由題意可得1 c 弋 整理可得寧+yl,曲線(xiàn)e的方程是f+y2=l.(2)有最大值，設(shè) c (xi, yi), d(x2, y2), 由已知可得|ab|rz當(dāng)m=0時(shí),不合題意.當(dāng)mho時(shí),由直線(xiàn)1與圓x2+y2=l相切,町得丿"二1,即m2+l=n-rl消去 y 得(m證明:設(shè)過(guò)a點(diǎn)的直線(xiàn)為-k g，與拋物線(xiàn)聯(lián)立噸二xt 整理得 x2-kx+ka+l=0, a =k2-4ak4=0, 所以 ki+k2=4a, ki k2=-4 為定值.拋物線(xiàn)方程y=x2+l,求導(dǎo)得y =2x, 設(shè)切

18、點(diǎn)p, q的坐標(biāo)分別為(xp, yp), (xq, yq), 則 ki=2xp, kz=2xq,+7)x2+2mnx+n2-l=0.a =4m2n2-4 (n?+l)(n2-l) =2m2>0,伽a2.r曲川7s 四邊形 acbd=7 i ab i ix2-x11 二 l；：t丄 |餉|2 h 話(huà)當(dāng)且僅當(dāng)21m|二古， 即m=±時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)四邊形abcd的面積的最大值為n=±7r,經(jīng)檢驗(yàn)可知，直線(xiàn)me vz.71 . ty=-rxr和直線(xiàn)y=rx-r符合題意.4. 如圖,過(guò)x軸上動(dòng)點(diǎn)a (a, 0)引拋物線(xiàn)y=x2+l的兩條切線(xiàn)ap, aq.切線(xiàn)斜率分別為匕和k2

19、, 切點(diǎn)分別為p, q.求證:ki k2為定值，并且直線(xiàn)pq過(guò)定點(diǎn);記8pq的面積為s沁當(dāng)簽最小時(shí),求丘矗的值.所以xp+xq孕才二2a, xpxq二蘆ah直線(xiàn)pq的方程:y-y仝蘭(xx)由yp二坊+1, y<】二對(duì)+1,得到 y=(xp+xq)x-xpxq+l,整理可得y=2ax+2,所以直線(xiàn)pq過(guò)定點(diǎn)(0, 2).解：設(shè)a到pq的距離為d. s収二|pq|x7,設(shè) t=v4a: + 11,當(dāng)且僅當(dāng)tr公時(shí)取等號(hào)，此時(shí)a二土因?yàn)榕?a q= (xp-a, yp) (xq-a, yq) =xpx<ra (xp+xj +a2+ypyq, ypyq= (2xpa+2) (2xqa+2

20、) =4a2xpxq+4+4a (xp+xq) =4a2+4,所以ap a (?=3a2+3=7.類(lèi)型三:證明問(wèn)題5. 已知曲線(xiàn) c: (5-m) x2+ (m-2) y2=8 (mr).若illi線(xiàn)c是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，求m的取值范圍；設(shè)m=4,曲線(xiàn)c與y軸的交點(diǎn)為a, b (點(diǎn)a位于b的上方),直線(xiàn)y二kx+4與曲線(xiàn)c交于不同 的兩點(diǎn)m, n,直線(xiàn)y=l與直線(xiàn)bm交于點(diǎn)g,求證:a, g, n三點(diǎn)共線(xiàn).解：(1) illi線(xiàn)c是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，(5-?n > 8當(dāng)且僅當(dāng) 用2 > 8解得z<m<5,3凱廠(chǎng)他:'所以m的取值范圍是(l 5).當(dāng)m=4時(shí),曲線(xiàn)c的方程為x2+2y2=8,點(diǎn)a, b的坐標(biāo)