2022年新意不斷亮點頻現(xiàn)高考數(shù)學函數(shù)題解析

1、o 0.11y（毫克）t（小時）新意不斷亮點頻現(xiàn)- 高考函數(shù)題賞析許曉進共青團安溪縣委員會362400 “以能力立意” 是新高考數(shù)學命題的指導思想高考在考查數(shù)學基礎(chǔ)知識的同時，注重數(shù)學學科的內(nèi)在聯(lián)系和知識的綜合性，不刻意追求知識的覆蓋面從學科的整體高度和思維價值的高度考慮問題，在知識網(wǎng)絡(luò)的“交匯點”處設(shè)計試題，是 高考數(shù)學命題的一大亮點，而函數(shù)作為高中數(shù)學的核心內(nèi)容，許多知識都可與其建立聯(lián)系，從而圍繞這根紅線設(shè)計出了一大批內(nèi)涵豐富、立意新穎、表述脫俗、背景鮮活、設(shè)問獨特的好試題下面分析函數(shù)試題的幾個新亮點亮點 1：以圖像和表格形式呈現(xiàn)函數(shù)問題，考查學生對函數(shù)定義本質(zhì)的理解函數(shù)的表示形式主要有三

2、種形式，即表格、 圖像和解析式， 而表格和圖像兩種形式表達函數(shù)則較為直觀、形象， 這樣命題既考查考生對函數(shù)定義的理解，又考查考生的閱讀理解能力和分析、轉(zhuǎn)化、解決問題的能力，似有“返璞歸真”之意，體現(xiàn)高考對基礎(chǔ)知識的考查力度和考查形式例 1（湖北文理）為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為116t ay（a為常數(shù)），如圖所示據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：（i）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系式為；（ii）據(jù)測定，當空氣中每立方

3、米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進教室，那么，藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過小時后，學生才能回到教室解析 ： （i）由題意和圖示， 當00.1t時，可設(shè)ykt（k為待定系數(shù)） ， 由于點(0.1,1)在直線上， 將其代入解得10k；同理，當0.1t時，可得0.11110.101610aaa1101000.110.116tttyt為所求（ii ）由題意可得10.254y，即得110400.1tt或110111640.1tt1040t或0.6t，由題意至少需要經(jīng)過0.6小時后，學生才能回到教室點評 ：本題屬于閱讀理解型試題，主要考查正比例函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)、分段函數(shù)的基本知識以及數(shù)形結(jié)合思想

4、和待定系數(shù)的方法，考查考生的閱讀理解能力、識圖能力、 運算能力和運用函數(shù)思想解決實際應用問題的能力本題圖文并茂，形象直觀，以圖像呈現(xiàn)內(nèi)容，讓精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -考生從圖像當中提煉出有用信息，并加以解決，避免知識單一化，實現(xiàn)知識的整合例2（北京理）已知函數(shù)( )f x，( )g x分別由下表給出則 (1)f g的值為；滿足( )( )f g xg fx的x的值是解析 ： (1)f g=(3)1f；當 x=1 時，(1)1, (1)(1)3f gg fg，不滿足條件；當

5、x=2 時，(2)(2)3, (2)(3)1f gfg fg，滿足條件；當 x=3 時，(3)(1)1, (3)(1)3f gfg fg，不滿足條件 只有 x=2 時，符合條件點評 ：本題形式新穎、 靈活，以表格形式出現(xiàn)， 主要考查考生對圖表的識別和理解能力，考查函數(shù)的基本問題，屬于送分題亮點 2：以立體幾何為載體考查函數(shù)問題，實現(xiàn)知識間的“交匯融合”例 3（廣東理）如圖1 所示，等腰三角形abc 的底邊 ab=66，高 cd=3 ，點 e 是線段 bd 上異于 b、 d 的動點，點f 在 bc 邊上，且efab ，現(xiàn)沿 ef 將 bef 折起到pef 的位置，使peae，記 bex，( )v

6、 x表示四棱錐p-acef 的體積（1）求( )v x的表達式；（2）當x為何值時， v(x) 取得最大值？（3）當( )v x取得最大值時，求異面直線ac 與 pf 所成角的余弦值圖 1 解析 ： （1）由折起的過程可知，pe平面 abc ，易得：9 6abcs，2265412befbdcxssx， v(x)=261(9)312xx（03 6x） （ 2）261( )(9)34vxx， 所以(0,6)x時，( )0v x， v(x) 單調(diào)遞增；636x時( )0v x，( )v x單調(diào)遞減；因此6x時，( )v x取得最大值126（ 3）過 f 作 mf/ac 交 ad 與 m,則,2121

7、2bmbfbebembbeabbcbdab，pm=62，x1 2 3 ( )f x1 3 1 x1 2 3 ( )g x3 2 1 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -665494233 6mfbfpfbc，在 pfm 中，84721cos2427pfm，異面直線ac 與 pf 所成角的余弦值為17點評 ：本題主要考查函數(shù)、函數(shù)極值、導數(shù)及其應用、幾何體體積計算、空間兩異面直線所成角的計算等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合思想以及空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力本題以立體幾何搭建平臺，

8、首先建立函數(shù)關(guān)系( )v x，是解決本題的關(guān)鍵，然后以導數(shù)作為工具求最值，實現(xiàn)知識的遷移和應用，思維跨度比較大，但順利自然，貼切而又生動，真正實現(xiàn)了知識之間的融合與交匯，考查了學生的綜合思維品質(zhì)和駕馭數(shù)學知識解決數(shù)學問題的能力另外，第（3）問還可以用向量方法去解決，此處略例 4（湖南理）如圖2，某地為了開發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風景點p和居民區(qū)o的公路，點p所在的山坡面與山腳所在水平面所成的二面角為（090） ，且2sin5，點p到平面的距離0.4ph（km） 沿山腳原有一段筆直的公路ab可供利用從點o到山腳修路的造價為a萬元 /km，原有公路改建費用為2a萬元 /km當山坡上公路長度為lk

9、m（12l）時，其造價為2(1)la萬元已知oaab，pbab，1.5(km)ab，3(km)oa（i）在ab上求一點d，使沿折線pdao修建公路的總造價最??；（ii）對于（ i）中得到的點d，在da上求一點e，使沿折線pdeo修建公路的總造價最?。╥ii ）在ab上是否存在兩個不同的點d，e，使沿折線pd e o修建公路的總造價小于（ ii）中得到的最小總造價，證明你的結(jié)論圖 2 解析 ：（i） 如圖 3，ph ，hb，pbab， 由三垂線定理逆定理知，abhb，所以pbh是山坡與所成二面角的平面角，則pbh，1sinphpb設(shè)(km)bdx，01.5x則2221pdxpbx12，a e d

10、 b h p 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -記總造價為1( )f x萬元，據(jù)題設(shè)有2211111( )(1)(3)224fxpdadao axxa21433416xaa當14x，即1(km)4bd時，總造價1( )fx最?。╥i）設(shè)(km)aey，504y，總造價為2( )fy萬元，圖 3 根據(jù)題設(shè)有222131( )13224fypdyya2433216yyaa則22123yfyay，由2( )0fy，得1y當(0 1)y，時，2( )0fy，2( )fy在(01)，內(nèi)是減函

11、數(shù)；當514y，時，2( )0fy，2( )fy在514，內(nèi)是增函數(shù)故當1y，即1ae（km）時總造價2( )fy最小，且最小總造價為6716a萬元（iii ）解法 1：不存在這樣的點d，e事實上， 在ab上任取不同的兩點d，e為使總造價最小，e顯然不能位于d與b之間故可設(shè)e位于d與a之間， 且bd=1(km)x，1(km)aey，12302xy，總造價為s萬元，則221111113224xysxya類似于（i） 、 （ii ）討論知，2111216xx，2113322yy，當且僅當114x，11y同時成立時，上述兩個不等式等號同時成立，此時1(km)4bd，1(km)ae，s取得最小值671

12、6a，點de，分別與點de，重合，所以不存在這樣的點de，使沿折線pd e o修建公路的總造價小于（ ii）中得到的最小總造價解法 2：同解法1得221111113224xysxya2221111111433334416xayyyyaa2211111432 3(3)(3)416yyyyaa6716aaoedbhp精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -當且僅當114x且2211113(3)(3)yyyy， 即11114xy，同時成立時，s取得最小值6716a，以上同解法1點評 ：本題以實

13、際問題為出發(fā)點，以立體幾何為背景和載體，主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)及用導數(shù)求極值的思想方法，考查應用能力和計算能力這種命題形式打破了以往純立體幾何和純函數(shù)問題命題的格局，使學生思考的方法和范圍超越了固有的思維空間，使問題本身的綜合性得到進一步加強，是一道具有較高區(qū)分度的試題，也為高校選拔優(yōu)秀人才提供了很好的素材 將函數(shù)問題嵌入立體幾何問題中，使問題情景生動而又別致新穎，使函數(shù)的基礎(chǔ)知識提升到一個新的高度，真正體現(xiàn)了函數(shù)與其它知識“交匯”的新特點，這是未來高考對函數(shù)考查的一個新方向亮點 3：以解析幾何為背景考查函數(shù)問題，實現(xiàn)知識間的縱向整合與碰撞例 5（北京理）如圖4，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長

14、為2r，短半軸長為r，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底ab是半橢圓的短軸，上底cd的端點在橢圓上，記2cdx，梯形面積為s（i）求面積s以x為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；（ii ）求面積s的最大值圖 4 圖 5 解析 ： （i）依題意， 以ab的中點o為原點建立直角坐標系oxy（如圖 5） ，則點c的橫坐標為x，點c的縱坐標y滿足方程22221(0)4xyyrr，解得222(0)yrxxr，221(22 ) 22sxrrx222()xrrx，其定義域為0 xxr（ii）記222( )4() () 0f xxrrxxr，則2( )8() (2 )fxxrrx令( )0fx，得12xr因

15、為當02rx時，( )0fx；當2rxr時，( )0fx，所 以12fr是( )f x的 最 大 值 因 此， 當12xr時 ，s也 取 得 最 大 值， 最 大 值 為213 322frr，即梯形面積s的最大值為23 32r點評 ：本題是一道靚題，以解析幾何為原材料，考查函數(shù)的基礎(chǔ)知識及導數(shù)的應用，考查最值的求法， 將函數(shù)與解析幾何兩塊主體內(nèi)容有機地滲透和聯(lián)系在一起這種在交匯點設(shè)計的試題， 注重內(nèi)容的聯(lián)系性和知識的綜合性，既能增加知識的考查點，又能從學科整體的4rcdab2rcdaboxy精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共

16、10 頁 - - - - - - - - -高度和思維價值的高度考慮問題，能對基礎(chǔ)知識考查達到必要深度，可謂視角獨特、 回味無窮亮點 4：以函數(shù)為主線和出發(fā)點，考查函數(shù)、不等式、導數(shù)、二項式定理、組合數(shù)計算公式等多個內(nèi)容，實現(xiàn)知識大聚會例 6（四川理）設(shè)函數(shù)1( )1(,1,)nf xnnnxnn且()當 x=6 時,求nn11的展開式中二項式系數(shù)最大的項；()對任意的實數(shù)x,證明2)2()2(fxf( )( )( )fxfxf x是的導函數(shù)；()是否存在na,使得nankk111na) 1(恒成立 ?若存在 ,試證明你的結(jié)論并求出 a 的值；若不存在,請說明理由解析 ： （） 利用二項展開式

17、的有關(guān)結(jié)論知，該展開式中二項式系數(shù)最大的項是第4 項，這項是335631201cnn（） 證法 1：因22112211nfxfnn2211211nnn112 11nnn12 1nn112 1ln 12nn112 1ln 12nfxnn證法 2：因22112211nfxfnn2211211nnn112 11nnn，而1122 1ln 1nfxnn，故只需對11n和1ln 1n進行比較令ln1g xxx x，有111xgxxx，由10 xx，得1x因為當01x時，0gx，g x單調(diào)遞減； 當1x時，0gx，g x單調(diào)遞增，所以在1x處g x有極小值1故當1x時，11g xg，從而有l(wèi)n1xx，亦即

18、ln1lnxxx，故有111ln 1nn恒成立精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -所以222fxffx，原不等式成立（）對mn，且1m，有2012111111mkmkmmmmmmcccccmmmmm211112 11111 12!kmm mm mmkm mmkmmm11112111121111112!kmmkmmmmmm111122!3!km111122 13 211k km m11111112122311kkmm133m又因102,3,4,kkmckmm，故1213mm1213mm

19、， 從 而 有11213knknnk成 立 ， 即 存 在2a， 使 得11213knknnk恒成立點評 ：本題將函數(shù)、 不等式、 導數(shù)、二項式定理、 組合數(shù)計算公式等多個內(nèi)容融為一體，考查綜合推理論證與分析解決問題的能力及創(chuàng)新意識本題打破“條件完備，結(jié)論明確” 的命題框架， 設(shè)計“條件不完備或結(jié)論不明確”的開放性試題，重在考查學生的思維品質(zhì)和進行探究性學習的能力，屬于難度較大，綜合性較強，知識點較多的試題已知函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征注定了后繼問題的設(shè)置，這樣既看到了函數(shù)的“大度”和“包容”，又開拓了函數(shù)內(nèi)容的“視野” 廣泛性， 這些都無不顯示出命題者的智慧，也為今后高考函數(shù)部分的命題提供了一個思維方向

20、和模板亮點 5：以函數(shù)為生命線，與方程聯(lián)袂，考查函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列等知識例 7（浙江文）已知221fxxxkx(i)若k2，求方程0fx的解；(ii) 若關(guān)于 x的方程0fx在 (0， 2)上有兩個解x1， x2，求 k的取值范圍，并證明精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -12114xx解析： （）當 k2時，2212fxxxx當210 x時 ， 即1x或1x時 ， 方 程 化 為22210 xx， 解 得132x，因為13012，故舍去，所以132x當210 x時，即11x時

21、，方程化為210 x，解得12x由得當 k 2時，方程0fx的解所以132x或12x(ii) 不妨設(shè) 0 x1x22，因為221 x11 x1xkxfxkx，所以fx在（ 0,1上是單調(diào)函數(shù)，故0fx在（ 0,1上至多一個解若1x1 x2 2，則 x1x2120，故不符題意，因此0 x11x22由10fx得11kx， 所以1k； 由20fx得2212kxx， 所以712k；故當712k時，方程0fx在(0， 2)上有兩個解當0 x1 1x22時，11kx，222210 xkx，由此兩式消去 k 得21 21220 xxxx，即212112xxx，因為 x22，所以12114xx點評 ：本題主要

22、考查函數(shù)的基本性質(zhì)、方程與函數(shù)的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，以及綜合運用所學知識、 分類討論等思想方法分析和解決問題的能力需要考生有較扎實的理論知識及較強的分析問題的能力，同時要具備良好的運算能力本題以函數(shù)作為主線，與方程聯(lián)袂，以求參數(shù)的取值范圍和證明不等式為最終歸宿，充分體現(xiàn)了主干知識在高考中的地位和要求，考查考生的綜合數(shù)學素養(yǎng)和各種能力例 8（廣東文）已知函數(shù)2( )1f xxx,是方程( )0f x的兩個根 (), ( )fx是( )f x的導數(shù) , 設(shè)11()1,()nnnnf aaaafa(1,2,3,)n(1) 求,的值；(2) 已知對任意的正整數(shù)n有na, 記lnnnnaba(1,2,3,)

23、n, 求數(shù)列nb的精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -前n項和ns解析 ：(1) 由已知條件及求根公式得152, 152 (2)( )21fxx，21121nnnaaa，221,1，2222112221212lnlnlnln()2212nnnnnnnnnnnnnnaaaaaabbaaaaaa數(shù)列nb是首項11151ln4ln2aba, 公比為q2的等比數(shù)列，1(1)514 (21)ln12nnnbqsq點評 ：本題主要考查函數(shù)、導數(shù)、一元二次方程、對數(shù)、數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查合情推理、

24、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般的數(shù)學思想方法以及抽象概括能力、邏輯推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識等本題以考生熟悉的一元二次方程作為基礎(chǔ)，聯(lián)系函數(shù)、 導數(shù)和數(shù)列知識，使問題的綜合性得到進一步加強，真正體現(xiàn)優(yōu)秀考題的選拔功能亮點 6：以函數(shù)作平臺，以導數(shù)作工具，考查線性規(guī)劃問題例 9（全國卷文）已知函數(shù)321( )(2)13f xaxbxb x在1xx處取得極大值，在2xx處取得極小值，且12012xx（）證明0a；（）若2zab，求z的取值范圍解析 ：求函數(shù)( )f x的導數(shù)2( )22fxaxbxb（）由函數(shù)( )fx在1xx處取得極大值，在2xx處取得極小值，知12xx，是( )0fx的 兩 個根 所以12( )()()fxa xxxx， 當1xx時 ，( )f x為 增函 數(shù) ，( )0fx，由10 xx，20 xx得0a（）在題設(shè)下，12012xx等價于(0)0(1)0(2)0fff即202204420babbabb，