數(shù)學競賽教師輔導用教材(2011.9)

1、數(shù)學競賽輔導用教材根據(jù)?2021北京市高職高專大學生數(shù)學競賽大綱?規(guī)定的競賽內(nèi)容及要求，現(xiàn)將微積 分各章節(jié)的知識點、典型題及解題思路和技巧等為同學們梳理出來，意在幫助同學們自行復 習，同時也作為教師為競賽班開班輔導的指導素材。第一局部函數(shù)、極限、連續(xù)競賽內(nèi)容大綱1 函數(shù)的概念及表示法、簡單應用問題的函數(shù)關系的建立.2 函數(shù)的性質：有界性、單調性、周期性和奇偶性.3 復合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)、根本初等函數(shù)性質及其圖形、初等函數(shù).4 .數(shù)列極限與函數(shù)極限的直觀描述性定義及根本性質，函數(shù)的左極限與右極限.5 .無窮小和無窮大的概念及其關系、無窮小的性質及無窮小的比擬.6 .極限的四那么運算

2、、兩個重要極限.7 .函數(shù)的連續(xù)性概念(含左連續(xù)與右連續(xù))、函數(shù)間斷點的判定(不區(qū)分類型).8 .連續(xù)函數(shù)的性質和初等函數(shù)的連續(xù)性.9 .閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(有界性、最大值和最小值定理、介值定理、零點定理).知識點及典型題例2 :求以下函數(shù)定義域(1)yarcta nx 1, x2 1,解：(1)由y56(2)分段函數(shù)定義域為:取各范圍定義域之并!1,0 U 0,2，即:1,2例3 :求函數(shù)值f xg,求: f1 x0 ,f1,f解：f (0)Jf(1)1 00, f(u)f(x 1)1 (x 1)(x 1)加(x) 1(x)1( x)1 f(x)由此看出:cosx, x例4 :設f求:1

3、, xx的表達式不同。1 COS1 f 22 1 3, f -COS22cos( x)x cosxxf( x)22x 1x-1 xx22解：這是分段函數(shù),x在不同區(qū)間上 f1.2. 函數(shù)的性質(1)有界性：假設存在正數(shù)M ,使xD，有f(X) M，稱f(x)在D上有界。例:f x1在1 , 2上有界，但在x-1, 1上無界。(2)奇偶性：設D為對稱區(qū)間a,a,假設 x D，恒有f(-x)= -f(x),稱f(x)是奇函數(shù)；假設X D，恒有f(-x)= f(x),稱f(x)是偶函數(shù)例:討論函數(shù)xf xa 1的奇偶性x.a 1解:f xxxa 11afXX ,f X 二為奇函數(shù)。ax 1xAAx1

4、a11a注意：1 )討論奇偶性應在對稱區(qū)間上。2)奇偶性判別除了用定義外，還常用以下性質：i) 奇函數(shù)之和(差)仍是奇函數(shù)；偶函數(shù)之和(差)仍是偶函數(shù)。ii) 奇函數(shù)之積(商)是偶函數(shù)；偶函數(shù)之積(商)是偶函數(shù)。iii) 奇函數(shù)與偶函數(shù)之積(商)是奇函數(shù)。(3) 周期性：假設X D,有f x T f X ,稱f X是以T為周期的周期函數(shù)。顯然nT(n= 1，2，)也是f(x)的周期。一般周期是指f(x+T)=f(x)成立的最小正數(shù)。 例：設周期函數(shù)f x是以T為周期的周期函數(shù)，證明f ax , a 0是以T為周期的周期函數(shù)。a分析：要證明f a x T f axa證明：因為f x是以T為周期的

5、周期函數(shù)，所以 f ax T f ax ,于是：faxT f ax T f axa故f ax , a 0是以T為周期的周期函數(shù)。a如：sinx,cosx是以2為周期的周期函數(shù)，tanx,cotx是以 為周期的周期函數(shù)。因此ysin3x的周期是23，y tan 2 x的周期是2 (4)單調性:X1,X2D,當 X1X2時，總有f(xdf(X2),那么 f(x)X1,X2D,當 X1X2時，總有f (Xjf (X2),那么f (X)注：單調性還可用導數(shù)符號判斷:x D,總有f (x)0,那么f(x)；x D,總有f x 0,那么f x3. 復合函數(shù)首先要熟悉六個根本初等函數(shù)的形式：(1) 常數(shù)函數(shù)

6、y = C(2) 幕函數(shù)y = x a(3) 指數(shù)函數(shù)y =ax(a>0且a 1)(4) 對數(shù)函數(shù) y =log ax (a>0 且 a 1)(5) 三角函數(shù) sinx, cosx, tgx, ctgx, secx, cscx(6) 反三角函數(shù) arcsinx, arccosx, arctanx, arccotx復合函數(shù)就是以這六個根本初等函數(shù)復合而成的函數(shù)。例如：y In sin Jx,是由y ln u, u sin v, v . x復合而成的，其定義域由：4. 初等函數(shù)由根本初等函數(shù)經(jīng)有限次四那么運算或復合，并能用一個解析式表示 的函數(shù)稱為初等函數(shù)如：y ''X

7、 2是復合函數(shù)，也是初等函數(shù)；但y ''X 2只是初等函數(shù)，而不是復合函數(shù)。5. 極限概念A，那么稱A為數(shù)列an(1)數(shù)列極限：對于數(shù)列an ,假設當n無限增大時，an無限趨進于某一確定的常數(shù)的極限。(2)函數(shù)極限：對于函數(shù)f x，假設在自變量的某一變化過程中(當X或X x0)，f x無限趨近于某一確定的常數(shù) A，那么稱A為函數(shù)f X(X或X X。)的極限。(3) 單側極限：左極限：lim fX Xo右極限：lim fx X0(4) 極限存在條件：lim f xXXAA，(自變量x從xo左側趨于xo時函數(shù)的極限)A，(自變量x從xo右側趨于xo時，函數(shù)的極限)lim f xX

8、XolimX Xof x AX Xcosx,0 X2例:設f X，求 lim fX ，lim f x .X 1,Xx 3x 2解：X03不是分界點，左'右側表達式一樣，1 lim f (x) lim cosx 2X _x33f x在x)是分界點，左右側表達式不一樣，2limf xlim cosx 0,lim f x limX 11.x 2X _X _x 2 2 22x0處的左、右極限不相等，因此lim f x不存在。2x _2注：用左、右極限來判定極限的存在性，一般只對分段函數(shù)在分界點處求極限時使用6. 求極限的方法歸納(1)四那么運算：設lim u,lim v皆存在，那么lim( u

9、 v) lim u lim v,lim u v lim u lim v,特另S lim cu clim u(c為常數(shù))， limU 皿(其中 limv 0)解:limx2 3 3xx=limx3x,x2 3x+xv lim v例2.求lim,0型x2x 10解:xmox2x 1x 1 2x 1 limx 0 2x.1 2x 1 lim1.x 0(4) 消去零因子:limxt例 3. x 2 x 22(x 2)(x 1)x 2x2(x 1) 1(5) 自變量趨向于無窮大的情況:limma m xbnXnm 1am 1xnbn 1Xa1x a06x boa0b00(可用分子、分母的最高次幕同除以分

10、子、分母。)例:limx121lim XX0X325XXX3 2x215x4 3x22(3 lim 1、70 “1、30-)(1 -)XXlim (3x 1)70 (x1001)30 例：x (2x 3)100(2310o)x3702100例:limXX 1limX13 Xsinx lim1Xlim1,lim(i)x 0 Xx 0 sinxx 0lim (11)ne lim (1(ii) nnXX(6)兩個重要極限：(重點，必會！)sin (x)1(x)1丄e lim (1 x)X e, lim 1(x) (x) ex 0(x)02:例tan 3xsin3xlimx x 0 x cos3x3l

11、im 沁x 0 3xxm01cos3x3.例4：lim2xsin2flimsin2 彳9.sin xlim u x 2.2 廣sinulimu 0 u1.11 sin例1:lim xsin lim x 1(第一重要極限公式)x x 1 0 丄X例7:例8:X 2X -21 1XXmH X1 -X mH X1eX1 - XmH XX1 -X1X1- XmH Xx3lim 32x x同除-2xlim12xx12xx112xn233323lim1x2xe2111e2x一12e2lim1x2xn 2lim 1lim 1lim 1limxe 1 2 e.使用技巧如下:1m(1 J e或1lim (1 )

12、 e 0或sinlim 1 0 (7)無窮小量、無窮大量1) 定義：以0為極限的量稱為無窮小量。女口： lim tanx 0,稱當x 0時tanx是無窮小量。x 01 1 limsin 0,稱當x 時sin 是無窮小量。 x xx2) 性質：(i) 非零無窮小量與無窮大量互為倒數(shù)。1例：當x 0時，x是無窮小量，-是無窮大量。x當x 時，x是無窮大量，1是無窮小量。x例:lim2x 12x 111 2 x lim 1x 011 2 x101.10(ii)有限個無窮小量之積(和)仍是無窮小量0.1 1lim 22lim 2 3limxx xx x注：假設是無限個無窮小量之積(和)不一定是無窮小量

13、典型例題如下:limnlimnlim (占 2 弓)lim n n nn n事實上，上題應用求和公式：122n2(iii)有界量與無窮小量之積仍是無窮小量im 丄彳琴n n n nlimnnnsin x0,其中sinx是有界變量，當 xlim x sin -x 0 x- 、0,其中sin是有界變量，當xx時，是無窮小量。x0時，x是無窮小量。注:.-. sin -xlim x sin lim xX - 0-xx2 x sin limxx 0 sinx1 xx sin lim0 10.x x 0sinx注：有界量與無窮大量之積不一定是無窮大量如: lim 叱X 0 x1.3) 無窮小量的比擬:設

14、當xx0或x時,都是無窮小,假設 lim -x0,那么稱是比較高階的無窮小;假設 lim x，那么稱是比較低階的無窮小;假設 lim xc 0，那么稱與是同階無窮小;假設 lim x1，那么稱 與 是等價無窮小，記作:4) 等價無窮小:假設兩個無窮小都與第三個無窮小等價，那么這兩個無窮小等價。即：設都是無窮小，假設sin x tanx.例如，當x0時，因sin x x , tanx x，所以當x0時,常用幾個等價無窮?。罕?！tan x x ;arcs in x x ;ax 1 xln a a 0 .arcta n x x ;1 cos x 巧妙利用等價無窮小代換有時候可以大大簡化計算。例如：l

15、imtanx3sinx等價無窮小代換x 0 sin xlimx 0tan x(1 cosx)x3/1 2x( x ) 1 21lim3=0 x327. 復合函數(shù)求極限定理:設limX xx a,lim f uu alimX xox 存在，且:lim fx xo上式顯然可以寫成:lim fx 尙f limx透視定理：求復合函數(shù)limfx 極限時,極限符號“l(fā)imxxo與函數(shù)符號“就可以交換次序。即極限運算可以移到內(nèi)層函數(shù)上去實施,此為解復合函數(shù)極限問題之關鍵！牢記!例：xm0嚀由對數(shù)性質可知：ln(1 x)xln(11x)x，又知：lim(1x 01X)'e 第二重要極限故有:lim(x

16、 0x)x1 1交換liml n(1-)xIni im(1x 0 x1X)' lne 1復合函數(shù)求極限！解題關鍵點！8.洛必達法那么(此為第二章內(nèi)容，放進求極限方法歸納中)注意：0型或一型適用00型f(x)°f(X) 十limlimA(或).x xo g(x) x xo g (x)型或lim他=lim飲 A(或).一 x xo g(x) x Xo g (x)使用說明： 假設能求出丄回極限為A (或)，即可應用洛必達法那么；g (x) 假設lim 匸兇 仍是“ 0型或一型未定式，且lim丄兇 存在，那么可繼續(xù)使用洛必達法那么，即x xo g (x)0g (x)f(X)f(X)f

17、(x)limlimlimx xo g(x)x xog(x)x xg(x) 假設無法判斷丄兇的極限狀態(tài)，或能判定它振蕩而無極限，貝U洛必達失效!g (x)ln x例 1：求 lim 2-型X x1解：由洛比達法那么得：lim辱lim怦Llim 乂lim.o.xx2x(x2)x 2xx2x2例2：求limSXo型x o x3o解：由洛比達法那么得:Xmocosx3 X1 cosx limx o3Xlimx o 3x2lim Sjnrx仍是o型，二次使用羅比達法:x o 3x2olimx oCOSXXlim響x o 3xsin x limX o 23xlim迪x o 6x注意：上式中的lim C0S

18、X已不是未定式，不能使用洛比達法那么，否那么會發(fā)生錯誤。X 0 6x2 . 1x sin0例3：求limx型x 0sinx2 - 1x sinxsin x2xsin x2 1x cos-xcosx1 12xs in coslim x x x 0 cosx當 x時,2xs in -x10,而cos-震蕩無極限。此時洛必達失效!x改用它法:2 . 1 x sin lim x x si nxx1xsin xsin xlim x °sinx1lim x sin1 .x例4:lim 1x cos3x型x2cos3x3si n 3xlimx 0 2x型3s in3x limx 9 sin 3xl

19、im2x 3x9 cos3x limx 22x9-| 利用兩個重要極限之一兩種解法均可！例5:lim t評先化簡limx 0 sin3xxsin x . sin x cosxsin3xlimxcosxsin2 xsecx 1 limx sin2 xsin x型lim 邑 J0x sin xsecx tgxlimx 2sin x cosxsecxlim x 02sinx cosxcosxlim13x 0 2cos x 2注意：1在使用洛必達法那么過程中，能化簡的盡量先化簡。lim2假設 x xf xg x不存在，洛必達無效。lim例如：xx sin xcosx1 cosx lim - x 1si

20、n x，因為limx山空不存在。1 sin x正確解法:x cosx limx x cosx1lim -x1cosxXcosx亠.1 Q limxco泌0無窮小乘有界xlimx 0 sin x型)limx 0乞旦(0型)lim(x sinx)x sinx _0x 0 (x sinx)limx °sinx1 cosxx cosx(0 型)im(1 cosx)sin xx 0 (sin x x cosx)limx 0 2 cosx x sin x(°例 7: lim x In xx 0mo H X 型(型),lnxIn x1lim-1 可用羅比達了 x °1xx=xm

21、x1x2lxm°x °.例 8： limx 0tanx1(°型)這是幕指型的，先取對數(shù)tanx，貝V InyIntanx1tanx In此為對數(shù)性質！需要搞清楚而又知那么有:Iimx 0In yetanx1此也為對數(shù)性質，在求解幕指函數(shù)有關極限時經(jīng)常用到此轉換！需要牢記!Iim yx 0lim elny,x 0lim In yIn y x 0 lim eexx 01In y lim tgx In (0x c此處運用的是復合函數(shù)求極限，函數(shù)與極限可以互換位置!型丿叫1Inx(型)lim1tgxxin0sin x丿叫sin x于是最終結果:Iimx 0tan x1Ii

22、m yx 0In ylim ex 0(In-)X(ctgx )xin01X -2X2csc x2sin xIim In yx 01.9. 連續(xù)性(1) 連續(xù)性概念：假設lim f xx X0判斷連續(xù)包括三個條件：f Xo，稱f X在Xo連續(xù)。(1) f (x)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義；(2) lim f (x)存在；(3) lim f (x)f (x0)極限值等于該X xoXX。點函數(shù)值。(2)間斷點：假設f x在X。處不滿足以上三條中的假設有一條，那么x0為函數(shù)y f (X)的間斷點。(3)間斷點分類：(分兩類)第一類間斷點(左、右極限都存在)；在點x0處左、右極限都存在但不相等(跳躍間斷點

23、)(可去間斷點)但f X0無意義 在點X。處左、右極限存在且相等或 lim f x f x0x x第二間斷點 (除第一間斷點之外的/至少有一側極限不存在)在點X。處左、右極限至少有一個為f X的值在某兩個值之間變動無限次(x°為無窮間斷點)(x0為震蕩間斷點)1 1例：f xex，在x 0處無定義，x 0是間斷點；且lim ex(至少有一側極限不存在)，故x 0x 0是f x的第二類間斷點。sin xsin xg x，在x 0處無定義，x 0是間斷點；但lim1，極限存在；故x 0是g xxx 0 x的第一類間斷點。(4) 初等函數(shù)在其定義域上連續(xù)注：分段函數(shù)不是初等函數(shù)，判斷其在分

24、界點處的連續(xù)性需用左、右極限。x 1, x 0例：求f X的連續(xù)區(qū)間。ex,x 0X解：當x 0, f(x) x 1是初等函數(shù)，有定義，連續(xù)；當 X 0, f(x) e是初等函數(shù)，有定義，連續(xù);X 0是分界點，lim f x lim x 10 1 1, lim f xlim ex e0 1, 左、右極限相等，x 0x 0x 0x 0f X在x 0處連續(xù)；所以f x在 ， 上連續(xù)。10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(考試大綱里有要求！)(i) 最大值最小值定理：設f(x)在a、b連續(xù)，那么它在該區(qū)間至少取到它的最大值和最小值各一次.(ii) 零點定理：設f(x)在a、b連續(xù)，且f(a) f(b) v 0,

25、那么至少存在一點，(a、b)，使得f 0(iii) 介值定理推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。注意：零點定理要求掌握，會做典型題！幾道典型題：(背會證明步驟，包括文字說明局部)例1證明方程 x5 3x 1至少有一個根介于1和2之間.例2證明方程 x asinx b，其中a 0,b 0 ,至少有一個正根，且它不超過a b.例3假設f x在a, b上連續(xù)，a x1 x2 L xn b，那么在x1, xn上至少有一點 ，使得彳f x-if x2 L f 焉n解法：例1證明：設f X x5 3x 1，那么f x在閉區(qū)間1,2連續(xù)(由初等函數(shù)在定義區(qū)間均連續(xù)知)(下面要

26、求出區(qū)間端點函數(shù)值，判斷能否滿足零點定理條件)又f 130， f 2256 1250，即：f 1 f 20 (滿足零點定理條件)由零點定理：設f(x)在a、b連續(xù)，且f(a) f(b) v 0，那么至少存在一點，(a、b)，使得f0所以由零點定理可知，在1,2內(nèi)，至少存在一點12，使得f 0.即x 是方程x5 3x 1的介于1和2之間的根，即方程x5 3x 1至少有一個根介于 1和2之間.例2證明方程 x asinx b，其中a 0,b 0，至少有一個正根，且它不超過a b.證明：設f xasinx b x，貝U f x是閉區(qū)間0, a b上的連續(xù)函數(shù)(根據(jù)要證明的結論來正確選取適宜的閉區(qū)間很

27、重要！)又區(qū)間端點函數(shù)值為： f 0 b 0fab asin a b b a ba si nab 1因為 si nab 1分析兩種情況:b 0 ,那么說明x a b就是方程x asinx b的一個不超過a b的根.0,貝U f 0 f a b 0，滿足零點定理條件！由零點定理可知,至少存在至少存在一點0a b，使 f0.說明也是方程x asinx b的一個不超過a b的根.結論:方程x asinxb至少有一個正根，且不超過a b. 證畢!在a,b上連續(xù),aXiX2 L Xn b，那么在 x1, xn上至少有一點 ，使得f x-if x2L f xn證明:由條件可知，顯然在x1,xn上也連續(xù).設

28、M和m分別是fN，xn上的最大值和最小值.因為x NX , 1，所以有 m f xM .，從而有:f x2LXnx2Lxn由介值定理推論:n在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值這是不等式性質與最小值m之間的任何值。即在,xn上至少有一點，使得：ff x-1f x2 L f xn證畢!第二局部一元函數(shù)微分學競賽內(nèi)容大綱1 導數(shù)和微分的概念、導數(shù)的幾何意義、函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系、平面 曲線的切線和法線.2 根本初等函數(shù)的導數(shù)、導數(shù)和微分的四那么運算、一階微分形式的不變性.3 復合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法4 顯函數(shù)的高階導數(shù)(不含n階導數(shù)).5 .羅必達(L &

29、#39; Hospita法那么.6 .函數(shù)的單調性與極值、曲線的凹凸性與拐點、水平漸近線與垂直漸近線.7 .函數(shù)的最大值和最小值及其簡單應用.知識點及典型題1.導數(shù)的概念(1) 導數(shù)定義：設yf x lim ylim f(x。x 0x) f(x0)xlimx &f (x) f(x0)x Xo(導數(shù)定義式)例：f x可導,0, 求:limf(x)x解：f x可導，那么lim f (x) lim 丄兇 f f 0 .x 0 xx 0 x 0(2) 導數(shù)幾何意義：函數(shù)y f(x)在點(x°,y°)處的導數(shù)f (x。)在幾何上表示曲線y f(x)在點(x°,y&#

30、176;)處切線的斜率。即: f(X。) k切 x冷(3) 切線、法線方程切線方程：y y°f (x°)(xx°)特別的，假設f(x0)( tan 90 ),那么切線垂直于 x軸，此時切線方程為 x x0。1法線方程：y y°(x Xo)(因為k切k法1)f (x°)特別的，假設f(x°)0( tan 0 )，那么切線平行于x軸(法線垂直于x軸)，此時法線方程為x x°.11例：求曲線y丄在點 丄,2的切線方程和法線方程。x2x2切線方程為：y 2即 4x y 40 ；1 1法線方程為：y 2 x 42即 2x 8y 150

31、.2.導數(shù)公式與運算法那么(1)導數(shù)公式 必須熟背！(1)(c)0 ;(3)(ax)ax ln a;(5)1(log a x)x ln;a(7)(sin x)cosx;(9)(tan x)sec2x (11)(secx) secx tan x ；(13)(arcs in x)1d x2 ；(15)(arcta nx)12 ；1 x(2)運算法那么：必須熟記！(4) (ex) ex;(6)1(lnx)x(8)(cos x)sin x ;(10)(cot x)2csc x ；(12)(cscx)cscx cot x ；(14)(arccosx)1.1 X2 '(16)(arc cot x)

32、12。1 x(2) (x ) x1. (u v) u v2. (u v) u v u v3. (C u) CuC為常數(shù)4.(u)vu v uv2v3. 復合函數(shù)求導法那么設 y f(u),u(x),那么yxf (u)(x)或yxyu ux(復合函數(shù)求導法那么/微分形式不變性)對復合函數(shù)求導，采取“由外向內(nèi)逐層求導。例:設y31 x2，求巴dx解:yxyu Ux(3、u)(1x2)1 23u3(2x2x)33(1 x2)2例:ysin(1 n x),求 y解:ycos(ln x) (In x)cos(ln x)x例:y2sin(ln x ),求 y解:y2 2cos(ln x ) (ln x )

33、cos(ln x2)4(x2)22cos(ln x )xx4. 高階導數(shù)假設函數(shù)y f(x)的導數(shù)y(x)在點x處仍然可導，那么稱f (x)在點x處的導數(shù)為函數(shù)y f(x)在點的x處的二階導數(shù)，記作：y, f (x),騁或dx dx那么：yx2(2xe )22e x (2x2e"2xe" ( 2x)x22e (2x1)，1)xo 2 1 (01)一般地：.2.3d y，、d y(3),、2 y (y), 3 y (y ), dxdx,求高階導數(shù)的方法就是反復地運用求一階導數(shù)的方法!例:yx4 2x33x2 4x 5,求y , y , y(4) ,y(5)解:y4x3223x

34、23 2x4, y 12x212xy24 x12, y(4)24,y(5)0.x2例:設y e，求 y , yx 0222解:y(ex)e x ( 2x) 2xe x65. 反函數(shù)的導數(shù)設函數(shù)y f (x)與 x i1f (y)互為反函數(shù)，那么f (x)1f 1(y)(1)反三角函數(shù)的導數(shù)求yarcs in x( 1x 1)的導數(shù)由于y arcsin x ( 1x 1)的反函數(shù)是：x sin y(y22那么有：y arcs inx1 1 11(siny)cosy1 sin2 y.1 x2(因為y,，故cosy 0 ,故根號前為正號)2 2即得出公式：arcs inx1(2) 指數(shù)函數(shù)的導數(shù)設

35、y ax， x ()，(a 0, a 1)，x由于y a (a 0, a 1)的反函數(shù)是:x log a y， y (0,)由反函數(shù)定理得：y ax1(log a y)y In a ax In a.XX.XX Ix即 a a In a.特例： e e In e e .6. 隱函數(shù)的導數(shù)(i)隱函數(shù)：假設函數(shù)y不是由一個含有x的關系式表示的，而是由含有的 x, y的方程F(x,y) 0 來確定的，那么稱這種函數(shù)為隱函數(shù)。(ii)隱函數(shù)求導步驟： 將方程兩邊同時對x求導，遇到y(tǒng)就看成x的函數(shù)，遇到 y的函數(shù)就看成是x的復合函數(shù)； 求導后得到一個含x,y,y的關系式； 最后解出y ,即為所求隱函數(shù)的

36、導數(shù)。例1:求由方程xey y 1所確定的隱函數(shù)y y(x)的導數(shù)dy .dx解：將方程兩邊同時對x求導_(視y為x的函數(shù)，視y的函數(shù)為x的復合函數(shù))xeyy 1，ey xey y y 0，解出y ,得：y dy .dx 1 xey例2:設列吋gr ,求蕓(y)y2)解：方程兩邊關于x求導，視y為x的函數(shù)對數(shù)求導法是將函數(shù)yf(x)兩端取對數(shù)，得到隱函數(shù)lny Inf (x)，然后按照1y x y12x 2y y1 C)22 x2 2.x y2X2 y2x得：y xyx y y解得：yxyxyx隱函數(shù)求導數(shù)的思路，求出y對x的導數(shù)。對數(shù)求導法主要適用于：幕指函數(shù) y xx；幕的連乘積的函數(shù)等。

37、例1:I3求函數(shù)y J(x (；)2；3 x)的導數(shù)。解：該題如用導數(shù)法求導將太繁瑣，用對數(shù)求導法將大大簡化計算。等式兩端取對數(shù)得 ：3lnyIn (x 1)ln(x 2)1尹(3 x)等式兩端對x求導數(shù)，得：131yy2 x 11 11x 223 x解出y，得:y'(x 1)3311:(x 2)3(3 x) 2 x 1 x 22 3 x自測題:y3以"X 2，求(x 3)(x 4)dydx答案:dy 1 3 (x 1) x 21dx 3 (x 3)(x 4) x 1例 2： y xtanx,求 dy.解：先取對數(shù)in y tanx in x1再兩邊求導：y sec? xin

38、 xtan xyx化簡： y y sec2 x in xtan xtan x xsec2 x in xtan xxx8.參數(shù)方程的導數(shù)設函數(shù)y f x由參數(shù)方程xtt表示，那么有：dytytdxtx t4 2t 1 例 1 ：設y in(t21),求史dxt 1dyyt2tt21tdy解: dxxt4t32 (t21)(2t31)，dxx tl nt例2：求曲線2在t e處的切線方程和法線方程y tin t(t2 1)(2t3 1)"2解:也/dx Xt(tl n2t)tl nt2 1 in t t 2lnt- t int t 1 tln2t 2intint 19. 微分的概念(1)

39、 微分的定義：設f x在X0處可導，那么f X。x稱為f X在X0的微分，記作:dy f Xqx f Xq dx例 1: y x4 2x3 3xxx 4x 5，求 dy.解：y 4x3 6x2 6x 4 (先求導)dy 4x3 6x2 6x 4 dx.(再求微分)(2) 微分的計算：方法：I先求導數(shù)，再乘 dx.n利用“微分形式不變性求微分。設y f(u),u(x)復合而成復合函數(shù)：y f (x)由復合函數(shù)求導法那么得：yxyu ，ux疋：dyyxdx yu Uxdxyu -du(此為微分形式不變性)例2:求以下微分：e x 1cos 31 In xln xcos 3 x +excosxe c

40、osxsin 3 xdy=ydx=e x(sin(3x)cos(3x)dx.1 In x 1ln x1 ln x 1 ln x21 ln x 1 ln x1 ln x21 ln x2x 1 ln x2x 1 ln x2dy f x dxdx.x 1 ln xsin 2x例3 :利用微分形式不變性求出以下微分:a,b為常數(shù)解：令u ax bx2，貝U y由微分形式不變性得:uuaxdy e du e du ebx2d axbx2axebx2ax bx2dxax bx2 e a2bx dx2bxax bx e2dx. u 2x 3，貝U y sinu由微分形式不變性得:dy sin u du co

41、sudu cos 2x 3d 2xcos2x 32dx2cos 2x 3 dx.(3) 微分的近似計算:故當x 0時，可用微分dy近似代替函數(shù)的改變量，近似程度就越好.10. 可導、可微與連續(xù)的關系：(1) 一元函數(shù)可導可微，即：矽 yx dy yx dx (注：多元函數(shù)不成立)dx(2) y f x在xo處可導y f x在冷處連續(xù)，(反之不一定成立) 可見，連續(xù)是可導的必要條件。(3) y f x在瓦處不連續(xù)y f x在x0處不可導。(反之不一定成立11. 中值定理(條件、結論)(1) 羅爾定理：條件：(1)f(x)在a,b上連續(xù) (2)f(x)在(a,b)內(nèi)可導 (3)f(a)=f(b)

42、結論：在(a,b)內(nèi)至少有一點 ，使f0.例1驗證函數(shù)f(x) x2 2x 3在閉區(qū)間1, 3上滿足羅爾定理，并求出值。解:2f(x) x 2x 3為多項式函數(shù)，故f(x)在整個數(shù)軸上都連續(xù)且可導。(多項式函數(shù)在定義區(qū)間處處連續(xù)且可導)f(x)在區(qū)間 1, 3上是連續(xù)的，且在 1, 3可導;又 f( 1)1 2 2 13 0 , f(3)32 2 3 30f( 1)f(3)顯然，f (x)在區(qū)間 1, 3上滿足羅爾定理的三個條件。由于 f (x)x2 2x 3 2x 2 2(x 1)根據(jù)羅爾定理的幾何意義可得：令f (x) 2(x 1) 0，得x 1即在 1, 3內(nèi)存在一點1，使得f ( )

43、0(2) 拉格朗日定理:條件：(1) f(x)在a,b上連續(xù)(2) f(x)在(a,b)內(nèi)可導結論：在(a,b)內(nèi)至少有一點，使f推論1、f (x) 0,那么f (x)c.推論2、f (x) g (x),那么f (x) g(x) c.拉格朗日中值定理精確地表達了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)某點處導數(shù)之間的關系。f (b) f(a) f ( ) b a例2驗證函數(shù)f(x) arctanx在閉區(qū)間0,1上滿足拉格朗日定理，并求出值。解：/函數(shù)f(x) arctanx在 ,內(nèi)連續(xù)，且 f (x)乙,x R1 x f (x) arctanx在區(qū)間0, 1上滿足拉格朗日定理。故:f (1)f(

44、0) f ( )1解得:0, 1，故:12.導數(shù)的應用(1)判別單調性：設f x在(a,b)內(nèi)可導,如果在(a,b)內(nèi)，f (x)0,那么f(x)單調增加；f (x)0,那么f (x)單調減少。例:證明當x 0時，arctanx x證：設 f x x arctanx，貝U f x 112 x0,所以fx單調增加,1x函數(shù)單調區(qū)間求法：先求出f x的一切駐點和不可導點，用這些點把函數(shù)的定義區(qū)間分成假設干子區(qū)間，然后判斷f x在子區(qū)間上的符號。 求函數(shù)極值點：極值與極值點設函數(shù)f x在區(qū)間a,b內(nèi)有定義，點 怡 a, b。假設存在點x0的一個鄰域，對于該鄰域內(nèi)任何異于 x0的點x，有不等式fx f

45、x(3(或fx f x0 )成立，那么稱f x0是函數(shù)f x的一個極大值(或極小值)；稱點X。是函數(shù)f x的一個極大值點(或極小值點)。1 x2當x 0時,f x f 0 ,即 xarctanx 0 xarcta nx.證畢！極值存在的必要條件定理：假設函數(shù)f (x)在點X0處可導，且在點X0處有極值，那么必有：f(X。)。極值存在的充要條件定理(極值的判定定理)：I.(第一判別法)設函數(shù)f(x)在點X。的某鄰域X。, X。內(nèi)連續(xù)且可導,假設當x X。X。時，f(X) 0 ；而當 XX。，X。時，f(X)。，那么 Xo 是 f (x)的極大值點，f (X)在x0處有極大值；假設當X x0xo

46、時，f(X)。；而當 X xo, xo時，f (X)。，那么 Xo 是 f(X)的極小值點，f (X)在x0處有極小值:假設當X x0Xo 和 X X。，Xo時，f(X)不變號，那么f (X)在Xo處無極值。n .(第二判別法)設函數(shù)f (X)在點Xo處具有二階導數(shù),且 f (Xo)0, f (Xo)。，那么(1) 、當f (X。)。時，函數(shù)f(X)在Xo處取得極大值；、當f (X。)。時，函數(shù)f(X)在Xo處取得極小值f (Xo)極小值。f (x0)極大值(記憶訣竅！)(4) 判別曲線凹凸性：設f X在a,b內(nèi)二階導數(shù)存在，如果在 a,b內(nèi),(1) f X。，那么f x在a,b內(nèi)是凹的；(2) f x 。，那么f x在a,b內(nèi)是凸的。記憶訣竅：大凹小凸(5) 曲線凹凸區(qū)間求法：先求出使If x 或|f x不存在|的點，用這些點把函數(shù)的定義區(qū)間分成假設干子區(qū)間，然后根據(jù)f x在子區(qū)間上的符號確定曲線凹凸性。6求曲線拐點的方法：先求出拐點可能點使 f X 0 0或f X不存在的點Xo,但f x在x0點有定義， 如果在Xo兩側，二階導數(shù)f X改變符號，那么 Xo, f Xo是拐點。2例1求 y J 的單調區(qū)間、極值，凹凸區(qū)間、拐點。4 X 1解：函數(shù)定義域是,1 U 1,，x 3 x 1y27令y4 X 1o得駐點X