高等基礎(chǔ)工程學(xué)講義3-彈性地基梁理論

1、彈性地基梁理論彈性地基梁理論1 1、彈性地基梁的選擇、布置與構(gòu)造彈性地基梁的選擇、布置與構(gòu)造2 2、彈性地基梁模型及討論彈性地基梁模型及討論3 3、WinklerWinkler地基梁理論的地基梁理論的一一般方程般方程4 4、無限長梁及半無限長梁無限長梁及半無限長梁5 5、有限長梁的計算有限長梁的計算6 6、剛性梁的計算剛性梁的計算7 7、雙向彈性地基梁雙向彈性地基梁地基基礎(chǔ)設(shè)計內(nèi)容地基基礎(chǔ)設(shè)計內(nèi)容1 1、彈性地基梁的選擇、布置與構(gòu)造彈性地基梁的選擇、布置與構(gòu)造(1/8)1 1、彈性地基梁的選擇、布置與構(gòu)造彈性地基梁的選擇、布置與構(gòu)造(2/8)1 1、彈性地基梁的選擇、布置與構(gòu)造、彈性地基梁的選

2、擇、布置與構(gòu)造連續(xù)基礎(chǔ)：連續(xù)基礎(chǔ)：柱下條形基礎(chǔ)柱下條形基礎(chǔ) 筏板基礎(chǔ)筏板基礎(chǔ) 交叉條形基礎(chǔ)交叉條形基礎(chǔ) 箱形基礎(chǔ)箱形基礎(chǔ)特點：特點：底面積大底面積大 地基承載力地基承載力整體剛度大整體剛度大 減小不均勻沉降減小不均勻沉降補償作用補償作用 箱形基礎(chǔ)，箱形基礎(chǔ)， 設(shè)置地下室的筏形基礎(chǔ)設(shè)置地下室的筏形基礎(chǔ)1 1、彈性地基梁的選擇、布置與構(gòu)造彈性地基梁的選擇、布置與構(gòu)造(3/8)淺基礎(chǔ)設(shè)計方法淺基礎(chǔ)設(shè)計方法滿足了靜力平衡條件，忽略了地基、基礎(chǔ)和上部結(jié)構(gòu)三者滿足了靜力平衡條件，忽略了地基、基礎(chǔ)和上部結(jié)構(gòu)三者之間受荷前后的變形連續(xù)性。之間受荷前后的變形連續(xù)性。地基越軟弱，與實際情況差別越大。地基越軟弱，與

3、實際情況差別越大。1 1、彈性地基梁的選擇、布置與構(gòu)造彈性地基梁的選擇、布置與構(gòu)造(4/8)常規(guī)設(shè)計法：常規(guī)設(shè)計法：滿足下列條件時可以采用：滿足下列條件時可以采用：（1 1）沉降較小或較均勻）沉降較小或較均勻（2 2）基礎(chǔ)剛度大）基礎(chǔ)剛度大1 1、彈性地基梁的選擇、布置與構(gòu)造彈性地基梁的選擇、布置與構(gòu)造(5/8)彈性地基梁：彈性地基梁：在工程結(jié)構(gòu)中，有時在柱子下面設(shè)置連續(xù)梁基在工程結(jié)構(gòu)中，有時在柱子下面設(shè)置連續(xù)梁基礎(chǔ)礎(chǔ)(或板基礎(chǔ)或板基礎(chǔ))，這種梁，這種梁(板板)基礎(chǔ)和地基的接觸面積很大基礎(chǔ)和地基的接觸面積很大，整體，整體剛度也很大，向地基傳遞、擴散荷載，如果假定地基是彈性剛度也很大，向地基傳遞

4、、擴散荷載，如果假定地基是彈性的，這種基礎(chǔ)梁的，這種基礎(chǔ)梁(梁基礎(chǔ)梁基礎(chǔ))就叫彈性地基梁。就叫彈性地基梁。彈性地基梁與連續(xù)梁的區(qū)別？彈性地基梁與連續(xù)梁的區(qū)別？普通連續(xù)梁普通連續(xù)梁（1 1）只在支座處與地基相連，是有限次超靜定結(jié)構(gòu)）只在支座處與地基相連，是有限次超靜定結(jié)構(gòu)（2 2）通常連續(xù)梁是剛性支座，不計支座及地基變形）通常連續(xù)梁是剛性支座，不計支座及地基變形彈性地基梁彈性地基梁（1 1）全斷面和地基相連，是無限次超靜定）全斷面和地基相連，是無限次超靜定（2 2）同時考慮與地基的變形，變形的連續(xù)性，上部結(jié)構(gòu)和地）同時考慮與地基的變形，變形的連續(xù)性，上部結(jié)構(gòu)和地基、基礎(chǔ)的共同工作基、基礎(chǔ)的共同工

5、作1 1、彈性地基梁的選擇、布置與構(gòu)造彈性地基梁的選擇、布置與構(gòu)造(6/8)彈性地基梁的布置彈性地基梁的布置1)1)和柱網(wǎng)一致和柱網(wǎng)一致2)2)縱橫方向都是柱下梁式縱橫方向都是柱下梁式基礎(chǔ)基礎(chǔ)( (彈性地基梁彈性地基梁) )的主方的主方向向，彈性地基梁在縱橫兩，彈性地基梁在縱橫兩個方向都著地，見圖個方向都著地，見圖3-13-1。此時是此時是雙向交叉彈性地基雙向交叉彈性地基梁梁，應(yīng)按雙向交叉彈性地，應(yīng)按雙向交叉彈性地基梁計算。為了簡化，也基梁計算。為了簡化，也可以在兩個方向上分別按可以在兩個方向上分別按單向彈性地基梁計算，在單向彈性地基梁計算，在柱位處附近配置加強構(gòu)造柱位處附近配置加強構(gòu)造筋，以

6、抗彎和抗扭。筋，以抗彎和抗扭。1 1、彈性地基梁的選擇、布置與構(gòu)造彈性地基梁的選擇、布置與構(gòu)造(7/8)3）在一個方）在一個方向上是主方向，向上是主方向，另一個方向上另一個方向上是次方向，在是次方向，在主方向上的梁主方向上的梁著地，按彈性著地，按彈性地基梁計算地基梁計算，次方向上的梁次方向上的梁不著地，按連不著地，按連續(xù)梁續(xù)梁(聯(lián)系梁聯(lián)系梁)計算計算，見圖，見圖3一一2。1 1、彈性地基梁的選擇、布置與構(gòu)造彈性地基梁的選擇、布置與構(gòu)造(8/8)地基計算模型地基計算模型 在上部結(jié)構(gòu)、基礎(chǔ)與地基的共同作用分析中，或者在地基在上部結(jié)構(gòu)、基礎(chǔ)與地基的共同作用分析中，或者在地基上的梁板分析中，都要用到土

7、與基礎(chǔ)接觸界面上的力與位移的上的梁板分析中，都要用到土與基礎(chǔ)接觸界面上的力與位移的關(guān)系，這種關(guān)系可以用連續(xù)的或離散化形式的特征函數(shù)表示，關(guān)系，這種關(guān)系可以用連續(xù)的或離散化形式的特征函數(shù)表示，這就是所謂的這就是所謂的地基計算模型。地基計算模型。 地基計算模型可以是線性或非線性的，且一般是三維的，地基計算模型可以是線性或非線性的，且一般是三維的，但常予以簡化。最簡單的地基計算模型是線性彈性模型，并且但常予以簡化。最簡單的地基計算模型是線性彈性模型，并且只考慮豎向力和位移的關(guān)系，主要介紹常用的幾種線彈性地基只考慮豎向力和位移的關(guān)系，主要介紹常用的幾種線彈性地基模模型。型。2 2、彈性地基梁模型及討論

8、、彈性地基梁模型及討論(1/12)地基模型地基模型 地基反力直線分布模型地基反力直線分布模型 文克爾地基模型文克爾地基模型 半空間彈性地基模型半空間彈性地基模型 有限深度可壓縮性地基模型有限深度可壓縮性地基模型 層狀地基模型層狀地基模型 雙參數(shù)、三參數(shù)彈性地基模型雙參數(shù)、三參數(shù)彈性地基模型 非線彈性及彈塑性模型非線彈性及彈塑性模型 各種本構(gòu)模型各種本構(gòu)模型：DuncanDuncan and Chang and Chang、劍橋模型及修正、劍橋模型及修正、沈珠江模型、沈珠江模型、 DruckerDrucker and and PragerPrager等等2 2、彈性地基梁模型及討論、彈性地基梁模

9、型及討論(2/12)1 1、地基反力直線分布模型、地基反力直線分布模型 前提條件：前提條件：1)基礎(chǔ)梁本身假定是絕對剛性的，沒有彈性變形，只產(chǎn)生剛體基礎(chǔ)梁本身假定是絕對剛性的，沒有彈性變形，只產(chǎn)生剛體的位移和轉(zhuǎn)動，沒有撓曲；的位移和轉(zhuǎn)動，沒有撓曲；2)地基反力假定在任一點與其沉降是正比關(guān)系。地基反力假定在任一點與其沉降是正比關(guān)系。地基反力的線性分布規(guī)律，即：地基反力的線性分布規(guī)律，即：式中式中: 地基反力的偏心距，地基反力的偏心距， , 彈性地基梁應(yīng)為中小偏心，彈性地基梁應(yīng)為中小偏心， ; 和彎矩作用平面平行的基礎(chǔ)邊長。和彎矩作用平面平行的基礎(chǔ)邊長。)61 (minmaxleAGFPeGFMe

10、6le l2 2、彈性地基梁模型及討論、彈性地基梁模型及討論(3/12)通常用通常用倒梁法倒梁法( (倒置的連續(xù)梁倒置的連續(xù)梁) )求解：求解：以地基凈反力作為梁上荷載，柱子作為倒梁的支座，上部結(jié)構(gòu)剛度以地基凈反力作為梁上荷載，柱子作為倒梁的支座，上部結(jié)構(gòu)剛度很大，柱子可作為梁的不動支座，不產(chǎn)生豎向位移，基礎(chǔ)不產(chǎn)生整體很大，柱子可作為梁的不動支座，不產(chǎn)生豎向位移，基礎(chǔ)不產(chǎn)生整體彎曲，只產(chǎn)生局部彎曲，這等于考慮了上部結(jié)構(gòu)和地基、基礎(chǔ)的共同彎曲，只產(chǎn)生局部彎曲，這等于考慮了上部結(jié)構(gòu)和地基、基礎(chǔ)的共同工作。工作。求解時用結(jié)構(gòu)力學(xué)中的求解時用結(jié)構(gòu)力學(xué)中的彎矩分配法或剛性支座上連續(xù)梁分析中的三彎矩分配法

11、或剛性支座上連續(xù)梁分析中的三彎矩方程法彎矩方程法。但這樣的計算結(jié)果，柱位處的地基反力和柱子往下傳的。但這樣的計算結(jié)果，柱位處的地基反力和柱子往下傳的荷載一般情況下是不相等的，如果柱位處的地基反力大于相應(yīng)柱子往荷載一般情況下是不相等的，如果柱位處的地基反力大于相應(yīng)柱子往下傳的荷載，說明地基反力算大了下傳的荷載，說明地基反力算大了; ;如果柱位處的地基反力小于相應(yīng)如果柱位處的地基反力小于相應(yīng)柱子往下傳的荷載，說明地基反力算小了。需要在柱位兩側(cè)各柱子往下傳的荷載，說明地基反力算小了。需要在柱位兩側(cè)各1/31/3跨跨度內(nèi)進(jìn)行調(diào)整，即減小或加大地基反力，重新計算，直到柱位處的地度內(nèi)進(jìn)行調(diào)整，即減小或加大

12、地基反力，重新計算，直到柱位處的地基反力和相應(yīng)柱子往下傳的荷載相差不多或比較接近為止。當(dāng)連續(xù)梁基反力和相應(yīng)柱子往下傳的荷載相差不多或比較接近為止。當(dāng)連續(xù)梁比較規(guī)則比較規(guī)則( (荷載及跨度荷載及跨度) )時，可用連續(xù)梁內(nèi)力系數(shù)表分析計算，當(dāng)反力時，可用連續(xù)梁內(nèi)力系數(shù)表分析計算，當(dāng)反力調(diào)整以后，就比較麻煩了，只能在各項荷載下分別用彎矩分配法分析調(diào)整以后，就比較麻煩了，只能在各項荷載下分別用彎矩分配法分析計算，然后進(jìn)行疊加。計算，然后進(jìn)行疊加。2 2、彈性地基梁模型及討論、彈性地基梁模型及討論(4/12)2 2、文克爾地基模型、文克爾地基模型該模型由捷克工程師文克爾該模型由捷克工程師文克爾(Wink

13、ler)提出提出,是最簡單的線彈性模型是最簡單的線彈性模型,其假定是地基上任一點的壓力其假定是地基上任一點的壓力p與該點的豎向位移與該點的豎向位移(沉降沉降)s成正成正比比,即即 kps ）?；蚧蚕禂?shù)（表示；），也常用地基上的沉降量（）；或地基上的壓力（式中：332mkNmtkycmskPmtpa2 2、彈性地基梁模型及討論、彈性地基梁模型及討論(5/12)文克爾模型文克爾模型( (假定假定) )實際上使用了三個假定實際上使用了三個假定: :1 1）基礎(chǔ)底面每一點的撓度與該點下的地基沉降一致，即）基礎(chǔ)底面每一點的撓度與該點下的地基沉降一致，即基底基底面和地基要全部接觸面和地基要全部接觸，不能

14、脫開，梁的剛度要比較大；，不能脫開，梁的剛度要比較大；2)2)基底變形后仍保持平面基底變形后仍保持平面，認(rèn)為基礎(chǔ)的剛度大，故地基反力，認(rèn)為基礎(chǔ)的剛度大，故地基反力呈線型分布。呈線型分布。3)3)只在受荷點處，才有地基沉降只在受荷點處，才有地基沉降，超出受荷范圍則沒有地基，超出受荷范圍則沒有地基沉降。這是局部變形理論，忽略了地基的連續(xù)性，忽略了地沉降。這是局部變形理論，忽略了地基的連續(xù)性，忽略了地基中的剪應(yīng)力和抗剪作用，因而應(yīng)力和變形都不向周圍擴展，基中的剪應(yīng)力和抗剪作用，因而應(yīng)力和變形都不向周圍擴展，這是把地基看成許多各自獨立存在的彈簧或把地基看作是水這是把地基看成許多各自獨立存在的彈簧或把地

15、基看作是水體體( (無剪應(yīng)力，局部沖切無剪應(yīng)力，局部沖切) )。這顯然不符合事實，文克爾假定。這顯然不符合事實，文克爾假定是阿基米德原理的一個推論。是阿基米德原理的一個推論。2 2、彈性地基梁模型及討論、彈性地基梁模型及討論(6/12) 按照文克爾假定，具體計算時，按照按照文克爾假定，具體計算時，按照 的值對彈性地基梁的值對彈性地基梁進(jìn)行剛?cè)岫确诸?，具體的分類方法很多，大同小異，我們選進(jìn)行剛?cè)岫确诸悾唧w的分類方法很多，大同小異，我們選應(yīng)用廣泛的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類如下應(yīng)用廣泛的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類如下: : , ,稱為短梁，又稱剛性梁，有的文獻(xiàn)放寬稱為短梁，又稱剛性梁，有的文獻(xiàn)放寬到到 ; ;當(dāng)當(dāng) 時稱為絕

16、對剛性梁；時稱為絕對剛性梁； 稱為有限長梁，又稱中長梁；稱為有限長梁，又稱中長梁； 對對 ，稱為無限長梁或半無限長梁，稱為無限長梁或半無限長梁( (在荷載作用點兩在荷載作用點兩側(cè)，都滿足側(cè)，都滿足 時稱無限長梁時稱無限長梁; ;在荷載作用點兩側(cè)，只有一在荷載作用點兩側(cè)，只有一側(cè)滿足對側(cè)滿足對 時稱半無限長梁時稱半無限長梁) )。有的文獻(xiàn)放寬。有的文獻(xiàn)放寬到到 。 彈性地基梁的剛?cè)岫阮愋筒煌奢d的影響范圍大小不彈性地基梁的剛?cè)岫阮愋筒煌?，荷載的影響范圍大小不同，相應(yīng)的分析、計算方法也不同，在實踐中先分類，再按同，相應(yīng)的分析、計算方法也不同，在實踐中先分類，再按相應(yīng)的方法進(jìn)行分析計算。相應(yīng)的方法

17、進(jìn)行分析計算。4l2ll0 . 55 . 4l5 . 0l l4lll2 2、彈性地基梁模型及討論、彈性地基梁模型及討論(7/12)文克爾假定的修正文克爾假定的修正( (改正改正) )原因：原因：原始的文克爾假定局限性很大，甚至不適用。原始的文克爾假定局限性很大，甚至不適用。文克爾原來假定在受荷點處，地基反力與該點的地基沉降成文克爾原來假定在受荷點處，地基反力與該點的地基沉降成正比。實際的地基基礎(chǔ)哪有點荷載，正比。實際的地基基礎(chǔ)哪有點荷載，在應(yīng)用中我們把它擴大為在應(yīng)用中我們把它擴大為地基反力與其沉降成正比，地基受荷載，或看作均布荷載，或地基反力與其沉降成正比，地基受荷載，或看作均布荷載，或看作

18、線荷載看作線荷載; ;文克爾原來假定基礎(chǔ)梁文克爾原來假定基礎(chǔ)梁( (地基梁地基梁) )是絕對剛性的。實際上不是，是絕對剛性的。實際上不是，我們我們對地基梁的剛度進(jìn)行分類，分類求解對地基梁的剛度進(jìn)行分類，分類求解。有限長梁用原來的。有限長梁用原來的文克爾假定很難求解，經(jīng)研究，俄國學(xué)者克雷洛夫提出了初參文克爾假定很難求解，經(jīng)研究，俄國學(xué)者克雷洛夫提出了初參數(shù)法數(shù)法; ;按原來的文克爾假定，在受荷點處以外就不產(chǎn)生沉降。這是按原來的文克爾假定，在受荷點處以外就不產(chǎn)生沉降。這是一個錯誤。完全不計地基中的應(yīng)力傳播和變形的連續(xù)性，它只一個錯誤。完全不計地基中的應(yīng)力傳播和變形的連續(xù)性，它只是阿基米德浮力原理的

19、推論。我們是阿基米德浮力原理的推論。我們在應(yīng)用中確認(rèn)，在受荷處以在應(yīng)用中確認(rèn)，在受荷處以外一定范圍內(nèi)也有沉降，只是小一些，這是符合實際情況的外一定范圍內(nèi)也有沉降，只是小一些，這是符合實際情況的。2 2、彈性地基梁模型及討論、彈性地基梁模型及討論(8/12)文克爾模型文克爾模型( (假定假定) )在工程中的適用范圍在工程中的適用范圍l)l)鐵路鋼軌和枕木，廠房中的吊車軌道；鐵路鋼軌和枕木，廠房中的吊車軌道；2)2)船塢及滑道工程；船塢及滑道工程；3)3)浮橋、船艦、海上冰山運動，地基是水；浮橋、船艦、海上冰山運動，地基是水；4)4)地基是深厚淤泥層、荷載又大；地基是深厚淤泥層、荷載又大；5)5)

20、荷載很大、埋置深度很淺荷載很大、埋置深度很淺( )( )的基礎(chǔ)；的基礎(chǔ)；6)6)荷載很大，基底下壓縮層很薄，其下是硬層或基巖；荷載很大，基底下壓縮層很薄，其下是硬層或基巖；7)7)荷載很大、地基中塑性區(qū)開展很大；荷載很大、地基中塑性區(qū)開展很大；8)8)上部結(jié)構(gòu)、基礎(chǔ)柔性大，基本上不存在共同工作；上部結(jié)構(gòu)、基礎(chǔ)柔性大，基本上不存在共同工作；9)9)典型的端承樁或典型的摩擦樁；典型的端承樁或典型的摩擦樁；10)10)砂土地基和粘上地基上有較厚的砂石墊層時更適用于基床系數(shù)砂土地基和粘上地基上有較厚的砂石墊層時更適用于基床系數(shù)法。法。5 . 0bd2 2、彈性地基梁模型及討論、彈性地基梁模型及討論(9

21、/12)3 3、半空間彈性地基模型、半空間彈性地基模型將地基看成是勻質(zhì)的線性變將地基看成是勻質(zhì)的線性變形的半空間體，利用彈性力學(xué)形的半空間體，利用彈性力學(xué)中的半空間彈性體理論建立的中的半空間彈性體理論建立的地基計算模型稱為半空間彈性地基計算模型稱為半空間彈性地基模型。地基模型。 最常用的彈性半空間地基最常用的彈性半空間地基模型采用布辛奈斯克解，即當(dāng)模型采用布辛奈斯克解，即當(dāng)彈性半空間表面作用著集中力彈性半空間表面作用著集中力P P時半空間體中任一點的應(yīng)力時半空間體中任一點的應(yīng)力和位移解。和位移解。ErPs)1 (22 2、彈性地基梁模型及討論、彈性地基梁模型及討論(10/12)彈性地基梁的受力

22、和變形優(yōu)點優(yōu)點反映了地基的連續(xù)整體性，同反映了地基的連續(xù)整體性，同時從幾何上、物理上對地基進(jìn)時從幾何上、物理上對地基進(jìn)行了簡化行了簡化缺點缺點彈性假設(shè)沒有反映土壤的非彈彈性假設(shè)沒有反映土壤的非彈性性質(zhì)；性性質(zhì)；均質(zhì)假設(shè)沒有反映土壤的不均均質(zhì)假設(shè)沒有反映土壤的不均勻性；勻性；半無限體的假設(shè)沒有反映地基半無限體的假設(shè)沒有反映地基的分層特點；的分層特點；數(shù)學(xué)處理上比較復(fù)雜。數(shù)學(xué)處理上比較復(fù)雜。2 2、彈性地基梁模型及討論、彈性地基梁模型及討論(11/12)小結(jié)：小結(jié)： 地基計算模型實際上具體描述了地基計算模型實際上具體描述了地基沉降與基底壓力之地基沉降與基底壓力之間的關(guān)系間的關(guān)系。選用地基模型是地基

23、上梁和板分析中的關(guān)鍵問題，。選用地基模型是地基上梁和板分析中的關(guān)鍵問題，應(yīng)按地基的實際情況和模型的適用條件適當(dāng)考慮。應(yīng)按地基的實際情況和模型的適用條件適當(dāng)考慮。 地基模型一經(jīng)選定，則分析時都以下面地基模型一經(jīng)選定，則分析時都以下面兩個條件兩個條件為出發(fā)為出發(fā)點點: : （1 1）地基與基礎(chǔ)始終保持接觸，不得出現(xiàn)脫開的現(xiàn)象。）地基與基礎(chǔ)始終保持接觸，不得出現(xiàn)脫開的現(xiàn)象。這就是這就是地基與基礎(chǔ)之間的變形協(xié)調(diào)條件地基與基礎(chǔ)之間的變形協(xié)調(diào)條件。 （2 2）基礎(chǔ)在外荷載和基底反力的作用下必須滿足）基礎(chǔ)在外荷載和基底反力的作用下必須滿足力平衡力平衡條件條件。 根據(jù)這兩個基本條件可以列出求解問題所需的微分方

24、程根據(jù)這兩個基本條件可以列出求解問題所需的微分方程式，然后結(jié)合必要的邊界條件求解。式，然后結(jié)合必要的邊界條件求解。2 2、彈性地基梁模型及討論、彈性地基梁模型及討論(12/12)3、文克爾彈性地基梁理論的一般方程、文克爾彈性地基梁理論的一般方程（1/91/9）1 1、基本假定：、基本假定：地基梁在外荷載作用下產(chǎn)生變形的過程中，梁底面與地地基梁在外荷載作用下產(chǎn)生變形的過程中，梁底面與地基表面始終緊密相貼，即地基的沉陷或隆起與梁的撓度處基表面始終緊密相貼，即地基的沉陷或隆起與梁的撓度處處相等；處相等；由于梁與地基間的摩擦力對計算結(jié)果影響不大，可以略由于梁與地基間的摩擦力對計算結(jié)果影響不大，可以略去

25、不計，因而，地基反力處處與接觸面相垂直；去不計，因而，地基反力處處與接觸面相垂直；地基梁的高跨比較小，符合平截面假設(shè)，因而可直接應(yīng)地基梁的高跨比較小，符合平截面假設(shè)，因而可直接應(yīng)用材料力學(xué)中有關(guān)梁的變形及內(nèi)力計算結(jié)論。用材料力學(xué)中有關(guān)梁的變形及內(nèi)力計算結(jié)論。2 2、彈性地基梁的一般方程、彈性地基梁的一般方程 由理論力學(xué)知道由理論力學(xué)知道: :平衡狀態(tài)、穩(wěn)定狀態(tài)下的微元體上，在各種力作用平衡狀態(tài)、穩(wěn)定狀態(tài)下的微元體上，在各種力作用下應(yīng)有下應(yīng)有 。由右下圖中，對左下角點取矩。由右下圖中，對左下角點取矩 得到得到 ，繼而得到，繼而得到0, 0, 0Myx 0MQdxdMqdxdQdxMd223、文克

26、爾彈性地基梁理論的一般方程、文克爾彈性地基梁理論的一般方程（2/92/9）取取 ，得到：，得到： 由材料力學(xué)可知：由材料力學(xué)可知：在圖示坐標(biāo)系下應(yīng)為：在圖示坐標(biāo)系下應(yīng)為： 故有：故有：經(jīng)變換得：經(jīng)變換得： 0yqkbyqpbdxdQMdxydEI22MdxydEI22qkbydxdQdxMddxydEI2244)(44xqkbydxydEI彈性地基梁的基本微彈性地基梁的基本微分方程式分方程式滿足了兩個基本條件：滿足了兩個基本條件：靜力平衡條件和變形靜力平衡條件和變形協(xié)調(diào)條件協(xié)調(diào)條件3、文克爾彈性地基梁理論的一般方程、文克爾彈性地基梁理論的一般方程（3/93/9）式式 是一個四階、常系數(shù)、非齊次

27、、線性偏微是一個四階、常系數(shù)、非齊次、線性偏微分方程，對應(yīng)的齊次方程為分方程，對應(yīng)的齊次方程為式式 的特解為：的特解為：式式 的通解為：的通解為：)(44xqkbydxydEIkbydxydEI44)(44xqkbydxydEIkbxqy)(kbydxydEI44443214)sincos()sincos(EIkbxCxCexCxCeyxx式中：3、文克爾彈性地基梁理論的一般方程、文克爾彈性地基梁理論的一般方程（4/94/9）根據(jù)彈性地基梁的根據(jù)彈性地基梁的邊界條件邊界條件和和連續(xù)性條件連續(xù)性條件，確定積分常數(shù)，確定積分常數(shù)求出梁的撓度方程之后，可依次得到：求出梁的撓度方程之后，可依次得到：梁

28、的軸線轉(zhuǎn)角梁的軸線轉(zhuǎn)角梁的截面彎矩梁的截面彎矩梁的截面切力梁的截面切力梁底地基反力梁底地基反力4321CCCC、dxdy22dxydEIM33dxydEIQkbyp 3、文克爾彈性地基梁理論的一般方程、文克爾彈性地基梁理論的一般方程（5/95/9）3 3、基床系數(shù)的求法、基床系數(shù)的求法（1 1）由定義及試驗直接得到）由定義及試驗直接得到由定義由定義式中：式中： -試驗荷載和相應(yīng)的沉降量試驗荷載和相應(yīng)的沉降量根據(jù)定義根據(jù)定義 得到得到式中：式中：EE地基的變形模量；地基的變形模量；H-H-地基壓縮層厚度，根據(jù)文獻(xiàn)地基壓縮層厚度，根據(jù)文獻(xiàn)H=H=（0.5-1.00.5-1.0）b b或或H=H=（

29、0.7-1.50.7-1.5）b,bb,b為基礎(chǔ)寬度為基礎(chǔ)寬度顯然，這種估計適合于大、中型基礎(chǔ)，顯然，這種估計適合于大、中型基礎(chǔ)，b b較大較大1212ssppk2121sspp、HEpkkspHEk 3、文克爾彈性地基梁理論的一般方程、文克爾彈性地基梁理論的一般方程（6/96/9）3、文克爾彈性地基梁理論的一般方程、文克爾彈性地基梁理論的一般方程（7/97/9）（2）根據(jù)試驗結(jié)果并考慮基礎(chǔ)大小、形狀及埋置深度的修正）根據(jù)試驗結(jié)果并考慮基礎(chǔ)大小、形狀及埋置深度的修正詳見：詳見：工程地質(zhì)手冊工程地質(zhì)手冊（第（第4 4版）版） 工程地質(zhì)手冊工程地質(zhì)手冊編委會編委會 編編（此略）（此略）3、文克爾彈

30、性地基梁理論的一般方程、文克爾彈性地基梁理論的一般方程（8/98/9）（3 3）經(jīng)驗數(shù)據(jù)）經(jīng)驗數(shù)據(jù)在土力學(xué)、基礎(chǔ)工程、彈性地基梁、巖上工程的書上，通常都有基在土力學(xué)、基礎(chǔ)工程、彈性地基梁、巖上工程的書上，通常都有基床系數(shù)床系數(shù)k k的經(jīng)驗數(shù)據(jù)。但我們不知道這些經(jīng)驗數(shù)據(jù)得來的背景和試的經(jīng)驗數(shù)據(jù)。但我們不知道這些經(jīng)驗數(shù)據(jù)得來的背景和試驗條件，所以不能簡單的照搬和硬用，這些經(jīng)驗數(shù)據(jù)有參考價值，驗條件，所以不能簡單的照搬和硬用，這些經(jīng)驗數(shù)據(jù)有參考價值，可以用于估算或用于初步設(shè)計可以用于估算或用于初步設(shè)計。3、文克爾彈性地基梁理論的一般方程、文克爾彈性地基梁理論的一般方程（9/99/9）1 1、無限長梁

31、受、無限長梁受集中力作用集中力作用 為為系數(shù)，可查系數(shù)，可查彈彈性地基梁及矩形性地基梁及矩形板計算板計算(中國中國船舶工業(yè)總公司船舶工業(yè)總公司第九設(shè)計研究院第九設(shè)計研究院編，國防工業(yè)出編，國防工業(yè)出版社，版社，1983年年)或或彈性地基梁彈性地基梁的計算的計算(龍馭龍馭球編，高等教育球編，高等教育出版社，出版社，1985年年)。xxxxDCBA、4 4、無限長梁及半無限長梁無限長梁及半無限長梁（1/12）4 4、無限長梁及半無限長梁無限長梁及半無限長梁（2/12）2、無限長梁受集中力偶作用、無限長梁受集中力偶作用4 4、無限長梁及半無限長梁無限長梁及半無限長梁（3/12）4 4、無限長梁及半無

32、限長梁無限長梁及半無限長梁（4/12）4 4、無限長梁上局部受均布荷載的計算、無限長梁上局部受均布荷載的計算所求截面處在均布荷載段內(nèi)時所求截面處在均布荷載段內(nèi)時所求截面處在均布荷載段之外時所求截面處在均布荷載段之外時上述兩種問題的解答見同濟(jì)大學(xué)編上述兩種問題的解答見同濟(jì)大學(xué)編多層及高層房屋結(jié)構(gòu)設(shè)計多層及高層房屋結(jié)構(gòu)設(shè)計下冊下冊(上海科學(xué)上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，技術(shù)出版社，1982年年)。4 4、無限長梁及半無限長梁無限長梁及半無限長梁（5/12）5 5、半無限長梁，有限端自由并受集中力和力偶作用、半無限長梁，有限端自由并受集中力和力偶作用梁僅在荷載作用點的一側(cè)滿足條件梁僅在荷載作用點的一側(cè)滿足條件

33、 ，即屬無限長梁，而在荷載作，即屬無限長梁，而在荷載作用點的另一側(cè)則不滿足用點的另一側(cè)則不滿足 ，此時稱為半無限長梁。，此時稱為半無限長梁。因為梁上沒有均布荷載，故有：因為梁上沒有均布荷載，故有：ll4 4、無限長梁及半無限長梁無限長梁及半無限長梁（6/12）4 4、無限長梁及半無限長梁無限長梁及半無限長梁（7/12）6、半無限長梁在距梁端、半無限長梁在距梁端a處集中力或集中力偶時情況處集中力或集中力偶時情況這種情況可查清華大學(xué)這種情況可查清華大學(xué)彈性地基梁的計算彈性地基梁的計算(龍馭球編，高等龍馭球編，高等教育出版社，教育出版社，1985年年)或查同濟(jì)大學(xué)編或查同濟(jì)大學(xué)編多層及高層房屋結(jié)構(gòu)多

34、層及高層房屋結(jié)構(gòu)設(shè)計設(shè)計(上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1982年年)，都是實用數(shù)表。，都是實用數(shù)表。4 4、無限長梁及半無限長梁無限長梁及半無限長梁（8/12）7、半無限長梁，有限端鉸支，全長受均布荷載、半無限長梁，有限端鉸支，全長受均布荷載座標(biāo)系和荷載如下圖示座標(biāo)系和荷載如下圖示,因為梁上有均布荷載，所以應(yīng)該用方因為梁上有均布荷載，所以應(yīng)該用方程式程式(3-10)，即，即4 4、無限長梁及半無限長梁無限長梁及半無限長梁（9/12）4 4、無限長梁及半無限長梁無限長梁及半無限長梁（10/12）8、半無限長梁，有限端固定，全長受均布荷載、半無限長梁，有限端固定，全長受均布荷載4 4、

35、無限長梁及半無限長梁無限長梁及半無限長梁（11/12）9、有邊載時的地基反力和梁的內(nèi)力計算、有邊載時的地基反力和梁的內(nèi)力計算 在半無限長彈性地基梁中，當(dāng)荷載作用在地基梁跨度以外在半無限長彈性地基梁中，當(dāng)荷載作用在地基梁跨度以外(稱稱邊載邊載)的地表面時，也會產(chǎn)生地基反力和梁的內(nèi)力。計算見清華的地表面時，也會產(chǎn)生地基反力和梁的內(nèi)力。計算見清華大學(xué)龍馭球大學(xué)龍馭球彈性地基梁的計算彈性地基梁的計算(高等教育出版社，高等教育出版社，1985)中中有關(guān)數(shù)表。有關(guān)數(shù)表。4 4、無限長梁及半無限長梁無限長梁及半無限長梁（12/12）有限長梁有限長梁 的計算的計算實際的基礎(chǔ)梁大多不能看成是無限長實際的基礎(chǔ)梁大

36、多不能看成是無限長梁。對于有限長梁，梁。對于有限長梁，要考慮荷載作用要考慮荷載作用對梁端的影響對梁端的影響。通?？赏ǔ？衫脽o限長梁和疊加原理利用無限長梁和疊加原理求得。求得。基本思路：基本思路：（1）把受有荷載的有限長梁）把受有荷載的有限長梁 (實際梁實際梁)由由A、B兩端向外延伸到無限，這樣形成兩端向外延伸到無限，這樣形成無限長梁無限長梁，此時梁，此時梁上上A、B兩點的彎兩點的彎矩和剪力分別為矩和剪力分別為Ma, Va。和。和Mb , Vb；（2）在梁且的）在梁且的A,B兩點外側(cè)，特意分別兩點外側(cè)，特意分別施加一對附加集中荷載施加一對附加集中荷載MA、PA和和MB、PB。(其正方向如圖所示

37、其正方向如圖所示)，并要求這兩對附加，并要求這兩對附加荷載在荷載在A ,B截面中應(yīng)生的彎矩和剪力分截面中應(yīng)生的彎矩和剪力分別等于別等于-Ma，-Va和和-Mb、-Vb。（3）根據(jù)）根據(jù)梁端邊界條件梁端邊界條件及及疊加原理疊加原理求解。求解。因為實際上梁因為實際上梁的兩端是自由的兩端是自由端，不存在任何內(nèi)力。這樣正端，不存在任何內(nèi)力。這樣正好抵消了梁好抵消了梁在外荷載作用下在外荷載作用下A , B兩截面處的內(nèi)力，其效果相當(dāng)兩截面處的內(nèi)力，其效果相當(dāng)于把梁于把梁在在A和和B處切斷。因此，處切斷。因此，有限長梁有限長梁I的內(nèi)力與無限長梁且的內(nèi)力與無限長梁且在外荷載和附加集中荷載作用在外荷載和附加集中

38、荷載作用下疊加的結(jié)果相當(dāng)。下疊加的結(jié)果相當(dāng)。5 5、有限長梁的計算有限長梁的計算（1/4）由于由于P PA A、M MA A和和P PB B、M MB B是為了梁且上實現(xiàn)梁是為了梁且上實現(xiàn)梁I I的邊界條件所必須的附加荷的邊界條件所必須的附加荷載，所以叫作載，所以叫作梁端邊界條件梁端邊界條件。根據(jù)上述條件，有根據(jù)上述條件，有: :5 5、有限長梁的計算有限長梁的計算（2/4）求解上式得：求解上式得：式中：式中：5 5、有限長梁的計算有限長梁的計算（3/4）有限長梁的具體計算步驟有限長梁的具體計算步驟 把有限長梁把有限長梁延長到無限長，計算無限長梁延長到無限長，計算無限長梁上相應(yīng)于梁上相應(yīng)于梁兩

39、端兩端的的A A和和B B截面由于外荷載引起的內(nèi)力截面由于外荷載引起的內(nèi)力M Ma a,V,Va a和和M Mb b,V,Vb b；計算梁端附加荷載計算梁端附加荷載P PA A，M MA A和和P PB B，M MB B; ;再按疊加原理計算在已知荷載和虛擬荷載共同作用下梁再按疊加原理計算在已知荷載和虛擬荷載共同作用下梁上相應(yīng)上相應(yīng)于梁于梁各點的內(nèi)力。這就是有限長梁各點的內(nèi)力。這就是有限長梁I I的解。的解。5 5、有限長梁的計算有限長梁的計算（4/4）剛性梁剛性梁 的計算的計算 當(dāng)當(dāng) ， 是作用荷載作用點或荷載作用中心距梁端或距坐標(biāo)是作用荷載作用點或荷載作用中心距梁端或距坐標(biāo)原點的距離，此時

40、稱為原點的距離，此時稱為剛性梁或短梁剛性梁或短梁。 很小，說明梁的很小，說明梁的EI很大，很大， 很小，此時梁的剛度很大，不大可能彎曲很小，此時梁的剛度很大，不大可能彎曲(彈性變形彈性變形)。當(dāng)。當(dāng) 0.5,甚至甚至 0 時，稱為時，稱為絕對剛性梁絕對剛性梁。梁只能產(chǎn)生剛體的移動和轉(zhuǎn)動，。梁只能產(chǎn)生剛體的移動和轉(zhuǎn)動，梁的位移梁的位移(撓度撓度)、地基的沉降、地基的反力分布均呈線性狀態(tài)，適、地基的沉降、地基的反力分布均呈線性狀態(tài)，適用地基反力的直線分布模型用地基反力的直線分布模型(理論、假定理論、假定)。具體的分析計算方法有用具體的分析計算方法有用倒梁法倒梁法，也有用，也有用多跨靜定梁法多跨靜定

41、梁法。倒梁法分析結(jié)果倒梁法分析結(jié)果-M偏大偏大(在跨中，基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的上表面，凸向上方在跨中，基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的上表面，凸向上方)，靜定梁法分析結(jié)果靜定梁法分析結(jié)果+M偏大偏大(在柱位處，基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的下表面，凸向下在柱位處，基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的下表面，凸向下方方)。為了設(shè)計安全，在跨中、在柱位處都用最大值或偏大值，都按。為了設(shè)計安全，在跨中、在柱位處都用最大值或偏大值，都按最大值配筋。這也不合理。倒梁法和靜定梁法混著用，有待在實踐最大值配筋。這也不合理。倒梁法和靜定梁法混著用，有待在實踐中改進(jìn)。中改進(jìn)。llllll6 6、剛性梁的計算剛性梁的計算(1/4)剛性梁剛性梁簡化計算方法簡化計算方法采用基底壓力呈直線分布假設(shè)

42、，用采用基底壓力呈直線分布假設(shè)，用倒梁法倒梁法或或靜定分析法靜定分析法計計算。算。簡化計算方法僅滿足靜力平衡條件，是最常用的設(shè)計方法。簡化計算方法僅滿足靜力平衡條件，是最常用的設(shè)計方法。簡化方法適用于柱荷載比較均勻、柱距相差不大，基礎(chǔ)對簡化方法適用于柱荷載比較均勻、柱距相差不大，基礎(chǔ)對地基的相對剛度較大，以致可忽略柱間的不均勻沉降的影響地基的相對剛度較大，以致可忽略柱間的不均勻沉降的影響的情況。的情況。靜定分析法適用于上部結(jié)構(gòu)剛度很小。靜定分析法適用于上部結(jié)構(gòu)剛度很小。倒梁法假定上部結(jié)構(gòu)絕對剛性。倒梁法假定上部結(jié)構(gòu)絕對剛性。6 6、剛性梁的計算剛性梁的計算(2/4)倒梁法（假定上部結(jié)構(gòu)剛性）倒

43、梁法（假定上部結(jié)構(gòu)剛性）按柱的平面布置和構(gòu)造要求確定條形基礎(chǔ)長度按柱的平面布置和構(gòu)造要求確定條形基礎(chǔ)長度L L，根據(jù)地基，根據(jù)地基承載力特征值確定基礎(chǔ)底面積承載力特征值確定基礎(chǔ)底面積A A，以及基礎(chǔ)寬度，以及基礎(chǔ)寬度B=A/LB=A/L和截面和截面抵抗矩。抵抗矩。按直線分布假設(shè)計算基底凈反力按直線分布假設(shè)計算基底凈反力確定柱下條形基礎(chǔ)的計算簡圖，系為將柱腳作為不動鉸支確定柱下條形基礎(chǔ)的計算簡圖，系為將柱腳作為不動鉸支座的倒連續(xù)梁。座的倒連續(xù)梁。進(jìn)行連續(xù)梁分析，可用彎矩分配法、連續(xù)梁系數(shù)表等方法。進(jìn)行連續(xù)梁分析，可用彎矩分配法、連續(xù)梁系數(shù)表等方法。按求得的內(nèi)力進(jìn)行梁截面設(shè)計。按求得的內(nèi)力進(jìn)行梁截

44、面設(shè)計。翼板的內(nèi)力和截面設(shè)計與擴展式基礎(chǔ)相同。翼板的內(nèi)力和截面設(shè)計與擴展式基礎(chǔ)相同。6 6、剛性梁的計算剛性梁的計算(3/4)靜定分析法靜定分析法 因為基礎(chǔ)因為基礎(chǔ)( (包括覆土包括覆土) )的自的自重不引起內(nèi)力，故可根據(jù)基底重不引起內(nèi)力，故可根據(jù)基底的凈反力來作內(nèi)力分析。的凈反力來作內(nèi)力分析。 求出凈反力分布后，基礎(chǔ)求出凈反力分布后，基礎(chǔ)上所有的作用力都已確定，便上所有的作用力都已確定，便可按靜力平衡條件計算出任一可按靜力平衡條件計算出任一截面上的彎矩截面上的彎矩M Mi i和剪力和剪力V Vi i，如右，如右圖示選取若干截面進(jìn)行計算，圖示選取若干截面進(jìn)行計算，然后繪制彎矩、剪力圖。然后繪制

45、彎矩、剪力圖?；變舴戳Γ夯變舴戳Γ?minmax6blMblFpiijjiF式中：式中： -上部建筑物作用在基礎(chǔ)梁上的各垂上部建筑物作用在基礎(chǔ)梁上的各垂直荷載直荷載(包括均布荷載包括均布荷載q在內(nèi)在內(nèi))之總和之總和; -各外荷載對基礎(chǔ)梁中點的力矩代數(shù)各外荷載對基礎(chǔ)梁中點的力矩代數(shù)和和;iM6 6、剛性梁的計算剛性梁的計算(4/4) 雙向地基梁雙向地基梁在荷載很大、地基在荷載很大、地基承載力又弱時，對承載力又弱時，對于柱下彈性地基梁于柱下彈性地基梁基礎(chǔ)也可以在縱、基礎(chǔ)也可以在縱、橫兩個方向上同時橫兩個方向上同時布置，如右圖所示。布置，如右圖所示。這種這種雙向彈性地基雙向彈性地基梁基礎(chǔ)梁基礎(chǔ)又

46、叫又叫井字梁井字梁基、交梁基礎(chǔ)、十基、交梁基礎(chǔ)、十字交叉條形基礎(chǔ)字交叉條形基礎(chǔ)。 是一種空間結(jié)構(gòu)是一種空間結(jié)構(gòu)7 7、雙向彈性地基梁雙向彈性地基梁(1/7) 雙向彈性地基梁基礎(chǔ)雙向彈性地基梁基礎(chǔ)是一種空間結(jié)構(gòu)，應(yīng)用彈性半無限是一種空間結(jié)構(gòu)，應(yīng)用彈性半無限空間體理論的精確計算十分麻煩。空間體理論的精確計算十分麻煩。 一般常采用各種簡化計算法。一般常采用各種簡化計算法。 此處僅下面僅簡單介紹此處僅下面僅簡單介紹簡化計算的原則：簡化計算的原則：通常用簡化計通常用簡化計算方法即算方法即在縱、橫梁交叉處假定為鉸接或上、下疊接狀態(tài)在縱、橫梁交叉處假定為鉸接或上、下疊接狀態(tài)。這樣作用在節(jié)點處的這樣作用在節(jié)點處的彎矩彎矩M就可不在縱、橫方向分配就可不在縱、橫方向分配，分別由，分別由縱向和橫向基礎(chǔ)梁來承受，僅需對縱向和橫向基礎(chǔ)梁來承受，僅需對作用在節(jié)點處的豎向力在作用在節(jié)點處的豎向力在縱、橫兩個方向上進(jìn)行分配縱、橫兩個方向上進(jìn)行分配，分配后就，分配后就分別計算兩個方向上分別計算兩個方向上的彈性地基梁的彈性地基梁。在計算中忽略了扭矩的影響，引起的