初中數(shù)學(xué)“應(yīng)用性問題”總復(fù)習(xí)要過好“三關(guān)”

1、初中數(shù)學(xué)“應(yīng)用性問題”總復(fù)習(xí)要過好“三關(guān)”初中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)指出，學(xué)生要會(huì)應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題,能適應(yīng)社會(huì)日常生活和生產(chǎn)勞動(dòng)的基本需要。初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)目的之一,就是培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力,要求學(xué)生會(huì)分析和解決生產(chǎn)、生活中的數(shù)學(xué)問題,形成善于應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力。從各省市近幾年的中考數(shù)學(xué)命題來看,也更關(guān)注學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題能力的考查,可以說培養(yǎng)學(xué)生解答應(yīng)用題的能力是使學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的基本途徑之一。 一、當(dāng)前“應(yīng)用性問題”教學(xué)存在的不足。一些教師常常在應(yīng)用題教學(xué)時(shí)，抱怨“應(yīng)用題我都講了千百遍，學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)一點(diǎn)也不見增強(qiáng)，遇到應(yīng)用題總是一籌莫展”，“學(xué)生

2、對(duì)應(yīng)用題的閱讀理解能力太差了”。長期以來，由于受傳統(tǒng)的教學(xué)模式影響，出現(xiàn)了學(xué)生重課本、輕生活，加上學(xué)生的生活閱歷有限，對(duì)應(yīng)用題的背景和情境不熟，另外，很多學(xué)生遇到文字比較長的應(yīng)用題不知道怎樣去分析，去尋找題中的數(shù)量關(guān)系，不知道怎樣把實(shí)際問題化成一個(gè)數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型。有教師曾做過一次調(diào)查，針對(duì)所教的初一兩個(gè)班的學(xué)生，入學(xué)后的第一次期中考試應(yīng)用題的得分情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果是這樣的：  考試中遇到應(yīng)用題，有信心，可以很快找到解題方法的只占21；信心不足，但會(huì)盡力去想辦法解決，爭(zhēng)取多得分的占42.1；沒有信心，根本不知道應(yīng)用題該如何下手的占36.9。我們?cè)谙滦Ｂ犝n調(diào)研中也發(fā)現(xiàn),越是到

3、初中二年級(jí)以后,學(xué)生應(yīng)用題解題能力越產(chǎn)生極大的兩極分化。由于一些學(xué)生覺得解應(yīng)用題，要用到代數(shù)的計(jì)算，會(huì)很復(fù)雜，難于計(jì)算。從上述的調(diào)查、調(diào)研結(jié)果看，大多數(shù)學(xué)生對(duì)解應(yīng)用題存在畏難情緒，信心嚴(yán)重不足。二、解決“應(yīng)用性問題”要過好“三關(guān)”。針對(duì)以上分析的教學(xué)現(xiàn)狀和存在的不足,我們?cè)谶M(jìn)行初中數(shù)學(xué)“應(yīng)用性問題”總復(fù)習(xí)時(shí)，要讓學(xué)生過好如下“三關(guān)”。（一）閱讀理解關(guān)。在應(yīng)用題的閱讀、審題、理解題意時(shí)，要注意“三讀”。一是“粗讀”。應(yīng)用題實(shí)際上就是一篇說明文，文字較多，信息量較大，需要快速地瀏覽一遍，了解題目的大意，講述的是什么事件，屬哪一類問題（如利率問題、行程問題、工程問題等）。條件是什么，要求是什么。同時(shí)

4、要求學(xué)生手腦結(jié)合在一起，一邊讀、一邊記、一邊畫出相應(yīng)的示意圖。便于查看，防止信息的遺漏。二是“細(xì)讀”。在細(xì)讀中抓住題目中的關(guān)鍵詞和重要語句，將其畫出來。要求學(xué)生在粗讀的基礎(chǔ)上逐字、逐詞、逐句進(jìn)行細(xì)讀，弄清含義及相互聯(lián)系。對(duì)一些字詞在解題中往往起到關(guān)鍵作用，務(wù)必抓住、用準(zhǔn)，比如“增加了”、“增加到”、“至多”、“至少”、“都是”、“都不是”等。另外，還要注意到題目中提供的信息，弄清其內(nèi)涵和外延。三是“精讀”。閱讀應(yīng)用題重在領(lǐng)會(huì)，精讀的關(guān)鍵就是把應(yīng)用題的抽象內(nèi)容轉(zhuǎn)化為具體內(nèi)容，把圖像、符號(hào)轉(zhuǎn)化為文字表述，把文字表述的關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖表、符號(hào)，使大腦建立起靈活的轉(zhuǎn)化機(jī)制。例1：某學(xué)校組織八年級(jí)學(xué)生參加社

5、會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，若單獨(dú)租用35座客車若干輛，則剛好坐滿；若單獨(dú)租用55座客車，則可以少租一輛，且余45個(gè)空座位。（1）求該校八年級(jí)學(xué)生參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的人數(shù)；（2）已知35座客車的租金為每輛320元，55座客車的租金為每輛400元。根據(jù)租車資金不超過1500元的預(yù)算，學(xué)校決定同時(shí)租用這兩種客車共4輛（可以坐不滿）。請(qǐng)你計(jì)算本次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)所需車輛的租金。對(duì)于本題的“三讀”可這樣進(jìn)行：先“粗讀”：把題目快速的瀏覽一遍，了解到題目的大意是：八年級(jí)的學(xué)生坐客車去參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)。 條件是：?jiǎn)为?dú)租用35座客車，剛好坐滿，且每輛租金320元。單獨(dú)租用55座客車，則可以少租一輛，且余45個(gè)空座位，每輛租金40

6、0元。同時(shí)租用這兩種客車共4輛（可以坐不滿）。要求的是：八年級(jí)學(xué)生的人數(shù)。本次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)所需車輛的租金。再“細(xì)讀”：找關(guān)鍵詞：“剛好坐滿”、“少租一輛”、“空座位”、“不超過”、“坐不滿”。重要語句：若單獨(dú)租用35座客車若干輛，則剛好坐滿；若單獨(dú)租用55座客車，則可以少租一輛，且余45個(gè)空座位。租車資金不超過1500元的預(yù)算。兩種客車共4輛（可以坐不滿）后“精讀”：把文字表述轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言：若單獨(dú)租用35座客車若干輛，則剛好坐滿；若單獨(dú)租用55座客車，則可以少租一輛，且余45個(gè)空座位，轉(zhuǎn)化為：用35座客車所載的學(xué)生數(shù)=用55座客車所載的學(xué)生數(shù)。 租車資金不超過1500元，轉(zhuǎn)化為：租用35座客

7、車所需的資金+租用55座客車所需的資金1500。把文字表述轉(zhuǎn)化為圖表：（1）設(shè)租用35座客車x 輛，則租用55座客車（x-1）輛。列表如下：  35座的客車55座的客車租用車輛 x x-1學(xué)生數(shù) 35x55（x-1）-45利用學(xué)生數(shù)不變列方程，即35x=55（x-1）-45 解得x=5（2）設(shè)租用35座客車x 輛，則租用35座客車（4-x）輛。列表如下：  35座的客車55座的客車租用車輛 x 4-x學(xué)生數(shù) 35x55（4-x）租 金320x400（4-x）利用學(xué)生可以坐不滿和不超過1500列出下列不等式：35x+55（4-x）175320x+400（4-x）1500 解得

8、：x， 又x為整數(shù)，x=2（二）建模能力關(guān)。       為了提高學(xué)生解應(yīng)用題的能力，常見許多教師的做法是猜題、押題、抓題型，其結(jié)果是面面俱到，但最終卻一無所獲，這種灌輸式的教學(xué)模式，可能對(duì)于純而又純的數(shù)學(xué)題型或許有用，但對(duì)問題情景開放的應(yīng)用題的教學(xué)，真正的思想方法是數(shù)學(xué)建模。所謂數(shù)學(xué)建模就是在閱讀材料、理解題意的基礎(chǔ)上，把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，并對(duì)獲取的信息進(jìn)行分析加工、去粗取精、抽象概括，利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的數(shù)學(xué)模型有：對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中普遍存在的數(shù)量關(guān)系中抽象成的方程（組）的模型；對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中普

9、遍存在的不等關(guān)系中抽象成的不等式（組）的模型；對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中普遍存在的變量關(guān)系中抽象成的函數(shù)模型；涉及圖象的位置變化、性質(zhì)特征的幾何模型等。1、建立方程（組）模型。例2某天，一蔬菜經(jīng)營戶用60元錢從蔬菜批發(fā)市場(chǎng)批了西紅柿和豆角共40kg到菜市場(chǎng)去賣，西紅柿和豆角這天的批發(fā)價(jià)與零售價(jià)如下表所示：品名西紅柿豆角批發(fā)價(jià)（單位：元/kg）1216零售價(jià)（單位：元/kg）1825問：他當(dāng)天賣完這些西紅柿和豆角能賺多少錢？分析：在完成“三讀”的基礎(chǔ)上，寫出等量關(guān)系式：（1）（批發(fā)西紅柿的數(shù)量）+（批發(fā)豆角的數(shù)量）=40（2）（ 批發(fā)西紅柿用的錢數(shù)）+（批發(fā)豆角用的錢數(shù)）=60（3） &#

10、160; 賺的錢數(shù)=（零售收入的總錢數(shù)）（批發(fā)用的總錢數(shù)）用代數(shù)式表示相關(guān)量，建立數(shù)學(xué)模型：設(shè)批發(fā)西紅柿的數(shù)量為x千克，批發(fā)豆角數(shù)量為y千克，則批發(fā)西紅柿的錢數(shù)為1 .2x，批發(fā)豆角的錢數(shù)1.6y，則可建立如下方程組模型：x+y=40 解得 x=101.2x+1.6y=60 y=30賺的錢數(shù)=1.8×10+2.5×30-60=332、建立不等式（組）模型。例3：某飲料廠開發(fā)了A、B兩種新型飲料，主要原料均為甲和乙，每瓶飲料中甲、乙的含量如下表所示.現(xiàn)用甲原料和乙原料各2800克進(jìn)行試生產(chǎn)，計(jì)劃生產(chǎn)A、B兩種飲料共100瓶.設(shè)生產(chǎn)A種飲料x瓶，解答下列問題

11、：（1）有幾種符合題意的生產(chǎn)方案？寫出解答過程；（2）如果A種飲料每瓶的成本為2.60元，B種飲料每瓶的成本為2.80元，這兩種飲料成本總額為y元，請(qǐng)寫出y與x之間的關(guān)系式，并說明x取何值時(shí)會(huì)使成本總額最低.原料名稱飲料名稱甲乙A20克40克B30克20克分析：本題沒有明顯的不等關(guān)系的條件，因此很容易誤認(rèn)為是利用二元一次方程組來解.由于題目中并沒有交代兩種材料必須全部用完，因此只要所用的原料甲、乙不要超過庫存量即可，這就是本題條件所隱含的兩個(gè)不等關(guān)系，列出不等式組，根據(jù)不等式組即可求出x的取值范圍.解答：（1）設(shè)生產(chǎn)A種飲料x瓶，根據(jù)題意得：.解這個(gè)不等式組，得20x40.其中正整數(shù)解共有21

12、個(gè)，符合題意的生產(chǎn)方案有21種.（2）根據(jù)題意，得y=2.6x+2.8（100x）.整理，得y=0.2x+280.k=0.2<0，y隨x的增大而減小.當(dāng)x=40時(shí)，成本總額最低.復(fù)習(xí)此類問題時(shí)，要求學(xué)生既要讀懂題意，更要看懂圖表，獲得正確的信息，確定問題中的不等關(guān)系，從而把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為不等式組來解決，即通過構(gòu)建不等式組模型來解決實(shí)際應(yīng)用題.3、建立函數(shù)模型。例4煤炭是萍鄉(xiāng)市主要礦產(chǎn)資源之一，每天有大量的煤炭運(yùn)往外地。某煤礦現(xiàn)有100噸煤炭要運(yùn)往外甲、乙兩廠。通過了解獲得甲、乙兩廠的有關(guān)信息如下表：（表中運(yùn)費(fèi)“元/t·km”表示每噸煤炭運(yùn)送一千米所需人民幣）廠別運(yùn)費(fèi)（元/t&#

13、183;km）路程（km）所需的噸數(shù)（t）甲廠1150不超過60乙廠12100不超過80要把100噸煤全部運(yùn)出，試寫出總運(yùn)費(fèi)y（元）與運(yùn)往甲廠x（噸）煤炭之間的函數(shù)關(guān)系式；如果你是該礦的礦主，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出合理的運(yùn)送方案，使所需的總運(yùn)費(fèi)最低，并求出最低的總運(yùn)費(fèi)。分析：本題是函數(shù)解決策略類問題，可按下面的方法建立數(shù)學(xué)模型：步驟一：在完成“三讀”的基礎(chǔ)上，寫出等量關(guān)系式：（1） （運(yùn)往甲廠的煤）+（運(yùn)往乙廠的煤）=100（2）    總運(yùn)費(fèi)=（運(yùn)往甲廠的煤的費(fèi)用）+（運(yùn)往乙廠的煤的費(fèi)用）（3）   隱含的條件：（運(yùn)往甲廠的煤

14、）60；（運(yùn)往乙廠的煤）80步驟二：導(dǎo)入數(shù)學(xué)符號(hào)或用題目給定的符號(hào)列代數(shù)式，建立函數(shù)模型：運(yùn)往甲廠的煤為x（噸），則由（1）得：運(yùn)往乙廠的煤為（100x）噸，由（2）得：y=150x+100（100x）×1.2，化簡(jiǎn)得y=30x+12000，而由（3）得：x60，100x80。故解不等式組得20x60，因y=30x+12000中，y隨x的增大而增大，故當(dāng)x=20時(shí)運(yùn)費(fèi)最低，最低y=30×20+12000=12600元。4、建立幾何模型。例5：（2005年泉州中考題）如圖是某居民小區(qū)的一塊直角三角形空地ABC，一直角邊BC=60米，tanB=。現(xiàn)要利用這塊空地建一個(gè)矩形停車場(chǎng)

15、DCFE，使得D點(diǎn)在BC邊上，E、F分別是AB、AC邊的中點(diǎn)。（1） 求另一條直角邊AC的長度；（2） 求停車場(chǎng)DCFE的面積；（3） 為了提高空地利用率，現(xiàn)要在剩余的BDE中，建一個(gè)半圓形的花壇，使它的圓心在BE邊上，且使花壇的面積達(dá)到最大，請(qǐng)你在原圖中畫出花壇的草圖，求出它的半徑（不要求說明面積最大的理由），并求此時(shí)直角三角形空地ABC的總利用率是百分之幾（精確到1%）？點(diǎn)評(píng)：本題以居民小區(qū)要建一個(gè)矩形停車場(chǎng)為背景，綜合利用了幾何圖形：三角形、矩形、圓形的一些基本知識(shí)和重要性質(zhì)、定理，來構(gòu)建幾何模型進(jìn)行解答。答案：（1）60米，（2）1200米2（3）半徑為米，總利用率約69%5、建立綜合

16、模型。有些應(yīng)用題，不是只單純利用上面所介紹的某種一模型就能解決的，有時(shí)要綜合利用多種模型和各種知識(shí)才能解決的。例6：（2009南安·質(zhì)檢）我市2009年初中畢業(yè)生升學(xué)體育考試規(guī)定的考試項(xiàng)目，除必考項(xiàng)目外，考生可在以下項(xiàng)目中任選兩項(xiàng)：.立定跳遠(yuǎn)；.一分鐘跳繩；.擲實(shí)心球；.一分鐘仰臥起坐（女）.（1）請(qǐng)直接寫出男生有哪幾種選報(bào)方案（用序號(hào)表示）；（2）某校初三年（1）班有50名同學(xué)，全部按規(guī)定報(bào)名參加體育考試，其中30%的男生和50%的女生共19人選報(bào)相同的某一種方案.求該班男生、女生各有多少人？若全班選報(bào)項(xiàng)目的人數(shù)是選報(bào)項(xiàng)目人數(shù)的3倍，選報(bào)項(xiàng)目的人數(shù)是選報(bào)項(xiàng)目人數(shù)的4倍，選報(bào)項(xiàng)目的人

17、數(shù)不超過30人.求選報(bào)項(xiàng)目的人數(shù).分析：解答本題要結(jié)合“體育考試”的一些基本常識(shí)，并綜合利用方程組模型和不等式模型才能解決?？疾榱藢W(xué)生綜合應(yīng)用“基本常識(shí)”和“書本知識(shí)”的能力。解答：(1)男生共有、三種選報(bào)方案.(2) 設(shè)該班有男生人、女生人，依題意得： ，解得 答：該班有男生30人，女生20人. 設(shè)選報(bào)項(xiàng)目的有人，則選報(bào)項(xiàng)目的有人，選報(bào)項(xiàng)目的有人，全班選報(bào)的各項(xiàng)目總數(shù)為. 依題意得: ，解得：. 由第題可知，20個(gè)女生中至少有10人不選報(bào)項(xiàng)目，所以.又是整數(shù)，取9或10 . 答：選報(bào)項(xiàng)目的人數(shù)為9或10. （三）計(jì)算能力關(guān)。在應(yīng)用題教學(xué)中，許多老師講題時(shí)，只完成一半，即講到建立方程（組）、不等式（組）、函數(shù)模型后，就直接寫出答案，忽略了計(jì)算求解過程的指導(dǎo)與方法提示。殊不知，有些計(jì)算，學(xué)生很容易出錯(cuò)，有的計(jì)算有多種解法，而許多學(xué)生沒有采用最簡(jiǎn)便的方法，造成計(jì)算步驟繁雜、結(jié)果出錯(cuò)，失分嚴(yán)重。 例7（2009年泉州中考題27）如圖，等腰梯形花圃ABCD的底邊AD靠墻，另三邊用長為40米的鐵欄桿圍成，設(shè)該花圃的腰AB的長為x米.(1)請(qǐng)求出底邊BC的長（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若BAD=60°, 該花圃的面積為S米2.求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式（要指出自變量x的取值范圍），并求當(dāng)S=時(shí)x的值；如果墻長為24米，試問S有最大值還是最小值？這個(gè)值是多少？分析：在第（1）題中，