2015高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)配套文檔：第7章 第6節(jié)　空間向量的運(yùn)算及空間位置關(guān)系

1、第六節(jié)空間向量的運(yùn)算及空間位置關(guān)系【考綱下載】1了解空間直角坐標(biāo)系，會(huì)用空間直角坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置2會(huì)推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間的距離公式3了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示4掌握空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示5掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線(xiàn)與垂直1空間向量的有關(guān)概念(1)空間向量：在空間中，具有大小和方向的量叫做空間向量(2)相等向量：方向相同且模相等的向量(3)共線(xiàn)向量：表示空間向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)互相平行或重合的向量(4)共面向量：平行于同一個(gè)平面的向量2空間向量中的有關(guān)定理(1)共線(xiàn)向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向

2、量a，b(b0)，ab存在唯一一個(gè)R，使ab.(2)共面向量定理：若兩個(gè)向量a、b不共線(xiàn)，則向量p與向量a，b共面存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使pxayb.(3)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z使得pxaybzc.3兩個(gè)向量的數(shù)量積(1)非零向量a，b的數(shù)量積a·b|a|b|cosa，b(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合律：(a)·b(a·b)；交換律：a·bb·a；分配律：a·(bc)a·ba·c.4空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a(a1，a

3、2，a3)，b(b1，b2，b3)，向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·ba1b1a2b2a3b3共線(xiàn)ab(b0)a1b1，a2b2，a3b3垂直a·b0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|夾角a，b(a0，b0)cosa，b1空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)平面把空間分成幾部分？坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？1 / 5提示：空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)平面將空間分成8部分坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)是另外兩個(gè)坐標(biāo)均為零2對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，若ab0，則一定有a0或b0，而對(duì)于向量a，b，若a·b0，則一定有a0或b0嗎？提示：不一定因?yàn)楫?dāng)a0且b0時(shí)，若ab，也有a·b0.3

4、對(duì)于非零向量b，由a·bb·cac，這一運(yùn)算是否成立？提示：不成立根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，a·bb·c說(shuō)明a在b方向上的投影與c在b方向上的投影相等，而不是ac.1(教材習(xí)題改編)下列命題：若A、B、C、D是空間任意四點(diǎn)，則有0；|a|b|ab|是a、b共線(xiàn)的充要條件；若a、b共線(xiàn)，則a與b所在直線(xiàn)平行；對(duì)空間任意一點(diǎn)O與不共線(xiàn)的三點(diǎn)A、B、C，若xyz (其中x、y、zR)，則P、A、B、C四點(diǎn)共面其中不正確命題的個(gè)數(shù)是()A1 B2 C3 D4解析：選B正確；對(duì)于，|a|b|ab|是a、b共線(xiàn)的充分不必要條件；對(duì)于，a與b所在的直線(xiàn)可能是同一條直線(xiàn)

5、，故錯(cuò)2已知正方體ABCD­A1B1C1D1中，點(diǎn)E為上底面A1C1的中心，若xy，則x，y的值分別為()Ax1，y1 Bx1，yCx，y Dx，y1解析：選C易求，故xy.3已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，則與的值可以是()A2， B，C3,2 D2,2解析：選A經(jīng)驗(yàn)證可知，當(dāng)2，時(shí)，a(3,0,2)，b(6,0,4)，即b2a，故ab.4(教材習(xí)題改編)已知a(3,2,5)，b(1，1)若ab，則_.解析：ab，(3)×125×(1)0，4.答案：45. 如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為1，M是所在棱上的中點(diǎn)，N是所在棱上的四分之一分點(diǎn)(靠近y軸)，

6、則M、N之間的距離為_(kāi)解析：由條件知，M，N，故| | .答案： 方法博覽(五)巧用基向量求解立體幾何問(wèn)題典例(2012·浙江高考)已知矩形ABCD，AB1，BC，將ABD沿矩形的對(duì)角線(xiàn)BD所在的直線(xiàn)進(jìn)行翻折，在翻折過(guò)程中()A存在某個(gè)位置，使得直線(xiàn)AC與直線(xiàn)BD垂直B存在某個(gè)位置，使得直線(xiàn)AB與直線(xiàn)CD垂直C存在某個(gè)位置，使得直線(xiàn)AD與直線(xiàn)BC垂直D對(duì)任意位置，三對(duì)直線(xiàn)“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直解題指導(dǎo)本題是研究直線(xiàn)AC與BD、AB與CD、AD與BC是否垂直的問(wèn)題，故可利用向量證明·、·、·是否為0.解析如圖所示，在圖(1)

7、中，易知AECF，BEEFFD.在圖(2)中，設(shè)a，b，c，則a，bb， c90°，a，c，則abc，3b，故·3b210，故AC與BD不垂直，A不正確；ab，bc，所以·a·cb2cos.當(dāng)cos ，即時(shí)，·0，故B正確；a2b，2bc，所以·a·c4b2cos (cos 2)，故無(wú)論為何值，·0，故C不正確答案B點(diǎn)評(píng)1.用向量法解決立體幾何問(wèn)題的關(guān)鍵是找到基底，且該基底既能反映條件的特征，也能方便地與結(jié)論聯(lián)系；例如本題中，翻折過(guò)程中二面角A­BD­C大小在變化，即在變化，因此可以、為基向量，同時(shí)也便于運(yùn)算2注意將平面圖形分析到位，并將已知條件轉(zhuǎn)化到立體圖形中去空間四邊形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45°，OAB60°，則OA與BC所成角的余弦值等于_解析：由題意知· ·(