2015高考數(shù)學（理）一輪復習配套文檔：第7章 第7節(jié)　空間向量在立體幾何中的應用

1、第七節(jié)空間向量在立體幾何中的應用【考綱下載】1理解直線的方向向量與平面的法向量2能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關系3能用向量方法證明有關直線和平面關系的一些定理(包括三垂線定理)4能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題了解向量方法在研究立體幾何問題中的應用1兩個重要向量(1)直線的方向向量直線的方向向量是指和這條直線平行(或重合)的非零向量，一條直線的方向向量有無數(shù)個(2)平面的法向量直線l平面，取直線l的方向向量，則這個向量叫做平面的法向量顯然一個平面的法向量有無數(shù)個，它們是共線向量2空間位置關系的向量表示位置關系向量表示直線l1，

2、l2的方向向量分別為n1，n2.l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1·n20直線l的方向向量為n，平面的法向量為mlnmm·n0lnmnm平面、的法向量分別為n，m.nmnmnmn·m03兩條異面直線所成角的求法設兩條異面直線a，b的方向向量為a，b，其夾角為，則cos |cos |(其中為異面直線a，b所成的角)4直線和平面所成的角的求法如圖所示，設直線l的方向向量為e，平面的法向量為n，直線l與平面所成的角為，向量e與n的夾角為，則有sin |cos |.5求二面角的大小(1)如圖，AB、CD是二面角 ­l­的兩個面內與棱l垂直的直

3、線，則二面角的大小，1 / 6(2)如圖，n1，n2分別是二面角­l­的兩個半平面，的法向量，則二面角的大小n1，n2或n1，n26點到平面的距離的向量求法如圖所示，設AB為平面的一條斜線段，n為平面的法向量，則點B到平面的距離d.1在求平面的法向量時，所列的方程組中有三個變量，但只有兩個方程，如何求法向量？提示：給其中一個變量恰當賦值，求出該方程組的一組非零解，即可作為法向量的坐標2兩向量的夾角的范圍是什么？兩異面直線所成角呢？直線與平面所成角呢？二面角呢？提示：兩向量的夾角范圍是0，；兩異面直線所成角的范圍是；直線與平面所成角的范圍是；二面角的范圍是0，注意以上各角取值

4、范圍的區(qū)別1若直線l的方向向量為a(1,0,2)，平面的法向量為n(2，0，4)，則()Al BlCl Dl與斜交解析：選Ba(1,0,2)，n(2,0，4)n2a，即an.l.2若平面、的法向量分別為n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，則()A BC、相交但不垂直 D以上均不正確解析：選Cn1·n22×(3)(3)×15×(4)0，n1與n2不垂直，與相交但不垂直3已知(2,2,1)，(4,5,3)，則平面ABC的單位法向量為()A. B.C± D.解析：選C設平面ABC的一個法向量n(x，y，z)，則即yz0.令z2，則y2，x1.即n

5、(1，2,2)故其單位法向量n0±±.4在正方體ABCD­A1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為_解析：以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，設棱長為1，則A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，(0,1，1)，設平面A1ED的法向量為n1(1，y，z)，則n1(1,2,2)，平面ABCD的一個法向量為n2(0,0,1)，cosn1，n2.故所成的銳二面角的余弦值為.答案：5正四棱錐S­ABCD中，O為頂點在底面上的射影，P為側棱SD的中點，且SOOD，則直線BC與平面PAC所成的角是_解析：如圖

6、，以O為原點建立空間直角坐標系Oxyz.設ODSOOAOBOCa，則A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P，則(2a,0,0)，(a，a,0)，設平面PAC的一個法向量為n，可求得n(0,1,1)，則cos，n，n60°，直線BC與平面PAC所成的角為90°60°30°.答案：30° 答題模板(六)空間向量在立體幾何中的應用典例(2013·山東高考) (12分)如圖所示，在三棱錐P­ABQ中，PB平面ABQ，BABPBQ，D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，AQ2BD，PD與EQ交于點G，PC

7、與FQ交于點H，連接GH.(1)求證：ABGH；(2)求二面角D­GH­E的余弦值快速規(guī)范審題第(1)問1審結論，明解題方向觀察所求結論：證明ABGH可證明EFGH.2審條件，挖解題信息觀察條件：D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點EFABDCEF平面PCDEFGH.3建聯(lián)系，找解題突破口EFGH，EFABGHAB.第(2)問1審結論，明解題方向觀察所求結論：求二面角D ­GH­E的余弦值轉化為求平面DGH和平面EGH法向量的夾角的余弦值2審條件，挖解題信息觀察條件：BP，BA，BQ兩兩互相垂直求平面DGH的法向量n和平面EGH的法向量m.3

8、建聯(lián)系，找解題突破口求cosm，n求二面角D­GH­E的余弦值,準確規(guī)范答題(1)證明：因為D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，所以EFAB，DCAB.所以EFDC. 1分又EF平面PCD，DC平面PCD，所以EF平面PCD. 2分又EF平面EFQ，平面EFQ平面PCDGH，所以EFGH. 3分又EFAB，所以ABGH. 4分(2)在ABQ中，AQ2BD，ADDQ，所以ABQ90°.又PB平面ABQ，所以BA，BQ，BP兩兩垂直以B為坐標原點，分別以BA，BQ，BP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系設BABQBP2， 則E(1,

9、0,1)，F(xiàn)(0,0,1)，Q(0,2,0)，D(1,1,0)，C(0，1,0)，P(0,0,2)所以(1,2，1)，(0,2，1)，(1，1，2)，(0，1，2) 6分 設平面EFQ的一個法向量為m(x1，y1，z1)，由得取y11，得m(0,1,2) 8分設平面PDC的一個法向量為n(x2，y2，z2)，由得取z21，得n(0,2,1)， 10分所以cosm，n. 11分 因為二面角D­GH­E為鈍角，所以二面角D­GH­E的余弦值為. 12分答題模板速成利用空間向量解決立體幾何問題的一般步驟：第一步審清題意利用條件分析問題，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系 第二步確定相關點的坐標結合建系過程與圖形，準確地寫出相關點的坐標 第三步確立平面的法向量利用點的坐標求出相關直線的方向向量和平面的法向量，若已知某直線垂直某平面，可直接取直線的