《極坐標與參數》題型歸納

1、極坐標與參數方程高考高頻題型除了簡單的極坐標與直角坐標的轉化、參數方程與普通方程的轉化外，還涉及（一）有關圓的題型題型一：圓與直線的位置關系 （圓與直線的交點個數問題）-利用圓心到直線的距離與半徑比較d r :相離，無交點；d r :相切，1個交點；d r :相交，2個交點；用圓心（xo,vo）到直線Ax+Bv+C=O的距離d A. B% C ,算出d，在與半徑比較。A2 B2題型二：圓上的點到直線的最值問題 （不求該點坐標，如果求該點坐標請參照距離最值求法）思路：第一步：利用圓心（xo,vo）到直線Ax+Bv+C=O的距離d IAXO BVO CAV第二步：判斷直線與圓的位置關系第三步：相離

2、：代入公式：dmax d r， dmin d r相切、相交：d max d r d min 0題型三：直線與圓的弦長問題弦長公式I 2 r2 d2，d是圓心到直線的距離延伸：直線與圓錐曲線（包括圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的弦長問題（弦長：直線與曲線相交兩點，這兩點之間的距離就是弦長）弦長公式Itlt2,解法參考直線參數方程的幾何意義（二）距離的最值：-用 參數法1. 曲線上的點到直線距離的最值問題2點與點的最值問題參數法”設點-套公式-三角輔助角設點：設點的坐標，點的坐標用該點在所在曲線的的參數方程來設套公式：利用點到線的距離公式輔助角：利用三角函數輔助角公式進行化一為參數），-）2 2 .例

3、如：【2016高考新課標3理數】在直角坐標系Xoy中，曲線Ci的參數方程為X 3c0s （y Sin以坐標原點為極點，以X軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為 sin（I）寫出Cl的普通方程和C2的直角坐標方程；（II）設點P在Ci上，點Q在C2上，求PQ的最小值及此時P的直角坐標2）Ci的普通方程為Xy21，3C2的直角坐標方程為X y 4 0.（解說：Ci： X 3cos利用三角消元：移項-化同-平方-相加 y Sin 這里沒有加減移項省去，直接化同，那系數除到左邊2XX223 c0s兩邊同時平方3 C0S 兩道式子相加Xy2 1.2. 23y Sin y Sin a（）

4、由題意，可設點P的直角坐標為3 GQS ,Sin ）（解說：點直接用該點的曲線方程的參數方程來表示）因為C2是直線，所以IPQl的最小值即為P到C2的距離d（）的最小值,IZ X | V3cosSin 41r-1 . Z 、d（） 忑! J2|sin（-） 2|.（歐萌說：利用點到直接的距離列式子，然后就是三角函數的輔助公式進行化一）當Sin（）1時即當 2k （k Z）時，d（）取得最小值，最小值為.2 ,此時P的直角坐標36為（2,1）2 2X0 t COS（三）直線參數方程的幾何意義1.經過點P（xo, yo）,傾斜角為的直線I的參數方程為八0 ' "J （t為參數）若

5、A, B為直線I上兩y y° tsin點，其對應的參數分別為t,t2,線段AB的中點為M ,點M所對應的參數為to,則以下結論在解題中經常用到:t1+ t2(1)to=廠；t1 + t2(2)|PM|=|t0|=丁;(3)IABI=It2 11;(4)IPAl PB|=|t1 t2|(5) PA PB t1t2t1t1tJ(tj t2 ,當址2t2)24t1t2 ,當見 00（注：記住常見的形式,P是定點，A、B是直線與曲線的交點,P、A、B三點在直線上）【特別提醒】直線的參數方程中，參數t的系數的平方和為1時,t才有幾何意義且其幾何意義為：|t|是直線上任一點 M（x, y）到 M

6、0（x0, y0）的距離，即|M°M|=|t|.直線與圓錐曲線相交，交點對應的參數分別為t1,t2 ,則弦長lt1t22. 解題思路第一步：曲線化成普通方程，直線化成參數方程t的一兀二次方程：at2 bt C 0第二步：將直線的參數方程代入曲線的普通方程，整理成關于第三步：韋達定理：t1 t2, t1t2a a第四步：選擇公式代入計算X= 5+ 21例如：已知直線I:（t為參數）,以坐標原點為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標y= 13+2t系，曲線C的極坐標方程為 尸2cos.（1）將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；設點M的直角坐標為（5, 3）,直線I與曲線C的交點為A, B

7、,求IMAl MBl的值.解 （1） P= 2cos 等價于 P= 2os.將P= X2+ y2, cos= X代入即得曲線C的直角坐標方程為X2+ y2- 2x= 0.X= 5+ 貝,將代入式，得t2+ 53t+ 18= 0.y=3+ *設這個方程的兩個實根分別為t1, t2,貝U由參數t的幾何意義即知，MA MBI= It1t2= 18.（四）一直線與兩曲線分別相交，求交點間的距離思路：一般采用直線極坐標與曲線極坐標聯系方程求出2個交點的極坐標，利用極徑相減即可。:L（其中為參y=2+7sia數），曲線C2：（ X - 1） 2+y2=1 ,以坐標原點0為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標

8、系.（）求曲線C1的普通方程和曲線C2的極坐標方程；ITT（）若射線= （ P> 0）與曲線C1, C2分別交于A , B兩點，求AB.曲線C1的普通方程為X2+ （y - 2） 2=7.曲線 C2：( X - 1) 2+y2=1,把 X= P cos, y= P Sin 代入(X - 1) 2+y2=1,得到曲線C2的極坐標方程(P COS-I) 2+ ( P Sin) 2=1, 化簡，得P =2cos.()依題意設A (pl, 6),B (p2, 6),曲線Ci的極坐標方程為P2 - 4 P Sin 3=0,將( p> 0)代入曲線Ci的極坐標方程，得P2 - 2 P- 3=0

9、,6解得Pi =3,同理，將(> 0)代入曲線C2的極坐標方程，得P 2-IJ,AB= ip p=3- U.(五) 面積的最值問題面積最值問題一般轉化成弦長問題+點到線的最值問題例題2016?包頭校級二模)在平面直角坐標系XOy 中,圓C的參數方程為篇篇挈(t為參數)，在以原點O為極點，X軸的非負半軸為極軸建立的極坐標系中，直線 I的極坐標方程為Tr_ITTPs (Q+p)二-L A，B 兩點的極坐標分別為 A (2F I B (2,.(1)求圓C的普通方程和直線I的直角坐標方程;(2)點P是圓C上任一點，求PAB面積的最小值.(1)由求二 +2cs-t 尸3+逅“門t,化簡得:I !c

10、+S=Vscosufc |_y- 3=-/2Sint，t,得(x+5)2+ (y-3) 2=2,圓C的普通方程為(x+5) 2+ (y - 3) 2=2.+）=-近，化簡得22P cos-P Sin -=?，由 P co( P點的坐標為即 P cos- P Sin -=,卩 X - y+2=0,則PAB面積的最小值是×2×2 :=4.則直線I的直角坐標方程為X - y+2=0 ；（）將A （2,兀2），B （2， 化為直角坐標為 A （0, 2），B （- 2，0），|AB|彳） 沁=l,P 點到直線I的距離為硏岳口航-3 - 2sit+2 L=TTI - 6+2cs (t

11、+-) IJS '"I255+隆cost, 3+：J ISint)5dmi n=-i=V2， 2極坐標與直角坐標、參數方程與普通方程的轉化、直角坐標的伸縮 設點P（x，y）是平面直角坐標系中的任意一點，在變換XXO):, Z、的作用下，點P(, y)對應到點P' (y'',)稱為平面直角坐標系中的坐標伸縮y y(0)變換，簡稱伸縮變換平面圖形的伸縮變換可以用坐標伸縮變換來表示在伸縮變換X '= X >0Z下，直線仍然變成直線，拋物線仍然變成拋物線，雙曲線仍然變成雙曲線，圓y'= ) >0可以變成橢圓，橢圓也可以變成圓(重點考

12、察)【強化理解】1 曲線C經過伸縮變換*習'后，對應曲線的方程為:y二知x2+y2=1 ,則曲線C的方程為(2.22 2÷9yB.4心1C.占D . 4x2+9y2=11A.【解答】解：曲線C經過伸縮變換2“后，對應曲線的方程為: i 二;X 2+y2=1 ,把代入得到:-故選：A4x2+ 9y2= 36 變成曲線 x'2+ y22、在同一直角坐標系中，求滿足下列圖形變換的伸縮變換：由曲線=1.x'= XX 2>0)，【解答】解：設變換為: Z可將其代入X 2+ y 2= 1，得x2+ 2y2= 1.y = y >0)>x2 y2將 4x2+

13、 9y2= 36 變形為 9 + ； = 1，1 1比較系數得=3， = 2X = 3X，II所以 I 將橢圓4x2+ 9y2= 36上的所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?,縱坐標變?yōu)樵瓉淼?,可 y=1y.得到圓X '2+ y 2= 1.亦可利用配湊法將4x2+ 9y2 = 36化為32+1-2y-2與X2 + y2= 1對應項比較即可得3、(2015春?浮山縣校級期中)曲線x2+y2=1經過伸縮變換【解答】解：由伸縮變換,化為*LV=3yA. 25x2+9y2=1 B. 9x2+25y2=1 C. 25x+9y=1,代入曲線 x2+y2=1 可得 25 (X ) 2+9 (y ) 2=1,

14、故選：A.二、極坐標1. 公式：(1)極坐標與直角坐標的互化公式如下表:點M直角坐標x,y極坐標 ，互化XCOS2 2 2X y公式y(tǒng)Sintan x 0 X已知極坐標化成直角坐標已知直角坐標化成極坐標2. 極坐標與直角坐標的轉化(1)點：有關點的極坐標與直角轉化的思路2 2 2X y運用tan - X 0 X在0,2 內由tan xO求 時，由直角坐標的符號特征判斷點所在的象限.XB：極坐標化為直角坐標,y的步驟，運用XCOSySin（2）直線：直線的極坐標與直角坐標轉化的思路A :直角坐標轉化成極坐標思路：直接利用公式COSSin，將式子里面的X和y用COS和Sin轉化，最后整理化簡即可例

15、如：x+3y-2=0:用公式將X和y轉化，即 CoS 3 Sin -2 OB:極坐標轉化成直角坐標類型：直接轉化-直接利用公式轉化 例如：p2cos + Sin ) = 1思路：第一步：去括號，p2cos+ PSin = 1XCOS第二步：用公式轉化，即2x y 1y Sin類型：利用三角函數的兩角和差公式，即2 Sink或2 cosk例如：直線I的極坐標方程是2 Sin3, 3思路：第一步：利用兩角和差公式把sin（ 或c） ±開，特殊角的正余弦值化成數字，整理化簡XCos第二步：利用公式y(tǒng)Sin轉化解：第一步：利用兩角和差公式把 sin（ ±s ±開特殊角的正

16、余弦值化成數字，整理化簡,2 (Sin CoS CQS Sin) 3、32(一Sin-CQS ) 3 3 Sin I 3 CQS 3 33 322X CQS第二步：第二步：利用公式y(tǒng) Sin轉化Sin .3 CQS3.3即 y . 3x 3.3, 3x y 3.3 0類型：（為傾斜角，可以是特殊 角可以不是特殊角），該直線經過原點（極點），對應的直角坐標方程為y tan OCX即y kx例如： 一（0）3思路：直接代入 ytan 3X即y233y3x3yx， X3y033（注：直線的直角坐標方程一般要求寫成一般式：Ax+By+C=O）三、曲線極坐標與直角坐標互換（一）圓的直角與極坐標互換1.

17、圓的極坐標轉化成直角坐標類型一：CQS Sin詳解：一般CQS ,Sin要轉化成X、y都需要跟 搭配，一對一搭配。所以兩邊同時乘以，即2 CQS Sin , X2 y2 X y即x2 y2-x-y 0類型沒有三角函數時，可以考慮兩邊同時平方24即X2 y242. 圓的直角坐標轉化成極坐標2 2(X 4) (y 1)3解題方法一：拆開-公式代入X2 8x 16y2 2y 1 30即 X22y8x2y 1402C8 CQS2 Sin140解題方法二：代入-拆-合(CQS 4)22(Sin1)3即 22CQS8CQS162 . 2Sin2Sin 1302 2(CQSsin2 )8 CQS2Sin14

18、0即28CQS2 Sin14 0【強化理解】1.將下列點的極坐標與直角坐標進行互化.14將點M的極坐標4, § 化成直角坐標；將點N的直角坐標(4,- 43)化成極坐標(Q 0<2 )142 1142 廠【解答】 解：X=4cos = 4cos3 = 4 ×-2 = 2, y= 4siny = 4sin3 = 2 I 3,點 A 的直角坐標 是(2, 2.3).P= 742+(- 4/3) 2 = 8, tan= 4 =一3, 0 2 ,)又點(4, 4寸"3)在第四象限，5 5 = y,對應的極坐標為8, § .2、將下列直角坐標方程與極坐標方程

19、進行互化 y2=4x； = 3（ R）；1 PCOS2 = 4; P=.2 cos 【解答】 解：將 X= pcos, y= PSin 代入 y2 = 4x,得（Pin 2= 4 pcos.化簡得 in2 = 4cos.當x0時，由于tan=y,故 tan5=y= 3 ,化簡得 y=3x（x 0）當 X= 0 時，y= 0.顯然（0, 0）在y= 3x上，故= PiR）的直角坐標方程為y= 3x.因為 pcos2= 4,所以 p2cos2 - psin2 = 4, 即 x2 y2 = 4.1因為P=,所以2 P- PCos= 1,因此2 cos 2 X2+ y2-X= 1,化簡得 32+ 4y

20、2 2x 1= 0.3. 化極坐標方程cos - P =（為直角坐標方程為（）A. x2+y2=0或 y=1 B . x=1 C. x2+y2=0 或 x=1 D . y=1【解答】解：Pcos - P =0 P co d=0 或 P =0+y2P cos -AP in -y x2+y2=0 或 x=1,故選C.4. 將曲線P COS +2 sin=0的極坐標方程化為直角坐標方程為（A. y+2x -仁0 B. x+2y- 1=0 C. x2+2y2 - 1=0D . 2y2+x2 -仁0【解答】解：由曲線P cos +2-1=0,及JS=PCOs ,Iy=PSine可得x+2y -仁0.曲線

21、P cos +2 P Sin=的極坐標方程化為直角坐標方程為 x+2y -仁0.故選：B.5、在極坐標系下，已知圓 O: P= cos + Sin 和直線I: Pin -才=#,求圓O和直線I的直角坐標方程；【解答】解：圓 O: P= cos + Sin ,即 P= PCOS + Pin ,圓O的直角坐標方程為：X2 + y2 = x+y,即 x2 + y2-x y= 0,、x/2直線 I: Pin 4 = 2,即 PSin Pos = 1,則直線I的直角坐標方程為：y- X= 1,即x y+ 1= 0.三、參數方程1.必記的曲線參數方程已知條件普通方程參數方程經過點P（X0, y0）,傾斜角為y Yq k（x X。）X= xo+tcos ,（為參數）y= yo + tsin圓心在點 Mo(xo, yo),半徑為r2 2 2（X-XQ）（ y-yo） rx X0+ rcos ,（e為參數）y y0 + rsin長半軸a和短半軸bX2 y2 橢圓 a2+ 1（a> b> 0）x acos ,（為參數）y bs in實軸a和虛軸bX2 y2雙曲線孑一詁一1(a>0, b>0)aX