版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡(jiǎn)介
1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一章行列式1. n 階行列式121212111212122212121nnnntp ppnppnpp ppnnnnaaaaaadaaaaaa2.特殊行列式1112112222112211220100ntnnnnnnnnaaaaada aaa aaa1212nn,1122121n nnn3.行列式的性質(zhì)定義記111212122212nnnnnnaaaaaadaaa,112111222212nntnnnnaaaaaadaaa,行列式td稱為行列式d的轉(zhuǎn)置行列式。性質(zhì) 1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。性質(zhì) 2 互換行列式的兩行ijrr或列ijcc,行列式變號(hào) 。推論
2、如果行列式有兩行(列)完全相同(成比例),則此行列式為零。性質(zhì) 3 行列式某一行(列)中所有的元素都乘以同一數(shù)()jk rk, 等于用數(shù)k乘此行列式;推論 1 d的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到d的外面 ; 推論 2 d中某一行(列)所有元素為零,則=0d。性質(zhì) 4 若行列式的某一列(行)的元素都是兩數(shù)之和,則1112111212222212()()()iiniinnnnininnaaaaaaaaaadaaaaa精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁,共 12 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載111211
3、1112112122222122221212ininininnnninnnnninnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa性質(zhì) 6 把行列式的某一列 (行)的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對(duì)應(yīng)的元素上去,行列式的值不變。計(jì)算行列式常用方法:利用定義;利用運(yùn)算ijrkr把行列式化為上三角形行列式,從而算得行列式的值。4. 行列式按行(列)展開余子式在n階行列式中,把元素ija所在的第i行和第j列劃去后,留下來的1n階行列式叫做元素ija的余子式,記作ijm。代數(shù)余子式1ijijijam記,叫做元素ija的代數(shù)余子式。引理一個(gè)n階行列式,如果其中第i行所有元素除(i,j)( , )
4、i j元外ija都為零,那么這行列式等于ija與它的代數(shù)余子式的乘積,即ijijda a。(高階行列式計(jì)算首先把行列上的元素盡可能多的化成0,保留一個(gè)非零元素,降階)定理n階行列式111212122212nnnnnnaaaaaadaaa等于它的任意一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和,即1122iiiiininda aa aa a,(1,2, )in1122jjjjnjnjda aaaa a或,(1,2, )jn。第二章矩陣1.矩陣111212122211nnmmmnaaaaaaaaaa行列式是數(shù)值,矩陣是數(shù)表,各個(gè)元素組成方陣:行數(shù)與列數(shù)都等于n 的矩陣 a。 記作: an。行(
5、列 )矩陣: 只有一行 (列 )的矩陣。也稱行(列)向量。同型矩陣: 兩矩陣的行數(shù)相等,列數(shù)也相等。相等矩陣: ab同型 ,且對(duì)應(yīng)元素相等。記作:ab零矩陣: 元素都是零的矩陣(不同型的零矩陣不同)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁,共 12 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載對(duì)角陣: 不在主對(duì)角線上的元素都是零。單位陣: 主對(duì)角線上元素都是1,其它元素都是0,記作: e注意矩陣與行列式有本質(zhì)的區(qū)別,行列式是一個(gè)算式,一個(gè)數(shù)字行列式經(jīng)過計(jì)算可求得其值,而矩陣僅僅是一個(gè)數(shù)表,它的行數(shù)和列數(shù)可以不同。2. 矩陣的運(yùn)
6、算矩陣的加法111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnabababababababababab說明只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí),才能進(jìn)行加法運(yùn)算。矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律1 abba;2abcabc1112121222113,()nnijijm nm nmmmnaaaaaaaaaaaaa設(shè)矩陣記,a稱為矩陣a的負(fù)矩陣40,aaabab 。數(shù)與矩陣相乘111212122211,nnmmmnaaaaaaaaaaaaaa數(shù) 與矩陣 的乘積記作或規(guī)定為數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律(設(shè)ab、為mn矩陣,,為數(shù))1aa;2aaa;3abab。矩陣相加與數(shù)乘矩陣統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算。矩陣與矩陣相
7、乘設(shè)(b )ijb是一個(gè)ms矩陣,(b )ijb是一個(gè)sn矩陣,那么規(guī)定矩陣a與矩陣b的乘積是一個(gè)mn矩陣( c)ijc,其中12121 122jjiiisijijissjsjbba aaa ba ba bb1sikkjka b,1,2,;1,2,im jn,精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁,共 12 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載并把此乘積記作cab注意1。a 與 b 能相乘的條件是:a 的列數(shù) b的行數(shù)。2。矩陣的乘法不滿足交換律,即在一般情況下,abba,而且兩個(gè)非零矩陣的乘積可能是零矩陣。3。對(duì)于
8、 n 階方陣 a 和 b,若 ab=ba,則稱 a與 b 是可交換的。矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律1ab ca bc;2aba bab3 a bcabac,bc abaca4mnnnmmmnmnaeeaa5若 a 是 n 階方陣,則稱ak為 a 的 k 次冪,即kkaa aa個(gè),并且mkm ka aa,kmmkaa,m k為正整數(shù)。規(guī)定: a0e (只有方陣才有冪運(yùn)算)注意矩陣不滿足交換律,即abba,kkkaba b(但也有例外)轉(zhuǎn)置矩陣把矩陣a的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣,叫做a的轉(zhuǎn)置矩陣,記作a,1ttaa;2tttabab;3ttaa;4tttabb a。方陣的行列式由n階方陣a的元素所構(gòu)成的
9、行列式,叫做方陣a的行列式,記作a注意矩陣與行列式是兩個(gè)不同的概念,n 階矩陣是n2個(gè)數(shù)按一定方式排成的數(shù)表,而 n階行列式則是這些數(shù)按一定的運(yùn)算法則所確定的一個(gè)數(shù)。1taa;2naa;(3) aba bb aba對(duì)稱陣設(shè) a 為 n 階方陣,如果滿足a=at,那么 a 稱為對(duì)稱陣。伴隨矩陣行 列 式a的 各 個(gè) 元 素 的 代 數(shù) 余 子 式ija所 構(gòu) 成 的 如 下 矩 陣112111222212nnnnnnaaaaaaaaaa稱為矩陣 a 的伴隨矩陣。性質(zhì)aaa aa e(易忘知識(shí)點(diǎn) )總結(jié)(1)只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí),才能進(jìn)行加法運(yùn)算。(2)只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的
10、行數(shù)時(shí),兩個(gè)矩陣才能相乘,且矩陣相乘不滿足交換律。(3)矩陣的數(shù)乘運(yùn)算與行列式的數(shù)乘運(yùn)算不同。逆矩陣:ab bae,則說矩陣a 是可逆的, 并把矩陣b 稱為 a 的逆矩陣。1ab即。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁,共 12 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載說明1 a ,b 互為逆陣,a = b-12只對(duì)方陣定義逆陣。 (只有方陣才有逆矩陣)3.若 a是可逆矩陣,則a的逆矩陣是唯一的。定理 1 矩陣 a 可逆的充分必要條件是0a,并且當(dāng)a可逆時(shí),有1*1aaa(重要 )奇異矩陣與非奇異矩陣當(dāng)0a時(shí),a稱為奇
11、異矩陣,當(dāng)0a時(shí),a稱為非奇異矩陣。即0aaa可逆為非奇異矩陣。求逆矩陣方法*1(1)| 021(3)|aaaaaa先求并判斷當(dāng)時(shí)逆陣存在;( )求;求。初等變換的應(yīng)用:求逆矩陣:1(|)|aeea初等行變換。逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)1111,aaaa若 可逆 則亦可逆 且1112,0,aaaa若 可逆 數(shù)則可逆 且。1113,a bababb a若為同階方陣且均可逆則亦可逆 且()。114,tttaaaa若 可逆 則亦可逆且。115,aaa若 可逆 則有。3.矩陣的初等變換初等行(列)變換1()ijrr對(duì)調(diào)兩行,記作。20()ikrk以數(shù)乘以某一行的所有元素,記作。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f -
12、 - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁,共 12 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載3()ijkrkr把某一行所有元素的倍加到另一行對(duì)應(yīng)的元素上去,記作。初等列變換: 把初等行變換中的行變?yōu)榱?,即為初等列變換,所用記號(hào)是把 “r”換成“c” 。矩陣等價(jià)abab如果矩陣經(jīng)有限次初等變換變成矩陣,就稱矩陣與等價(jià)。行階梯形矩陣: 可畫出一條階梯線,線的下方全為零,每個(gè)臺(tái)階只有一行,臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)階梯線的豎線(每段豎線的長度為一行)后面的第一個(gè)元素為非零元,也是非零行的第一個(gè)非零元。 (非零行數(shù)及矩陣的秩).00000340005213023012
13、的秩求矩陣br(b)=3 行最簡(jiǎn)形矩陣:行階梯矩陣中非零行的第一個(gè)非零元為1,且這些非零元所在的列的其他元素都為 0. 標(biāo)準(zhǔn)型 :對(duì)行最簡(jiǎn)形矩陣再施以初等列變換,可以變換為形如rm neofoo的矩陣,稱為標(biāo)準(zhǔn)型。標(biāo)準(zhǔn)形矩陣是所有與矩陣a 等價(jià)的矩陣中形狀最簡(jiǎn)單的矩陣。初等變換的應(yīng)用求逆矩陣:1(|)|a eea初等行變換或1aeea初等列變換。4. 矩陣的秩矩陣的秩任何矩陣m na,總可以經(jīng)過有限次初等變換把它變?yōu)樾须A梯形,行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)是唯一確定的。(非零行的行數(shù)即為矩陣的秩)說明1. 矩陣 amn,則r(a) minm,n; 2. r(a) = r(at); 3. r(a)
14、r 的充分必要條件是至少有一個(gè)r 階子式不為零 ; 4. r(a) r 的充分必要條件是所有r + 1 階子式都為零 . 滿秩和滿秩矩陣矩陣ijm naa, 若()r am, 稱 a 為行滿秩矩陣; 若( )r an,稱 a 為列滿秩矩陣;,( ),anr ana若 為 階方陣 且則稱 為滿秩矩陣。()nar an若階方陣滿秩,即0a;1a 必存在;a為非奇異陣;,.nnaeae必能化為單位陣即精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁,共 12 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載矩陣秩的求法定理 1 矩陣 a 經(jīng)過有
15、限次行(列)初等變換后其秩不變。即若ab,則 r(a)=r(b)。推論()()pqr paqr a若 、可逆,則矩陣秩的性質(zhì)總結(jié)(1)0()min, m nr am n( 2 )()()tr ara(3),abr ar b若則()()pqr p a qr a(4) 若 、可逆,則(5) max( ),( )( ,)( )()()( , )()1.r ar br a br ar bbbr ar ar ab特別當(dāng)為非零列向量時(shí),有(6)()()()r abr ar b(7)()min( ),( ).r abr ar b(8),()().m nn labor ar bn若則(9)ab=oab=o設(shè),
16、若為列滿秩矩陣,則(矩陣乘法的消去率)。第三章1. n 維向量n 個(gè)數(shù)a1,a2, ,an組成的一個(gè)有序數(shù)組(a1,a2, ,an) 稱為一個(gè)n 維向量 ,記為1212()(,).tnnaaa aaa列向量形式 或(行向量形式),其中第i 個(gè)數(shù) ai稱為向量的第 i 個(gè)分量。向量組若干個(gè)同維數(shù)的列向量(或同維數(shù)的行向量)所組成的集合叫做向量組。設(shè)矩陣a=(aij)mn有n 個(gè)m 維列向量,即11121121222212jnjnmmmjmnaaaaaaaaaaaaa,12na ,a ,aa向量組稱為矩陣的列向量組。同理,也可說矩陣a 有 m 個(gè)行向量組組成。向量,向量組,矩陣與方程組的關(guān)系向量組
17、矩陣:12(,)ma精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁,共 12 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載向量方程方程組:11112122122212nn1n2n.mmmmaaabaaabxxxaaab,可簡(jiǎn)寫作1122nnxxx向量方程方程組矩陣形式112212(,)mnnxbxbaxbxb線性組合給定向量組12:,ma和向量b,如果存在一組數(shù)12,m,使1122mmb,則向量b 是向量組a 的線性組合 ,這時(shí)稱 b 向量能由向量組a線性表示 。定理 1 向量 b 能由向量組12:,ma線性表示的充分必要條件是矩陣
18、12(,)maa aa的秩等于矩陣12(,b)mba aa的秩。即 r(a)=r(a,b)。向量組的線性表示設(shè)有兩個(gè)向量組1212:,:,msab及,若 b 組中每個(gè)向量都能由向量組a 線性表示,則稱向量組b能由向量組a線性表示,若向量組a 與向量組 b 能相互線性表示,則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)。向量組的線性相關(guān)給定向量組12m:,a,如果存在不全為零的數(shù)12,mk kk使11220mmkkk,則稱向量組是線性相關(guān)的,否則稱它線性無關(guān);若當(dāng)且僅當(dāng)120mkkk時(shí)上式成立,則稱向量組a 線性無關(guān)。線性相關(guān):可線性組合表示的,線性無關(guān):相互獨(dú)立,互不代表注意精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - -
19、- - - - - - - - - - - 第 8 頁,共 12 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載1.對(duì)于向量組來說,不是線性無關(guān),就是線性相關(guān)。2.對(duì)于兩個(gè)向量來說,線性相關(guān)意味著兩向量的分量對(duì)應(yīng)成比例,幾何含義兩向量共線;三個(gè)向量線性相關(guān)意味著三向量共面。3.,0,0,向量組只有一個(gè)向量時(shí) 若則說線性相關(guān)若則說線性無關(guān)。4.包含零向量的任何向量組是線性相關(guān)的,此時(shí)總存在不為零的k,使得1200000nk線性相關(guān)性的判定定理向量組12,m(當(dāng)2m時(shí))線性相關(guān)的充分必要條件是12,m中至少有一個(gè)向量可由其余m-1 個(gè)向量線性表示定理 4 向 量 組12:,ma a aa線
20、 性 相 關(guān) 的 充 分 必 要 條 件 是 它 所 構(gòu) 成 的 矩 陣12(,)maa aa小于向量的個(gè)數(shù)m,向量組線性無關(guān)的充分必要條件是r(a) =m。最大線性無關(guān)向量組設(shè)有向量組a,如果在a 中能選出r 個(gè)向量12,r,滿足:0121:,ra()向量組線性無關(guān);(2)向量組 a 中任意 r +1 個(gè)向量 (如果有的話 )都線性相關(guān);則稱向量組012:,ra是向量組a 的一個(gè)最大線性無關(guān)向量組。(2)*向量組 a 中任何一個(gè) (其它)向量可由012:,ra線性表示。第四章 線性方程組的解線性方程組1111221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa
21、 xa xbaxaxaxb如果有解,則稱其為相容的,否則稱為不相容的。n 元齊次線性方程組ax=0 (1)r(a) = n ax=0 有唯一解,零解(無非零解)(2)r(a) n ax=0 有非零解 . n 元非齊次線性方程組axb(1)無解的充分必要條件是(a)r(a, b)r(2)有唯一解的充分必要條件是(a)r(a,b)nr(3)有無限多解的充分必要條件是(a)r(a,b)nr基礎(chǔ)解系齊次線性方程組0ax的通解具有形式1122xcc(c1, c2為任意常數(shù) ),稱精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁,共 12 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載通解式112212,xccc c 為任意常數(shù)中向量12,構(gòu)成該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。非齊次線性
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 2025版高端定制家居地板磚購銷合作協(xié)議6篇
- 2025年度酒店股份投資并購與資產(chǎn)整合合同范本3篇
- 2025版孔萍與李明離婚協(xié)議中離婚后子女居住地變更及監(jiān)護(hù)權(quán)協(xié)議3篇
- 《小兒咳嗽變異性哮喘與中醫(yī)體質(zhì)辨識(shí)的相關(guān)性研究》
- 2025版西南地區(qū)啤酒企業(yè)工會(huì)組織建設(shè)合同3篇
- 《河南省糧食生產(chǎn)生態(tài)效率測(cè)度及影響因素研究》
- 二零二五年專業(yè)級(jí)電腦設(shè)備維修與保養(yǎng)合同3篇
- 2025年度垃圾桶研發(fā)生產(chǎn)及市場(chǎng)拓展合同3篇
- 合同管理制度內(nèi)容
- 餐飲檔口出租合同書
- 常見的排序算法-冒泡排序 課件 2023-2024學(xué)年浙教版(2019)高中信息技術(shù)選修1
- 農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)安全生產(chǎn)
- (高清版)TDT 1031.6-2011 土地復(fù)墾方案編制規(guī)程 第6部分:建設(shè)項(xiàng)目
- 園林綠化工培訓(xùn)課件2
- 鄰里商業(yè)中心案例研究:方洲鄰里中心、新加坡
- 2024年02月上海滬劇藝術(shù)傳習(xí)所(上海滬劇院)招考聘用筆試近6年高頻考題難、易錯(cuò)點(diǎn)薈萃答案帶詳解附后
- 婚姻家庭關(guān)系心理講座
- 三叉苦種植技術(shù)規(guī)程-征求意見稿
- 七上-動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)角問題12道好題-解析
- 2024年九省聯(lián)考新高考 數(shù)學(xué)試卷(含答案解析)
- 2023年軟件主管年終業(yè)務(wù)工作總結(jié)
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論