2022年經(jīng)濟(jì)中的數(shù)學(xué)函數(shù)及模型

1、精品資料歡迎下載一、常用的經(jīng)濟(jì)函數(shù)1、總成本函數(shù)、總收入函數(shù)、總利潤(rùn)函數(shù)總成本函數(shù) 是指在肯定時(shí)期內(nèi)，生產(chǎn)產(chǎn)品時(shí)所消耗的生產(chǎn)費(fèi)用之總和；常用c 表示， 可以看作是產(chǎn)量 x 的函數(shù)，記作ccx總成本包括固定成本和可變成本兩部分，其中固定成本f 指在肯定時(shí)期內(nèi)不隨產(chǎn)量變動(dòng)而支出的費(fèi)用，如廠房、設(shè)備的固定費(fèi)用和治理費(fèi)用等；可變成本v 是指隨產(chǎn)品產(chǎn)量變動(dòng)而變動(dòng)的支出費(fèi)用，如稅收、原材料、電力燃料等；固定成本和可變成本是相對(duì)于某一過程而言的；在短期生產(chǎn)中，固定成本是不變的，可變成本是產(chǎn)量 x 的函數(shù)，所以c xfv x ，在長(zhǎng)期生產(chǎn)中，支出都是可變成本，此時(shí) f0 ；實(shí)際應(yīng)用中，產(chǎn)量 x 為正數(shù)，所以總

2、成本函數(shù)是產(chǎn)量x 的單調(diào)增加函數(shù)，常用以下初等函數(shù)來表示：（ 1）線性函數(shù)cabx , 其中 b0 為常數(shù) .（ 2）二次函數(shù)cabxcx2 ,其中 c0, b0 為常數(shù) .（ 3）指數(shù)函數(shù)cbeax , 其中a, b0 為常數(shù) .平均成本 ：每個(gè)單位產(chǎn)品的成本，即cxc.x總收益函數(shù) 是指生產(chǎn)者出售肯定產(chǎn)品數(shù)量（x ）所得到的全部收入，常用r 表示，即rrx其中 x 為銷售量 . 明顯，r q 0r00 ，即未出售商品時(shí)，總收益為.如已知 需求函數(shù)qq p ，就總收益的為rrqp qq1 p q平均收益 ： rrxx，如單位產(chǎn)品的銷售價(jià)格為p ，就 rp x ，且 rp .總利潤(rùn)函數(shù) 是指生

3、產(chǎn)中獲得的純收入，為總收益與總成本之差，常用l 表示，即l xrxc x例某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品， 每日最多生產(chǎn) 100 個(gè)單位； 日固定成本為130 元，生產(chǎn)每一個(gè)單位產(chǎn)品的可變成本為6 元，求該廠每日的總成本函數(shù)及平均單位成本函數(shù).解設(shè)每日的總成本函數(shù)為c 及平均單位成本函數(shù)為c ，由于總成本為固定成本與可變成本之和，據(jù)題意有cc x1306 x0x100cc x130x60x100例設(shè)某商店以每件 a 元的價(jià)格出售商品，如顧客一次購(gòu)買50 件以上，就超出部分每件優(yōu)惠 10%，試將一次成交的銷售收入r表示為銷售量x 的函數(shù)；解由題意，一次售出50 件以內(nèi)的收入為 rax 元，而售出 50 件以上

4、是，收入為r50ax50a 10%所以一次成交的銷售收入r是銷售量 x 的分段函數(shù)ax0rx5050a0.9ax50 x502、 需求函數(shù)與供應(yīng)函數(shù)需求量 指的是在肯定時(shí)間內(nèi)，消費(fèi)者對(duì)某商品情愿而且有支付才能購(gòu)買的商品數(shù)量；經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的主要目的是在于滿意人們的需求，經(jīng)濟(jì)理論的主要任務(wù)之一就是分析消費(fèi)及由此產(chǎn)生的需求； 但需求量不等于實(shí)際購(gòu)買量，消費(fèi)者對(duì)商品的需求受多種因素影響，例如， 季節(jié)、收入、人口分布、價(jià)格、等等；其中影響的主要因素是商品的價(jià)格，所以，我們常常將需求量q d 看作價(jià)格 p 的函數(shù)，記為q dq d p通常假設(shè)需求函數(shù)是單調(diào)削減的，需求函數(shù)的反函數(shù)pq 1 pq0在經(jīng)濟(jì)學(xué)中也稱

5、為需求函數(shù)，有時(shí)稱為價(jià)格函數(shù).一般說來，降價(jià)使需求量增加，價(jià)格上漲需求量反而會(huì)削減，即需求函數(shù)是價(jià)格p 的單調(diào)削減函數(shù)；常用以下簡(jiǎn)潔的初等函數(shù)來表示：（ 1）線性函數(shù)qda pb，其中a, b0 為常數(shù) .（ 2）指數(shù)函數(shù)（ 3）冪函數(shù)qdaeq dbpbp，其中a，其中a,ba, b0 為常數(shù) .0 為常數(shù) .例設(shè)某商品的需求函數(shù)線性函數(shù)qapb ，其中a, b0 為常數(shù)，求 p0 時(shí)的需求量和 q0 時(shí)的價(jià)格；解當(dāng) p0 時(shí)， qb ，表示價(jià)格為零時(shí)，消費(fèi)者對(duì)某商品的需求量為b ，這也是市場(chǎng)對(duì)該商品的飽和需求量；當(dāng)q0 時(shí)， pb為最大銷售價(jià)格，表示價(jià)格上漲到ab 時(shí)，a無人情愿購(gòu)買該產(chǎn)品

6、；供應(yīng)量 是指在肯定時(shí)期內(nèi)生產(chǎn)者情愿生產(chǎn)并可向市場(chǎng)供應(yīng)出售的商品量，供應(yīng)價(jià)格是指生產(chǎn)者為供應(yīng)肯定量商品情愿接受的價(jià)格，將供應(yīng)量q s 也看作價(jià)格p 的函數(shù)，記為q sq s p一般說來， 價(jià)格上漲刺激生產(chǎn)者向市場(chǎng)供應(yīng)更多的商品，使供應(yīng)量增加， 價(jià)格下跌使供給量削減，即供應(yīng)函數(shù)是價(jià)格（p ）的單調(diào)增加函數(shù)；常用以下簡(jiǎn)潔的初等函數(shù)來表示：（ 1）線性函數(shù)qsa pb，其中 a0 為常數(shù)；（ 2）指數(shù)函數(shù)q aebp ，其中a, b0 為常數(shù)；供應(yīng)量也受多種因素影響，（ 3）冪函數(shù)saq sbp ，其中a,b0 為常數(shù)；當(dāng)市場(chǎng)上需求量qd與供應(yīng)量qs 一樣時(shí)，即 q dq s ，商品的數(shù)量稱為均衡數(shù)

7、量，記為 qe ，商品的價(jià)格稱為均衡價(jià)格，記為pe ；例如，由線性需求和供應(yīng)函數(shù)構(gòu)成的市場(chǎng)均衡模型可以寫成qdabp a0, b0qscdp c0, d0qdqs解方程，可得均衡價(jià)格pe 和均衡數(shù)量qe ：epacbdqadbc bde由于 qe 0， bd0 , 因此有 adbc .當(dāng)市場(chǎng)價(jià)格高于p0 時(shí)，需求量削減而供應(yīng)量增加，反之，當(dāng)市場(chǎng)價(jià)格低于p0 時(shí)，需求量增加而供應(yīng)量削減；市場(chǎng)價(jià)格的調(diào)劑就是利用供需均衡來實(shí)現(xiàn)的；經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的仍有生產(chǎn)函數(shù)（生產(chǎn)中的投入與產(chǎn)出關(guān)系）、消費(fèi)函數(shù)（國(guó)民消費(fèi)總額與國(guó)民生產(chǎn)總值即國(guó)民收入之間的關(guān)系）、投資函數(shù)（投資與銀行利率之間的關(guān)系）等等；例已知某商品的需

8、求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為q d141.5 p ,qs54 p求該商品的均衡價(jià)格； 解由均衡條件 q dq s 可知141.5 p195.5 p54 p所以均衡價(jià)格價(jià)格為p03.45例已知某產(chǎn)品的價(jià)格為p 元，需求函數(shù)為q505 p ，成本函數(shù)為 c502q 元，求產(chǎn)量 q 為多少時(shí)利潤(rùn)l 最大？最大利潤(rùn)是多少？解由于需求函數(shù)為q505 p ， p10q2q，所以收益函數(shù)為5利潤(rùn)函數(shù)r p q10q5lrc28qq5051 q520230因此， q20 時(shí)利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)是30 元；二、 邊際由導(dǎo)數(shù)定義知，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的變化率；在經(jīng)濟(jì)分析中，經(jīng)濟(jì)函數(shù)的變化率（因變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)） ，通常

9、稱 為“邊際” .在經(jīng)濟(jì)問題中， 常常用到年產(chǎn)量的變化率、 成本的平均變化率等概念； 設(shè)函數(shù) yf x000在點(diǎn) x 處可導(dǎo)，就在 x , xx 區(qū)域內(nèi)的平均變化率為yx，瞬時(shí)變化率為f xlimf x0xf x0 0x0x定義：設(shè)函數(shù)yf x在點(diǎn) x 處可導(dǎo)，就稱f x 為f x 的邊際函數(shù)，f x 在 x0 處的導(dǎo)數(shù)值f x0 為邊際函數(shù)值；由微分的概念可知，當(dāng)自變量x 的轉(zhuǎn)變量很小時(shí)有ydy ，但在經(jīng)濟(jì)應(yīng)用中，最小的改變量可以是一個(gè)單位，即x1，所以有ydyf x0 xf x0這說明f x 在點(diǎn)xx0 處當(dāng) x 產(chǎn)生一個(gè)單位的轉(zhuǎn)變時(shí)，函數(shù)yf x近似轉(zhuǎn)變了f x0 個(gè)單位；（ 1）邊際成

10、本設(shè)總成本函數(shù)為c q ，就稱其導(dǎo)數(shù)c qlimx0cqq qcq 為產(chǎn)量為 q 時(shí)的邊際成本，記做 mc ；即邊際成本函數(shù)為 mcdclimdqq0cq0qc q0 .q由于 ccq0 q ，當(dāng)q1 時(shí)，cc q0 ，因此產(chǎn)量為q0 時(shí)的邊際成本的經(jīng)濟(jì)意義為：c q 近似等于當(dāng)產(chǎn)品的產(chǎn)量生產(chǎn)了q 個(gè)單位時(shí)，再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)所需增加的成本數(shù)；明顯，邊際成本與固定成本無關(guān)；平均成本的導(dǎo)數(shù)cqcqqc q2cq為邊際平均成本；qq（ 2）邊際收入設(shè)總收益函數(shù)為rq ，就稱其導(dǎo)數(shù)r qlimq0rqq qrq 為銷售量為 q 時(shí)的邊際成本，記作mr ，即 mrdrdqlimq0rq0qrq0 .

11、q其經(jīng)濟(jì)含義是：假定已銷量為q0 個(gè)單位，再銷售一個(gè)單位產(chǎn)品，所增加的收益為r q0 .（ 3）邊際利潤(rùn)設(shè)總利潤(rùn)函數(shù)llq ，l 對(duì) q 的導(dǎo)數(shù)l qlimq0lqq qlq稱為邊際利潤(rùn)，記作 ml ，即邊際利潤(rùn)函數(shù)為mldldqlimq0lq0qlq0 .q銷量為q0 時(shí)的邊際利潤(rùn)的經(jīng)濟(jì)意義為：假定已銷量為q0 個(gè)單位， 再銷售一個(gè)單位產(chǎn)品，所增加的利潤(rùn)為l q0 ；一般情形下，總利潤(rùn)lq 等于總收益函數(shù)rq 與總成本函數(shù)cq 之差，即lq = rq cq ，邊際利潤(rùn)為l qr qc q ，即邊際利潤(rùn)等于邊際收益與邊際成本之差；例 1 設(shè)某單位每月生產(chǎn)的產(chǎn)品固定成本為c010000 元，生產(chǎn)

12、 q 個(gè)單位產(chǎn)品的變動(dòng)成本為 v q0.01q 210q 元，如每單位產(chǎn)品的售價(jià)為40 元，求邊際成本；邊際收益及邊際利潤(rùn)；并求邊際利潤(rùn)為零時(shí)的產(chǎn)量.解由題設(shè)知：總成本函數(shù)cqv qc00.01q 210q10000總收益函數(shù)rqp q40q總利潤(rùn)函數(shù)lqrqcq40q0.01q 210q10000邊際成本mc0.01q230q10000 c q0.02q10邊際收益mrr q40邊際利潤(rùn)mll q0.02q30令 l q 0 ，得0.02q300, q1500. 即每月產(chǎn)量為 1500 個(gè)單位時(shí)，邊際利潤(rùn)為零；這說明，當(dāng)月產(chǎn)量為1500 個(gè)單位時(shí)，再多生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品不會(huì)增加利潤(rùn).例設(shè)某廠每

13、月生產(chǎn)產(chǎn)品的固定成本為1000 元生產(chǎn) x 個(gè)單位產(chǎn)品的可變成本為0.01x210x （元），如每個(gè)產(chǎn)品的售價(jià)為30 元， 求邊際成本、邊際利潤(rùn)及邊際利潤(rùn)為零時(shí)的產(chǎn)量；解由于總成本函數(shù)為c x0.01 x210x1000所以，邊際函數(shù)為c x0.02 x10又收益rx30x ，所以利潤(rùn)函數(shù)l xrxc x30 x0.01x210x1000所以l x0.02x20在經(jīng)濟(jì)函數(shù)中，總體、邊際和平均三者的關(guān)系是很重要的爭(zhēng)論對(duì)象；例設(shè)總成本函數(shù)為c xx34 x220x ，求它的邊際總成本函數(shù)、平均成本和邊際平均成本函數(shù)；解由于mcc x3x28 x20而邊際平均成本函數(shù)acc xxx24x20一般由m

14、c ,c x2 x4xac 可分析經(jīng)濟(jì)活動(dòng)；如mc23x8 x20 和2acx4 x20 都是開口向上的二次拋物線，且相交于點(diǎn)2,16 ，當(dāng) x2時(shí)， mc16,ac16 ，而邊際平均成本函數(shù)此時(shí)為零； （如圖）在交點(diǎn)的左邊mc曲線位于 ac 曲線的下方，在交點(diǎn)的右邊mc 曲線位于 ac 曲線的上方，利用這種“邊際平均”關(guān)系，有助于企業(yè)支配生產(chǎn)，如交點(diǎn)的左邊的情形說明生產(chǎn)力仍沒有充分發(fā)揮，有潛力可挖；三、彈性1、函數(shù)的彈性定義設(shè)函數(shù)yf x在點(diǎn) x xy0 可導(dǎo)，且f x0 ，就極限limyx limyxf xx0xy x0xxf xeyef x稱為函數(shù)即f x在點(diǎn) x 處的彈性，記作：或ex

15、ex或yx .eyx fxxdf xexfxf xdx函數(shù) f x 在由于x0 處的彈性，記做ey或ex x x0yx x x0d ln f x1f xf xdxxf xd ln x1 dx xf x因此，函數(shù)f x 的彈性也可以表示為函數(shù)lnf x的微分與函數(shù)ln x 的微分之比 :e f xd lnf xexd ln x由于函數(shù)的彈性ey ex是自變量 x 與因變量 y 的相對(duì)變化而定的，它表示函數(shù)f x轉(zhuǎn)變幅度的大小， 即表示（實(shí)質(zhì)上是近似地表示）當(dāng)自變量 x 由起始轉(zhuǎn)變 1% 時(shí)函數(shù) f x 相應(yīng)轉(zhuǎn)變的百分?jǐn)?shù).1例 2 求函數(shù)f xax的彈性 .解由于f xax，所以1e ax x a

16、xexaxea特殊地，函數(shù)f xax 的彈性為e ax1 ，函數(shù)exf xa xx的彈性為1 .ex2、 需求價(jià)格彈性彈性概念是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的另一個(gè)重要概念，它所描述的是一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量對(duì)另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量的反應(yīng)程度；設(shè)某商品的需求函數(shù)為qq p ，其中 p 為價(jià)格， q 為需求量；由彈性的定義可知，極限limppq 稱為需求量對(duì)價(jià)格的彈性，簡(jiǎn)稱需求價(jià)格彈性.記作 qp ，即0 qpqplimp0qpp q ppqqqp 表示需求量對(duì)價(jià)格的相對(duì)變化率，即q 對(duì) p 變動(dòng)的反應(yīng)程度，由于需求函數(shù)為價(jià) 格的減函數(shù)，價(jià)格上升時(shí)需求量下降，價(jià)格下降需求量反而上升，所以qp 一般為負(fù)值，其經(jīng)濟(jì)意義為： （ 1）當(dāng)某

17、商品的價(jià)格上漲1% 時(shí)，需求量削減qp %；（2）當(dāng)某商品的價(jià)格下降 1%時(shí)，需求量增加qp %因此，需求價(jià)格彈性反映了當(dāng)前價(jià)格變動(dòng)對(duì)需求量變動(dòng)的反應(yīng)程度 .當(dāng) qp1時(shí)，需求彈性大，價(jià)格的變動(dòng)對(duì)需求量的影響較大，即價(jià)格的升降所引起的需求量變動(dòng)的幅度大于價(jià)格變動(dòng)的幅度；當(dāng) qp1時(shí)，需求彈性小，價(jià)格的變動(dòng)對(duì)需求量的影響較小，即價(jià)格的升降所引起的需求量變動(dòng)的幅度小于價(jià)格變動(dòng)的幅度；當(dāng) qp1時(shí)，稱為單位彈性，此時(shí)價(jià)格變動(dòng)的幅度與需求量變動(dòng)的幅度相同；此外仍有兩種特殊情形：qp0 為完全無彈性，即價(jià)格無論如何變化，需求量都不變；qp為完全有彈性，此時(shí)價(jià)格只要有任何微小的變化，對(duì)需求都有很大的影響；

18、在經(jīng)濟(jì)分析中，利用商品的需求價(jià)格彈性，可以給出訪總收益增加的經(jīng)營(yíng)策略.設(shè) qq p 是某商品的需求函數(shù)，就總收益函數(shù)：rr pp qp qp于是， r 對(duì) p 的導(dǎo)數(shù)是 r 關(guān)于價(jià)格 p 的邊際收益，drddpdp p q p q ppq pq p 1p q pq p即邊際收益drq p1dp上式給出了關(guān)于價(jià)格的邊際收益與需求價(jià)格彈性之間的關(guān)系：（ 1） 如1時(shí)，稱該商品為低彈性需求.這時(shí)需求量削減的幅度小于價(jià)格上漲的幅度，因此， 邊際收益 r p0 . 此時(shí)， 提價(jià)使總收益增加， 降價(jià)總收益削減 .（ 2）如1時(shí)，稱該商品為高彈性需求.這時(shí)需求量削減的幅度大于價(jià)格上漲的幅度，因此，邊際收益r

19、 p0 . 此時(shí)，提價(jià)使總收益削減，降價(jià)總收益增加.（ 3）如1時(shí)，稱該商品為單位彈性需求.這時(shí)需求量削減的幅度等于價(jià)格上漲的幅度，因此，邊際收益r p0 , 總收益保持不變 .此時(shí)，總收益取得最大值.例已知某產(chǎn)品的需求函數(shù)為q4e2 p，求需求彈性qp ，并爭(zhēng)論價(jià)格在 10 元時(shí)彈性的大??；解由于qqppq8e 2 p4e 2 pp2 p當(dāng)價(jià)格 p10 元時(shí)，qp2 p p 0201，需求彈性大，此時(shí)價(jià)格增加1%，需求量將下降 20%例某企業(yè)依據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，已知某商品的需求函數(shù)為q1805 p ，試爭(zhēng)論其彈性的變化情形；解由于pq5qppq1805 pp36p由 qp1可得 p18 ，當(dāng) 0p

20、18 時(shí)有qp1 ，表示價(jià)格在這一范疇內(nèi)需求彈性小，需求量增加的幅度小于價(jià)格削減的幅度，此時(shí)采納降價(jià)措施會(huì)使企業(yè)收益削減；當(dāng) p18 時(shí)有 qp1 ，表示價(jià)格在這一范疇內(nèi)需求彈性大，需求量削減的幅度小于價(jià)格增加的幅度，此時(shí)采納提價(jià)措施也會(huì)使企業(yè)收益削減； 在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中，商品經(jīng)營(yíng)者所關(guān)懷的是提價(jià)（p0 ）或降價(jià)（p0 ）對(duì)總收益的影響，事實(shí)上，由于pdqqpqdp即pdqqp qdp當(dāng)價(jià)格 p的微小變化（p 很小）而引起的銷售收益rqp 的轉(zhuǎn)變量為rqpdqpqdppdq1qp qdp由于 qp0 ，所以 qpqp 從而有r1qp qdp1qp q p由此可分析：當(dāng)qp1（彈性大）時(shí)，降價(jià)（p0

21、 ）可使總收益增加（r0 ）；當(dāng) qp1 （彈性?。r(shí)，降價(jià)（p0 ）可使總收益削減（r0 ）；例 3 設(shè)某商品的需求函數(shù)為q 1005 p ，求 p5,10,15 時(shí)的需求價(jià)格彈性，說明經(jīng)濟(jì)意義 , 并說明這時(shí)提高價(jià)格對(duì)總收益的影響.解 需求價(jià)格彈性p q p qp 51005 pp20p當(dāng) p5 時(shí),0.331 ，為低彈性商品 .當(dāng) p5,q75 時(shí)，說明在價(jià)格p5時(shí)如價(jià)格上漲 或下降 1% ，需求量 q 將由 75 個(gè)單位起削減 或增加 0.33% ；此時(shí)， 提價(jià)總收益增加，降價(jià)總收益削減.當(dāng) p10 時(shí),1.當(dāng) p10,q50 , 說明在價(jià)格p10時(shí)需求量削減的幅度等于價(jià)格上漲的幅度，

22、總收益保持不變；此時(shí)總收益取最大值.當(dāng) p15 時(shí),31 .為高彈性商品；當(dāng)p15,q25 時(shí), 說明在價(jià)格p15 時(shí)如價(jià)格上漲 或下降 1% , 需求量 q 將從 25 個(gè)單位起增加 或削減 3% .此時(shí)，提價(jià)總收益削減，降價(jià)總收益增加 .3、收益價(jià)格彈性erqdrqeqrdqr設(shè)商品的總收益函數(shù)為r rq，由彈性的定義可知，就收益的銷售彈性與收益價(jià)格彈性分別為：rqr q與erpdrpeprdprrpr p收益的銷售彈性rq 的經(jīng)濟(jì)意義為：銷售量在q 處時(shí)，如銷售量增加1% ，就當(dāng)rq0 或 rq0 時(shí), 總收益增加（或削減）rq % .收益的價(jià)格彈性rp 的經(jīng)濟(jì)意義為：價(jià)格在p 處時(shí)，如

23、價(jià)格上漲1% ，就當(dāng)rp0 或 rp0 時(shí), 總收益增加（或削減）rp % .如商品的需求函數(shù)、總收益函數(shù)分別為：qq p ,rpq ，就erqdr1drqd pqeqrdqpdqpqdqrq1pqdp1qdppdqpdq1111p dqqdperpdr1drrpepr dpqdppd pq1qp dqpqdpqdp從而有1pdq1 qdpdrq1 ,drp 11dpdq以上四個(gè)式子描述了收益的銷售彈性ereq，收益的價(jià)格彈性er ，關(guān)于價(jià)格 p 的邊際收epdr益 dp ，關(guān)于銷量 q 的邊際收益dr與需求價(jià)格彈性之間的關(guān)系 .在經(jīng)濟(jì)應(yīng)用中常常利用dq這些結(jié)論進(jìn)行經(jīng)濟(jì)分析.例 4設(shè)某產(chǎn)品的需

24、求函數(shù)為q1005 p ，求 p4 時(shí)的收益價(jià)格彈性，并說明其經(jīng)濟(jì)意義 .解由于rpq2100 p5 prppr p r11005 p10010 p所以rp p 40.7510040601002080這說明價(jià)格在 p4 時(shí), 如價(jià)格上漲 1%, 總收益增加 0.75% .習(xí)題1、已知市場(chǎng)均衡模型 , 求均衡價(jià)格pe 和均衡數(shù)量qe , 并畫出圖形 :（ 1）qdqsqd172pqs83p（ 2）qdqsqd156 psq52p 22、生產(chǎn)某產(chǎn)品 , 年產(chǎn)量不超過 500 臺(tái)時(shí) , 每臺(tái)售價(jià)200 元, 可以全部售出 ; 當(dāng)年產(chǎn)量超過500 臺(tái)時(shí), 經(jīng)廣告宣揚(yáng)后又可再售出200 臺(tái), 每臺(tái)平均廣

25、告費(fèi)20 元; 生產(chǎn)再多 , 本年就售不出去 , 試將本年的銷售收益為r 年產(chǎn)量 q 的函數(shù) .3. 生產(chǎn)某新產(chǎn)品 , 固定成本為mm0 萬元 , 每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品, 總成本增加nn0 萬元，試寫出總成本的函數(shù), 并求邊際成本的函數(shù) .4. 設(shè)某產(chǎn)品的價(jià)格函數(shù)為pq20q , 其中 p 為價(jià)格， q 為銷售量，求：5（ 1）銷售量為 15 個(gè)單位時(shí)的總收益，平均收益與邊際收益.（ 2）銷售量從 15 個(gè)單位增加到20 個(gè)單位時(shí)收益的平均變化率.5、求以下函數(shù)的彈性（ 1）yaxb;（2）ya ln ax6、設(shè)函數(shù)f x, g x 的彈性存在 , 證明：e fx （ 1）e f xg xef xe

26、g x；（ 2）gxef xeg x .exexex7 、已知某產(chǎn)品的需求函數(shù)為exexexq400100p ,p0,4（ 1）求需求價(jià)格彈性；（ 2）分別求當(dāng) p1,2,3 時(shí)需用求價(jià)格彈性，作出經(jīng)濟(jì)說明， 并說明這時(shí)價(jià)格變動(dòng)對(duì)總收益的影響 .8、 某產(chǎn)品需求函數(shù)為qaekp k0, a0, p0,求需求價(jià)格彈性，并作出經(jīng)濟(jì)說明.9、設(shè)供應(yīng)函數(shù)為qp 26 p18, 求供應(yīng)價(jià)格彈性es ，及 p3 時(shí)的供應(yīng)價(jià)格彈性.10、設(shè)需求函數(shù) q1004 p ，求（1） p5 時(shí)的需求價(jià)格彈性, 并說明其經(jīng)濟(jì)意義.（2） p5 時(shí)的收益價(jià)格彈性, 并說明其經(jīng)濟(jì)意義.（3） p5 時(shí)的收益銷售彈性, 并

27、說明其經(jīng)濟(jì)意義.四、經(jīng)濟(jì)最值問題1.平均成本最低問題在生產(chǎn)實(shí)際中，常遇到這樣的問題，在給定的生產(chǎn)規(guī)模條件下，如何確定產(chǎn)出量才能使平均成本最低 .設(shè)廠商生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為cc q ，q 為產(chǎn)出量； 由平均成本 c qc qq有c qqc q ， cqc qqcq由極值存在的必要條件（費(fèi)馬定理）知，使平均成本為最小的產(chǎn)出量q0 應(yīng)滿意cqqc qcq1c qcq0q2q q0qqq q01 c q cq0q000從而有cq0c q0，這就是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個(gè)重要結(jié)論：使平均成本最低的產(chǎn)出量，正是使邊際成本等于平均成本時(shí)的產(chǎn)出量.例 1設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為c q4q210q16 ，求平均成本

28、最低時(shí)的產(chǎn)出水平 .解 由于c q16c q4q10qq令 cq0 ，得cqq02 ， c416q 22032q3q 2所以 q02 為微小值點(diǎn)，即當(dāng)產(chǎn)出水平為2 時(shí)，平均成本最低，此時(shí)c28q10 q 226c 2 .2、最大利潤(rùn)問題（稅前或免稅情形）設(shè)總收益函數(shù)為rq ，總成本函數(shù)為cq ，就利潤(rùn)函數(shù)l qrqcq .假如已知需求函數(shù)pf q ，就rqpqfqq先求 l q 的駐點(diǎn)q0 ，即l q0 0r q0 c q0 ，即r q0c q0，假如l q0 0 ，就 q0 就是最大值點(diǎn) .于是有：最大利潤(rùn)原就：在獲得最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)出量q0 處，邊際收益等于邊際成本.例 2某產(chǎn)品的需求函數(shù)為

29、p404q ，總成本函數(shù)為 c q2q24q10 ，求廠方取得最大利潤(rùn)時(shí)產(chǎn)品的產(chǎn)出量和單價(jià).解 總收益函數(shù)為rqqpq404q40q4q2利潤(rùn)函數(shù)lqrqcq40q4q 22q 24q1036q6q 210l q3612q0 ,得唯獨(dú)駐點(diǎn)q03 ，又 l3120 ， q03 是最大值點(diǎn)，此時(shí)p040q0401228 .因此，當(dāng)產(chǎn)品的產(chǎn)出量為3，單價(jià)為 28 時(shí)，廠方取得最大利潤(rùn).3、最大利潤(rùn)（稅后情形）和最大征稅收益問題設(shè)政府以稅率 t（單位產(chǎn)品的征收稅額）對(duì)廠方的產(chǎn)品征稅， 廠商在納稅的情形下仍以最大利潤(rùn)為目標(biāo)，而政府也要確定稅率t 以使征稅收益最大.此時(shí)利潤(rùn)函數(shù)lt qrqcqtrqc q

30、tq ，其中稅款 ttq .下面記以稅率 t 納稅后廠方獲得最大利潤(rùn)時(shí)產(chǎn)品產(chǎn)出量為qt ，單價(jià)為pt ，征稅收益ttqt .例 3某產(chǎn)品的需求函數(shù)和總成本函數(shù)分別為：p404q ， c q2q24q10政府對(duì)產(chǎn)品以稅率 t 征稅，求：（1） 廠方以稅率 t 納稅后，獲得最大利潤(rùn)時(shí)產(chǎn)品的產(chǎn)出量qt 和單價(jià)pt ，以及征稅收益 t .（2） t12和 t30 時(shí)，分別求廠方獲得最大利潤(rùn)時(shí)產(chǎn)品的產(chǎn)出量和單價(jià)，以及征稅收益.（3） 稅率 t 為多少時(shí)，征稅收益最大？此時(shí)產(chǎn)品的產(chǎn)出量和單價(jià)為多少？ 解（1）納稅后的利潤(rùn)函數(shù)lt qrqc qtq36q6q 210tqlt q3612qt0得唯獨(dú)駐點(diǎn) qt

31、36t，又12ltqt0 ，所以 qt36t12是最大值點(diǎn)，此時(shí)p40q28ttt3因此，以稅率 t 納稅時(shí)，當(dāng)產(chǎn)量 qt36t 12，單價(jià) pt28t 3時(shí)，廠方獲得最大利潤(rùn)，此時(shí)征稅收益ttqt236tt.12（2）把 t12 代入上述各值，得q1236122 ，12p122812323ttqt12224再把 t30 代入，得q3036301， p301222830383ttqt300.515 .注t0 時(shí)，代入即可得到與例2 一樣的結(jié)果 .3 由征稅收益ttqt236tt12， t '362t012得唯獨(dú)駐點(diǎn)t018 .又 t ''180 ，所以t018 為最大值

32、點(diǎn) .因此，當(dāng)稅率0qttt018 時(shí)，征稅收益最大，此時(shí)36181.51200pt404qt4041.534征稅收益0tt0qt181.527因此，當(dāng)稅率 t18時(shí)，征稅收益最大為27，此時(shí)產(chǎn)品產(chǎn)出量為1.5，單價(jià)為 34.注 當(dāng)免稅時(shí)，產(chǎn)品單價(jià)為28，當(dāng)廠方以稅率 18 納稅時(shí)，產(chǎn)品單價(jià)為34，在稅款為27 中，顧客承擔(dān)的部分為3428qt61.59 ，而廠方承擔(dān) 27918 .04、最優(yōu)批量問題設(shè)在一個(gè)方案期內(nèi)（如一季度，一年），某超市銷售某商品的總量為a ，分幾批訂購(gòu)進(jìn)貨（每批訂購(gòu)數(shù)量稱為批量）.批量多，即訂購(gòu)的批次少，訂購(gòu)的費(fèi)用就少，但庫(kù)存保管費(fèi)用就增多 .我們的問題是，如何確定最優(yōu)

33、批量，使訂購(gòu)費(fèi)和庫(kù)存保管費(fèi)之和最少.已知總量 a ，設(shè)批量為 x ，就訂購(gòu)批次為a ，訂購(gòu)費(fèi)用 =每批訂購(gòu)費(fèi)a .xx在庫(kù)存保管方面， 總假設(shè)商品是由倉(cāng)庫(kù)勻稱提取投放市場(chǎng).在每一批訂購(gòu)進(jìn)庫(kù)的周期內(nèi)，開頭一天庫(kù)存量最大（為批量x ），最終一天用完為零（緊接其次批訂購(gòu)進(jìn)庫(kù)）；在這種假設(shè)下，平均庫(kù)存量為批量的一半，庫(kù)存保管費(fèi)=每件庫(kù)存費(fèi)x .2例 4設(shè)某商場(chǎng)方案一年內(nèi)銷售某商品10 萬件，每次訂購(gòu)費(fèi)用100 元，庫(kù)存保管費(fèi)為每件 0.05 元，求最優(yōu)批量使訂購(gòu)費(fèi)用與庫(kù)存保管費(fèi)用之和最小.解 設(shè)批量（每批訂購(gòu)數(shù)量）為x ，就分105x批訂購(gòu)，總費(fèi)用105f x102xx0.052f x7100.050

34、x22解得唯獨(dú)駐點(diǎn)x2105 ，由于 f2105 0 ， x2105 為最小值點(diǎn) .故最優(yōu)批量為2 萬件（即最優(yōu)批次105210 45 批），可使總費(fèi)用最小.習(xí)題121、生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本cq1006qq （萬元 / 單位），求平均成本最小時(shí)的產(chǎn)出4量，以及最低平均成本和此時(shí)的邊際成本.2、設(shè)廠方生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為c q3q1（萬元），需求函數(shù)為 p70.2q（萬元/噸），政府以稅率 t （萬元 /噸）對(duì)該產(chǎn)品征稅，廠方以最大利潤(rùn)為目標(biāo)（1） 以稅率 t 納稅后，求廠方獲得最大利潤(rùn)時(shí)產(chǎn)品的產(chǎn)出量和單價(jià)，以及征稅收益.（2） t0時(shí)（免稅） ，求廠方獲得最大利潤(rùn)時(shí)產(chǎn)品的產(chǎn)出量和單價(jià)，以及征

35、稅收益.（3） t 為多少時(shí)，征稅收益最大？此時(shí)產(chǎn)品的產(chǎn)出量和單價(jià)為多少？最大征稅收益為多少？3、某超市年銷售某商品5000 臺(tái)，每次進(jìn)貨費(fèi)用40 元，每臺(tái)單價(jià)和庫(kù)存保管費(fèi)率分別為200元和 20% ，求最優(yōu)批量使總費(fèi)用最小.4、某工廠年方案生產(chǎn)某產(chǎn)品100 萬件，每批生產(chǎn)需增加生產(chǎn)預(yù)備費(fèi)1000 元，每件庫(kù)存費(fèi)0.05 元，假設(shè)庫(kù)存是勻稱的，問應(yīng)分幾批生產(chǎn)能使總費(fèi)用最??？五、偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用一元函數(shù)微分學(xué)中邊際和彈性分別表示經(jīng)濟(jì)函數(shù)在一點(diǎn)的變化率和相對(duì)變化率，這些概念可以推廣到多元函數(shù)微分學(xué)中，并給予了更豐富的經(jīng)濟(jì)含義，這里簡(jiǎn)潔介紹多元函數(shù)邊際問題和偏彈性概念 .1、邊際問題一元函數(shù)的

36、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱為邊際函數(shù)，同樣地，二元函數(shù)zf x, y的偏導(dǎo)數(shù)fx x, y與f y x, y, 分別稱為函數(shù) f x, y 對(duì) x 與 y 的邊際函數(shù)，邊際函數(shù)在該點(diǎn)的值稱為邊際函數(shù)值，邊際函數(shù)的概念可以推廣到多元函數(shù)上.（1） 邊際產(chǎn)量在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中，柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)為qakla,為正常數(shù) ，l，k 分別表示投入的勞動(dòng)力數(shù)量和資本數(shù)量，q 表示產(chǎn)量， q 是 l,k 的二元函數(shù)；即 qf k , l當(dāng)勞動(dòng)力投入保持不變， 而資本投入發(fā)生很小轉(zhuǎn)變所引起的產(chǎn)出量的變化，這正是我們所說的產(chǎn)出量對(duì)資本要素的邊際，即產(chǎn)量的變化率為：dqa k1lq （ dq表示關(guān)于資本的邊際產(chǎn)量函數(shù)）dk

37、kdk當(dāng)資本投入保持不變，而勞動(dòng)力投入發(fā)生變化時(shí)，產(chǎn)量的變化率為：dqakl1q （ dq 表示關(guān)于勞動(dòng)的邊際產(chǎn)量函數(shù)）dlldl12例 9 某企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)為q200 k 2 l 3 ，其中 q 是產(chǎn)量（單位： 件），k 是資本投入 （單位：千元）， l 是勞動(dòng)力投入（單位：千工時(shí)） ；求當(dāng) l=8 ，k=9 時(shí)的邊際產(chǎn)量，并說明其意義.解資本的邊際產(chǎn)量231d q100 l1qdkk 22 k1d q4 0 k0 2q2勞動(dòng)力的邊際產(chǎn)量dl313 l l3當(dāng) l=8 ，k=9 時(shí)，產(chǎn)量q l 8k 91220092832400.所以，當(dāng) l=8 ， k=9 時(shí)，邊際產(chǎn)量為：dqk9dk l

38、 8400 dq3dl9,l 8k200這說明，在勞動(dòng)力投入8 千工時(shí)和資本投入9 千元時(shí)，產(chǎn)量是 2400 件，如勞動(dòng)力投入保持400不變，再增加一個(gè)單位資本投入增加的產(chǎn)量為個(gè)單位勞動(dòng)力投入增加的產(chǎn)量為200 件.（2） 邊際成本與邊際利潤(rùn)件；當(dāng)資本投入保持不變時(shí)，再增加一3某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，當(dāng)兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為q1,q2 （單位： kg）時(shí)，總成本（單位：元）總收益、總利潤(rùn)均為甲、乙兩種產(chǎn)品產(chǎn)量q1,q2 的二元函數(shù)，即總成本函數(shù)為cq1, q2 ，總收益函數(shù)為rq1, q2，總利潤(rùn)函數(shù)為l q1,q2 .這些函數(shù)分別對(duì)q1 與 q2 的偏導(dǎo)數(shù)就是甲、乙兩種不同產(chǎn)品的邊際成本，邊

39、際收益和邊際利潤(rùn) .例 10 某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種不同的產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別為q1, q2 ，總成本為：cq ,q 3q 22q q5q 210121122（1） 求兩種不同產(chǎn)品的邊際成本；（2） 求當(dāng) q18,q28 時(shí)，兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)邊際成本；（3） 當(dāng)出售兩種產(chǎn)品的單價(jià)分別為80 元和 100 元時(shí)，求每種產(chǎn)品的邊際利潤(rùn).解（ 1）甲產(chǎn)品q 的邊際成本為 dc6q2q112dq1乙產(chǎn)品q2 的邊際成本為dc dq22q110q2dc（ 2）q 86q12q2 q 864dq111 q2 8q 2 8（ 3）利潤(rùn)函數(shù)：l q1,q2 rq1, q2 cq1,q2 80q100q3q22q q5q21012112280q100q3q22q q5q210121122對(duì) q1,q2 的邊際利潤(rùn)分別為：l806q1q12q2l1002q1q210q22、偏彈性一元函數(shù)y f x 在