建模案例—飛行管理問(wèn)題

1、報(bào)告人：魯勝?gòu)?qiáng)報(bào)告人：魯勝?gòu)?qiáng) 數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)講座數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)講座 - 溫州醫(yī)學(xué)院溫州醫(yī)學(xué)院魯勝?gòu)?qiáng)一個(gè)飛行管理問(wèn)題一個(gè)飛行管理問(wèn)題 1.1 問(wèn)題描述問(wèn)題描述 1995年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的A題（題（“一一個(gè)飛行管理問(wèn)題個(gè)飛行管理問(wèn)題”）。）。 在約在約10000米高空的某邊長(zhǎng)為米高空的某邊長(zhǎng)為160km的正方形區(qū)的正方形區(qū)域內(nèi)，經(jīng)常有若干架飛機(jī)做水平飛行，區(qū)域內(nèi)每域內(nèi)，經(jīng)常有若干架飛機(jī)做水平飛行，區(qū)域內(nèi)每架飛機(jī)的位置和速度向量均由計(jì)算機(jī)記錄其數(shù)據(jù)，架飛機(jī)的位置和速度向量均由計(jì)算機(jī)記錄其數(shù)據(jù)，以便進(jìn)行飛行管理，當(dāng)一架欲進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)以便進(jìn)行飛行管理，當(dāng)一架欲進(jìn)入該

2、區(qū)域的飛機(jī)到達(dá)區(qū)域邊緣時(shí)，記錄其數(shù)據(jù)后，要立即計(jì)算并到達(dá)區(qū)域邊緣時(shí)，記錄其數(shù)據(jù)后，要立即計(jì)算并判斷是否會(huì)與區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)發(fā)生碰撞。判斷是否會(huì)與區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)發(fā)生碰撞。 魯勝?gòu)?qiáng) 現(xiàn)假定條件如下：現(xiàn)假定條件如下： 不碰撞的標(biāo)準(zhǔn)為任意兩架飛機(jī)的距離大于不碰撞的標(biāo)準(zhǔn)為任意兩架飛機(jī)的距離大于8km； 飛機(jī)飛行方向角調(diào)整幅度不應(yīng)超過(guò)飛機(jī)飛行方向角調(diào)整幅度不應(yīng)超過(guò)30； 所有飛機(jī)飛行速度均為所有飛機(jī)飛行速度均為800kmh； 進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)在到達(dá)該區(qū)域邊緣時(shí)，進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)在到達(dá)該區(qū)域邊緣時(shí)，與區(qū)域內(nèi)飛機(jī)的距離應(yīng)在與區(qū)域內(nèi)飛機(jī)的距離應(yīng)在60km以上；以上； 最多需考慮最多需考慮6架飛機(jī)；架飛機(jī)； 不必考慮飛

3、機(jī)離開(kāi)此區(qū)域后的情況。不必考慮飛機(jī)離開(kāi)此區(qū)域后的情況。魯勝?gòu)?qiáng) 請(qǐng)你對(duì)這個(gè)請(qǐng)你對(duì)這個(gè)避免碰撞避免碰撞的飛行管理問(wèn)題的飛行管理問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型，列出計(jì)算步驟，對(duì)以下數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算（列出計(jì)算步驟，對(duì)以下數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算（方向角誤差方向角誤差不超過(guò)不超過(guò)0.01），），要求要求飛機(jī)飛行飛機(jī)飛行方向角調(diào)整方向角調(diào)整的幅度的幅度盡量小盡量小。 該區(qū)域四個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為（該區(qū)域四個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0）、（）、（160，0）、）、（160，160）、（）、（0，160）。記錄數(shù)據(jù)見(jiàn)表）。記錄數(shù)據(jù)見(jiàn)表21。 魯勝?gòu)?qiáng)表表21 飛機(jī)位置和方向角記錄數(shù)據(jù)飛機(jī)位置和方向角記錄數(shù)據(jù) 飛機(jī)編號(hào)橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)方向角（飛機(jī)

4、編號(hào)橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)方向角（）飛機(jī)編號(hào)橫坐標(biāo)）飛機(jī)編號(hào)橫坐標(biāo)x縱坐標(biāo)縱坐標(biāo)y方向角（方向角（）飛機(jī)編飛機(jī)編號(hào)號(hào)橫坐橫坐標(biāo)標(biāo)縱坐縱坐標(biāo)標(biāo)方向角方向角（）飛機(jī)編飛機(jī)編號(hào)號(hào)橫坐橫坐標(biāo)標(biāo)x x縱坐縱坐標(biāo)標(biāo)y y方向角方向角（）1 11501501401402432434 414514550501591592 2858585852362365 51301301501502302303 31551551551552202205 5新進(jìn)入新進(jìn)入0 00 05252說(shuō)明：說(shuō)明：方向角指飛行方向與方向角指飛行方向與x軸正向的夾角軸正向的夾角。試根據(jù)實(shí)際應(yīng)用背景對(duì)你的模型進(jìn)行評(píng)價(jià)和推廣試根據(jù)實(shí)際應(yīng)用背景對(duì)你的模型進(jìn)行

5、評(píng)價(jià)和推廣 魯勝?gòu)?qiáng) * 對(duì)問(wèn)題仔細(xì)閱讀對(duì)問(wèn)題仔細(xì)閱讀, 首先抓住題目中的首先抓住題目中的關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞“管理管理”進(jìn)行聯(lián)想進(jìn)行聯(lián)想. 抓住諸如抓住諸如“碰撞碰撞”、“調(diào)整調(diào)整”、“避免避免碰撞碰撞”、“立即立即”、“判斷判斷”等等詞語(yǔ)等等詞語(yǔ). . * * 聯(lián)系解決問(wèn)題的方案聯(lián)系解決問(wèn)題的方案, ,不加約束繼不加約束繼續(xù)聯(lián)想，再將關(guān)鍵詞搭配起來(lái)續(xù)聯(lián)想，再將關(guān)鍵詞搭配起來(lái). . 1. 問(wèn)題的前期分析問(wèn)題的前期分析魯勝?gòu)?qiáng)VIIIIIIIVIV160km160km飛行位置示意圖飛行位置示意圖魯勝?gòu)?qiáng)立即立即 判斷判斷 碰撞碰撞 條件條件 實(shí)時(shí)實(shí)時(shí) 算法算法 避免避免 碰撞碰撞 調(diào)整調(diào)整 方向角方向角 實(shí)

6、時(shí)實(shí)時(shí) 幅度盡量幅度盡量小小 相對(duì)相對(duì)距離距離優(yōu)化問(wèn)題優(yōu)化問(wèn)題優(yōu)化算法優(yōu)化算法優(yōu)化調(diào)整方案優(yōu)化調(diào)整方案魯勝?gòu)?qiáng)問(wèn)題的初步理解和想法問(wèn)題的初步理解和想法 飛行管理問(wèn)題是飛行管理問(wèn)題是優(yōu)化優(yōu)化問(wèn)題問(wèn)題,在調(diào)整方向在調(diào)整方向角的幅度盡量小的同時(shí)，還必須注意角的幅度盡量小的同時(shí)，還必須注意調(diào)整方案及算法的實(shí)時(shí)性調(diào)整方案及算法的實(shí)時(shí)性.魯勝?gòu)?qiáng)2. 問(wèn)題探究問(wèn)題探究 （1）優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)為何？）優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)為何？方向角調(diào)整的盡量小方向角調(diào)整的盡量小方向角如何表示方向角如何表示方向角的概念是什方向角的概念是什么么方向角的平方和方向角的平方和目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)魯勝?gòu)?qiáng) 任意兩架飛機(jī)的距離大于任意兩架飛機(jī)的

7、距離大于8 公里；公里； 飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度不應(yīng)超過(guò)飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度不應(yīng)超過(guò) 30 ；l（2）優(yōu)化問(wèn)題的約束條件為何？）優(yōu)化問(wèn)題的約束條件為何？?jī)牲c(diǎn)間距離表示方法兩點(diǎn)間距離表示方法判斷避免碰撞的依判斷避免碰撞的依據(jù)據(jù)把飛機(jī)視為點(diǎn)把飛機(jī)視為點(diǎn)總結(jié)：總結(jié)：目標(biāo)函數(shù)和約束條件中都含有方目標(biāo)函數(shù)和約束條件中都含有方向角。向角。魯勝?gòu)?qiáng)（3）分析6架飛機(jī)目前碰撞情況 描點(diǎn)作圖；描點(diǎn)作圖； 分析飛機(jī)在飛行區(qū)域的時(shí)間；分析飛機(jī)在飛行區(qū)域的時(shí)間； 判斷判斷5架飛機(jī)此刻的情況；架飛機(jī)此刻的情況； 判斷新進(jìn)入飛機(jī)與其他判斷新進(jìn)入飛機(jī)與其他5架飛機(jī)碰撞的情況。架飛機(jī)碰撞的情況。魯勝?gòu)?qiáng)（4）求解方法）求解

8、方法 特殊到一般：先考慮特殊到一般：先考慮2架，然考慮架，然考慮3架架 優(yōu)化問(wèn)題為非線性規(guī)劃問(wèn)題，編程求解優(yōu)化問(wèn)題為非線性規(guī)劃問(wèn)題，編程求解?？偨Y(jié)總結(jié)：初等算法和高等算法都可。：初等算法和高等算法都可。創(chuàng)新之處：算法。創(chuàng)新之處：算法。魯勝?gòu)?qiáng)模型一及求解模型一及求解 模型建立模型建立 這個(gè)問(wèn)題顯然是一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題。設(shè)第這個(gè)問(wèn)題顯然是一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題。設(shè)第i 架飛架飛機(jī)在調(diào)整時(shí)的方向角為機(jī)在調(diào)整時(shí)的方向角為 （題目中已給（題目中已給出），調(diào)整后的方向?yàn)槌觯{(diào)整后的方向?yàn)?，題目中就是要求飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅題目中就是要求飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度盡量小，因此有化的目的函數(shù)可以是：度盡量小，因此有化的目

9、的函數(shù)可以是： （1）621| .ii0(1,2,6)iiii0i魯勝?gòu)?qiáng) 為了建立這個(gè)問(wèn)題的優(yōu)化模型，只需要明確約束條件就可為了建立這個(gè)問(wèn)題的優(yōu)化模型，只需要明確約束條件就可以了。一個(gè)簡(jiǎn)單的約束是飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度不應(yīng)以了。一個(gè)簡(jiǎn)單的約束是飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度不應(yīng)超過(guò)超過(guò)30，即，即 （2） | 30 .魯勝?gòu)?qiáng) 題目中要求進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)在到達(dá)該區(qū)域邊緣時(shí)，題目中要求進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)在到達(dá)該區(qū)域邊緣時(shí)，與區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)的距離應(yīng)在與區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)的距離應(yīng)在60km以上。這個(gè)條件以上。這個(gè)條件是個(gè)初始條件，很容易驗(yàn)證目前所給的數(shù)據(jù)是滿足是個(gè)初始條件，很容易驗(yàn)證目前所給的數(shù)據(jù)是滿足的，因此本模

10、型中可以不予考慮。剩下的關(guān)鍵是的，因此本模型中可以不予考慮。剩下的關(guān)鍵是 要滿足題目中描述的要滿足題目中描述的任意兩架位于該區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)任意兩架位于該區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)的距離應(yīng)該大于的距離應(yīng)該大于8km。但這個(gè)問(wèn)題的但這個(gè)問(wèn)題的難點(diǎn)難點(diǎn)在于飛機(jī)在于飛機(jī)是動(dòng)態(tài)的，這個(gè)約束不好直接描述，為此我們首先是動(dòng)態(tài)的，這個(gè)約束不好直接描述，為此我們首先需要描述每架飛機(jī)的飛行軌跡。需要描述每架飛機(jī)的飛行軌跡。魯勝?gòu)?qiáng) 記飛機(jī)飛行速率為（記飛機(jī)飛行速率為（800kmh），以當(dāng)前），以當(dāng)前時(shí)刻為時(shí)刻為0時(shí)刻。設(shè)第時(shí)刻。設(shè)第 架飛機(jī)在調(diào)整時(shí)的位架飛機(jī)在調(diào)整時(shí)的位置坐標(biāo)為置坐標(biāo)為 （已知條件），時(shí)刻的位（已知條件），時(shí)刻的位

11、置坐標(biāo)為置坐標(biāo)為 ，則，則 （3）00(,)iixy(,)ttiixy00cos,sin.ttiiiiiixxvtyyvti魯勝?gòu)?qiáng) 如果要嚴(yán)格表示兩架位于該區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)如果要嚴(yán)格表示兩架位于該區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)的距離應(yīng)大于的距離應(yīng)大于8km，則需要考慮每架飛機(jī)，則需要考慮每架飛機(jī)在區(qū)域內(nèi)的飛行時(shí)間的長(zhǎng)度。記在區(qū)域內(nèi)的飛行時(shí)間的長(zhǎng)度。記Ti 為第為第 架飛機(jī)飛出區(qū)域的時(shí)間，即架飛機(jī)飛出區(qū)域的時(shí)間，即 （4） 0argmin0:cos0160sin0160iiiiTtxvtvt0i或，或y或i魯勝?gòu)?qiáng) 記記 時(shí)刻第時(shí)刻第 架飛機(jī)與第架飛機(jī)與第 架飛機(jī)的距離架飛機(jī)的距離為為 ，并記，并記 ，這時(shí)在區(qū)，這時(shí)在

12、區(qū)域內(nèi)飛機(jī)不相撞的約束條件就變成了域內(nèi)飛機(jī)不相撞的約束條件就變成了 （5） 其中其中 （6） 此外，經(jīng)過(guò)計(jì)算可以得到此外，經(jīng)過(guò)計(jì)算可以得到tij( )ijr t2( ) ( )64ijijftr t2( ) ( )640(0)ijijijftr ttT min ,.ijijTT T魯勝?gòu)?qiáng) （7） （8） （9） （10） 0020022( )(coscos)(sinsin)64ijiijjiijjijijijijf txvtxvtyvtyvtzb zc2 sin,2ijijzvt00002 ()sin()cos,22ijijijijijbxxyy00 200 2()()64.ijijijcxx

13、yy魯勝?gòu)?qiáng) 所以所以 是一個(gè)關(guān)于是一個(gè)關(guān)于 t 的二次函數(shù)，表示的的二次函數(shù)，表示的是一條開(kāi)口向上的拋物線。當(dāng)是一條開(kāi)口向上的拋物線。當(dāng) 即即 （記為（記為 ）時(shí)，）時(shí)， 函數(shù)取最小函數(shù)取最小值值 。注意到。注意到 （初始時(shí)刻不相（初始時(shí)刻不相撞），如果撞），如果 （即（即 ）則此時(shí)約束條）則此時(shí)約束條件（件（5）一定成立，所以）一定成立，所以 如果如果 且且 ，只要在右端點(diǎn)的函數(shù)值，只要在右端點(diǎn)的函數(shù)值非負(fù)即可，即非負(fù)即可，即( )ijft/ 2,ijijzb /4 sin2ijijtbv *ijt( )ijft/4ijijbc(0)0ijijfc/20ijb0ijb 0ijb *ijijt

14、T魯勝?gòu)?qiáng) （11） 如果如果 且且 ，只需要，只需要 求最小值求最小值 即可，即即可，即 （12） 實(shí)際上，約束（實(shí)際上，約束（11）表示的是）表示的是 在右端點(diǎn)在右端點(diǎn)的函數(shù)值非負(fù)，這個(gè)約束在（的函數(shù)值非負(fù)，這個(gè)約束在（12）的條件）的條件下也是自然成立的，所以可以是對(duì)約束下也是自然成立的，所以可以是對(duì)約束（11）不再附加且的條件。）不再附加且的條件。 ()0;ijijf T0ijb *0ijijtT*( )/40ijijijijftbc 240.ijijbc( )ijft( )ijftijT魯勝?gòu)?qiáng) 于是我們的模型就是于是我們的模型就是 （13） （14） （15） （16） 621min|

15、 ;ii2. .|30 ,ist()0;ijijfT2*40.(0,0)ijijijijijbcbtT魯勝?gòu)?qiáng)模型求解模型求解 上面這是一個(gè)非線性規(guī)劃模型，雖然是嚴(yán)格滿足題目上面這是一個(gè)非線性規(guī)劃模型，雖然是嚴(yán)格滿足題目要求的模型，但得到的模型邏輯關(guān)系比較復(fù)雜，約束要求的模型，但得到的模型邏輯關(guān)系比較復(fù)雜，約束（16）是在一定條件下才成立的約束，而且其中的）是在一定條件下才成立的約束，而且其中的計(jì)算式（計(jì)算式（4）也含有相當(dāng)復(fù)雜的關(guān)系式，使用）也含有相當(dāng)復(fù)雜的關(guān)系式，使用LINGO軟件不太容易將模型很方便的輸入，因?yàn)檫壿嬏幚聿卉浖惶菀讓⒛Ｐ秃芊奖愕妮斎?，因?yàn)檫壿嬏幚聿皇鞘荓INGO的優(yōu)勢(shì)所在

16、。即使想辦法把這個(gè)模型輸入的優(yōu)勢(shì)所在。即使想辦法把這個(gè)模型輸入到到LINGO，也不一定能求出好的解（筆者嘗試過(guò)，也不一定能求出好的解（筆者嘗試過(guò)，但是但是LINGO運(yùn)行時(shí)有時(shí)會(huì)出現(xiàn)系統(tǒng)內(nèi)部錯(cuò)誤，可能運(yùn)行時(shí)有時(shí)會(huì)出現(xiàn)系統(tǒng)內(nèi)部錯(cuò)誤，可能是系統(tǒng)有問(wèn)題，無(wú)法繼續(xù)求解）。而且，在實(shí)時(shí)飛行是系統(tǒng)有問(wèn)題，無(wú)法繼續(xù)求解）。而且，在實(shí)時(shí)飛行調(diào)度中顯然需要快速求解，所以下面我們想辦法簡(jiǎn)化調(diào)度中顯然需要快速求解，所以下面我們想辦法簡(jiǎn)化模型。模型。魯勝?gòu)?qiáng) 這個(gè)模型麻煩之處就在于，要求嚴(yán)格表示這個(gè)模型麻煩之處就在于，要求嚴(yán)格表示兩架飛機(jī)的飛行距離應(yīng)大于兩架飛機(jī)的飛行距離應(yīng)大于8km，所以需，所以需要考慮每架飛機(jī)在區(qū)域內(nèi)

17、的飛行時(shí)間的長(zhǎng)要考慮每架飛機(jī)在區(qū)域內(nèi)的飛行時(shí)間的長(zhǎng)度，比較繁瑣。注意到區(qū)域?qū)蔷€的長(zhǎng)度度，比較繁瑣。注意到區(qū)域?qū)蔷€的長(zhǎng)度只有只有 ，任何一架飛機(jī)在所考慮的區(qū)域，任何一架飛機(jī)在所考慮的區(qū)域內(nèi)停留的時(shí)間不會(huì)超內(nèi)停留的時(shí)間不會(huì)超過(guò)過(guò) 。因此這里我們。因此這里我們簡(jiǎn)化一下問(wèn)題；簡(jiǎn)化一下問(wèn)題； 160 2max160 2/800 0.2 20.283( )Th魯勝?gòu)?qiáng) 不再單獨(dú)考慮每架飛機(jī)在區(qū)域內(nèi)停留的時(shí)不再單獨(dú)考慮每架飛機(jī)在區(qū)域內(nèi)停留的時(shí)間，而是以最大時(shí)間間，而是以最大時(shí)間 （這是已經(jīng)是一個(gè)常（這是已經(jīng)是一個(gè)常數(shù)）代替之，此時(shí)所有數(shù)）代替之，此時(shí)所有 ，這實(shí)際上，這實(shí)際上強(qiáng)化了問(wèn)題的要求，即考慮了有些

18、飛機(jī)可強(qiáng)化了問(wèn)題的要求，即考慮了有些飛機(jī)可能已經(jīng)飛出區(qū)域，但仍不允許兩架飛機(jī)的能已經(jīng)飛出區(qū)域，但仍不允許兩架飛機(jī)的距離小于距離小于8km。 maxTmaxijTT魯勝?gòu)?qiáng)程序：程序： MODEL: TITLE 飛行管理問(wèn)題的非線性規(guī)劃模型飛行管理問(wèn)題的非線性規(guī)劃模型; SETS: Plane/1.6/: x0, y0, cita0, cita1, d_cita; ! cita0表示初始角度，表示初始角度，cita1為調(diào)整后的角為調(diào)整后的角度度,d_cita為調(diào)整的角度為調(diào)整的角度; link(plane, plane)|&1 #LT# &2: b,c; ENDSETS DATA:

19、魯勝?gòu)?qiáng)1501402438585236150155220.5145501591301502300052x0 y0 cita0 =魯勝?gòu)?qiáng)max_cita = 30;T_max = 0.283;V=800;ENDDATAINIT:d_cita = 0 0 0 0 0 0;ENDINITfor(plane: cita1 - cita0 = d_cita);for(link(i,j): b(i,j) = -2*(x0(i) -x0(j)*sin (cita1(i)+cita1(j)*3.14159265/360) +2*(y0(i) -y0(j)*cos (cita1(i)+cita1(j)*3.14

20、159265/360); c(i,j) = (x0(i) -x0(j) 2 + (y0(i) -y0(j) 2 - 64;);! 避免碰撞的條件避免碰撞的條件;! 右端點(diǎn)非負(fù)右端點(diǎn)非負(fù);for(link(i,j): Right 魯勝?gòu)?qiáng)(2*V*T_max*sin(cita1(i)-cita1(j)*3.14159265/360)2 + b(i,j)*(2*V*T_max*sin(cita1(i)-cita1(j)*3.14159265/360) + c(i,j) 0);! 最小點(diǎn)非負(fù)最小點(diǎn)非負(fù);for(link(i,j): Minimum if(b(i,j)#lt#0 #and# -b(i,j

21、)/4/V/sin(cita1(i)-cita1(j)*3.14159265/360) #gt#0 #and# -b(i,j)/4/V/sin(cita1(i)-cita1(j)*3.14159265/360) #lt#T_max , b(i,j)2-4*c(i,j),-1) 0);!for(link(i,j): if(b(i,j)#lt#0, b(i,j)2-4*c(i,j), -1) ij(2)由圓狀模型導(dǎo)出的方程由圓狀模型導(dǎo)出的方程討論討論ij的改變量與第的改變量與第i第第j兩架飛機(jī)飛行方向角改變量?jī)杉茱w機(jī)飛行方向角改變量i, j的關(guān)系的關(guān)系由題目條件知由題目條件知|vi|=A=800，

22、可用復(fù)數(shù)表示速度，可用復(fù)數(shù)表示速度iiiAev設(shè)第設(shè)第i，j飛機(jī)飛行方向改變前的速度分別為飛機(jī)飛行方向改變前的速度分別為jiijiiAevAev11,改變后的速度分別為改變后的速度分別為)(2)(2,jjiiijiiAevAev改變前后相對(duì)速度分別為改變前后相對(duì)速度分別為)()()()(222111jjiijiiijiijiijiijeeAvvveeAvvv兩者之商的幅角就是兩者之商的幅角就是ijjjiijjjjiiiiiiiiijijiiiieeAeeAvvjijjiisincossincos)sin()cos()sin()cos()()()(12)2cos2(sin2sin2)2cos2(

23、sin2sin2jijijiijiiijiiijiiii22sin22sin2jiijiijiie2jiij定理：對(duì)第定理：對(duì)第i，第，第j兩架飛機(jī)，其相對(duì)速度方向兩架飛機(jī)，其相對(duì)速度方向ij的改變量的改變量ij等于等于兩飛機(jī)飛行方向角改變量之和的一半，即兩飛機(jī)飛行方向角改變量之和的一半，即2jiij模型模型目標(biāo)函數(shù)：目標(biāo)函數(shù)：|)|min(max|min61iii或Min其中其中為各飛機(jī)方向角調(diào)整量的最大值為各飛機(jī)方向角調(diào)整量的最大值或?yàn)榛驗(yàn)榧s束條件：約束條件：調(diào)整方向角時(shí)不能超過(guò)調(diào)整方向角時(shí)不能超過(guò)300：6 , 2 , 1,30|ii調(diào)整飛行方向后飛機(jī)不能碰撞：調(diào)整飛行方向后飛機(jī)不能碰撞

24、：ijjiij|2|模型為模型為 6 , 2 , 1,30|, 6 , 2 , 1.,| )(21|. .|min61ijijitsiijjiijii化為線性規(guī)劃模型化為線性規(guī)劃模型時(shí)當(dāng)0ijijijijijijij|時(shí)當(dāng)0ijijijijijijij|由于由于i可正可負(fù)，為使各變量均非負(fù)，引入新變量：可正可負(fù)，為使各變量均非負(fù)，引入新變量：2121,iiiii使模型模型化為化為0,303030220220. .min212121212121212121iiiiiiiiiiijijjjiiijijijjjiiijts時(shí)，時(shí)，模型求解模型求解ij的計(jì)算的計(jì)算)|8arcsin(jiijxx mo

25、del:sets:plane/1.6/:x0,y0;link(plane,plane):alpha,sin2;endsetsfor(link(i,j)|i#ne#j:sin2(i,j)=64/(x0(i)-x0(j)2+(y0(i)-y0(j)2););for(link(i,j)|i#ne#j:(sin(alpha*3.14159265/180.0)2=sin2;);data:x0=150,85,150,145,130,0;y0=140,85,155,50,150,0;enddataendALPHA( 1, 1) 1.234568 ALPHA( 1, 2) 5.391190 ALPHA( 1,

26、 3) 752.2310 ALPHA( 1, 4) 5.091816 ALPHA( 1, 5) 2000.963 ALPHA( 1, 6) 2.234507 ALPHA( 2, 1) 5.391190 ALPHA( 2, 2) 1.234568 ALPHA( 2, 3) 4.804024 ALPHA( 2, 4) 6.613460 ALPHA( 2, 5) 5.807866 ALPHA( 2, 6) 3.815925 ALPHA( 3, 1) 752.2310 ALPHA( 3, 2) 4.804024 ALPHA( 3, 3) 1.234568 ALPHA( 3, 4) 4.364672 A

27、LPHA( 3, 5) 1102.834 ALPHA( 3, 6) 2.125539 ALPHA( 4, 1) 5.091816ALPHA( 4, 2) 6.613460 ALPHA( 4, 3) 4.364672 ALPHA( 4, 4) 1.234568 ALPHA( 4, 5) 4.537692 ALPHA( 4, 6) 2.989819 ALPHA( 5, 1) 2000.963 ALPHA( 5, 2) 5.807866 ALPHA( 5, 3) 1102.834 ALPHA( 5, 4) 4.537692 ALPHA( 5, 5) 1.234568 ALPHA( 5, 6) 2.3

28、09841 ALPHA( 6, 1) 2.234507 ALPHA( 6, 2) 3.815925 ALPHA( 6, 3) 2.125539 ALPHA( 6, 4) 2.989819 ALPHA( 6, 5) 2.309841 ALPHA( 6, 6) 1.234568ijJ=123456i=10.0000005.39119032.2309535.09181620.9633612.23450725.3911900.0000004.8040246.6134605.8078663.815925332.2309534.8040240.0000004.36467222.8336542.125539

29、45.0918166.6134604.3646720.0000004.5376922.989819520.9633615.80786622.8336544.5376920.0000002.30984162.2345073.8159252.1255392.9898192.3098410.000000整理可得整理可得ij的值（單位角度）的值（單位角度）也可以用也可以用MATLAB計(jì)算計(jì)算ij的值的值x=150,85,150,145,130,0;y=140,85,155,50,150,0;k=length(x);alpha=zeros(k);for i=1:k for j=1:k if i=j al

30、pha(i,j)=0; else alpha(i,j)=(180/3.14159265)*asin(8/sqrt(x(i)-x(j)2+(y(i)-y(j)2); end endendalpha計(jì)算計(jì)算ij的值程的值程序?yàn)樾驗(yàn)橛?jì)算結(jié)果為計(jì)算結(jié)果為 0 5.391190237223 5.391190237223 032.230952672331 4.804023933797 5.091816448550 6.61346048987220.963360893128 5.807866243421 2.234506736995 3.81592477539932.230952672331 5.09181

31、6448550 4.804023933798 6.613460489872 0 4.364671899111 4.364671899111 0 22.833654204009 4.537692462402 2.125538857551 2.98981913904520.963360893128 2.234506736995 5.807866243421 3.815924775399 22.833654204009 2.125538857551 4.537692462403 2.989819139045 0 2.309841365405 2.309841365405 0ij的計(jì)算的計(jì)算:)()(

32、ijjiijxxangvvanga=150,85,150,145,130,0;b=140,85,155,50,150,0;x=a+b*i;c=243,236,220.5,159,230,52*pi/180;v=exp(i*c);k=length(a);for i=1:k for j=1:k beita(i,j)=(angle(v(i)-v(j)-angle(x(j)-x(i)*180/pi; endendbeita用用matlab程序編寫程序編寫beita = 0 109.2636 -128.2500 24.1798 -186.9349 14.4749 109.2636 0 -88.8711

33、-42.2436 -92.3048 9.0000 231.7500 271.1289 0 12.4763 301.2138 0.3108 24.1798 -42.2436 12.4763 0 5.9692 -3.5256 173.0651 267.6952 -58.7862 5.9692 0 1.9144 14.4749 9.0000 0.3108 -3.5256 1.9144 0運(yùn)算結(jié)果運(yùn)算結(jié)果最優(yōu)解的計(jì)算最優(yōu)解的計(jì)算用用LINGO求解求解程序如下程序如下model:sets:plane/1.6/:cita;link(plane,plane):alpha,beta;endsetsmin=su

34、m(plane:abs(cita);for(plane(i): bnd(-30,cita(i),30); );for(link(i,j)|i#ne#j: abs(beta(i,j)+0.5*cita(i)+0.5*cita(j) alpha(i,j); );data:alpha=0.000000,5.391190,32.230953,5.091816,20.963361,2.234507, 5.391190,0.000000,4.8040024,6.813460,5.807866,3.815925,32.230953,4.804024,0.000000,4.364672,22.833654,2

35、.125539,5.091816,6.613460,4.363673,0.000000,4.537692,2.989819, 20.963361,5.807866,22.833654,4.537692,0.000000,2.309841,2.234507,3.815925,2.125539,2.989819,2.309841,0.000000; beta=0.000000 109.263642 -128.250000 24.179830 173.065051 13.474934109.263642 0.000000 -88.871096 -42.243563 -92.304847 9.0000

36、00-128.250000 -88.87096 0.000000 12.476311 -58.786243 0.31080924.179830 -42.243563 12.476311 0.000000 5.969234 -3.525606174.065051 -92.304846 -58.786244 5.969234 0.000000 1.91438314.474934 9.000000 0.310809 -3.525606 1.913383 0.000000;enddataend用用MATLAB計(jì)算編程如下計(jì)算編程如下function f,g=plane(x)alph=0.000000,

37、5.391190,32.230953,5.091816,20.963361,2.234507,5.391190,0.000000,4.8040024,6.813460,5.807866,3.815925,32.230953,4.804024,0.000000,4.364672,22.833654,2.125539,5.091816,6.613460,4.363673,0.000000,4.537692,2.989819,20.963361,5.807866,22.833654,4.537692,0.000000,2.309841,2.234507,3.815925,2.125539,2.989

38、819,2.309841,0.000000; bet=0.000000 109.263642 -128.250000 24.179830 173.065051 13.474934109.263642 0.000000 -88.871096 -42.243563 -92.304847 9.000000-128.250000 -88.87096 0.000000 12.476311 -58.786243 0.31080924.179830 -42.243563 12.476311 0.000000 5.969234 -3.525606174.065051 -92.304846 -58.786244

39、 5.969234 0.000000 1.91438314.474934 9.000000 0.310809 -3.525606 1.913383 0.000000;f=abs(x(1)+abs(x(2)+abs(x(3)+abs(x(4)+abs(x(5)+abs(x(6);g(1)= alpha(1,2) -abs(beta(1,2)+0.5*x(1)+0.5*x(2);g(2)= alpha(1,3) -abs(beta(1,3)+0.5*x(1)+0.5*x(3);g(3)= alpha(1,4) -abs(beta(1,4)+0.5*x(1)+0.5*x(4);g(4)= alpha

40、(1,5) -abs(beta(1,5)+0.5*x(1)+0.5*x(5);g(5)= alpha(1,6) -abs(beta(1,6)+0.5*x(1)+0.5*x(6);g(6)= alpha(2,3) -abs(beta(2,3)+0.5*x(2)+0.5*x(3);g(7)= alpha(2,4) -abs(beta(2,4)+0.5*x(2)+0.5*x(4);g(8)= alpha(2,5) -abs(beta(2,5)+0.5*x(2)+0.5*x(5);g(9)= alpha(2,6) -abs(beta(2,6)+0.5*x(2)+0.5*x(6);g(10)= alph

41、a(3,4) -abs(beta(3,4)+0.5*x(3)+0.5*x(4);g(11)= alpha(3,5) -abs(beta(3,5)+0.5*x(3)+0.5*x(5);g(12)= alpha(3,6) -abs(beta(3,6)+0.5*x(3)+0.5*x(6);g(13)= alpha(4,5) -abs(beta(4,5)+0.5*x(4)+0.5*x(5);g(14)= alpha(4,6) -abs(beta(4,6)+0.5*x(4)+0.5*x(6);g(15)= alpha(5,6) -abs(beta(5,6)+0.5*x(5)+0.5*x(6);執(zhí)行程序執(zhí)

42、行程序x0=0,0,0,0,0,0; v1=-30*ones(1,6); v2=30*ones(1,6);opt=;x= constr(plane,x0,opt,v1,v2)結(jié)果：結(jié)果：x = -0.00000576637983 -0.00000576637983 2.58794980234726 -0.00001243487985 0.00003620473095 1.04151019765274最優(yōu)解：最優(yōu)解：o654o3211.041500,2.58790, 0模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜋z驗(yàn)各飛行方向按此方案調(diào)整后，系統(tǒng)各架飛機(jī)均滿足各飛行方向按此方案調(diào)整后，系統(tǒng)各架飛機(jī)均滿足|ij+( I+ j)/

43、2|ij ,結(jié)果是正確的。結(jié)果是正確的。模型的評(píng)價(jià)與推廣模型的評(píng)價(jià)與推廣（1）此模型采用圓狀模型分析碰撞問(wèn)題是合理的，同時(shí)采用相對(duì)）此模型采用圓狀模型分析碰撞問(wèn)題是合理的，同時(shí)采用相對(duì)速度作為判別標(biāo)準(zhǔn)，既體現(xiàn)了碰撞的本質(zhì)（相對(duì)運(yùn)動(dòng)），又簡(jiǎn)化了速度作為判別標(biāo)準(zhǔn)，既體現(xiàn)了碰撞的本質(zhì)（相對(duì)運(yùn)動(dòng)），又簡(jiǎn)化了模型的計(jì)算；模型的計(jì)算；（2）建模中用了適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，將一個(gè)復(fù)雜的非線性規(guī)劃問(wèn)題簡(jiǎn)）建模中用了適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，將一個(gè)復(fù)雜的非線性規(guī)劃問(wèn)題簡(jiǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題，既求到合理的解，又提高了運(yùn)算速度，這對(duì)化為線性規(guī)劃問(wèn)題，既求到合理的解，又提高了運(yùn)算速度，這對(duì)解決高速飛行的飛機(jī)碰撞問(wèn)題是十分重要的。此模型對(duì)題目所提

44、解決高速飛行的飛機(jī)碰撞問(wèn)題是十分重要的。此模型對(duì)題目所提供的例子計(jì)算得出的結(jié)果是令人滿意的。供的例子計(jì)算得出的結(jié)果是令人滿意的。（3）由對(duì)稱性知模型中的約束個(gè)數(shù)是）由對(duì)稱性知模型中的約束個(gè)數(shù)是 （n是飛機(jī)數(shù)），所有約是飛機(jī)數(shù)），所有約束條件數(shù)是束條件數(shù)是 ，計(jì)算量增加不大。，計(jì)算量增加不大。2nC2)7(42nnnCn魯勝?gòu)?qiáng)建模方案二：建模方案二：1.問(wèn)題分析問(wèn)題分析目的：不碰撞目的：不碰撞手段：調(diào)整飛行方向角手段：調(diào)整飛行方向角要求：調(diào)整的幅度盡量小要求：調(diào)整的幅度盡量小求解思路：求解思路：(1) 找出不碰撞的條件找出不碰撞的條件,可用可用matlab畫出各架飛機(jī)畫出各架飛機(jī)在在t=0時(shí)刻的

45、位置和飛行方向時(shí)刻的位置和飛行方向(2)求調(diào)整幅度的極小值求調(diào)整幅度的極小值 魯勝?gòu)?qiáng)題目的條件題目的條件(1) 飛機(jī)在正方形區(qū)域內(nèi)水平飛行。飛機(jī)在正方形區(qū)域內(nèi)水平飛行。 根據(jù)根據(jù) (1)可將飛機(jī)飛行的空域視為二維平面可將飛機(jī)飛行的空域視為二維平面xoy中的一中的一個(gè)正方形區(qū)域個(gè)正方形區(qū)域,頂點(diǎn)為頂點(diǎn)為(0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。 根據(jù)根據(jù) (1)可將飛機(jī)飛行的空域視為二維平面可將飛機(jī)飛行的空域視為二維平面xoy中的一中的一個(gè)正方形區(qū)域個(gè)正方形區(qū)域,頂點(diǎn)為頂點(diǎn)為(0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。 可用可用matlab畫出各架飛機(jī)在畫出各架飛機(jī)在t=0時(shí)刻的位置和飛行方向時(shí)刻的位置和飛行方向畫圖程序?yàn)椋寒媹D程序?yàn)椋簆lan1 在用在用matlab進(jìn)行飛機(jī)動(dòng)態(tài)模擬：進(jìn)行飛機(jī)動(dòng)態(tài)模擬：plan2魯勝?gòu)?qiáng) 從模擬的結(jié)果以及計(jì)算可知，如果不調(diào)整飛機(jī)方向，從模擬的結(jié)果以及計(jì)算可知，如果不調(diào)整飛機(jī)方向，飛機(jī)飛機(jī)6和和5發(fā)生碰撞發(fā)生碰撞，然后然后6和和3發(fā)生碰撞發(fā)生碰撞。2.符號(hào)含義如下符號(hào)含義如下:Pi代表第代表第i架飛機(jī)，新進(jìn)入為第架飛機(jī)，新進(jìn)入為第6架；