分段樣條ppt課件

1、2021-11-251 插值的目的就是進(jìn)行數(shù)值逼近插值的目的就是進(jìn)行數(shù)值逼近, ,而數(shù)值逼近，是期望得到一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的精確解或足而數(shù)值逼近，是期望得到一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的精確解或足夠精確的解。那么，是否插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高，越能夠達(dá)到這個(gè)目的呢？現(xiàn)在，我們夠精確的解。那么，是否插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高，越能夠達(dá)到這個(gè)目的呢？現(xiàn)在，我們來(lái)討論一下這個(gè)問(wèn)題。來(lái)討論一下這個(gè)問(wèn)題。 我們已經(jīng)知道：我們已經(jīng)知道：f(x)f(x)在在n+1n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn)x xi i(i=0(i=0，1 1，2 2，n) nn) n次插值多項(xiàng)式次插值多項(xiàng)式Pn (x) Pn (x) 的的余項(xiàng)余項(xiàng) niinnnxxnfxPxfxR

2、0)1()()!1()()()()(4.4 分段插值分段插值2021-11-252設(shè)想當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)增多時(shí)會(huì)出現(xiàn)什么情況。由插值余項(xiàng)可知，當(dāng)設(shè)想當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)增多時(shí)會(huì)出現(xiàn)什么情況。由插值余項(xiàng)可知，當(dāng)f(x)f(x)充分光滑時(shí)，余項(xiàng)隨充分光滑時(shí)，余項(xiàng)隨n n增增大而趨于大而趨于0 0的，這說(shuō)明可用增加節(jié)點(diǎn)的方法達(dá)到這個(gè)目的，那么實(shí)際是這樣嗎？的，這說(shuō)明可用增加節(jié)點(diǎn)的方法達(dá)到這個(gè)目的，那么實(shí)際是這樣嗎？ 19011901年龍格年龍格(Runge) (Runge) 給出一個(gè)例子給出一個(gè)例子: : 定義在區(qū)間定義在區(qū)間-1-1，11上，這是一個(gè)光滑函數(shù)，它的任意階導(dǎo)數(shù)都存在，對(duì)它在上，這是一個(gè)光滑函數(shù)，它的任意階

3、導(dǎo)數(shù)都存在，對(duì)它在-1-1，11上作等上作等距節(jié)點(diǎn)插值時(shí)插值多項(xiàng)式情況，見(jiàn)圖距節(jié)點(diǎn)插值時(shí)插值多項(xiàng)式情況，見(jiàn)圖: :22511)(xxf2021-11-253-1.5-1-0.500.51-1-0.75-0.5 -0.2500.250.50.751f(x)n=8n=4從圖中，可見(jiàn)，在靠近從圖中，可見(jiàn)，在靠近-1-1或或1 1時(shí)，余項(xiàng)會(huì)隨時(shí)，余項(xiàng)會(huì)隨n n值增大值增大而增大，如而增大，如P P1212(0.96)=3(0.96)=36!6!但但f(0.96)=0.25f(0.96)=0.25 從圖中，還可看見(jiàn)，在從圖中，還可看見(jiàn)，在0 0附近插值效果是好的，即余項(xiàng)較小，另一種現(xiàn)象是插值多項(xiàng)式隨節(jié)附

4、近插值效果是好的，即余項(xiàng)較小，另一種現(xiàn)象是插值多項(xiàng)式隨節(jié)點(diǎn)增多而振動(dòng)更多。點(diǎn)增多而振動(dòng)更多。這種插值多項(xiàng)式當(dāng)節(jié)點(diǎn)增加時(shí)反而不能更好地接近被插之?dāng)?shù)的現(xiàn)象，稱(chēng)為龍格現(xiàn)象。這種插值多項(xiàng)式當(dāng)節(jié)點(diǎn)增加時(shí)反而不能更好地接近被插之?dāng)?shù)的現(xiàn)象，稱(chēng)為龍格現(xiàn)象。2021-11-254俄羅斯數(shù)學(xué)家伯恩斯坦在俄羅斯數(shù)學(xué)家伯恩斯坦在1916年還給出如下定理：年還給出如下定理：Th1 函數(shù)函數(shù)f(x)=|x|在在-1，1上取上取n+1個(gè)等距節(jié)點(diǎn)個(gè)等距節(jié)點(diǎn)x0=-1, xn=1,構(gòu)造構(gòu)造n次插值多項(xiàng)式次插值多項(xiàng)式Pn (x)，當(dāng)，當(dāng)n增增大時(shí)，除了大時(shí)，除了-1，0，1，三點(diǎn)外，在，三點(diǎn)外，在-1，1中任何點(diǎn)處中任何點(diǎn)處Pn

5、(x)都不收斂于都不收斂于|x|。上述現(xiàn)象和定理，告訴我們用高次插值多項(xiàng)式是不妥當(dāng)?shù)?，從?shù)值計(jì)算上可解釋為高次上述現(xiàn)象和定理，告訴我們用高次插值多項(xiàng)式是不妥當(dāng)?shù)?，從?shù)值計(jì)算上可解釋為高次插值多項(xiàng)式的計(jì)算會(huì)帶來(lái)舍入誤差的增大，從而引起計(jì)算失真。因此，實(shí)踐上作插值時(shí)插值多項(xiàng)式的計(jì)算會(huì)帶來(lái)舍入誤差的增大，從而引起計(jì)算失真。因此，實(shí)踐上作插值時(shí)一般只用一次、二次最多用三次插值多項(xiàng)式。一般只用一次、二次最多用三次插值多項(xiàng)式。 那么如何提高插值精度呢？采用分段插值是一種辦法那么如何提高插值精度呢？采用分段插值是一種辦法。2021-11-255定義：設(shè)定義：設(shè)f(x)是定義在是定義在a,b上的函數(shù)，在上的函

6、數(shù)，在a,b上節(jié)點(diǎn)上節(jié)點(diǎn) a= x0 x1x2xn-1xn=b,的函數(shù)值為的函數(shù)值為 y0 , y1 ,y2 ,yn-1 ,yn ,若函數(shù)若函數(shù) (x)滿(mǎn)足滿(mǎn)足條件條件 (1) (x)在區(qū)間在區(qū)間a , b上連續(xù)上連續(xù); (2) (x)在每個(gè)子區(qū)間在每個(gè)子區(qū)間xi , xi+1(i=0,1,2,n-1)上是次數(shù)為上是次數(shù)為m的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式; 則稱(chēng)則稱(chēng) (x)是是f(x)在在a ,b上的上的分段分段m m次插值多項(xiàng)式。次插值多項(xiàng)式。 m=1稱(chēng)為分段線性插值稱(chēng)為分段線性插值 m=2稱(chēng)為分段拋物線插值稱(chēng)為分段拋物線插值2021-11-256分段線性插值的構(gòu)造：分段線性插值的構(gòu)造：給定給定f(x)在

7、在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn) 上的函數(shù)表上的函數(shù)表記記在每個(gè)小區(qū)間在每個(gè)小區(qū)間 上利用數(shù)據(jù)上利用數(shù)據(jù) nnnnxfxfxfxfxfxxxxx)()()()(110110bxxxan10iniiiihhxxh111max,1,iixx)()()(11iiiixfxfxfxxx2021-11-257在每個(gè)子區(qū)間在每個(gè)子區(qū)間xi , xi+1(i=0,1,2,n-1)上是一次插值多項(xiàng)式上是一次插值多項(xiàng)式;令令 則則 滿(mǎn)足插值條件滿(mǎn)足插值條件,稱(chēng)稱(chēng) 為為f(x)的分段線性插值函數(shù)的分段線性插值函數(shù).11111, 1)(iiiiiiiiiiixxxxxxxyxxxxyxLnnnxxxxLxxxxLxxxxLxL

8、, )(, )(, )()(11, 1211 , 1100, 11)(1xL)(1xL2021-11-258-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81的圖象分段線性插值)(1xLy 的一條折線

9、實(shí)際上是連接點(diǎn)niyxkk, 1 , 0,),(也稱(chēng)折線插值,如右圖曲線的光滑性較差在節(jié)點(diǎn)處有尖點(diǎn) 但如果增加節(jié)點(diǎn)的數(shù)量減小步長(zhǎng),會(huì)改善插值效果)(lim10 xLh)(xf上連續(xù)在若,)(baxf因此則2021-11-259分段線性插值的余項(xiàng)：分段線性插值的余項(xiàng)：Th 設(shè)設(shè)f(x)在在a,b上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)f(x) ，且，且| f(x)| m2,就有估計(jì)：就有估計(jì)： |f(x)- (x) |=|R(x)| m2h2/8， xa, b。注意到注意到h隨分段增多而減少，因此用分段法提高精度是很好的途徑隨分段增多而減少，因此用分段法提高精度是很好的途徑.)(max8)(maxmax

10、8)(max8max2)(maxmax)()(maxmax)()(max)()(max)(max2102210110, 11011111110 xfhxfhxfhxxxxfxLxfxLxfxLxfxRbxaxxxnixxxiniiiixxxniixxxnixxxbxabxaiiiiiiiin 2021-11-2510分段二次插值的構(gòu)造：分段二次插值的構(gòu)造：給定給定f(x)在在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn) 上的函數(shù)表上的函數(shù)表記記1) 當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí).在每個(gè)小區(qū)間在每個(gè)小區(qū)間 上利用數(shù)據(jù)上利用數(shù)據(jù) nnnnxfxfxfxfxfxxxxx)()()()(110110bxxxan10iniiiihhx

11、xh111max,222,kkxx)()()()(2212222122kkkkkkxfxfxfxfxxxx分段二次插值2021-11-2511作二次插值作二次插值,122222212222221221222212222122221222,2)( )( )()(kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxS2021-11-2512令 2)當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí),在小區(qū)間上作二次插值令在小區(qū)間上作二次插值令則則 滿(mǎn)足插值條件滿(mǎn)足插值條件,稱(chēng)稱(chēng) 為為f(x)的分段二次插值函數(shù)的分段二次插值函數(shù). nnnxxxxSxxxxSxxxxSxS,

12、)(,)(,)()(22,2422,2200,22 )(2xS)(2xS nnnnnnxxxxSxxxxSxxxxSxxxxSxS,)(,)(,)(,)()(12,2133,2422,2200,22 2021-11-2513可以證明可以證明)(6)()(max)3(32maxxfhxSxfbxabxa2021-11-2514，次次插插值值用用分分段段線線性性、二二處處的的近近似似值值在在求求)(1 . 1 ,98. 0 ,75. 0 ,42. 0 ,36. 0)( xxf18885. 187335. 069675. 057815. 041075. 030163. 005. 180. 065.

13、055. 040. 030. 0543210iiyxi在在各各節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)處處的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)為為設(shè)設(shè))(xf例例:)()(1xLk11kkkkxxxxykkkkxxxxy11解解:(1). 分段線性分段線性Lagrange插值的公式為插值的公式為1, 1 , 0nk)36. 0()0(1L4 . 03 . 04 . 036. 030163. 03 . 04 . 03 . 036. 041075. 036711. 0)36. 0(f2021-11-2515)42. 0()1(1L55. 04 . 055. 042. 041075. 04 . 055. 04 . 042. 057815. 043307.

14、 0)75. 0()3(1L81448. 0)98. 0()4(1L10051. 1)1 . 1()4(1L05. 18 . 005. 11 . 187335. 08 . 005. 18 . 01 . 118885. 125195. 1)42. 0(f)75. 0(f)98. 0(f)1 . 1(f同理18885. 187335. 069675. 057815. 041075. 030163. 005. 180. 065. 055. 040. 030. 0543210iiyxi2021-11-2516)()(11111kkkkkkkxxxxxxxxy1,2 , 1nk)()(2xLk)()(1

15、111kkkkkkkxxxxxxxxy)()(11111kkkkkkkxxxxxxxxy(2). 分段二次Lagrange插值的公式為36686. 0)()36. 0)(36. 0(2010210 xxxxxxy)36. 0()1(2L)()36. 0)(36. 0(2101201xxxxxxy)()36. 0)(36. 0(1202102xxxxxxy)36. 0(f18885. 187335. 069675. 057815. 041075. 030163. 005. 180. 065. 055. 040. 030. 0543210iiyxi2021-11-251743281. 0)()42

16、. 0)(42. 0(2010210 xxxxxxy)42. 0()1(2L)()42. 0)(42. 0(2101201xxxxxxy)()42. 0)(42. 0(1202102xxxxxxy81343. 0)()75. 0)(75. 0(5343543xxxxxxy)75. 0()4(2L)()75. 0)(75. 0(5454534xxxxxxy)()75. 0)(75. 0(4535435xxxxxxy)42. 0(f)75. 0(f)98. 0(f)1 . 1(f09784. 1)98. 0()4(2L25513. 1)1 . 1()4(2L2021-11-2518分段低次分段低次

17、Lagrange插值的特點(diǎn)插值的特點(diǎn)計(jì)算較容易計(jì)算較容易可以解決可以解決Runge現(xiàn)象現(xiàn)象但插值多項(xiàng)式分段但插值多項(xiàng)式分段插值曲線在節(jié)點(diǎn)處會(huì)出現(xiàn)尖點(diǎn)插值曲線在節(jié)點(diǎn)處會(huì)出現(xiàn)尖點(diǎn)插值多項(xiàng)式在節(jié)點(diǎn)處不可導(dǎo)插值多項(xiàng)式在節(jié)點(diǎn)處不可導(dǎo)2021-11-2519實(shí)際上，上面介紹的分段低次插值，雖然具有實(shí)際上，上面介紹的分段低次插值，雖然具有計(jì)算簡(jiǎn)便，收斂性有保證，數(shù)值穩(wěn)定性又好且易計(jì)算簡(jiǎn)便，收斂性有保證，數(shù)值穩(wěn)定性又好且易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，但它卻不能保證整條曲在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，但它卻不能保證整條曲線的光滑性，從而不能滿(mǎn)足某些工程技術(shù)上的要線的光滑性，從而不能滿(mǎn)足某些工程技術(shù)上的要求，從六十年代開(kāi)始，首

18、先由于航空、造船等工求，從六十年代開(kāi)始，首先由于航空、造船等工程設(shè)計(jì)的需要而發(fā)展起來(lái)的樣條插值（程設(shè)計(jì)的需要而發(fā)展起來(lái)的樣條插值（spline)spline)方方法，既保留了分段低次插值的各種優(yōu)點(diǎn)，又提高法，既保留了分段低次插值的各種優(yōu)點(diǎn)，又提高了插值函數(shù)的光滑性，在許多領(lǐng)域顯得越來(lái)越廣了插值函數(shù)的光滑性，在許多領(lǐng)域顯得越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。泛的應(yīng)用。2021-11-25204.5 樣條插值函數(shù)樣條插值函數(shù)分段插值存在著一個(gè)缺點(diǎn)分段插值存在著一個(gè)缺點(diǎn),就是會(huì)導(dǎo)致插值函數(shù)在子區(qū)間的端點(diǎn)就是會(huì)導(dǎo)致插值函數(shù)在子區(qū)間的端點(diǎn)(銜接處銜接處)不光滑不光滑,即導(dǎo)數(shù)不連續(xù)即導(dǎo)數(shù)不連續(xù),對(duì)于一些實(shí)際問(wèn)題對(duì)于一些實(shí)際

19、問(wèn)題,不但要求一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)不但要求一階導(dǎo)數(shù)連續(xù),而且要求二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。為了滿(mǎn)足這些要求而且要求二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。為了滿(mǎn)足這些要求,人們?nèi)藗円肓艘肓藰訔l插值樣條插值的概念。的概念。 2021-11-2521所謂所謂“樣條樣條”(SPLINE)(SPLINE)是工程繪圖中的一種工具是工程繪圖中的一種工具, ,它是有彈性的細(xì)長(zhǎng)木條它是有彈性的細(xì)長(zhǎng)木條, ,繪圖時(shí)繪圖時(shí), ,用細(xì)木條連用細(xì)木條連接相近的幾個(gè)結(jié)點(diǎn)接相近的幾個(gè)結(jié)點(diǎn), ,然后再進(jìn)行拼接然后再進(jìn)行拼接, ,連接全部結(jié)點(diǎn)連接全部結(jié)點(diǎn), ,使之成為一條光滑曲線使之成為一條光滑曲線, ,且在結(jié)點(diǎn)處具有且在結(jié)點(diǎn)處具有連續(xù)的曲率。樣條函數(shù)就是對(duì)這樣的曲

20、線進(jìn)行數(shù)學(xué)模擬得到的。它除了要求給出各個(gè)結(jié)點(diǎn)處連續(xù)的曲率。樣條函數(shù)就是對(duì)這樣的曲線進(jìn)行數(shù)學(xué)模擬得到的。它除了要求給出各個(gè)結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值外的函數(shù)值外, ,只需提供兩個(gè)邊界點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)信息只需提供兩個(gè)邊界點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)信息, ,便可滿(mǎn)足對(duì)光滑性的不同要求。便可滿(mǎn)足對(duì)光滑性的不同要求。2021-11-2522一、樣條函數(shù)的定義一、樣條函數(shù)的定義 設(shè)設(shè)f(x)是區(qū)間是區(qū)間a,b上的一個(gè)連續(xù)可微函數(shù)上的一個(gè)連續(xù)可微函數(shù),在區(qū)間在區(qū)間a,b上給定一組基點(diǎn)上給定一組基點(diǎn): a=x0 x1x2xn=b設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)s(x)滿(mǎn)足條件滿(mǎn)足條件 (1) s(x)在每個(gè)子區(qū)間在每個(gè)子區(qū)間xi , xi+1(i=0,1,2,n-1

21、)上是次數(shù)不超過(guò)上是次數(shù)不超過(guò)m的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式; (2) s(x)在區(qū)間在區(qū)間a , b上有上有m-1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)階連續(xù)導(dǎo)數(shù); 則稱(chēng)則稱(chēng)s(x)是定義在是定義在a ,b上的上的m m次樣條函數(shù)次樣條函數(shù)。x0，x1，x2, 稱(chēng)為稱(chēng)為樣條結(jié)點(diǎn)樣條結(jié)點(diǎn),其中其中x1,xn-1稱(chēng)稱(chēng)為為內(nèi)結(jié)點(diǎn)內(nèi)結(jié)點(diǎn), , x0 , xn 稱(chēng)為稱(chēng)為邊界結(jié)點(diǎn)邊界結(jié)點(diǎn)。當(dāng)。當(dāng)m=3時(shí)時(shí), ,便成為最常用的三次樣條函數(shù)。便成為最常用的三次樣條函數(shù)。2021-11-2523,)(,)(),(),()1(2baCxSbaxSxSxS 即即上上連連續(xù)續(xù)都都在在區(qū)區(qū)間間上都是三次多項(xiàng)式上都是三次多項(xiàng)式在每個(gè)小區(qū)間在每個(gè)小區(qū)間,)()

22、2(1 kkxxxS上的三次樣條函數(shù)上的三次樣條函數(shù)為區(qū)間為區(qū)間則稱(chēng)則稱(chēng),)(baxS處處的的函函數(shù)數(shù)值值為為在在節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)如如果果函函數(shù)數(shù)nxxxxf,)()3(10njyxfjj, 1 , 0,)( 滿(mǎn)滿(mǎn)足足而而三三次次樣樣條條函函數(shù)數(shù))(xSnjyxSjj, 1 , 0,)(上的三次樣條插值函數(shù)上的三次樣條插值函數(shù)在在為為則稱(chēng)則稱(chēng),)()(baxfxS-(1.1) 二、二、三次樣條插值函數(shù)三次樣條插值函數(shù)2021-11-2524 構(gòu)造三次樣條插值函數(shù)的方法有很多，這里介紹一個(gè)常用的方法：三彎矩插值法構(gòu)造三次樣條插值函數(shù)的方法有很多，這里介紹一個(gè)常用的方法：三彎矩插值法 記記M Mi i =

23、 S(x= S(xi i), f(x), f(xi i)= f)= fi i= y= yi i , ,考慮它在任一考慮它在任一區(qū)間區(qū)間xxi i,x,xi+1i+1 上的形式上的形式. . 根據(jù)三次樣條的定義可知根據(jù)三次樣條的定義可知 ,S(x),S(x)的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)S(x)S(x)在每一個(gè)子區(qū)間在每一個(gè)子區(qū)間xxi i,x,xi+1i+1 ( ( i=0,1,2,i=0,1,2,n-1),n-1)上都是線性函數(shù)上都是線性函數(shù). .于是在于是在xxi i,x,xi+1i+1 上上S(x)=SS(x)=Si i(x)(x)的二階導(dǎo)數(shù)表示成的二階導(dǎo)數(shù)表示成 其中其中 h hi i= x=

24、xi+1i+1xxi i . .對(duì)對(duì)S(x)S(x)連續(xù)積分兩次連續(xù)積分兩次, ,并利用插值條件并利用插值條件S(S(x xi i)= y)= yi,i,得到得到 三、三次樣條函數(shù)的構(gòu)造三、三次樣條函數(shù)的構(gòu)造 2 .1,)(111 S iiiiiiiixxxhxxMhxxMx2021-11-2525 )()()()()(iiiiiiiiiiiiiiiixxhMhyxxhMhyhxxMhxxMx 6666S1113131因此，只要能求出所有的因此，只要能求出所有的 M M i i ，就能求出樣條插值函數(shù)，就能求出樣條插值函數(shù)S(x).S(x).下面考慮下面考慮M Mi i的求法的求法,62)(2

25、)()(S1112121iiiiiiiiiiiiiixxxhMMhyyhxxMhxxMx2 .1 ,)(S111 iiiiiiiixxxhxxMhxxMx2021-11-2526則由連續(xù)性則由連續(xù)性 S S (x(xi-i-)= S)= S (x(xi+i+) ,(i=1,2,n-1) ) ,(i=1,2,n-1) 得得 i iM Mi-1i-1+2M+2Mi i+i iM Mi+1i+1= d= di i其中其中 111111)(6,iiiiiiiiiiiiihhhyyhyydhhhu 上面的方程組有上面的方程組有n-1n-1個(gè)方程，但有個(gè)方程，但有n+1n+1個(gè)變量個(gè)變量M Mi i，故需

26、兩個(gè)方程才能求唯一解，故需兩個(gè)方程才能求唯一解，為此引入下列邊界條件為此引入下列邊界條件2021-11-2527下面介紹幾種常用的邊界條件下面介紹幾種常用的邊界條件 第一型邊界條件：第一型邊界條件： 已知已知f(x)在兩端點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)在兩端點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)f(a)和和f(b) ，要求，要求 S(a) = f(a) , S(b) = f(b)第二型邊界條件：第二型邊界條件：已知已知f(x)在兩端點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)在兩端點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)f(a)和和f(b) ，要求，要求 S(a)=M0 = f(a) , S(b)=Mn= f(b) 特別當(dāng)特別當(dāng) S(a)= S(b) =0時(shí)，時(shí)，S(x)稱(chēng)為自然三次樣條稱(chēng)為自然三次樣條

27、 第三型邊界條件：第三型邊界條件： 已知已知f(x)是以是以b -a為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù) ，要求，要求S(x)滿(mǎn)滿(mǎn) 足周期條件足周期條件 S (a) = S(b) , S(a+)= S(b-) , S(a+)= S(b-)2021-11-2528 三次樣條插值問(wèn)題加上第三次樣條插值問(wèn)題加上第i i型邊界條件稱(chēng)為第型邊界條件稱(chēng)為第i i型插值問(wèn)題（型插值問(wèn)題（i i，）可以證明，）可以證明第第i i型插值問(wèn)題的解是存在且唯一的。他們對(duì)應(yīng)如下的三對(duì)角方程組型插值問(wèn)題的解是存在且唯一的。他們對(duì)應(yīng)如下的三對(duì)角方程組(n+1(n+1個(gè)方程）：個(gè)方程）： 2 0 M0 d0 1 2 1 M1

28、d1 . . . . . . . . . = . (*) . . . . . n-1 2 n-1 Mn-1 dn-1 n 2 Mn dn 2021-11-2529對(duì)于第一型插值問(wèn)題，取對(duì)于第一型插值問(wèn)題，取 0 0=1=1，n n=1,=1,對(duì)于第二型插值問(wèn)題，取對(duì)于第二型插值問(wèn)題，取0 0=0=0，n n=0=0 , nnydyd2200 nnnnnndMMMMM2110)(),(nnnnnnhyyyhdyhyyhd101011066 2021-11-2530 對(duì)于第三型插值問(wèn)題，利用周期性，可導(dǎo)出對(duì)于第三型插值問(wèn)題，利用周期性，可導(dǎo)出其中其中 11110116)(,nnnnnnnnnnhh

29、hyyhyydhhhu2021-11-2531以上各組條件與方程組以上各組條件與方程組( (* * *) )聯(lián)立，可以解出未知參數(shù)聯(lián)立，可以解出未知參數(shù)M M0 0，M M1 1 , ,M,Mn n，然后代入，然后代入S(x) S(x) 表達(dá)式，即可求得樣條函數(shù)表達(dá)式，即可求得樣條函數(shù) 。上面構(gòu)造方法中上面構(gòu)造方法中MiMi相應(yīng)于力學(xué)中細(xì)梁在相應(yīng)于力學(xué)中細(xì)梁在x xi i處截面的彎矩，每一個(gè)方程中又至多出現(xiàn)相鄰的三個(gè)處截面的彎矩，每一個(gè)方程中又至多出現(xiàn)相鄰的三個(gè)M Mi i，通常稱(chēng)為三彎矩法。，通常稱(chēng)為三彎矩法?？偨Y(jié)以上論述，可得求三次樣條的步驟為：總結(jié)以上論述，可得求三次樣條的步驟為： （1

30、 1）確定邊界條件，判定是第幾型插值問(wèn)題；）確定邊界條件，判定是第幾型插值問(wèn)題； （2 2）根據(jù)所確定的條件計(jì)算各值，形成方程組）根據(jù)所確定的條件計(jì)算各值，形成方程組( (* * *) )； （3 3）解三對(duì)角方程組）解三對(duì)角方程組( (* * *) )，求得，求得M M0 0， M M1 1 ， M M2 2, , M Mn n ； （4 4）將求得的）將求得的M Mi i值代回值代回S(x)S(x)的表達(dá)式中，的表達(dá)式中，從而可求得函數(shù)從而可求得函數(shù)y=f(x)y=f(x)在任一點(diǎn)的近似值在任一點(diǎn)的近似值S(x)S(x)。2021-11-2532定理定理4.34.3（HallHall定理）

31、定理）8 . 5設(shè)設(shè),)(4baCxfS為為f的三次樣條插值函數(shù)，則有估計(jì)式的三次樣條插值函數(shù)，則有估計(jì)式 kkkkhfCSf4)4()()( 3 , 2 , 1 , 0k)(maxxggbxa；系數(shù)；系數(shù)38450c2411c832c2)(13ciniinihh1010minmaxinihh10max 其中，其中，2021-11-2533 四、例題四、例題 例例1 1 已知函數(shù)已知函數(shù)f(xf(x）的數(shù)值表如下：）的數(shù)值表如下： x x 2 2 4 4 6 6 f(x) f(x) 3 3 7 7 13 13 f(x) 1 f(x) 1 -1 -1 試求試求f(x) f(x) 在在2,62,6

32、上的三次樣條插值函數(shù)及求上的三次樣條插值函數(shù)及求 2021-11-2534解：這是第一類(lèi)邊界條件的問(wèn)題解：這是第一類(lèi)邊界條件的問(wèn)題 ，n=2,hi=h,n=2,hi=h,由公式由公式1 =1 =1/2 1 =1 =1/2 ，d1 =3/2d1 =3/2； n =0 =1 n =0 =1 ，d0=3,d2=-12d0=3,d2=-12得方程組得方程組 2 M2 M0 0 + M+ M1 1 = 3 = 3 0.5 M 0.5 M0 0 + 2M+ 2M1 1 +0.5 M+0.5 M2 2 = 1.5 = 1.5 M M1 1 +2 M+2 M2 2 = -12 = -12解得解得 M M0 0

33、 =0.25 , M=0.25 , M1 1 =2.5 M=2.5 M2 2 = -7.25 = -7.252021-11-2535故所求的三次樣條插值函數(shù)故所求的三次樣條插值函數(shù) - (1/48)(x-41/48)(x-4）3 3 + (5/24)(x-2+ (5/24)(x-2）3 3 -(17/12) -(17/12)（x-4x-4）+(8/3)(x-2), x2+(8/3)(x-2), x2，44S(x)=S(x)= - (5/24)(x-65/24)(x-6）3 3 - (29/48)(x-4- (29/48)(x-4）3 3 -(8/3) -(8/3)（x-6x-6）+(107/12)(x-4), +(107/12)(x-4), x4x4，66 2021-11-2536例例2 2已知已知f(x)f(x)在若干點(diǎn)處的值為