集合的概念及表示方法

1、（第一課時(shí)）（第一課時(shí)）2010.9集合的含義與表示集合的含義與表示了解了解康托爾康托爾德國(guó)數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今蘇聯(lián)列寧格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解了解集合的含義集合的含義以及集合中元素的以及集合中元素的確定性、互異性與無(wú)序性確定性、互異性與無(wú)序性.2.掌握元素與集合之間的掌握元素與集合之間的屬于關(guān)系并能用用符號(hào)表示屬于關(guān)系并能用用符號(hào)表示.3.掌握掌握常用數(shù)集及其專(zhuān)用符號(hào)常用數(shù)集及其專(zhuān)用符號(hào)，學(xué)會(huì)使用集合語(yǔ)言敘述數(shù)學(xué)問(wèn)，學(xué)會(huì)使用集合語(yǔ)言敘述數(shù)學(xué)問(wèn)題題.數(shù)集數(shù)集 自然數(shù)的集合自然數(shù)的集合,有理數(shù)的集合有理數(shù)的集合,不等式不

2、等式x-73的解的集合的解的集合初中學(xué)習(xí)了哪些集合的實(shí)例初中學(xué)習(xí)了哪些集合的實(shí)例點(diǎn)集點(diǎn)集 圓圓(到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)(到一條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離到一條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的集合相等的點(diǎn)的集合),等等等等.“請(qǐng)我們班所有的女生起立！請(qǐng)我們班所有的女生起立！”，咱們班所有的，咱們班所有的女生是不是確定的對(duì)象？女生是不是確定的對(duì)象？“請(qǐng)我們班身高在請(qǐng)我們班身高在1.70米的男生起立！米的男生起立！”，他們，他們是不是確定的？是不是確定的？其實(shí)，生活中有很多東西都是確定的都能構(gòu)成集合。其實(shí)，生活中有很多東西都是確

3、定的都能構(gòu)成集合。比如：中國(guó)的直轄市（北京，上海，天津，重慶）比如：中國(guó)的直轄市（北京，上海，天津，重慶） 中國(guó)古代的四大發(fā)明（中國(guó)古代的四大發(fā)明（火藥，印刷術(shù)，指南針，造紙術(shù)） 新華字典里所有的漢字可以構(gòu)成一個(gè)集合等新華字典里所有的漢字可以構(gòu)成一個(gè)集合等 大家能不能再舉一些生活中的實(shí)際例子呢？大家能不能再舉一些生活中的實(shí)際例子呢？ 由某些確定的對(duì)象組成的整體叫集合，簡(jiǎn)稱(chēng)集。由某些確定的對(duì)象組成的整體叫集合，簡(jiǎn)稱(chēng)集。其中，集合中的每一個(gè)對(duì)象稱(chēng)為該集合的元素，簡(jiǎn)稱(chēng)元。并規(guī)定：用花括號(hào)“” 表示集合且常用大寫(xiě)拉丁字母A,B,C.表示。 集合的元素常用小寫(xiě)拉丁字母a，b，c.表示。集合的概念集合的概

4、念（1）世界上最高的山能不能構(gòu)成集合？（2）世界上的高山能不能構(gòu)成集合？思考：（3）由實(shí)數(shù)1、2、3、1組成的集合有幾個(gè)元素？（4）由實(shí)數(shù)1、2、3、1組成的集合記為A, 由實(shí)數(shù)3、 1、2、組成的集合記為B, 這兩個(gè)集合相等嗎？這些性質(zhì)都是從概念中得到的,概念是知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn),思維的發(fā)源地.判斷以下元素的全體是否組成集合判斷以下元素的全體是否組成集合,并說(shuō)明理由并說(shuō)明理由:(1)大于大于3小于小于11的偶數(shù)的偶數(shù) (2) 我國(guó)的小河流我國(guó)的小河流(3)我們班上的高個(gè)子男生我們班上的高個(gè)子男生(4)我們班上的最高三位同學(xué)我們班上的最高三位同學(xué)(5) 1,2,2,3這四個(gè)數(shù)字這四個(gè)數(shù)字 與與 1,

5、2,3這三個(gè)數(shù)字這三個(gè)數(shù)字(6)著名的科學(xué)家著名的科學(xué)家(7)全體英文字母全體英文字母(8)直角坐標(biāo)平面內(nèi)的一些點(diǎn)直角坐標(biāo)平面內(nèi)的一些點(diǎn)數(shù)的擴(kuò)充整數(shù)整數(shù)分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)有理數(shù)有理數(shù)無(wú)理數(shù)無(wú)理數(shù)實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)自然數(shù)分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)常用的數(shù)集判斷0與N,N*,Z的關(guān)系?解析解析:判斷一個(gè)元素是否在某個(gè)集合中判斷一個(gè)元素是否在某個(gè)集合中,關(guān)鍵在于關(guān)鍵在于弄清這個(gè)集合由哪些元素組成的弄清這個(gè)集合由哪些元素組成的.數(shù)集數(shù)集符號(hào)符號(hào)自然數(shù)集自然數(shù)集(非負(fù)整數(shù)集非負(fù)整數(shù)集)N正整數(shù)集正整數(shù)集 N* 或或N+整數(shù)集整數(shù)集Z有理數(shù)集有理數(shù)集Q實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集R空集：不含任何元素的集合問(wèn)題問(wèn)題 如果用如果用A表示高一（表示高一（3）班學(xué)生

6、組成的集合，）班學(xué)生組成的集合， a表示高一（表示高一（3）班的一位同學(xué)，）班的一位同學(xué)， b表示高一（表示高一（4）班的一位同學(xué)）班的一位同學(xué), 那么那么A里面有沒(méi)有里面有沒(méi)有a,有沒(méi)有有沒(méi)有b？ a、b與集合與集合A分別有什么關(guān)系？分別有什么關(guān)系？ 由此看出元素與集合之間有什么關(guān)系？由此看出元素與集合之間有什么關(guān)系？由于集合是一些確定對(duì)象的集體,因此可以看成整體,通常用大寫(xiě)字母A,B,C等表示集合.而用小寫(xiě)字母a,b,c等表示集合中的元素. 元素與集合的關(guān)系有兩種元素與集合的關(guān)系有兩種:如果一個(gè)元素如果一個(gè)元素a 在集合在集合A中，記作中，記作:a A如果如果a不是集合不是集合A的元素，記

7、作：的元素，記作：aA元素與集合的關(guān)系元素與集合的關(guān)系屬于或不屬于讀作讀作“元素元素m屬于集合屬于集合A”例如：用例如：用A表示表示“ 120以?xún)?nèi)所有的以?xún)?nèi)所有的”質(zhì)數(shù)組成的集質(zhì)數(shù)組成的集 合，合， 則有則有3 。2、集合與元素的關(guān)系（屬于或不屬于）例如：例如：1 1 N N，-5 Z, -5 Z, 1.5 1.5 N, 1.5 Q, N, 1.5 Q, 1.5 R, 1.5 Z1.5 R, 1.5 Z Q Q質(zhì)數(shù)：如果一個(gè)大于質(zhì)數(shù)：如果一個(gè)大于1的正整數(shù)，只能被的正整數(shù)，只能被1和它本身整除，不能被其他正整數(shù)整除，和它本身整除，不能被其他正整數(shù)整除，那么這樣的正整數(shù)叫做質(zhì)數(shù)那么這樣的正整數(shù)叫

8、做質(zhì)數(shù)問(wèn)題問(wèn)題 (1) 如何表示如何表示“地球上的四大洋地球上的四大洋”組成的集合組成的集合? (2) 如何表示如何表示“方程方程(x-1)(x+2)=0的所有實(shí)數(shù)根的所有實(shí)數(shù)根”組成的集組成的集合合? 1,-2 把集合中的元素一一列舉出來(lái)把集合中的元素一一列舉出來(lái),并用花括號(hào)括起來(lái)表示并用花括號(hào)括起來(lái)表示集合的方法集合的方法叫做叫做列舉法列舉法.集合的表示方法集合的表示方法太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋注意：1、元素間要用逗號(hào)隔開(kāi)； 2、不管次序放在大括號(hào)內(nèi)。例如：book中的字母的集合表示為：，o，()1.確定性確定性2.互異性互異性3.無(wú)序性無(wú)序性集合的表示

9、方法集合的表示方法例例1 用列舉法表示下列集合：用列舉法表示下列集合：(1)小于小于10的所有自然數(shù)組成的集合；的所有自然數(shù)組成的集合；(2)方程方程 的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；(3)由由120以?xún)?nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合以?xún)?nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合.2xx 解解：(1)A=0，1，2，3，4，5，6，7，8，9. (2)B=0，1. (3)C=2，3，5，7，11，13，17，19.一個(gè)集合中的元素一個(gè)集合中的元素的書(shū)寫(xiě)一般不考慮的書(shū)寫(xiě)一般不考慮順序順序(集合中元素集合中元素的無(wú)序性的無(wú)序性).1.確定性確定性2.互異性互異性3.無(wú)序性無(wú)序性(1) 您能用自然語(yǔ)言描述集合您能用

10、自然語(yǔ)言描述集合2,4,6,8嗎嗎?(2) 您能用列舉法表示不等式您能用列舉法表示不等式x-73的解集嗎的解集嗎?小于小于10的正偶數(shù)的集合的正偶數(shù)的集合不能一一列舉不能一一列舉(請(qǐng)閱讀課本的內(nèi)容請(qǐng)閱讀課本的內(nèi)容)|10 xR x集合的表示方法集合的表示方法即：即： x | p(x) p(x)表示該集合中的元素x所具有的性質(zhì)X為該集合的代表元素例如：book中的字母的集合表示為：x|x是 book中的字母02|2 xx2010| xx集合的表示方法集合的表示方法(2) 用描述法表示下列集合用描述法表示下列集合 1,-1 大于大于3的全體偶數(shù)構(gòu)成的集合的全體偶數(shù)構(gòu)成的集合.練習(xí)練習(xí) (1) 用列

11、舉法表示下列集合用列舉法表示下列集合 50| xNxA065|2 xxxB自然語(yǔ)言主要用文字語(yǔ)言表述自然語(yǔ)言主要用文字語(yǔ)言表述,而列舉法和描述法是用符號(hào)語(yǔ)言表述而列舉法和描述法是用符號(hào)語(yǔ)言表述.列舉法主要針對(duì)集合中元素個(gè)數(shù)較少的情況列舉法主要針對(duì)集合中元素個(gè)數(shù)較少的情況,而描述法主要適用于集合中的而描述法主要適用于集合中的元素個(gè)數(shù)無(wú)限或不宜一一列舉的情況元素個(gè)數(shù)無(wú)限或不宜一一列舉的情況.集合的表示方法集合的表示方法練習(xí)練習(xí)P5 練習(xí)第練習(xí)第2題題 根據(jù)集合中元素個(gè)數(shù)的多少個(gè)數(shù)的多少，我們將集合分為以下兩大類(lèi)：1.有限集：含有有限個(gè)元素的集合稱(chēng)為有限集有限集 特別，不含任何元素的集合稱(chēng)為空集空集

12、, ,記記為為 2.無(wú)限集： 若一個(gè)集合不是有限集，則該集合稱(chēng)為無(wú)限集無(wú)限集 六、數(shù)集的分類(lèi)注意：不能表示為。例3、求方程x2+1=0的所有實(shí)數(shù)解的集合。解：方程x2+1=0沒(méi)有實(shí)數(shù)解，所以 x|x2+1=0，xR=。思考：直線(xiàn)y=x上的點(diǎn)集如何表示？解：A=(x,y) | y=x 練習(xí)：P.7.第3題。基礎(chǔ)練習(xí)基礎(chǔ)練習(xí)1.填空題填空題設(shè)集合設(shè)集合-2,-1,0,1,2，時(shí)代數(shù)時(shí)代數(shù)式的值式的值則中的元素是則中的元素是Ax12x現(xiàn)有現(xiàn)有:不大于的正有理數(shù)不大于的正有理數(shù).我校高一年級(jí)我校高一年級(jí)所有高個(gè)子的同學(xué)所有高個(gè)子的同學(xué).全部長(zhǎng)方形全部長(zhǎng)方形.全體無(wú)實(shí)根全體無(wú)實(shí)根的一元二次方程四個(gè)條件中

13、所指對(duì)象不能組的一元二次方程四個(gè)條件中所指對(duì)象不能組成集合的成集合的33,0,-12選擇題選擇題 以下說(shuō)法正確的( )(A) “實(shí)數(shù)集”可記為R或?qū)崝?shù)集或所有實(shí)數(shù)(B) a,b,c,d與c,d,b,a是兩個(gè)不同的集合(C) “我校高一年級(jí)全體數(shù)學(xué)學(xué)得好的同學(xué)”不能組成一個(gè)集合,因?yàn)槠湓夭淮_定 已知2是集合M= 中的元素，則實(shí)數(shù)為( )(A) 2 (B)0或3 (C) 3 (D)0,2,3均可23, 02 aaaaCc（3）下列四個(gè)集合中，不同于另外三個(gè)的是：A.yy=2 B. xx=2C. 2 D. xx2-4x+4=0(4) 由實(shí)數(shù)x, -x, , x, 所組成的集合 中，最 多含有的元素

14、的個(gè)數(shù)為: A.2 B.3 C.4 D.5 2x33x （C）（A）（1）方程組 的解集用列舉法表示為_(kāi)；用描述法表示為 .（2）集合 用列舉法表示為 .25xyxy( , )|6,x yxyxN yN3.填空填空1. 用描述法表示下列集合用描述法表示下列集合1，4，7，10，131/3,1/2,3/5,2/3,5/7.x|x=3n-2, n N*且且n5解解： x|x= , n N*且且n52nn 能力提高題能力提高題2.用列舉法表示下列集合：用列舉法表示下列集合：（1）A=xN Z (2) B= N xZ x16 x16 4. 若若-3 a-3, 2a+1, a2+1,求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)a的值的

15、值.3. 求集合求集合3 ，x , x2-2x中，元素中，元素x應(yīng)滿(mǎn)足的條件。應(yīng)滿(mǎn)足的條件?；鼗?顧顧 交交 流流今天我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？今天我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？ 第第12頁(yè)頁(yè) 習(xí)題習(xí)題1.1 A組組 第第1、2、3、4題題大學(xué)期間康托爾主修數(shù)論，但受外爾斯特拉斯的影響,對(duì)數(shù)學(xué)推導(dǎo)的嚴(yán)格性和數(shù)學(xué)分析感興趣。哈雷大學(xué)教授H.E.海涅鼓勵(lì)他研究函數(shù)論。他于1870、1871、1872年發(fā)表三篇關(guān)于三角級(jí)數(shù)的論文。在1872年的論文中提出了以基本序列（即柯西序列）定義無(wú)理數(shù)的實(shí)數(shù)理論，并初步提出以高階導(dǎo)出集的性質(zhì)作為對(duì)無(wú)窮集合的分類(lèi)準(zhǔn)則。函數(shù)論研究引起他進(jìn)一步探索無(wú)窮集和超窮序數(shù)的興趣和要求。187

16、2年康托爾在瑞士結(jié)識(shí)了J.W.R.戴德金，此后時(shí)常往來(lái)并通信討論。1873年他估計(jì)，雖然全體正有理數(shù)可以和正整數(shù)建立一一對(duì)應(yīng)，但全體正實(shí)數(shù)似乎不能。他在1874年的論文關(guān)于一切實(shí)代數(shù)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)中證明了他的估計(jì)，并且指出一切實(shí)代數(shù)數(shù)和正整數(shù)可以建立一一對(duì)應(yīng)，這就證明了超越數(shù)是存在的而且有無(wú)窮多。在這篇論文中，他用一一對(duì)應(yīng)關(guān)系作為對(duì)無(wú)窮集合分類(lèi)的準(zhǔn)則。格奧爾格格奧爾格康托爾康托爾康托爾（Georg Cantor，1845-1918，德） 德國(guó)數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今蘇聯(lián)列寧格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。其父為遷居俄國(guó)的丹麥商人?？低袪?1歲時(shí)移居德國(guó),在

17、德國(guó)讀中學(xué)。1862年17歲時(shí)入瑞士蘇黎世大學(xué),翌年轉(zhuǎn)入柏林大學(xué),主修數(shù)學(xué)，從學(xué)于E.E.庫(kù)默爾、K.（T.W.）外爾斯特拉斯和L.克羅內(nèi)克。1866年曾去格丁根學(xué)習(xí)一學(xué)期。1867年在庫(kù)默爾指導(dǎo)下以數(shù)論方面的論文獲博士學(xué)位。1869年在哈雷大學(xué)通過(guò)講師資格考試，后即在該大學(xué)任講師，1872年任副教授，1879年任教授?？低袪栐?878年這篇論文里已明確提出“勢(shì)”的概念(又稱(chēng)為基數(shù))并且用“與自身的真子集有一一對(duì)應(yīng)”作為無(wú)窮集的特征?？低袪栒J(rèn)為，建立集合論重要的是把數(shù)的概念從有窮數(shù)擴(kuò)充到無(wú)窮數(shù)。他在18791884年發(fā)表的題為關(guān)于無(wú)窮線(xiàn)性點(diǎn)集論文6篇，其中5篇的內(nèi)容大部分為點(diǎn)集論，而第5篇很長(zhǎng)

18、，此篇論述序關(guān)系，提出了良序集、序數(shù)及數(shù)類(lèi)的概念。他定義了一個(gè)比一個(gè)大的超窮序數(shù)和超窮基數(shù)的無(wú)窮序列，并對(duì)無(wú)窮問(wèn)題作了不少的哲學(xué)討論。在此文中他還提出了良序定理（每一集合都能被良序），但未給出證明。在1891年發(fā)表的集合論的一個(gè)根本問(wèn)題里，他證明了一集合的冪集的基數(shù)較原集合的基數(shù)大，由此可知，沒(méi)有包含一切集合的集合。他在1878年論文中曾將連續(xù)統(tǒng)假設(shè)作為一個(gè)估計(jì)提出，其后在1883年論文里說(shuō)即將有一嚴(yán)格證明，但他始終未能給出。在整數(shù)和實(shí)數(shù)兩個(gè)不同的無(wú)窮集合之外，是否還有更大的無(wú)窮?從1874年初起,康托爾開(kāi)始考慮面上的點(diǎn)集和線(xiàn)上的點(diǎn)集有無(wú)一一對(duì)應(yīng)。經(jīng)過(guò)三年多的探索，1877說(shuō)，“我見(jiàn)到了，但我不相信?！边@似乎抹煞了維數(shù)的區(qū)別。論文于1878年發(fā)表后引起了很大的懷疑。P.D.G.杜布瓦雷蒙和克羅內(nèi)克都反對(duì)，而戴德金早在1877年7月就看到