解答中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題步驟和要求

1、解答中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題步驟和要求中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的例題和習(xí)題在內(nèi)容和形式上雖 然因年級(jí)、教材的不同而有所不同，但一般來(lái)說(shuō)，不外是要 求根據(jù)已知的條件求得未知的結(jié)果，或者是證明某些已知數(shù) 學(xué)結(jié)論的正確性。前一形式的問(wèn)題一般稱(chēng)為計(jì)算題或作圖 題；而后一形式的問(wèn)題一般稱(chēng)為證明題。任何形式的數(shù)學(xué)問(wèn)題涉及的知識(shí)都不可能是單一的，解 題過(guò)程往往是曲折的。即使對(duì)中學(xué)低年級(jí)來(lái)說(shuō)，要求學(xué)生解 答的習(xí)題也經(jīng)常具有這樣的特征。因此，解答數(shù)學(xué)問(wèn)題必須 遵循一定的步驟，符合一定的要求，才能達(dá)到解題教學(xué)的目 的。解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般步驟：1弄清問(wèn)題的已知條件，已知數(shù)量之間或已知圖形之間 的相互關(guān)系及問(wèn)題的所求。這在解題過(guò)程中稱(chēng)為題

2、意的掌握 或?qū)忣}。2.回憶與問(wèn)題有關(guān)的知識(shí)、原理，其中包括數(shù)學(xué)的概念、 定理、公式和法則。這在解題過(guò)程中稱(chēng)為知識(shí)的重現(xiàn)。3探求解決問(wèn)題的關(guān)鍵，確定解題的方案。這在解題過(guò) 程中稱(chēng)為問(wèn)題的類(lèi)化。4寫(xiě)出問(wèn)題的解答過(guò)程。5. 根據(jù)已知條件檢查或驗(yàn)證答案的正確性和合理性。6. 修改解答過(guò)程的敘述。在解題教學(xué)中，教師除了要使學(xué)生掌握上述解題的一般 步驟以外，還必須在講解例題或解答習(xí)題時(shí)經(jīng)常體現(xiàn)出以下 要求，使學(xué)生懂得解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的深刻含義，受到嚴(yán)格的數(shù) 學(xué)方法的訓(xùn)練。一、問(wèn)題的答案必須是正確的、合理的在解題過(guò)程中，使學(xué)生養(yǎng)成自我檢查的習(xí)慣，掌握各種 檢查或驗(yàn)算的方法，更具有普遍意義。在解題教學(xué)中，檢查 和

3、驗(yàn)算既然作為一個(gè)必要的步驟，就必須教會(huì)學(xué)生掌握一些 最基本的檢查和驗(yàn)算的途徑和方法。例如在解方程時(shí)將求得 的解代入原方程；用不同的計(jì)算公式重復(fù)求解；運(yùn)用逆運(yùn)算 進(jìn)行驗(yàn)算；作一精確的圖形來(lái)驗(yàn)證幾何問(wèn)題的解答，等等。 檢查和驗(yàn)算的途徑和方法是多種多樣的。教師在講解例題 時(shí)，必須利用一切機(jī)會(huì)，采用一切可能的手段來(lái)保證解答的 正確性，從而使學(xué)生在解題時(shí)也能學(xué)習(xí)運(yùn)用這些方法，從而 確定自己的解答是沒(méi)有錯(cuò)誤的。目前，許多學(xué)生在解題時(shí)， 尤其是在進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算后，對(duì)自己的計(jì)算結(jié)果不確定而依 賴(lài)于與同學(xué)核對(duì)答案。對(duì)于這種情況，教師必須堅(jiān)持嚴(yán)格要 求，使學(xué)生養(yǎng)成自我檢查的習(xí)慣。二、解答要有充分的根據(jù)學(xué)生在解答數(shù)

4、學(xué)問(wèn)題時(shí)，往往不能做到言必有據(jù)，或者 是以直觀代替證明，或者是由于疏漏，以致問(wèn)題的解答結(jié)論 雖然是正確的，但未能以充分的理由為根據(jù)。例如：在學(xué)生的作業(yè)中經(jīng)常出現(xiàn)與下述解題過(guò)程類(lèi)似的 敘述：如圖1,已知pa與00相切，在00上取一點(diǎn)b,使pb=pa, 連接 pb, 0b,于是zpb0=90o o雖然敘述過(guò)程反映的圖形屬性是正確的，但不足以說(shuō)明 zpb0=90°的判斷有充分的根據(jù)。數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答，無(wú)論是論證還是計(jì)算，都應(yīng)該做到言 必有據(jù)，理由充足。后一步推演都應(yīng)該以前一步推演的成立 為前提。這一種嚴(yán)格的要求應(yīng)首先體現(xiàn)于教師的講解和板演 之中。只有當(dāng)教師解題是一貫嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模瑢W(xué)生才有可能形成嚴(yán)

5、 謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度和思考問(wèn)題的方式。三、問(wèn)題的答案必須是詳盡的數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案往往不是唯一的。在解答時(shí)要根據(jù)問(wèn)題 的條件，考慮可能出現(xiàn)的各種特殊情形，從而求出所有的解。這些問(wèn)題的解答的各種情形，都取決于對(duì)問(wèn)題條件的全 面考慮。一般在中學(xué)高年級(jí)階段出現(xiàn)的某些數(shù)學(xué)問(wèn)題是經(jīng)常 提出這種要求的，但達(dá)到這種要求的訓(xùn)練卻應(yīng)該在初中階段 就開(kāi)始。例如：在學(xué)習(xí)平面幾何的階段，有可能在三角形的 作圖題的教學(xué)中，使學(xué)生懂得“討論”的必要性和怎樣進(jìn)行 討論。然而就目前的教材來(lái)說(shuō)，進(jìn)行這方面的系統(tǒng)訓(xùn)練為時(shí) 過(guò)晚。四、解題方法力求簡(jiǎn)捷在解題教學(xué)中，教師通常比較重視向?qū)W生介紹一般解題 方法，揭示一般的解題規(guī)律。這對(duì)于學(xué)生掌握基礎(chǔ)知

6、識(shí)和基 本技能是有根本意義的。但對(duì)于某些特殊方法的運(yùn)用也必須 十分重視。因?yàn)樘厥夥椒ㄈ匀皇菃?wèn)題本身的因果聯(lián)系的反 映，只是需要更靈活地運(yùn)用知識(shí)，一般學(xué)生不易發(fā)現(xiàn)，因而 顯得更可取。例如： 三角 恒等式 tana tanb tanc=tana+tanb+tanc (a+b+c= ji )的證明通常是先將正切轉(zhuǎn)化為正弦和余弦的 比，然后進(jìn)行推證。這是一般的證明方法。但如果由tan(a+b) =tan ( ji-c)利用和角的正切公式來(lái)推導(dǎo)，證明過(guò)程將簡(jiǎn)便 得多。因此，在解題教學(xué)中，教師既要使學(xué)生牢固掌握一般 的解題方法，又要使學(xué)生具有對(duì)各種特殊問(wèn)題應(yīng)用各種特殊 方法的本領(lǐng)。五、注意問(wèn)題條件與結(jié)論的

7、推廣數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答時(shí)常由于一些特殊情形的討論，經(jīng)過(guò)條 件或結(jié)論的推廣，進(jìn)而得出具有一般性的解法。例如： 由 a+b+c= ir可證得sin2a+sin2b+sin2c=4sinasinbsinco 若進(jìn)一步考慮條件的 推廣，將a+b+c= n改為a+b+c二nn (n為整數(shù))，則可證得 sin2a+sin2b+sin2c= (-1) 4sina sinb sinc,證明方法 并無(wú)原則上的改變。tanc,若進(jìn)一步考慮結(jié)論的推廣，則利用相同的解法還可證 得 tan na+tan nb+tan nc=tan na tan nb tan nc, n 是 整數(shù)。對(duì)于個(gè)別數(shù)學(xué)問(wèn)題考慮條件與結(jié)論的推廣，對(duì)學(xué)生掌握 解題規(guī)律，發(fā)展數(shù)學(xué)思維都有積極意義。但教師對(duì)這一類(lèi)問(wèn) 題必須慎重選擇，決非任何問(wèn)題都加以任意推廣。有些問(wèn)題 雖然可以推廣條件或結(jié)論，但不一定在教學(xué)上有積極的意 義。六、解題過(guò)程的敘述應(yīng)合乎邏輯數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答過(guò)程雖不必規(guī)定唯一的敘述形式，但應(yīng) 有統(tǒng)一的要求，即敘述形式應(yīng)合乎邏輯。無(wú)論是簡(jiǎn)略的敘述 或是詳細(xì)的敘述都應(yīng)該有條不紊地寫(xiě)出主要的判斷過(guò)程，并 且交代使每一個(gè)判斷成立的前提。因此，教師在講解例題時(shí) 所做的示范，主要在于說(shuō)明哪些步驟是必須交代的，哪些步 驟是可以省略的。對(duì)于低年級(jí)的學(xué)生或是對(duì)于比較熟悉的解 題形式的運(yùn)用，則應(yīng)使學(xué)生能夠掌握敘述上的取