第三章 空間力系

1、3.1 3.1 空間匯交力系空間匯交力系第三章第三章 空間力系空間力系3.2 3.2 力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩3.3 3.3 空間力偶空間力偶3.5 3.5 空間任意力系的平衡方程空間任意力系的平衡方程3.6 3.6 重心重心3.4 3.4 空間任意力系向一點(diǎn)的簡化空間任意力系向一點(diǎn)的簡化 主矢和主矩主矢和主矩 一、力在直角坐標(biāo)軸上的投影和力沿直角坐標(biāo)軸的分解一、力在直角坐標(biāo)軸上的投影和力沿直角坐標(biāo)軸的分解 3.1 3.1 空間空間匯交力匯交力系系（1 1）力在直角坐標(biāo)軸上的投影）力在直角坐標(biāo)軸上的投影 cosFFxcosFFycosFFza a、直接投影法、直接投影法 已

2、知力與直角坐標(biāo)軸正向的夾角已知力與直角坐標(biāo)軸正向的夾角為為 、 、則則OFxzyxFyFzF3.1 3.1 空間空間匯交力匯交力系系cossincosxxyFFFsinsinsinyxyFFFcosFFzOxzyxFyFzFFxyFb b、間接間接投影法（二次投影法）投影法（二次投影法） 則則如圖中如圖中已知角已知角 ，、注意注意：力在平面上的投影為矢量，力在平面上的投影為矢量， 力在軸上的投影為代數(shù)量。力在軸上的投影為代數(shù)量。 sinxyFF 當(dāng)力當(dāng)力F與坐標(biāo)軸與坐標(biāo)軸x、y間的夾角不易確定時(shí)，先把力間的夾角不易確定時(shí)，先把力投影到投影到x、y所在的平面，得力所在的平面，得力Fxy, ,再向

3、再向x、y軸投影。軸投影。 kjizyxFFF（2 2）力沿直角坐標(biāo)軸的分解）力沿直角坐標(biāo)軸的分解 222zyxFFFFzyxFFFFFFx),cos(iFFFy),cos(jFFFz),cos(kF如已知力如已知力F在軸系在軸系Oxyz的三個(gè)投影，的三個(gè)投影，則力則力F的大小和方向余弦為的大小和方向余弦為 3.1 3.1 空間力的空間力的分解及其投影分解及其投影由此可得合力的大小和方向余弦為由此可得合力的大小和方向余弦為 kjiFziyixiRFFF二、空間匯交力系的合成與平衡二、空間匯交力系的合成與平衡 空間匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的空間匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力

4、的作用線通過匯交點(diǎn)。合力矢為作用線通過匯交點(diǎn)。合力矢為nFFF21222)()()(ziyixiRFFFF或或（1 1）合成）合成RFnii1FRxiRFF),cos(iFRziRFF),cos(kFRyiRFF),cos(jF3.1 3.1 空間力的空間力的分解及其投影分解及其投影（2 2）平衡）平衡 空間匯交力系平衡的必要和充分條件為：空間匯交力系平衡的必要和充分條件為： 要上式成立，必須同時(shí)滿足：要上式成立，必須同時(shí)滿足： 0 xiF 0yiF 0ziF空間匯交力系平衡的必要和充分條件為：空間匯交力系平衡的必要和充分條件為：該力系中所有該力系中所有各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別等于

5、零。各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別等于零。 該力系的合力等于零。該力系的合力等于零。 上式稱為空間匯交力系的上式稱為空間匯交力系的平衡方程平衡方程。 0iRFF3.1 3.1 空間力的空間力的分解及其投影分解及其投影解：解：取起重桿取起重桿AB與重物為研究對(duì)象與重物為研究對(duì)象 0 xF 0yF 0zF解得解得 kN536. 321 FF045sin2F030cos45cos2F030cosPFAkN66. 8AF例：已知例：已知; ;CE=EB=DE,=EBF=30，物重物重P=10kN。如桿重不計(jì)，試求桿所。如桿重不計(jì)，試求桿所受的壓力和繩子的拉力。受的壓力和繩子的拉力。 45sin1

6、F30sinAF30cos45cos1F30sin45cos1F30sin45cos2F3.1 3.1 空間力的空間力的分解及其投影分解及其投影3.2 3.2 力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩一、力對(duì)點(diǎn)的矩以矢量表示一、力對(duì)點(diǎn)的矩以矢量表示 上式為力對(duì)點(diǎn)的矩的矢積表達(dá)式。上式為力對(duì)點(diǎn)的矩的矢積表達(dá)式。 力矩矢不可任意挪動(dòng)，稱為力矩矢不可任意挪動(dòng)，稱為定位矢量。定位矢量。 力矩矢力矩矢MO(F)在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影 yzxOzFyF )(FMzxyOxFzF )(FMxyzOyFxF )(FMFrFM)(OkjirzyxkjiFzyxFFFzyxOFFFzyxkj

7、iFrFM)(kji)()()(xyzxyzyFxFxFzFzFyF二二、力、力對(duì)軸的矩對(duì)軸的矩 ZOxyMFMFxyFd 3.2 3.2 力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩正負(fù)號(hào)規(guī)定：從正負(fù)號(hào)規(guī)定：從 z 軸的正向軸的正向看看，若力使剛體繞軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，若力使剛體繞軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，則取則取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)?；?。或用右手用右手螺旋螺旋法則判斷。法則判斷。力對(duì)于任一軸的矩，等于力力對(duì)于任一軸的矩，等于力在垂直該軸平面上的投影對(duì)于軸在垂直該軸平面上的投影對(duì)于軸與平面的交點(diǎn)的矩。與平面的交點(diǎn)的矩。力對(duì)軸的矩的單位：力對(duì)軸的矩的單位：Nm。 hFxyOabA 23.2 3.2

8、力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩)(FzM)(xyOMF力力對(duì)軸對(duì)軸的矩的矩，是是力使力使剛體繞剛體繞軸軸轉(zhuǎn)動(dòng)效果的度量，是個(gè)代數(shù)量。轉(zhuǎn)動(dòng)效果的度量，是個(gè)代數(shù)量。這兩種情況合起來說：當(dāng)力與軸在同一平面時(shí)，這兩種情況合起來說：當(dāng)力與軸在同一平面時(shí)，力對(duì)軸的矩等于零。力對(duì)軸的矩等于零。 力對(duì)軸的矩等于零的情況：力對(duì)軸的矩等于零的情況： （1 1）當(dāng)力與軸相交時(shí)（此時(shí)）當(dāng)力與軸相交時(shí)（此時(shí)h=0）；）； （2 2）當(dāng)力與軸平行時(shí)（此時(shí)）當(dāng)力與軸平行時(shí)（此時(shí)Fxy=0）。）。特例特例3.2 3.2 力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩（1 1）當(dāng)力與）當(dāng)力與軸垂直且力臂好找時(shí)，用定

9、義式求（軸垂直且力臂好找時(shí)，用定義式求（Fh）；）； （2 2）用合力矩用合力矩定理：先把力正交分解（往往某一分力與定理：先把力正交分解（往往某一分力與軸平行或相交），則合力對(duì)該軸之矩等于各分力對(duì)該軸之軸平行或相交），則合力對(duì)該軸之矩等于各分力對(duì)該軸之矩的代數(shù)和。矩的代數(shù)和。求力對(duì)軸之矩的方法求力對(duì)軸之矩的方法3.2 3.2 力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩Fhz xxxxyxzMFMFMFMF力對(duì)軸的矩的解析表達(dá)式：力對(duì)軸的矩的解析表達(dá)式： 即即 同理可得其余二式。同理可得其余二式。 將此三式合寫為將此三式合寫為3.2 3.2 力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩)(Fz

10、M)(xyOMF)(xOMF)(yOMFxyzyFxFM)(FyzxzFyFM)(FzxyxFzFM)(FxyzyFxFM)(F三、力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)通過該點(diǎn)的軸的矩的關(guān)系三、力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)通過該點(diǎn)的軸的矩的關(guān)系 比較前面兩式，可得比較前面兩式，可得 上式說明：上式說明：力對(duì)點(diǎn)的矩矢在通過該點(diǎn)的某軸上的投影，等力對(duì)點(diǎn)的矩矢在通過該點(diǎn)的某軸上的投影，等于力對(duì)該軸的矩。于力對(duì)該軸的矩。 如果已知力對(duì)通過點(diǎn)如果已知力對(duì)通過點(diǎn)O的直角坐標(biāo)軸的直角坐標(biāo)軸x，y，z的矩的矩則可求得該力對(duì)點(diǎn)則可求得該力對(duì)點(diǎn)O的矩的大小和方向余弦為的矩的大小和方向余弦為3.2 3.2 力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸

11、的矩)()(FFMzzOM222)()()()(FFFMFMzyxOOMMM)()(),cos(FFiMOxOMM)()(),cos(FFjMOyOMM)()(),cos(FFkMOzOMM)()(FFMxxOM)()(FFMyyOM例：傳動(dòng)軸上圓柱斜齒輪所受的嚙合力為例：傳動(dòng)軸上圓柱斜齒輪所受的嚙合力為F,齒輪壓力角為齒輪壓力角為, ,螺旋角為螺旋角為, ,節(jié)圓半徑為節(jié)圓半徑為r。求該力對(duì)于各坐標(biāo)軸的矩。求該力對(duì)于各坐標(biāo)軸的矩。 coscosFFxsincosFFysinFFz力作用點(diǎn)的坐標(biāo)為力作用點(diǎn)的坐標(biāo)為 rzlyx20代入公式，得代入公式，得 zxyxFzFM)(FxyzyFxFM)(

12、Fsincos2FlcoscosrF)sincos()sin(2FrFl)sin2sincos(lrF3.2 3.2 力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩解：解：嚙合力嚙合力F 在坐標(biāo)軸上的投影為在坐標(biāo)軸上的投影為 yzxzFyFM)(FFxFzFy例例已知：已知：手柄手柄ABCE在在Axy面內(nèi)面內(nèi)，F(xiàn)在垂直于在垂直于y軸的平面內(nèi)軸的平面內(nèi)，偏，偏離離鉛直線的角度為鉛直線的角度為，且，且,=ABBCl CD a求：求：,xyzMFMFMFco sxxzMFMFFla co syyzMFMFF l sinzzxMFMFFla 把力把力 分解如圖分解如圖F解：解：lla 3.3 3.3 空

13、間力偶空間力偶一、力偶矩以矢量表示，力偶矩矢一、力偶矩以矢量表示，力偶矩矢 實(shí)際經(jīng)驗(yàn)告訴我們：力偶的作用面可以平行移動(dòng)，實(shí)際經(jīng)驗(yàn)告訴我們：力偶的作用面可以平行移動(dòng)，而不改變力偶對(duì)剛體的作用效果。而不改變力偶對(duì)剛體的作用效果。 空間力偶對(duì)剛體的作用效果取決于三個(gè)因素：空間力偶對(duì)剛體的作用效果取決于三個(gè)因素： （1 1）力偶矩的大?。唬┝ε季氐拇笮。唬? 2）力偶作用面的方位；）力偶作用面的方位；（3 3）力偶的轉(zhuǎn)向。）力偶的轉(zhuǎn)向。 3.3 3.3 空間力偶空間力偶空間力偶的三個(gè)因素可以用一個(gè)矢量表示空間力偶的三個(gè)因素可以用一個(gè)矢量表示矢量的長度表示力偶矩的大小，矢量的長度表示力偶矩的大小，矢量的

14、方位與力偶作用面的方位相同，矢量的方位與力偶作用面的方位相同，矢量的指向與力偶轉(zhuǎn)向的關(guān)系服從右手矢量的指向與力偶轉(zhuǎn)向的關(guān)系服從右手螺旋規(guī)則。螺旋規(guī)則。力偶對(duì)剛體的作用完全由力偶矩矢所決定。力偶對(duì)剛體的作用完全由力偶矩矢所決定。力偶矩矢是力偶矩矢是自由矢量自由矢量。二、空間力偶等效定理二、空間力偶等效定理 作用在同一剛體上的兩個(gè)空間力偶，如果作用在同一剛體上的兩個(gè)空間力偶，如果其力偶矩矢相等，則它們彼此等效。其力偶矩矢相等，則它們彼此等效。3.3 3.3 空間力偶空間力偶這個(gè)矢量稱為這個(gè)矢量稱為力偶矩矢力偶矩矢，記作，記作M。即即合力偶矩矢在合力偶矩矢在x，y，z軸上投影等于各分力偶矩矢在相軸上

15、投影等于各分力偶矩矢在相 應(yīng)軸上投影的代數(shù)和。應(yīng)軸上投影的代數(shù)和。 niizM1三、空間力偶系的合成與平衡三、空間力偶系的合成與平衡（1 1）合成）合成 任意個(gè)空間分布的力偶可合成為一個(gè)合力偶，合力任意個(gè)空間分布的力偶可合成為一個(gè)合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，即偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，即 合力偶矩矢的解析表達(dá)式為合力偶矩矢的解析表達(dá)式為其中其中 nxxxxMMMM21nyyyyMMMM21nzzzzMMMM21niixM1niiyM1 3.3 3.3 空間力偶空間力偶nii1Mn21MMMMkjiMzyxMMM 例：在工件上同時(shí)鉆五個(gè)孔，每個(gè)孔所受的力偶矩均為例：在工件上

16、同時(shí)鉆五個(gè)孔，每個(gè)孔所受的力偶矩均為80Nm。求工件所受合力偶矩矢的投影。求工件所受合力偶矩矢的投影Mx，My，Mz。并求。并求合力偶矩矢的大小和方向余弦。合力偶矩矢的大小和方向余弦。 3.3 3.3 空間力偶空間力偶zzMM 解：解：將作用在四個(gè)面上的力偶用將作用在四個(gè)面上的力偶用力偶矩矢來表示，并將它們平行移力偶矩矢來表示，并將它們平行移到點(diǎn)到點(diǎn)A，得，得 xxMMyyMM45cos5MmN1 .1932MmN8045cos5MmN1 .193 3.3 3.3 空間力偶空間力偶A3M45cos4M1M45cos4M合力偶矩矢的大小合力偶矩矢的大小 222zyxMMMM合力偶矩矢的方向余弦合

17、力偶矩矢的方向余弦 mN6 .2846786. 02811. 06786. 0 3.3 3.3 空間力偶空間力偶MMy),cos(jMMMx),cos(iMMMz),cos(kM（2 2）平衡）平衡 空間力偶平衡的必要和充分條件是：空間力偶平衡的必要和充分條件是：該力偶系的合該力偶系的合力偶矩等于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零力偶矩等于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零。即。即 欲使上式成立，必須同時(shí)滿足：欲使上式成立，必須同時(shí)滿足： niizniiyniixMMM111000上式為空間力偶系的平衡方程。上式為空間力偶系的平衡方程。 空間力偶平衡的必要和充分條件是：空間力偶平衡的必要和充分

18、條件是：該力偶系中所有該力偶系中所有各力偶矩矢在三個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零各力偶矩矢在三個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零。 3.3 3.3 空間力偶空間力偶nii10MOxyz4.4 4.4 空間力系的合成與平衡空間力系的合成與平衡一、空間任意力系向一點(diǎn)的簡化一、空間任意力系向一點(diǎn)的簡化 Oxyz=原來的空間任意力系被空間匯交力系和空間力偶系等效替原來的空間任意力系被空間匯交力系和空間力偶系等效替換。換。 OxyzMO()(1,2, )iiiOiinFFMMF剛體上作用空間任意力系剛體上作用空間任意力系F1，F(xiàn)2，F(xiàn)n。 M1M nM2F2F1FnFnF2F1FR空間匯交力系空間匯交力

19、系 空間力偶系空間力偶系 空間任意力系向任一點(diǎn)空間任意力系向任一點(diǎn)O簡化簡化, ,可得一力和一力偶可得一力和一力偶, ,這這個(gè)力的大小和方向等于該力系的主矢個(gè)力的大小和方向等于該力系的主矢, ,作用線通過簡化中作用線通過簡化中心心O; ;這個(gè)力偶的矩矢等于該力系對(duì)簡化中心的主矩這個(gè)力偶的矩矢等于該力系對(duì)簡化中心的主矩; ;主矢主矢與簡化中心的位置無關(guān)與簡化中心的位置無關(guān), ,主矩一般與簡化中心的位置有關(guān)主矩一般與簡化中心的位置有關(guān). .一力一力（原力系的（原力系的主矢主矢）一力偶一力偶（原力系對(duì)點(diǎn)（原力系對(duì)點(diǎn)O的的主矩主矩） 1nRii FFniiO1MMniiO1)(FMniziniyini

20、xiFFF111kjinixiiyiiniziixiiniyiiziiOFyFxFxFzFzFy111)()()(kjiMniii1)(Fr4.4 4.4 空間力系的合成與平衡空間力系的合成與平衡二、空間任意力系的簡化結(jié)果分析二、空間任意力系的簡化結(jié)果分析 空間任意力系向一點(diǎn)簡化可能出現(xiàn)四種情況，即空間任意力系向一點(diǎn)簡化可能出現(xiàn)四種情況，即 1 1空間任意力系簡化為一合力偶的情況空間任意力系簡化為一合力偶的情況 這時(shí)得一與原力系等效的合力偶，其合力偶矩矢等于原力系這時(shí)得一與原力系等效的合力偶，其合力偶矩矢等于原力系對(duì)簡化中心的主矩。在這種情況下對(duì)簡化中心的主矩。在這種情況下, ,主矩與簡化中心

21、的位置無關(guān)。主矩與簡化中心的位置無關(guān)。2 2空間任意力系簡化為一合力的情況空間任意力系簡化為一合力的情況 這時(shí)得一與原力系等效的合力，合力的作用線通過簡化中這時(shí)得一與原力系等效的合力，合力的作用線通過簡化中心心O，其大小和方向等于原力系的主矢。，其大小和方向等于原力系的主矢。 （2）FR0，MO=0， （4）FR=0，MO=0， （1）FR=0，MO0， （3）FR0，MO0， 主矢主矢FR=0，主矩主矩MO0， （1 1）主矢）主矢FR0，主矩，主矩MO=0， 4.4 4.4 空間力系的合成與平衡空間力系的合成與平衡得作用于點(diǎn)得作用于點(diǎn)O的一個(gè)力的一個(gè)力FR。此力即為原力系的合力，。此力即為

22、原力系的合力，其大小和方向等于原力系的主矢，其作用線離簡化中心其大小和方向等于原力系的主矢，其作用線離簡化中心O的距離為的距離為OOOOOd dd d= = =ROFdMFRFRFRMOFRFRRRRORMF d FFF（2 2）主矢）主矢FR0，主矩，主矩MO0，且，且 FRMO 4.4 4.4 空間力系的合成與平衡空間力系的合成與平衡3 3空間任意力系簡化為力螺旋的情況空間任意力系簡化為力螺旋的情況 力螺旋力螺旋：就是由一個(gè)力和一個(gè)力偶組成的力系，其：就是由一個(gè)力和一個(gè)力偶組成的力系，其中的力垂直于力偶的作用面。中的力垂直于力偶的作用面。左螺旋左螺旋右螺旋右螺旋中心軸中心軸中心軸中心軸這就

23、是力螺旋。這就是力螺旋。 （1 1）主矢）主矢FR0，主矩，主矩MO0，且，且FRMO， 4.4 4.4 空間力系的合成與平衡空間力系的合成與平衡=可簡化為一力螺旋，其中心軸不在簡化中心可簡化為一力螺旋，其中心軸不在簡化中心O，而是通過，而是通過另一點(diǎn)另一點(diǎn)O。O，O兩點(diǎn)間的距離為兩點(diǎn)間的距離為4 4空間任意力系平衡的情況空間任意力系平衡的情況 （2 2）主矢）主矢FR0，主矩，主矩MO0，兩者既不平行，也不垂直。，兩者既不平行，也不垂直。 sinOORRMdFFM主矢主矢FR=0，主矩，主矩MO=0，空間任意力系平衡的情況。，空間任意力系平衡的情況。4.4 4.4 空間力系的合成與平衡空間力

24、系的合成與平衡一、空間任意力系的平衡方程一、空間任意力系的平衡方程 空間任意力系平衡的必要和充分條件：空間任意力系平衡的必要和充分條件：該力系的主矢該力系的主矢和對(duì)任一點(diǎn)的主矩都等于零。和對(duì)任一點(diǎn)的主矩都等于零。 要上式成立，必需滿足：要上式成立，必需滿足： 上式稱為空間任意力系的平衡方程。上式稱為空間任意力系的平衡方程。 空間任意力系平衡的必要和充分條件：空間任意力系平衡的必要和充分條件：所有各力在三所有各力在三個(gè)坐標(biāo)軸中每一個(gè)軸上投影的代數(shù)和等于零，以及這些力個(gè)坐標(biāo)軸中每一個(gè)軸上投影的代數(shù)和等于零，以及這些力對(duì)于每一個(gè)坐標(biāo)軸的矩的代數(shù)和也等于零。對(duì)于每一個(gè)坐標(biāo)軸的矩的代數(shù)和也等于零。000

25、zyxFFF00RO FM0)(0)(0)(FFFzyxMMM4.4 4.4 空間力系的合成與平衡空間力系的合成與平衡上式稱為上式稱為空間平行力系的平衡方程空間平行力系的平衡方程 0zF空間平行力系空間平行力系 0)(FxM 0)(FyM4.4 4.4 空間力系的合成與平衡空間力系的合成與平衡二、空間約束的類型舉例二、空間約束的類型舉例 4.4 4.4 空間力系的合成與平衡空間力系的合成與平衡4.4 4.4 空間力系的合成與平衡空間力系的合成與平衡4.4 4.4 空間力系的合成與平衡空間力系的合成與平衡三、空間力系平衡問題舉例三、空間力系平衡問題舉例 例：圖示三輪小車，自重例：圖示三輪小車，自

26、重P=8kN，作用于點(diǎn)，作用于點(diǎn)E，載荷，載荷P1=10kN，作用于點(diǎn)，作用于點(diǎn)C。求小車。求小車靜止時(shí)地面對(duì)車輪的約束力。靜止時(shí)地面對(duì)車輪的約束力。 解：解：取小車為研究對(duì)象取小車為研究對(duì)象 0zFkN8 . 5DF01DBAFFFPP02DF02 . 1BFkN777. 7BFkN423. 4AF12 . 0PP2 . 118 . 0PP6 . 0DF6 . 0 0)(FxM 0)(FyM4.4 4.4 空間力系的合成與平衡空間力系的合成與平衡 例：例：F2=2F1，F(xiàn)=2000N。D=400mm，R=300mm，=30=30 ，=60=60 ，其它尺，其它尺寸如圖。求膠帶拉力和軸承約束力

27、。寸如圖。求膠帶拉力和軸承約束力。 解：解：取整個(gè)軸為研究對(duì)象取整個(gè)軸為研究對(duì)象 0 xF 0zFkN31FkN384. 3BxFkN62FkN044.10AxFkN397. 9AzFkN799. 1BzF0BxF0BzF04 . 0BzF0)(212FFD04 . 0BxF30sin2 . 01F60sin2 . 02F30sin1F60sin2FAxF30cos2 . 01F60cos2 . 02FF2 . 030cos1F60cos2FFAzFFR 0)(FzM 0)(FxM 0)(FyM4.4 4.4 空間力系的合成與平衡空間力系的合成與平衡例：板重例：板重P=200N，求繩子的拉力和

28、支座約束力。，求繩子的拉力和支座約束力。解：解：取板為研究對(duì)象取板為研究對(duì)象N200F0BzF 0 xF 0yF0zF0BxF030sin2aFPa0230sinBzbFPbbF030sin30cosFN6 .86AxF030cos30cosFN150AyF030sinFN100AzFabAxFBxFAzFPAyF 0)(FzM 0)(FyM 0)(FxMFAyFBzFBxFFAzFAxP4.4 4.4 空間力系的合成與平衡空間力系的合成與平衡 例：例：重重P1=10000N的載貨小車借圖示的裝置沿斜面等的載貨小車借圖示的裝置沿斜面等速上升。已知鼓輪重速上升。已知鼓輪重P2=1000N，其直徑

29、為，其直徑為d=24cm；杠桿；杠桿臂長臂長l=1m。如鼓輪用止推軸承。如鼓輪用止推軸承A和軸承和軸承B鉛垂地固定，求鉛垂地固定，求加在每根杠桿上的力加在每根杠桿上的力F 的大小以及支座的大小以及支座A和和B的反力。的反力。 4.4 4.4 空間力系的合成與平衡空間力系的合成與平衡解：解：先取小車為研究對(duì)象先取小車為研究對(duì)象 0 xF再取鼓輪為研究對(duì)象再取鼓輪為研究對(duì)象 0 xF 0yF 0zFN375025 . 1TByFF1sin300TFP 5000NTF 0BxF04 lFN1508TFldF05 . 1TF0BxAxFF0AxF0TByAyFFFN1250AyF02PFAzN1000

30、AzFxP2xyzTFd2ByF2 0)(FzM 0)(FxM 0)(FyMP1FTFNFByFBxFTFFFFFAxFAyFAz4.4 4.4 空間力系的合成與平衡空間力系的合成與平衡例已知例已知P，F(xiàn)，且，且F=2P。求各桿的內(nèi)力。求各桿的內(nèi)力。 解：解：取板為研究對(duì)象取板為研究對(duì)象 26PF05F01F04F026aFaP045cos3aFFaPF223022bPbFFbPF5 . 12 0)(FAEM 0)(FBFM 0)(FACM 0)(FMAB 0)(FDHM 0)(FFGM4.4 4.4 空間力系的合成與平衡空間力系的合成與平衡43 例例 曲桿曲桿ABCD, ABC=BCD=90

31、0, AB=a, BC=b, CD=c, m2, m3 求：支座反力及求：支座反力及m1=?4.4 4.4 空間力系的合成與平衡空間力系的合成與平衡44解：解：以曲桿以曲桿ABCD為研究對(duì)象為研究對(duì)象32123()()DzDymmbcmbF-cFbcmmaaaa FDxFDyFDzFAyFAz3AyamF a0 3AyFm0 zM 2AzamF02AzaFm0yM0DxF0Fx0yF 0AyDyF +F3DyAymFFa 0ZF 0AzDzF +F2DzAzmFFa 10 xM10DzDymbF +cF4.4 4.4 空間力系的合成與平衡空間力系的合成與平衡45 例例 已知：已知：AB桿桿,

32、, A AD,CB為繩為繩, , A、C在同一垂線上，在同一垂線上，AB重重80N，A、B光滑接觸，光滑接觸，ABC=BCE=600, , 且且AD水平，水平，AC鉛直。求平衡時(shí)鉛直。求平衡時(shí)，TA，TB及支座及支座A、B的反力。的反力。4.4 4.4 空間力系的合成與平衡空間力系的合成與平衡460, zF 1cos6002BTACPCE33ctg 608023.1 (N)2236BPPT CEAC60cos60ctg又解：解：以以AB桿為研究對(duì)象桿為研究對(duì)象0,DDm1cos60ctg60cos602BTACPAC80NBFPTBFBFATA4.4 4.4 空間力系的合成與平衡空間力系的合成

33、與平衡47338020 (N)62AF31cos608011.5 (N)62ABTT 0,xF cos600ABTT 0,yF sin600ABFT TBFBFATA4.4 4.4 空間力系的合成與平衡空間力系的合成與平衡4.5 4.5 重心和形心重心和形心一、平行力系中心一、平行力系中心 平行力系中心是平行力系合力通過的一個(gè)點(diǎn)。平行力系中心是平行力系合力通過的一個(gè)點(diǎn)。 ABFACFBCFR21 由此可知，平行力系合力作用點(diǎn)由此可知，平行力系合力作用點(diǎn)的位置僅與各平行力的大小和作用點(diǎn)的位置有關(guān)，而與各的位置僅與各平行力的大小和作用點(diǎn)的位置有關(guān)，而與各平行力的方向無關(guān)。稱該點(diǎn)位此平行力系的中心。

34、平行力的方向無關(guān)。稱該點(diǎn)位此平行力系的中心。 21FFFR設(shè)在剛體上設(shè)在剛體上A，B兩點(diǎn)作用兩個(gè)平行力兩點(diǎn)作用兩個(gè)平行力F1，F(xiàn)2，將其合成。，將其合成。 若將原有各力繞其作用點(diǎn)轉(zhuǎn)過同若將原有各力繞其作用點(diǎn)轉(zhuǎn)過同一角度，使它們保持相互平行，則合一角度，使它們保持相互平行，則合力力FR仍與各力平行也繞點(diǎn)仍與各力平行也繞點(diǎn)C 轉(zhuǎn)過相轉(zhuǎn)過相同的角度，且合力的作用點(diǎn)同的角度，且合力的作用點(diǎn)C 不變。不變。由合力矩定理，得由合力矩定理，得 設(shè)力作用線方向的單位矢量為設(shè)力作用線方向的單位矢量為F0，則，則上式為上式為 從而得從而得 若有若干個(gè)力組成的平行力系，合力作用點(diǎn)：若有若干個(gè)力組成的平行力系，合力作

35、用點(diǎn)：將上式在直角坐標(biāo)軸上投影，得將上式在直角坐標(biāo)軸上投影，得iiiCFxFxiiiCFyFyiiiCFzFziiiCFF rr2122112211FFFFFFFrRCrrrr0001122CRFFFrFrFrF2211FrFrFrRC4.5 4.5 重心和形心重心和形心二、重心二、重心 地球半徑很大，地球表面物體的重力可以看成是平行地球半徑很大，地球表面物體的重力可以看成是平行力系，力系，此平行力系的中心即物體的重心此平行力系的中心即物體的重心。重心有確定的位。重心有確定的位置，與物體在空間的位置無關(guān)。置，與物體在空間的位置無關(guān)。 4.5 4.5 重心和形心重心和形心4.5 4.5 重心和形

36、心重心和形心設(shè)物體由若干部分組成，其第設(shè)物體由若干部分組成，其第i部分重部分重Pi，重心（，重心（xi， yi，zi）則物體的重心為則物體的重心為yzoyiCViyczizcxPPiVxcxi4.5 4.5 重心和形心重心和形心CiiCiiCiiP xPxP yPyP zPz,iiiiiiiiiiiiCCCiiiPxPxPyPyPzPzxyzPPPPPP由合力矩定理得：由合力矩定理得：則：則：如果物體是均質(zhì)的，則可得如果物體是均質(zhì)的，則可得 VzdVzVydVyVxdVxVCVCVC顯然，均質(zhì)物體的顯然，均質(zhì)物體的重心重心就是幾何中心，即就是幾何中心，即形心形心。 三、確定物體重心的方法三、確

37、定物體重心的方法 1.1.簡單幾何形狀物體的重心簡單幾何形狀物體的重心 如均質(zhì)物體有對(duì)稱面，或?qū)ΨQ軸，或?qū)ΨQ中心，則如均質(zhì)物體有對(duì)稱面，或?qū)ΨQ軸，或?qū)ΨQ中心，則該物體的重心必相應(yīng)地在這個(gè)對(duì)稱面，或?qū)ΨQ軸，或?qū)υ撐矬w的重心必相應(yīng)地在這個(gè)對(duì)稱面，或?qū)ΨQ軸，或?qū)ΨQ中心上。稱中心上。 例：例：試求圖示半徑為試求圖示半徑為R、圓心角為圓心角為2 的扇形面積的的扇形面積的重心。重心。 4.5 4.5 重心和形心重心和形心均質(zhì)物體的重心與形心（幾何中心）重合。均質(zhì)物體的重心與形心（幾何中心）重合。解：解：取中心角的平分線為取中心角的平分線為y軸。軸。 由于對(duì)稱關(guān)系，由于對(duì)稱關(guān)系，xC = 0，現(xiàn)在只需求，現(xiàn)

38、在只需求 yc。任意位置任意位置處微小面積：處微小面積： dRdA221其重心的坐標(biāo)：其重心的坐標(biāo)： cos32Ry 扇形總面積：扇形總面積： dAA面積形心坐標(biāo)面積形心坐標(biāo)AydAyC如以如以2代入，即得半圓的重心代入，即得半圓的重心 34RyCdR2212R2221cos32RdRRsin32R4.5 4.5 重心和形心重心和形心三角形和半圓形的三角形和半圓形的形心形心坐標(biāo)坐標(biāo)h/3bhCCyx43RR2.2.用組合法求重心用組合法求重心 （1 1）分割法）分割法 若一個(gè)物體由幾個(gè)簡單形狀的物體組合而成，而這若一個(gè)物體由幾個(gè)簡單形狀的物體組合而成，而這些物體的重心是已知的，那么整個(gè)物體的重

39、心即可用下些物體的重心是已知的，那么整個(gè)物體的重心即可用下式求出。式求出。iiiCiiiCiiiCPzPzPyPyPxPx（2 2）負(fù)面積法（負(fù)體積法）負(fù)面積法（負(fù)體積法） 若在物體或薄板內(nèi)切去一部分（例如有空穴或孔的物若在物體或薄板內(nèi)切去一部分（例如有空穴或孔的物體），則這類物體的重心，仍可應(yīng)用與分割法相同的公式體），則這類物體的重心，仍可應(yīng)用與分割法相同的公式來求得，只是切去部分的體積或面積應(yīng)取負(fù)值。來求得，只是切去部分的體積或面積應(yīng)取負(fù)值。 4.5 4.5 重心和形心重心和形心例：例：試求試求形截面重心的位置，其尺寸如圖所示。形截面重心的位置，其尺寸如圖所示。 解：解：取圖示坐標(biāo)，將該圖形分割取圖示坐標(biāo)，將該圖形分割為三個(gè)矩形。為三個(gè)矩形。4515300111yxA222400530Axy333300155Axy重心坐標(biāo)為重心坐標(biāo)為 321332211AAAAxAxAxxC321332211AAAAyAyAyyCmm27mm24.5 4.5 重心和形心重心和形心例例: :偏心塊偏心塊, ,已知已知: :100mm,r=17mm,b=13mm。求重心。求重心。解：解：取圖示坐標(biāo)。將偏心塊取圖示坐標(biāo)。將偏心塊看成由三部分組成?？闯捎扇糠纸M成。 342