第二章線性方程組2.4節(jié)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

1、11221122 nnnnxxxxxx .,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn（2.4.1）非齊次線性方程組非齊次線性方程組 )( bAX其中其中mnnmijbbbbxxxXaA2121 , ,令令mmnnnnmmbbbaaaaaaaaa2121222122121111 , , , , 則方程組（則方程組（*）可表為）可表為 nnxxx2211)( 結(jié)論結(jié)論：方程組（方程組（*）有解）有解 可由可由 線性表出線性表出 n ,21 n ,21 ,21n秩秩 = 秩秩 n ,21 ,21n秩秩(A) = 秩秩( )，這里，這里 =

2、 = A , b AA 定理定理 非齊次線性方程組非齊次線性方程組 有解的充分必有解的充分必要條件是要條件是 bAX 秩秩 = 秩秩( ) )(AA 定理定理 非齊次線性方程組非齊次線性方程組 AX = b 有唯一解的充有唯一解的充分必要條件是分必要條件是秩秩(A)秩秩( )A的列數(shù)未知數(shù)個(gè)數(shù)的列數(shù)未知數(shù)個(gè)數(shù) A 推論推論 非齊次線性方程組非齊次線性方程組 AX = b 有無(wú)窮多解的有無(wú)窮多解的充分必要條件是充分必要條件是秩秩(A)秩秩( ) A的列數(shù)未知數(shù)個(gè)數(shù)的列數(shù)未知數(shù)個(gè)數(shù) A非齊次方程組（非齊次方程組（*）：）：AX = b齊次方程組（齊次方程組（*）：）：AX = 0 稱（稱（*）為（

3、）為（*）的）的導(dǎo)出方程組導(dǎo)出方程組。性質(zhì)性質(zhì) (1) 設(shè)設(shè) 是非齊次線性方程組是非齊次線性方程組 AX = b的任的任意兩個(gè)解向量，則意兩個(gè)解向量，則 是其導(dǎo)出方程是其導(dǎo)出方程AX=0的解的解向量；向量； 21, XX21XX (2) 設(shè)設(shè) 是非齊次線性方程組是非齊次線性方程組 AX = b的任一個(gè)的任一個(gè)解向量，解向量， 是其導(dǎo)出方程組是其導(dǎo)出方程組 AX = 0的任一個(gè)解向的任一個(gè)解向量，則量，則 是是 AX = b的解向量。的解向量。 0XXXX 0 定理定理 設(shè)非齊次線性方程組設(shè)非齊次線性方程組 AX = b有無(wú)窮多個(gè)解，有無(wú)窮多個(gè)解，則其一般解為則其一般解為 ttXkXkXkX.2

4、2110其中其中 是是 AX = b的一個(gè)特解，的一個(gè)特解， 是導(dǎo)出方是導(dǎo)出方程組程組 AX = 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，的一個(gè)基礎(chǔ)解系， 是是 t個(gè)任意常個(gè)任意常數(shù)。數(shù)。 0XtXXX,.,21tkkk,.,21 注注 非齊次線性方程組解向量的線性組合一般非齊次線性方程組解向量的線性組合一般不再是非齊次線性方程組的解向量。不再是非齊次線性方程組的解向量。例例 求下列方程組的一般解求下列方程組的一般解 484355 12 22 12 0 54321542154321321xxxxxxxxxxxxxxxxx解解 ,bAA 0000000000001212000001114843551210221211

5、11000111行行 122 0 543321xxxxxx 543231212xxxxxx)0 , 0 ,21, 0 ,21( 00542 Xxxx考慮方程組考慮方程組 54323122xxxxxx)1 , 0 , 1, 0 , 1( 0, 1)0 , 1 ,21, 0 ,21( 0, 1)0 , 0 , 0 , 1 , 1( 0, 1342525241542 XxxxXxxxXxxx 一般解為一般解為3322110XkXkXkX 例例 已知非齊次方程組已知非齊次方程組 5220231321321321bxaxxxxxxxx的兩個(gè)解的兩個(gè)解 ，求其一般解。，求其一般解。)9 , 3, 5( )

6、,1, 1 , 1( 解解 因?yàn)榉匠探M有兩個(gè)解，解不唯一，故其系數(shù)矩因?yàn)榉匠探M有兩個(gè)解，解不唯一，故其系數(shù)矩陣陣 A的秩小于等于的秩小于等于2。 又又A的前兩行線性無(wú)關(guān)，說(shuō)明的前兩行線性無(wú)關(guān)，說(shuō)明 A的秩大于等于的秩大于等于2。由此得。由此得 秩秩(A) = 2。 于是，原方程組于是，原方程組的導(dǎo)出方程組的導(dǎo)出方程組 AX = 0的基礎(chǔ)解系含的基礎(chǔ)解系含 3-2=1個(gè)解。個(gè)解?？扇】扇?10, 4 , 6()9 , 3, 5( )1, 1 , 1(1 X作為導(dǎo)出方程組的基礎(chǔ)解系，取作為導(dǎo)出方程組的基礎(chǔ)解系，取 作為原作為原方程組的特解，則原方程組的一般解為方程組的特解，則原方程組的一般解為)1

7、, 1 , 1(0 X110XkX 思考題思考題 設(shè)設(shè) AX=0是非齊次線性方程組是非齊次線性方程組 AX=b的導(dǎo)出的導(dǎo)出方程組，問方程組，問 （1）AX = 0有非零解有非零解 AX = b有無(wú)窮多解？有無(wú)窮多解？ （2）AX = b有唯一解有唯一解 AX = 0只有零解？只有零解？ 小結(jié)小結(jié)：1. 求線性表出求線性表出2. 判別線性相關(guān)性判別線性相關(guān)性 3. 求向量組的秩與極大無(wú)關(guān)組求向量組的秩與極大無(wú)關(guān)組 4. 求矩陣的秩求矩陣的秩 5. 求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 6. 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 線性方程組解的情況線性方程組解的情況 A

8、X = 0 只有零解只有零解 r(A) = n （此時(shí)基礎(chǔ)解系中含有此時(shí)基礎(chǔ)解系中含有 n r(A) 個(gè)解向量）個(gè)解向量） AX = 0 有非零解有非零解 r(A) n 1. 齊次線性方程組：齊次線性方程組： 2. 非齊次線性方程組：非齊次線性方程組： AX = b 有唯一解有唯一解 r(A) = r(A, b) = n AX = b 有無(wú)窮多解有無(wú)窮多解 r(A) = r(A, b) n AX = b 無(wú)解無(wú)解 r(A) r(A, b)作業(yè)作業(yè) 習(xí)題二習(xí)題二(P112)： 26, 32(1)(3), 33, 40, 41, 44, 46 (32-33,40-41,44-46均可作為練習(xí)均可作為練習(xí))1 12 23 3 3 3, ,1 1. ., , ,A Am mr r A AA A x xb b 設(shè)設(shè)是是矩矩陣陣 且且如如果果非非齊齊次次線線性性方方程程組組的的三三個(gè)個(gè)解解向向量量滿滿足足,32121 ,11032 10113 .的通解的通解求求bAx 思考題思考題 3, ( )1, 3, ( )1,Amr AAmr A解是矩陣解是矩陣思考題解答思考題解答 0312 0312. .A xA x的基礎(chǔ)解系中含有個(gè)線性無(wú)關(guān)的基礎(chǔ)解系中含有個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量的解向量則則令令,133221cba ,21231)(211 bca ,2