2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)3.3函數(shù)的應(yīng)用一學(xué)案新人教B版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE13.3函數(shù)的應(yīng)用（一）(老師獨(dú)具內(nèi)容)課程標(biāo)準(zhǔn)：1.理解函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具.2.在實(shí)際情境中，能夠運(yùn)用已經(jīng)學(xué)過(guò)的函數(shù)學(xué)問(wèn)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)函數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用．教學(xué)重點(diǎn)：用函數(shù)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題．教學(xué)難點(diǎn)：建立函數(shù)關(guān)系.【情境導(dǎo)學(xué)】(老師獨(dú)具內(nèi)容)現(xiàn)實(shí)生活中的很多實(shí)際問(wèn)題可以用函數(shù)關(guān)系來(lái)表示，那么如何用我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的函數(shù)學(xué)問(wèn)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題呢？這就是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容．【學(xué)問(wèn)導(dǎo)學(xué)】學(xué)問(wèn)點(diǎn)解函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的基本步驟第一步，eq\o(□,\s\up3(01))閱讀理解，仔細(xì)審題．其次步，eq\o(□,\s\up3(02))引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型．第三步，eq\o(□,\s\up3(03))利用數(shù)學(xué)的方法將得到的常規(guī)數(shù)學(xué)問(wèn)題(即數(shù)學(xué)模型)予以解答，求得結(jié)果．第四步，eq\o(□,\s\up3(04))轉(zhuǎn)譯成詳細(xì)問(wèn)題作出解答．【新知拓展】常見(jiàn)的函數(shù)(1)一次函數(shù)：其特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值勻速增大或減?。F(xiàn)實(shí)生活中很多事例可以用該函數(shù)來(lái)表示，例如：勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和位移的關(guān)系，彈簧的伸長(zhǎng)量與拉力的關(guān)系等．(2)二次函數(shù)：二次函數(shù)為生活中最常見(jiàn)的一種函數(shù)，因二次函數(shù)可求其最大值(或最小值)，故最優(yōu)、最省等問(wèn)題經(jīng)常是二次函數(shù)問(wèn)題．(3)分段函數(shù)：由于分段函數(shù)在不同的區(qū)間中具有不同的解析式，因此分段函數(shù)在探討條件改變的實(shí)際問(wèn)題，或者在某一特定條件下的實(shí)際問(wèn)題中具有廣泛的應(yīng)用．1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)在用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，得到的數(shù)學(xué)問(wèn)題的解就是實(shí)際問(wèn)題的解．()(2)現(xiàn)實(shí)生活中有很多問(wèn)題都可以用分段函數(shù)來(lái)描述，如出租車計(jì)費(fèi)，個(gè)人所得稅等．()(3)一根蠟燭長(zhǎng)20cm，點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5cm，燃燒時(shí)剩下的高度h(cm)與燃燒時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系可以用一次函數(shù)來(lái)刻畫(huà)．()答案(1)×(2)√(3)√2．做一做(請(qǐng)把正確的答案寫(xiě)在橫線上)(1)某人從A地動(dòng)身，開(kāi)汽車以80千米/小時(shí)的速度經(jīng)2小時(shí)到達(dá)B地，在B地停留2小時(shí)，則汽車離開(kāi)A地的距離y(單位：千米)是時(shí)間t(單位：小時(shí))的函數(shù)，該函數(shù)的解析式是________．(2)有200m長(zhǎng)的籬笆材料，假如利用已有的一面墻(設(shè)長(zhǎng)度夠用)作為一邊，圍成一塊矩形菜地，那么矩形的長(zhǎng)為_(kāi)_______m，寬為_(kāi)_______m時(shí)，這塊菜地的面積最大．答案(1)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(80t，0≤t≤2，,160，2<t≤4))(2)10050題型一一次函數(shù)的應(yīng)用例1一家報(bào)刊推銷員從報(bào)社買進(jìn)報(bào)紙的價(jià)格是每份0.20元，賣出的價(jià)格是每份0.30元，賣不完的還可以以每份0.08元的價(jià)格退回報(bào)社．在一個(gè)月(以30天計(jì)算)內(nèi)有20天每天可賣出400份，其余10天每天只能賣出250份，但每天從報(bào)社買進(jìn)報(bào)紙的份數(shù)都相同，問(wèn)應(yīng)當(dāng)從報(bào)社買進(jìn)多少份報(bào)紙才能使每月所獲得的利潤(rùn)最大，并計(jì)算最大利潤(rùn)是多少．[解]設(shè)每天從報(bào)社買進(jìn)報(bào)紙x份(250≤x≤400)，每月所獲得的利潤(rùn)為y元，列表分析如下：數(shù)量/份價(jià)格/元金額/元買進(jìn)30x0.206x賣出20x＋10×2500.306x＋750退回10(x－250)0.080.8x－200所以y＝[(6x＋750)＋(0.8x－200)]－6x＝0.8x＋550(250≤x≤400)．因?yàn)閥在x∈[250,400]上是增函數(shù)，所以當(dāng)x＝400時(shí)，y取得最大值870，即每天從報(bào)社買進(jìn)400份報(bào)紙時(shí)，才能使每月獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為870元．金版點(diǎn)睛一次函數(shù)應(yīng)用題的解題方法(1)建立一次函數(shù)時(shí)先求出自變量的取值范圍；(2)依據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系建立一次函數(shù)；(3)利用一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)求解、檢驗(yàn)．eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練1])某服裝廠每天生產(chǎn)童裝200套或西服50套，已知每生產(chǎn)一套童裝需成本40元，可獲得利潤(rùn)22元，每生產(chǎn)一套西服需成本150元，可獲得利潤(rùn)80元．由于資金有限，該廠每月成本支出不超過(guò)23萬(wàn)元，為使贏利最大，若按每月30天計(jì)算，應(yīng)支配生產(chǎn)童裝和西服各多少天(天數(shù)為整數(shù))？并求出最大利潤(rùn)．解設(shè)生產(chǎn)童裝的天數(shù)為x，則生產(chǎn)西服的天數(shù)為(30－x)，每月生產(chǎn)童裝和西服的套數(shù)分別為200x和50(30－x)，每月生產(chǎn)童裝和西服的成本分別為40×200x元和150×50×(30－x)元，每月生產(chǎn)童裝和西服的利潤(rùn)分別為22×200x元和80×50×(30－x)元，則總利潤(rùn)為y＝22×200x＋80×50×(30－x)，化簡(jiǎn)得y＝400x＋120000.留意到每月成本不超過(guò)23萬(wàn)元，則40×200x＋150×50×(30－x)≤230000，從而求出x的取值范圍是0≤x≤10，且x為整數(shù)．明顯當(dāng)x＝10時(shí)，贏利最大，最大利潤(rùn)是124000元.題型二二次函數(shù)的應(yīng)用例2某企業(yè)實(shí)行裁員增效，已知現(xiàn)有員工a人，每人每年可創(chuàng)純收益(已扣工資等)1萬(wàn)元，據(jù)評(píng)估，在生產(chǎn)條件不變的狀況下，每裁員一人，則留崗員工每人每年可多創(chuàng)收0.01萬(wàn)元，但每年需付給下崗工人每位0.4萬(wàn)元的生活費(fèi)，并且企業(yè)正常運(yùn)轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得少于現(xiàn)有員工的eq\f(3,4)，設(shè)該企業(yè)裁員x人后，年純收益為y萬(wàn)元．(1)寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出x的取值范圍；(2)當(dāng)140<a≤280時(shí)，該企業(yè)應(yīng)裁員多少人，才能獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益？(注：在保證能取得最大經(jīng)濟(jì)效益的狀況下，能少裁員，應(yīng)盡量少裁員)[解](1)由題意，知y＝(a－x)(1＋0.01x)－0.4x＝－eq\f(1,100)x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,100)－\f(140,100)))x＋a.因?yàn)閍－x≥eq\f(3,4)a，所以x≤eq\f(1,4)a.故x的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(a,4)))上的自然數(shù)．(2)因?yàn)閥＝－eq\f(1,100)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－70))))2＋eq\f(1,100)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－70))2＋a，且140<a≤280，所以當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，x＝eq\f(a,2)－70，y取最大值；當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，x＝eq\f(a－1,2)－70eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(因?yàn)楸M可能少裁員，所以舍去x＝\f(a＋1,2)－70))，y取最大值．所以當(dāng)員工人數(shù)為偶數(shù)時(shí)，該企業(yè)裁員eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－70))人才能獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益；當(dāng)員工人數(shù)為奇數(shù)時(shí)，該企業(yè)裁員eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－1,2)－70))人才能獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益．金版點(diǎn)睛二次函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的解題策略(1)依據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)解析式(即二次函數(shù)關(guān)系式)．(2)利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法求函數(shù)的最值，從而解決實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題．(3)解答二次函數(shù)最值問(wèn)題最好結(jié)合二次函數(shù)的圖像．eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練2])某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y＝eq\f(x2,5)－48x＋8000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸．若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為40萬(wàn)元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？解設(shè)可獲得總利潤(rùn)為R(x)萬(wàn)元，則R(x)＝40x－y＝40x－eq\f(x2,5)＋48x－8000＝－eq\f(x2,5)＋88x－8000＝－eq\f(1,5)(x－220)2＋1680(0≤x≤210)．∵R(x)在[0,210]上是增函數(shù)，∴x＝210時(shí)，R(x)max＝－eq\f(1,5)(210－220)2＋1680＝1660(萬(wàn)元)．∴年產(chǎn)量為210噸時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)1660萬(wàn)元.題型三分段函數(shù)的應(yīng)用例3某旅游點(diǎn)有50輛自行車供游客租賃運(yùn)用，管理這些自行車的費(fèi)用是每日115元．依據(jù)閱歷，若每輛自行車的日租金不超過(guò)6元，則自行車可以全部租出；若超過(guò)6元，則每提高1元，租不出去的自行車就增加3輛．旅游點(diǎn)規(guī)定：每輛自行車的日租金不低于3元并且不超過(guò)20元，每輛自行車的日租金x元只取整數(shù)，用y表示出租全部自行車的日凈收入．(日凈收入即一日中出租的全部自行車的總收入減去管理費(fèi)用后的所得)(1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式；(2)試問(wèn)日凈收入最多時(shí)每輛自行車的日租金應(yīng)定為多少元？日凈收入最多為多少元？[解](1)當(dāng)x≤6時(shí)，y＝50x－115，令50x－115>0，解得x>2.3.又因?yàn)閤∈N，所以3≤x≤6，且x∈N.當(dāng)6<x≤20，且x∈N時(shí)，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115，綜上可知y＝f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(50x－115，3≤x≤6，x∈N，,－3x2＋68x－115，6<x≤20，x∈N.))(2)當(dāng)3≤x≤6，且x∈N時(shí)，因?yàn)閥＝50x－115是增函數(shù)，所以當(dāng)x＝6時(shí)，ymax＝185元．當(dāng)6<x≤20，且x∈N時(shí)，y＝－3x2＋68x－115＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(34,3)))2＋eq\f(811,3)，所以當(dāng)x＝11時(shí)，ymax＝270元．綜上所述，當(dāng)每輛自行車日租金定為11元時(shí)才能使日凈收入最多，為270元．金版點(diǎn)睛分段函數(shù)應(yīng)用題的解法分段函數(shù)主要是每一段自變量改變所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)作幾個(gè)問(wèn)題，將各段的改變規(guī)律分別找出來(lái)，再將其合到一起，要留意各段變量的范圍，特殊是端點(diǎn)值．eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練3])學(xué)校某探討性學(xué)習(xí)小組在對(duì)學(xué)生上課留意力集中狀況的調(diào)查探討中，發(fā)覺(jué)其在40min的一節(jié)課中，留意力指數(shù)y與聽(tīng)課時(shí)間x(單位：min)之間的關(guān)系滿意如圖的圖像，當(dāng)x∈(0,12]時(shí)，圖像是二次函數(shù)圖像的一部分，其中頂點(diǎn)A(10,80)，過(guò)點(diǎn)B(12,78)；當(dāng)x∈[12,40]時(shí)，圖像是線段BC，其中C(40,50)．依據(jù)專家探討，當(dāng)留意力指數(shù)大于62時(shí)，學(xué)習(xí)效果最佳．(1)試求y＝f(x)的函數(shù)關(guān)系式；(2)老師在什么時(shí)段內(nèi)支配核心內(nèi)容，能使得學(xué)生學(xué)習(xí)效果最佳？請(qǐng)說(shuō)明理由．解(1)當(dāng)x∈(0,12]時(shí)，設(shè)f(x)＝a(x－10)2＋80(a≠0)．因?yàn)樵摬糠謭D像過(guò)點(diǎn)B(12,78)，將B點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式，得a＝－eq\f(1,2)，所以f(x)＝－eq\f(1,2)(x－10)2＋80.當(dāng)x∈[12,40]時(shí)，設(shè)f(x)＝kx＋b(k≠0)．因?yàn)榫€段BC過(guò)點(diǎn)B(12,78)，C(40,50)，將它們的坐標(biāo)分別代入上式，得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12k＋b＝78，,40k＋b＝50，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝90，))所以f(x)＝－x＋90.故所求函數(shù)的關(guān)系式為f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x－102＋80，x∈0，12]，,－x＋90，x∈12，40].))(2)由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x≤12，,－\f(1,2)x－102＋80>62))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12<x≤40，,－x＋90>62，))解得4<x≤12或12<x<28，即4<x<28.故老師應(yīng)在x∈(4,28)時(shí)段內(nèi)支配核心內(nèi)容，能使得學(xué)生學(xué)習(xí)效果最佳.題型四利用均值不等式解應(yīng)用題例4為了在夏季降溫柔冬季供暖時(shí)削減能源損耗，房屋的屋頂和外墻須要建立隔熱層．某幢建筑物要建立可運(yùn)用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建立成本為6萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿意關(guān)系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元．設(shè)f(x)為隔熱層建立費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最??？并求最小值．[解](1)由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為C(x)＝eq\f(k,3x＋5)，由C(0)＝8，得k＝40.因此C(x)＝eq\f(40,3x＋5).又因?yàn)榻⒊杀举M(fèi)用為C1(x)＝6x，所以隔熱層建立費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．(2)f(x)＝eq\f(800,3x＋5)＋2×(3x＋5)－10≥2×eq\r(\f(800,3x＋5)×2×3x＋5)－10＝2×40－10＝70.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(800,3x＋5)＝2×(3x＋5)，即x＝5時(shí)，等號(hào)成立．當(dāng)隔熱層修建5cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬(wàn)元．金版點(diǎn)睛在應(yīng)用均值不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，應(yīng)留意的思想和方法(1)先理解題意，設(shè)出變量，一般把要求最值的量定為函數(shù)．(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題．(3)在定義域內(nèi)求出函數(shù)的最大值或最小值．(4)正確寫(xiě)出答案．eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練4])某單位在國(guó)家科研部門的支持下，能夠把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品．已知該單位每月的二氧化碳處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y＝eq\f(1,2)x2－200x＋80000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元．(1)該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？(2)該單位每月能否獲利？假如獲利，求出最大利潤(rùn)；假如不獲利，則須要國(guó)家至少補(bǔ)貼多少元才能使該單位不虧損？解(1)由題意可知，二氧化碳每噸的平均處理成本為eq\f(y,x)＝eq\f(1,2)x＋eq\f(80000,x)－200≥2eq\r(\f(1,2)x·\f(80000,x))－200＝200，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,2)x＝eq\f(80000,x)，即x＝400時(shí)等號(hào)成立，故該單位月處理量為400噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低，最低成本為每噸200元．(2)不獲利．設(shè)該單位每月獲利為S元，則S＝100x－y＝100x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－200x＋80000))＝－eq\f(1,2)x2＋300x－80000＝－eq\f(1,2)(x－300)2－35000，因?yàn)閤∈[400,600]，所以S∈[－80000，－40000]．故該單位每月不獲利，須要國(guó)家每月至少補(bǔ)貼40000元才能不虧損．1．某公司市場(chǎng)營(yíng)銷人員的個(gè)人月收入與其每月的銷售量成一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示，由圖中給出的信息可知，營(yíng)銷人員沒(méi)有銷售量時(shí)的收入是()A．310元 B．300元C．390元 D．280元答案B解析由圖像知，該一次函數(shù)的圖像過(guò)(1,800)，(2,1300)，可求得解析式y(tǒng)＝500x＋300(x≥0)，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝300.2．某公司聘請(qǐng)員工，面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計(jì)算，計(jì)算公式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x1≤x＜10，x∈N＋，,2x＋1010≤x＜100，x∈N＋，,1.5xx≥100，x∈N＋，))其中x代表擬錄用人數(shù)，y代表面試人數(shù)．若面試人數(shù)為60，則該公司擬錄用人數(shù)為()A．15 B．40C．25 D．130答案C解析令y＝60，若4x＝60，則x＝15＞10，不符合題意；若2x＋10＝60，則x＝25，滿意題意；若1.5x＝60，則x＝40＜100，不符合題意．故該公司擬錄用25人．3．生產(chǎn)肯定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬(wàn)件時(shí)的生產(chǎn)成本為C(x)＝eq\f(1,2)x2＋