第25講Z變換及脈沖傳遞函數(shù)

1、1u掌握掌握Z Z變換性質(zhì)、變換性質(zhì)、Z Z反變換。反變換。u掌握線性差分方程及其求解。掌握線性差分方程及其求解。u掌握脈沖傳遞函數(shù)。掌握脈沖傳遞函數(shù)。 本次課學(xué)習(xí)要求：本次課學(xué)習(xí)要求：2p(1) (1) 線性性質(zhì)線性性質(zhì): :滿足齊次性和疊加性。滿足齊次性和疊加性。3. Z3. Z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì)( (定理）定理）),()(*11tfZzF若：)()(*22tfZzF)()(*22*11tfatfaZ則)()(2211zFazFa3u連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)f(tf(t) )當(dāng)當(dāng)t0t0時為零，且具有時為零，且具有Z Z變變換為換為F(zF(z) )，則對于延遲，則對于延遲i i個采樣周期的函個

2、采樣周期的函數(shù)數(shù)f(t-iTf(t-iT) )，其，其Z Z變換為變換為p（2 2）延遲定理）延遲定理)()(zFziTtfZi4：nkziT)f(kTiT)f(tZ0 immif(mT)zziT)Zf(t 0mmif(mT)zziT)Zf(t)()(zFziTtfZi 0k)k(z T)k(i-iifz5)f(zF(z)f(f(mT)zzf(mT)zzT)Zf(tmmmm0001 (kT)zfF(z)z f(T)z)f(f(mT)zzf(mT)zzT)Zf(tkkmmmm 1020122202(3) (3) 超前定理超前定理 0101n)(kkk)Tzf(kzT)zf(kTT)Zf(t 10

3、)()()(ikkiizkTfzzFziTtfZ 10)()()(ikkiizkTfzzFziTtfZ6(4) (4) 復(fù)位移定理復(fù)位移定理)()(aTatzeFtfeZ )()(zFtfZ令：kkakTatzkTfetfeZ )()(0kaTkzekTf )(0則：則：)(aTzeF 7例例 試用復(fù)數(shù)位移定理計算函數(shù)試用復(fù)數(shù)位移定理計算函數(shù) 的的z變換。變換。aTte ttf )(令令2)1()() aTataTaTzeTzezeFteZ（解：解：2)1()( zTztfZ則則根據(jù)復(fù)數(shù)位移定理根據(jù)復(fù)數(shù)位移定理8若極限存在)(limzFz210)2()()0()()(zTfzTffzkTfzF

4、kk)()(zFtfZ令（5 5）初值定理）初值定理則函數(shù)的初值則函數(shù)的初值)(lim)(lim)0(0zFtffzt)(lim)0()(lim0tffzFtz證明：證明：對上式兩邊取對上式兩邊取 的極限的極限則有：則有：z9(6) (6) 終值定理終值定理)()1(lim)()1(lim(lim)(lim111zFzzFzkTftfzzkt ）)()(zFtfZ令 0)()()(kkzkTfzFtfZ)0()()()(0zfzzFzTkTfTtfZkk 證明：證明：兩式相減兩式相減10 00)()()()0()(kkkkzkTfzTkTfzFzfzzF 0)()(kkzkTfTkTfkzTf

5、TffTf .)()2()0()(kzff )0()(兩邊取兩邊取 的極限的極限1z)()1(lim)()1()(111limzFzzFzfzz 11例1：求 對應(yīng)的f(t)初值和終值aTezzzF )(0) 1(lim)(lim)(1lim)(lim)(lim)0(10aTztaTzztezzztffezzzFtff12(7) (7) 卷積和定理卷積和定理0*)()()(*)()(kTkngkTetgtetc設(shè)：設(shè)： )()()(zGzEzC 則：則： 積分和設(shè)有兩個函數(shù)),()(21tftfdtfftf)()()(21的卷積分，記為和稱為)()(21tftf)(*)()(21tftftf1

6、34.Z4.Z反變換反變換定義：由定義：由Z Z域函數(shù)求時間域函數(shù)的過程域函數(shù)求時間域函數(shù)的過程, ,僅能僅能求出采樣函數(shù)脈沖序列的表達(dá)式求出采樣函數(shù)脈沖序列的表達(dá)式, ,即即)()()(*1tftfzFZ14(1) (1) 冪級數(shù)展開法冪級數(shù)展開法p 用長除法把用長除法把 按降冪展成冪級數(shù)，然后求按降冪展成冪級數(shù)，然后求得得 ，即，即將將 展成展成 p對應(yīng)原函數(shù)為對應(yīng)原函數(shù)為 ( )F z()f kT101101( ),mmmnnnb zb zbF znma za za( )F z012012( )F zc zc zc z TtcTtctckTf221015解：解：)2)(1(10)(zzz

7、zF21231110zzz5321150703010zzzz321203010zzz432326090302030zzzzz54343140210706070zzzzz54140150zzp對應(yīng)原函數(shù)為對應(yīng)原函數(shù)為 )3(7023010TtTtTtkTf 16(2) (2) 部分分式法部分分式法p 把把 分解為部分分式，再通過查表求出分解為部分分式，再通過查表求出原離散序列原離散序列。p 因?yàn)橐驗(yàn)閆 Z變換表中變換表中 的分子常有因子的分子常有因子 ，所以通，所以通常將常將 展成展成 的形式，即的形式，即 ( )F z( )F zz( )F z1( )( )F zzF z12112( )( )

8、iiAAAF zzF zzzzzzzz1( )()iiiz zAF z zz其中其中17解：解：)2)(1(10)(zzzzF)(kTf210110)( zzzzzF, 3 , 2 , 1 , 0),21(10)()(1 kzFZkTfk18(3) (3) 反演積分法（留數(shù)法）反演積分法（留數(shù)法）p在反演積分法中，離散序列在反演積分法中，離散序列 等于等于 各個極點(diǎn)上留數(shù)之和，即各個極點(diǎn)上留數(shù)之和，即()f kT1( )kF z z11()( )inkzzif kTres F z z表示表示 的第的第 i i 個極點(diǎn)。個極點(diǎn)。 ( )F ziz19p重極點(diǎn)的情況：設(shè)重極點(diǎn)的情況：設(shè) 有有n n

9、階重極點(diǎn)階重極點(diǎn) ，則，則11 ( )() ( )limiikkzzizzres F z zzz F z z1111()( )1 ( )(1)!limiinnkkizznzzdzzF z zres F z zndzp單極點(diǎn)的情況：單極點(diǎn)的情況：( )F ziz20例例3：( )F z解：解： 有兩個極點(diǎn)：有兩個極點(diǎn)：z=1和和z=0.5,分別求出其留數(shù)分別求出其留數(shù)用留數(shù)法求用留數(shù)法求 的反變換。的反變換。2)1()5 . 0)(1(, 1112 zkzzzzzreszkkkTf5 . 02)5 . 0(2)( 所以所以)5 . 0)(1()(2 zzzzFkzkzzzzzresz5 . 0)

10、5 . 0()5 . 0)(1(, 5 . 05 . 012 21 1312zzzzE 25 . 01zzzzE 作業(yè)：試求下列函數(shù)E（z）的脈沖序列e*（t）（2） （1） 221.1.差分方程的定義差分方程的定義 )2()1()()2()1()(21021kxbkxbkxbkxakxakxrrrccc對于一般的線性定常離散系統(tǒng)，對于一般的線性定常離散系統(tǒng)，k k時刻的輸出時刻的輸出x xc c(k(k) )不但不但與與k k時刻的輸入時刻的輸入x xr r(k(k) )有關(guān)，而且還與有關(guān)，而且還與k k時刻以前的輸入時刻以前的輸入x xr r(k-1)(k-1)，x xr r(k-2)(k

11、-2)，有關(guān)，同時還與有關(guān)，同時還與k k時刻以前的輸出時刻以前的輸出x xc c(k-1)(k-1)，x xc c(k-2)(k-2)，有關(guān)，這種關(guān)系可用有關(guān)，這種關(guān)系可用n n階向后差分階向后差分方程來描述：方程來描述：232.2.差分方程的解法差分方程的解法（1 1） 迭代法迭代法若已知差分方程，并且給定輸出序列的初值，則可以若已知差分方程，并且給定輸出序列的初值，則可以利用利用遞推關(guān)系遞推關(guān)系，逐步地，逐步地算出輸出序列算出輸出序列。 首先要對差分方程兩端取首先要對差分方程兩端取Z Z變換，并利用變換，并利用Z Z變換的變換的位移定理，得到以位移定理，得到以z z為變量的代數(shù)方程，然后

12、對代為變量的代數(shù)方程，然后對代數(shù)方程的解數(shù)方程的解 取取Z Z反變換，求得輸出序列反變換，求得輸出序列)(zXc)(kTxc（2 2）Z Z變換法變換法24初始條件：初始條件：x xc c(0)=0, x(0)=0, xc c(1)=1(1)=1 0)(2) 1(3) 2(kxkxkxccc10)()()(ikkiizkTfzzFziTtfZ例例 1 1 求解求解251. 1. 脈沖傳遞函數(shù)的定義脈沖傳遞函數(shù)的定義在初始條件為零的采樣和數(shù)字系統(tǒng)中，環(huán)節(jié)或系在初始條件為零的采樣和數(shù)字系統(tǒng)中，環(huán)節(jié)或系統(tǒng)輸出脈沖序列的統(tǒng)輸出脈沖序列的Z Z變換與輸入脈沖序列的變換與輸入脈沖序列的Z Z變換之變換之比

13、，稱為該環(huán)節(jié)或系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。記比，稱為該環(huán)節(jié)或系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。記( )( )( )( )( )ccrrXzx kZW zXzx kZ輸出脈沖序列的 變換輸入脈沖序列的 變換26W(s)(txr)(*txr)(txc)(txc)(zW)()()(sWsXsXrc p離散化)()()(sWsXsXrcpZ Z變換變換)()()(zWzXzXrc)()()(zXzXzWrc27 (1) (1) 串聯(lián)各環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)的情況串聯(lián)各環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)的情況2.2.開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù))()()(12zXzWzXcc)()()()()(21zWzWzXzXzWrcu 兩個串

14、聯(lián)環(huán)節(jié)間兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)有采樣開關(guān)時，其脈沖傳遞函數(shù)等時，其脈沖傳遞函數(shù)等于這于這兩個環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)的乘積兩個環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)的乘積。)()()(12zXzWzWr28(2) (2) 串聯(lián)各環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)的情況串聯(lián)各環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)的情況12( )( )( )( )( )crXzW zZ W s W sXz)()()()(21sWsWsXsXrc)()()()(21sWsWZzXzXrcu兩個相串聯(lián)環(huán)節(jié)間兩個相串聯(lián)環(huán)節(jié)間無采樣開關(guān)無采樣開關(guān)時，脈沖傳遞函數(shù)等于這時，脈沖傳遞函數(shù)等于這兩個環(huán)節(jié)兩個環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘積的傳遞函數(shù)乘積的Z Z變換變換。29例例1：開環(huán)離散系統(tǒng)如圖，試

15、求開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)：開環(huán)離散系統(tǒng)如圖，試求開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) zGTezzsZ2222 TezzsZ5555 TTezezzsZsZ522105522 zG解解: (a) TTTTezezeezssZzG52523105522(b)30（3 3）并聯(lián)環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)）并聯(lián)環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù))(1sW)(2sW)(txr)(2txr)(txc)(1txr)()()()()(21zWzXzWzXzXrrc)()()()()(21zWzWzXzXzWrcu 并聯(lián)環(huán)節(jié)之間并聯(lián)環(huán)節(jié)之間均有采樣開關(guān)均有采樣開關(guān)，則總的脈沖傳遞函數(shù)等，則總的脈沖傳遞函數(shù)等于各并聯(lián)環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)的代數(shù)和。于各并聯(lián)環(huán)節(jié)脈沖傳遞函

16、數(shù)的代數(shù)和。31 11( )( )( )1( )cBrWzXzWzXzW H z（1 1）具有負(fù)反饋的線性離散系統(tǒng)）具有負(fù)反饋的線性離散系統(tǒng) 4. 4. 閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)32( )( )( )( )( )1( )( )CBrXzD z W zWzXzD z WH z（2 2）具有數(shù)字校正裝置的閉環(huán)離散系統(tǒng)）具有數(shù)字校正裝置的閉環(huán)離散系統(tǒng) 33（3 3）具有有擾動信號輸入的閉環(huán)離散系統(tǒng)）具有有擾動信號輸入的閉環(huán)離散系統(tǒng) )(2sW)(txr)(txc)(sE)(sE)(1sW)(sN0)(txr令0)(sN令)(1)()(212zWWzNWzXc)(1)()()()(2121zWWzWWzXzXzWrcBp 不能得出對擾動的脈