連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的課件

1、1第九節(jié)第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性的連續(xù)性教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容 1 四則運算的連續(xù)性四則運算的連續(xù)性 2 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 3 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性教學(xué)重點教學(xué)重點 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性本節(jié)要求本節(jié)要求 了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性第一章 第九節(jié)2一、四則運算的連續(xù)性一、四則運算的連續(xù)性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000處處也也連連續(xù)續(xù)在在點點則則處處連連續(xù)續(xù)在在點點若若函函數(shù)數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例

2、如,),(cos,sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xx.csc,sec,cot,tan在在其其定定義義域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)故故xxxx第一章 第九節(jié)3二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性例如例如,2,2sin上單調(diào)增加且連續(xù)上單調(diào)增加且連續(xù)在在 xy. 1 , 1arcsin上也是單調(diào)增加且連續(xù)上也是單調(diào)增加且連續(xù)在在故故 xy;1 , 1arccos上上單單調(diào)調(diào)減減少少且且連連續(xù)續(xù)在在同同理理 xy.,cot,arctan上上單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù)在在 xarcyxy反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù)反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù). 1,2 yxxyf xIxfyIy yf x xI如果函數(shù)在

3、區(qū)間 上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）且連定理續(xù)，則它的反函數(shù)也在對應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）且連續(xù)。第一章 第九節(jié)4證證,0, 0, 00時時使使當(dāng)當(dāng)對對于于 xx 00000003 .lim,limlimf gxxxxuuyfg xug xyf uU xDg xuyf uuufg xf uf u定理 設(shè)函數(shù)由函數(shù)與函數(shù)復(fù)合而成，若而函數(shù)在連續(xù)，則 0( ),f uuu在點連續(xù)000,0,( )().uuf uf u使當(dāng)時恒有成立00lim ( ),xxg xu又第一章 第九節(jié)5將上兩步合起來將上兩步合起來:,0, 0, 00時時使使當(dāng)當(dāng) xx.成立成立 00( ).g xuu u恒有成立00

4、( )( ) ( )( )f uf uf g xf u0lim( ).xxfg x00lim ( )()xxf g xf u第一章 第九節(jié)6意義意義1.極限符號可以與函數(shù)符號互換極限符號可以與函數(shù)符號互換;2.( )ug x變量代換的理論依據(jù).)(,)(,)(,)(00000也也連連續(xù)續(xù)在在點點則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)在在點點而而函函數(shù)數(shù)且且連連續(xù)續(xù)在在點點設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理4 4注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情況的特殊情況.第一章 第九節(jié)7三、初等函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的

5、定義域內(nèi)是連續(xù)的連續(xù)的.)1, 0( aaayx指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);),(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在)1, 0(log aaxya對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);), 0(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在定理定理5 5 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的. .第一章 第九節(jié)8 xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 ,不不同同值值討討論論 (均在其定義域內(nèi)連續(xù)均在其定義域內(nèi)連續(xù) )定理定理6 6 一切初等函數(shù)在其一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間內(nèi)都是連內(nèi)都是連續(xù)的續(xù)的. .定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間. .第一章

6、 第九節(jié)91. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), 在在其定義域內(nèi)不一定連續(xù)其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xD這些孤立點的鄰域內(nèi)沒有定義這些孤立點的鄰域內(nèi)沒有定義.,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0點的鄰域內(nèi)沒有定義點的鄰域內(nèi)沒有定義.), 1上連續(xù)上連續(xù)函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間注意注意注意注意2. 初等函數(shù)求極限的方法初等函數(shù)求極限的方法代入法代入法.第一章 第九節(jié)10四 連續(xù)在極限運算中的應(yīng)用 00000003 .lim,limlimf gxxxxuuyfg xug xyf uU xDg xuyf uuufg xf

7、uf u定理 設(shè)函數(shù)由函數(shù)與函數(shù)復(fù)合而成，若而函數(shù)在連續(xù)，則 將結(jié)論的形式改變則有：0lim ( ).xxfg x0lim ( )xxf g x這一公式給計算極限帶來方便。這一公式給計算極限帶來方便。理論依據(jù)：理論依據(jù)：第一章 第九節(jié)1110log11 lim 01lnxaxaaxa試證且01 2 limln 01xxaaaax且011 3 lim xxx為實數(shù)1例題第一章 第九節(jié)12 0,1v xu xu xu x 一般地，對于形如的函數(shù)常稱為冪指函數(shù)。 lim0,lim,lim.v xbu xav xbu xa若則 ln000limln limlimv xu xxxv xv xu xxxx

8、xu xee 001 ,0 ,000v xu x若呈現(xiàn)為在求這一類冪指函數(shù)極限時的基本思路是通過對數(shù)恒等變換，將其變?yōu)?，進(jìn)而化為 或者來求解，即：第一章 第九節(jié)13 lim1,lim,xaxau xv x 特別地，則:lim1 limxauxv xv xxauxe例題例題11 200101)lim 1 3;2)lim3)lim , ,03xxxxxxxxxxxxxeabca b c第一章 第九節(jié)143012 cos4) lim1 3xxxx考研題2 cosln3301limxxxex原式202cosln3lim xxx20cos -1ln 13limxxx20cos-13limxxx2201132limxxx解：解：第一章 第九節(jié)15 1 13134 13 AxBxf xxxxxA B 設(shè)在點連續(xù)，試確定例，題。 32 0sin 1ln 1sin 014xxxxf xxxx求函數(shù)的間斷點，并例題指出類型。第一章 第九節(jié)16五五 小結(jié)小結(jié)連續(xù)函數(shù)