《線性代數(shù)(Ⅲ)》教學(xué)大綱

1、線性代數(shù)（）課程教學(xué)大綱一、基本信息中文名稱：線性代數(shù)（）英文名稱：Linear Algebra （）開(kāi)課學(xué)院：理學(xué)院課程編碼：2512531025屬 性：理論學(xué) 分：2.5總學(xué)時(shí)：40實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)：0上機(jī)學(xué)時(shí)：0適用專業(yè)：對(duì)線性代數(shù)知識(shí)要求一般的專業(yè)先修課程：2512111045，2512211045，2512311045高等數(shù)學(xué)（-1），或者高等數(shù)學(xué)（-1)，或者高等數(shù)學(xué)(-1)大綱執(zhí)筆：大學(xué)數(shù)學(xué)教研室 涂道興大綱審批：理學(xué)院學(xué)術(shù)委員會(huì)教學(xué)院長(zhǎng)：陳普春 制定(修訂)時(shí)間：2013年3月二、目的與任務(wù)及能力培養(yǎng)線性代數(shù)（）是高等數(shù)學(xué)的后繼課程，它是高等院校非數(shù)學(xué)專業(yè)必修的一門重要基礎(chǔ)課，主要講授

2、矩陣與行列式、向量、線性方程組、方陣相似對(duì)角化等內(nèi)容。線性代數(shù)是從解線性方程組和討論二次方程的圖形等問(wèn)題而發(fā)展起來(lái)的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，該課程介紹代數(shù)學(xué)中線性關(guān)系的經(jīng)典理論，它的基本概念、理論和方法具有較強(qiáng)的邏輯性、抽象性。因?yàn)榫€性問(wèn)題廣泛存在于科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域，而某些非線性問(wèn)題在一定條件下，可以轉(zhuǎn)化為線性問(wèn)題，所以高等代數(shù)的理論和方法不僅深透到其它數(shù)學(xué)分支，而且也廣泛地應(yīng)用到物理、力學(xué)、計(jì)算技術(shù)、編碼等科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，本課程所介紹的理論和方法也具有廣泛的實(shí)用性。尤其在計(jì)算機(jī)日益普及的今天，該課程的地位與作用更顯得重要。線性代數(shù)（）課程的教學(xué)不僅關(guān)系到學(xué)生在整個(gè)大學(xué)期間甚至研究生期間的學(xué)習(xí)質(zhì)量，而

3、且還關(guān)系到學(xué)生的思維品質(zhì)、思辨能力、創(chuàng)造潛能等科學(xué)和文化素養(yǎng)，它既是科學(xué)的基礎(chǔ)教育，又是文化的基礎(chǔ)教育，是素質(zhì)教育的一個(gè)重要的方面。開(kāi)設(shè)本課程的目的是不僅使學(xué)生系統(tǒng)地獲得矩陣與行列式、向量、線性方程組、方陣相似對(duì)角化的基本概念、基本理論、基本運(yùn)算和分析方法，在數(shù)學(xué)的邏輯性、嚴(yán)密性與抽象性等方面受到必要的訓(xùn)練和熏陶，為學(xué)生學(xué)習(xí)后繼數(shù)學(xué)課程、其它基礎(chǔ)課程和專業(yè)課程提供必要的基礎(chǔ)知識(shí)和思想方法，而且逐步培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)方法去思考問(wèn)題的意識(shí)和興趣，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題、建立數(shù)學(xué)模型，以及利用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，而且培養(yǎng)學(xué)生較強(qiáng)的自學(xué)能力、運(yùn)算能力、邏輯推理能力、歸納判斷能力

4、和抽象思維能力，為學(xué)生將來(lái)進(jìn)行科學(xué)研究奠定良好的基礎(chǔ)。三、基本要求本課程的教學(xué)要重視線性代數(shù)產(chǎn)生的歷史背景知識(shí)介紹，加強(qiáng)線性代數(shù)發(fā)展史中突出事件的介紹；要注重基本概念和定理的幾何背景和實(shí)際應(yīng)用背景的介紹，要充分展示基本概念的形成過(guò)程，每個(gè)概念的引入應(yīng)遵循實(shí)例抽象概念的形成過(guò)程，多角度說(shuō)明有關(guān)概念的實(shí)質(zhì)；要加強(qiáng)對(duì)基本數(shù)學(xué)方法的介紹，傳授一些數(shù)學(xué)科學(xué)的基本學(xué)習(xí)方法和研究方法，強(qiáng)調(diào)在解決實(shí)際問(wèn)題中有重要應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法，揭示重要數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)；要結(jié)合節(jié)次教學(xué)內(nèi)容，增加具有啟發(fā)性和討論性的內(nèi)容，加強(qiáng)應(yīng)用實(shí)例的介紹，特別是一些來(lái)自實(shí)際的真實(shí)問(wèn)題的解決方法的介紹，對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容的應(yīng)用問(wèn)題進(jìn)行更新和充實(shí)，

5、增加一些經(jīng)濟(jì)管理和石油工業(yè)等方面的數(shù)學(xué)問(wèn)題，擴(kuò)大信息量，靈活采用探究式、啟發(fā)式和討論式等教學(xué)方法，以及靈活利用數(shù)學(xué)軟件，采用多媒體教學(xué)手段進(jìn)行教學(xué)，做到抽象內(nèi)容與具體例題相結(jié)合，教師提問(wèn)與學(xué)生回答相結(jié)合，教師授課與學(xué)生練習(xí)相結(jié)合，要掌握好例題的難易程度，對(duì)例題要有分析、解答和歸納總結(jié)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動(dòng)性和創(chuàng)造性，活躍課堂氣氛；要突出一元函數(shù)微積分的基本思想，重視數(shù)學(xué)建模思想、方法的滲透；要適當(dāng)滲透一些現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想，引入一些現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、概念、方法和術(shù)語(yǔ)等，為學(xué)生進(jìn)一步接觸現(xiàn)代數(shù)學(xué)奠定了一定基礎(chǔ)。本課程的教學(xué)基本要求是充分理解線性代數(shù)的背景思想及數(shù)學(xué)思想；掌握線性代數(shù)的基本概念和基礎(chǔ)理

6、論，并具備一定的分析論證能力和較強(qiáng)的運(yùn)算能力；具有應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)和興趣；能較熟練地應(yīng)用線性代數(shù)的知識(shí)和思想方法解決實(shí)際問(wèn)題；培養(yǎng)學(xué)生的閱讀教材的能力、計(jì)算能力、判斷正誤的能力、邏輯推理能力、抽象思維能力和創(chuàng)造思維能力；著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)新思維能力以及綜合素質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)新思維能力的提高。四、教學(xué)內(nèi)容、要求及學(xué)時(shí)分配（一）理論教學(xué)(40學(xué)時(shí))第一章 矩陣與行列式（14學(xué)時(shí)）目的與要求：學(xué)習(xí)本章的目的是使學(xué)生理解矩陣和行列式等概念，能熟練進(jìn)行矩陣的運(yùn)算和行列式的計(jì)算，為學(xué)習(xí)后面各章知識(shí)奠定基礎(chǔ)。本章知識(shí)的基本要求是：（1）理解矩陣、單位矩陣、數(shù)量矩陣、對(duì)

7、角矩陣、三角矩陣、對(duì)稱矩陣、反對(duì)稱矩陣、方陣的冪及矩陣的轉(zhuǎn)置等概念，熟練掌握矩陣的線性運(yùn)算、乘法運(yùn)算、轉(zhuǎn)置及其運(yùn)算規(guī)律。（2）理解分塊矩陣、準(zhǔn)對(duì)角矩陣、初等變換和初等矩陣的概念，熟練掌握分塊矩陣的運(yùn)算。（3）理解初等變換與初等矩陣的概念及基本作用，了解矩陣等價(jià)的概念及性質(zhì)，能用矩陣的初等變換化矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形。（4）理解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)，能熟練運(yùn)用行列式的性質(zhì)和行列式按行(列)展開(kāi)定理計(jì)算低階行列式的值，以及計(jì)算較簡(jiǎn)單的n階行列式的值。（5）理解矩陣的子式、矩陣的秩的定義，熟練掌握矩陣的秩的性質(zhì)，能求矩陣的秩。（6）理解滿秩矩陣的概念，掌握滿秩矩陣的性質(zhì)。（7）掌握兩個(gè)方陣與其乘積的

8、秩的關(guān)系式，能熟練運(yùn)用方陣乘積的行列式的公式。（8）理解可逆矩陣的概念，掌握可逆矩陣的性質(zhì)，掌握矩陣可逆的充分必要條件。（9）理解伴隨矩陣的概念，掌握伴隨矩陣的性質(zhì)，會(huì)用伴隨矩陣法求可逆矩陣的逆矩陣，能熟練運(yùn)用矩陣的初等變換求可逆矩陣的逆矩陣，能解矩陣方程。第一節(jié) 矩陣及其運(yùn)算（3學(xué)時(shí)）1.1 矩陣的概念介紹矩陣、單位矩陣、數(shù)量矩陣、對(duì)角矩陣、三角矩陣等概念（15分鐘）。1.2 矩陣的運(yùn)算介紹矩陣的線性運(yùn)算及其規(guī)律，并介紹有關(guān)例題（30分鐘）；介紹矩陣的乘法運(yùn)算及其運(yùn)算規(guī)律，并介紹有關(guān)例題（45分鐘）；介紹矩陣的方冪和矩陣的轉(zhuǎn)置，并介紹有關(guān)例題（45分鐘）。重點(diǎn)：矩陣的線性運(yùn)算、矩陣的乘法運(yùn)算

9、和矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算。難點(diǎn)：矩陣的乘法運(yùn)算。第二節(jié) 分塊矩陣與矩陣的初等變換（2學(xué)時(shí)）1.1 分塊矩陣及其運(yùn)算介紹分塊矩陣及其運(yùn)算，并介紹有關(guān)例題（45分鐘）。1.2 矩陣的初等變換介紹矩陣的初等變換，并介紹有關(guān)例題（45分鐘）。重點(diǎn)：分塊矩陣及其運(yùn)算規(guī)律，初等變換與初等矩陣的概念及基本作用，用矩陣的初等變換化矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形。難點(diǎn)：對(duì)矩陣進(jìn)行恰當(dāng)分塊處理矩陣問(wèn)題。第三節(jié) 行列式（3學(xué)時(shí)）1.1 n階行列式的歸納定義介紹n階行列式的定義，并介紹有關(guān)例題（30分鐘）。1.2 行列式的性質(zhì)介紹行列式的性質(zhì)（15分鐘）。1.3 行列式的計(jì)算介紹行列式的計(jì)算方法，并介紹有關(guān)例題（90分鐘）。重點(diǎn)：行列式的性質(zhì)

10、和計(jì)算。難點(diǎn)：行列式性質(zhì)的證明和計(jì)算n階行列式的值。第四節(jié) 矩陣的秩（2學(xué)時(shí)）1.1 矩陣的秩的定義介紹矩陣的秩的定義，并介紹有關(guān)例題（20分鐘）。1.2 矩陣的秩的性質(zhì)介紹矩陣的秩的性質(zhì)，并介紹有關(guān)例題（25分鐘）。1.3 矩陣的積的秩及其行列式介紹矩陣的積的秩及其行列式，并介紹有關(guān)例題（45分鐘）。重點(diǎn)：矩陣的秩及其性質(zhì)，求矩陣的秩，滿秩矩陣及其性質(zhì)，矩陣的積的秩及其行列式。難點(diǎn)：用定義求矩陣的秩。第五節(jié) 可逆矩陣（4學(xué)時(shí)）1.1 可逆矩陣的定義介紹可逆矩陣的定義，并介紹有關(guān)例題（30分鐘）。1.2 可逆矩陣的性質(zhì)介紹可逆矩陣的性質(zhì)（15分鐘）。1.3 矩陣可逆的條件介紹矩陣可逆的充分必要

11、條件，并介紹有關(guān)例題（45分鐘）。1.4 可逆矩陣的逆矩陣的求法介紹伴隨矩陣的定義與性質(zhì)，介紹求可逆矩陣的逆矩陣的初等變換法，并介紹有關(guān)例題（90分鐘）。重點(diǎn)：可逆矩陣的概念，可逆矩陣的性質(zhì)，矩陣可逆的充分必要條件，伴隨矩陣的定義與性質(zhì)，求可逆矩陣的逆矩陣。難點(diǎn)：伴隨矩陣法求可逆矩陣的逆矩陣，用定義證明抽象矩陣是可逆矩陣。第二章 向量（10學(xué)時(shí)）目的與要求：學(xué)習(xí)本章的目的是使學(xué)生理解向量等概念，能熟練進(jìn)行向量的線性運(yùn)算，并能以矩陣為工具研究向量，為學(xué)習(xí)后面各章知識(shí)奠定基礎(chǔ)。本章知識(shí)的基本要求是：（1）理解n維向量的概念，熟練掌握n維向量的線性運(yùn)算及其運(yùn)算規(guī)律。（2）理解向量組的線性組合的概念，

12、能將向量表示成向量組的線性組合。（3）理解向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的定義，熟練掌握向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的判別法，掌握向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的有關(guān)重要結(jié)論。（4）理解向量組等價(jià)、向量組的極大線性無(wú)關(guān)組和向量組秩的概念，理解向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系。（5）會(huì)求向量組的秩和向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并能用向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組線性表出該向量組中的其它向量。第一節(jié) 向量及其線性運(yùn)算（1學(xué)時(shí)）介紹n維向量的概念（15分鐘）；介紹向量的線性運(yùn)算及其運(yùn)算規(guī)律，并介紹有關(guān)例題（30分鐘）。重點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算及其運(yùn)算規(guī)律。難點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算及其運(yùn)算規(guī)律。第二節(jié) 向量組的線性相關(guān)性（4學(xué)時(shí)）1.

13、1 線性組合介紹線性組合，并介紹有關(guān)例題（45分鐘）。1.2 線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)介紹向量組線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的定義，并介紹有關(guān)例題（45分鐘）；介紹向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的判別法（45分鐘）；介紹向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的有關(guān)重要結(jié)論（45分鐘）。重點(diǎn)：向量組的線性組合的概念，將向量表示成向量組的線性組合，向量組線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的定義，向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的判別法，向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的有關(guān)重要結(jié)論。難點(diǎn)：向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的有關(guān)重要結(jié)論。第三節(jié) 向量組的秩（3學(xué)時(shí)）1.1 向量組等價(jià)介紹向量組等價(jià)，并介紹有關(guān)性質(zhì)和定理（25分鐘）。1.2 極大線性無(wú)關(guān)組介紹向量組的極大線性

14、無(wú)關(guān)組的定義，并介紹向量組的極大線性無(wú)關(guān)組的有關(guān)性質(zhì)和定理（20分鐘）。1.3 向量組的秩介紹向量組的秩，介紹向量組的秩的有關(guān)性質(zhì)和定理，并介紹有關(guān)例題（90分鐘）。重點(diǎn)：向量組等價(jià)、向量組的極大線性無(wú)關(guān)組和向量組秩的概念，向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系，求向量組的秩和一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并用向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組線性表出該向量組中的其它向量。難點(diǎn)：證明兩個(gè)向量組等價(jià)。第四節(jié) 習(xí)題課（2學(xué)時(shí)）小結(jié)第一章和第二章內(nèi)容，進(jìn)一步明確第一章和第二章教學(xué)基本要求，強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)內(nèi)容（15分鐘）；講解典型例題和作業(yè)中存在的問(wèn)題（75分鐘）。重點(diǎn)：教學(xué)基本要求，綜合題和難題。難點(diǎn)：綜合題和難題。第三章 線性方程組（

15、6學(xué)時(shí)）目的與要求：學(xué)習(xí)本章的目的是使學(xué)生理解線性方程組等概念，以矩陣和向量為工具研究線性方程組，掌握線性方程組解的有關(guān)理論，能用初等變換法解線性方程組，為學(xué)習(xí)后面知識(shí)奠定基礎(chǔ)。本章知識(shí)的基本要求是：（1）理解線性方程組的基本概念，掌握克拉默（Cramer）法則，會(huì)用克拉默法則解線性方程組。（2）熟練掌握線性方程組解的判定定理，能用初等變換法解線性方程組。（3）理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及通解等概念，掌握齊次線性方程組解的性質(zhì)，能熟練解齊次線性方程組。（4）掌握非齊次線性方程組解的性質(zhì)，理解非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)。（5）掌握非齊次線性方程組的性質(zhì)，理解非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)，能熟練解

16、非齊次線性方程組。第一節(jié) 線性方程組解的判定定理（2學(xué)時(shí)）1.1 線性方程組的基本概念介紹線性方程組的有關(guān)概念（15分鐘）。1.2 克拉默法則介紹克拉默法則，并介紹有關(guān)例題（20分鐘）。1.3 線性方程組解的判定定理介紹線性方程組解的判定定理，并介紹有關(guān)例題（55分鐘）。重點(diǎn)：克拉默法則、線性方程組解的判定定理和用初等變換法解線性方程組。難點(diǎn)：運(yùn)用克拉默法則解線性方程組。第二節(jié) 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)（2學(xué)時(shí)）1.1 齊次線性方程組解的性質(zhì)介紹齊次線性方程組解的性質(zhì)（10分鐘）。1.2 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)介紹齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)和解法，并介紹有關(guān)例題（80分鐘）。重點(diǎn)：齊次線性方程組的基

17、礎(chǔ)解系的概念和線性方程組解的性質(zhì)，齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)和通解的求法。難點(diǎn)：解含參數(shù)的解齊次線性方程組。第三節(jié) 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)（2學(xué)時(shí)）1.1 非齊次線性方程組解的性質(zhì)介紹非齊次線性方程組解的性質(zhì)，并介紹有關(guān)例題（30分鐘）。1.2 非齊次線性方程組解的解法介紹非齊次線性方程組解的解法，并介紹有關(guān)例題（60分鐘）。重點(diǎn)：非齊次線性方程組的性質(zhì)，非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)和通解的求法。難點(diǎn)：解含參數(shù)的解非齊次線性方程組。第四章 方陣對(duì)角化（10學(xué)時(shí)）目的與要求：學(xué)習(xí)本章的目的是使學(xué)生理解向量的內(nèi)積、方陣的特征值和特征向量等概念，綜合運(yùn)用矩陣、向量以及線性方程組的理論和方法討論方陣對(duì)角化問(wèn)

18、題。本章知識(shí)的基本要求是：（1）理解向量的內(nèi)積、正交向量組的概念，掌握施密特（Schmidt）正交化方法。（2）理解正交矩陣的概念，熟練掌握正交矩陣的性質(zhì)。（3）理解方陣的特征值、特征向量、特征多項(xiàng)式和特征方程等概念，熟練掌握方陣的特征值和特征向量的性質(zhì)，會(huì)求矩陣的特征值和特征向量。（4）理解矩陣相似的概念，并熟練掌握它們的性質(zhì)。（5）理解方陣相似對(duì)角矩陣的條件，掌握將矩陣對(duì)角化的方法。（6）理解實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量的特殊性質(zhì)，熟練掌握用正交矩陣化實(shí)對(duì)稱矩陣為對(duì)角矩陣的方法。第一節(jié) 內(nèi)積（2學(xué)時(shí)）1.1 實(shí)向量的內(nèi)積介紹實(shí)向量的內(nèi)積，并介紹有關(guān)例題（20分鐘）。1.2 正交向量組介紹正

19、交向量組，并介紹有關(guān)例題（35分鐘）。1.3 正交矩陣介紹正交矩陣及其性質(zhì)，并介紹有關(guān)例題（35分鐘）。重點(diǎn)：向量的內(nèi)積、正交向量組和正交矩陣等概念，施密特正交化方法和正交矩陣的性質(zhì)。難點(diǎn)：用施密特正交化方法正交化向量組。第二節(jié) （3學(xué)時(shí)）1.1 特征值與特征向量的概念介紹特征值與特征向量的概念，并介紹有關(guān)例題（45分鐘）。1.2 特征值與特征向量的計(jì)算方法介紹特征值與特征向量的計(jì)算方法，并介紹有關(guān)例題（45分鐘）。1.3 特征值和特征向量的性質(zhì)介紹特征值和特征向量的性質(zhì)，并介紹有關(guān)例題（45分鐘）。重點(diǎn)：方陣的特征值、特征向量、特征多項(xiàng)式和特征方程等概念，方陣的特征值和特征向量的求法，特征值和特征向量的性質(zhì)。難點(diǎn)：求方陣的特征值，特征值和特征向量的性質(zhì)。第三節(jié) 矩陣對(duì)角化（3學(xué)時(shí)）1.1 矩陣相似的概念與性質(zhì)介紹矩陣相似的概念與性質(zhì)，并介紹有關(guān)例題（30分鐘）。1.2 矩陣可對(duì)角化的條件介紹矩陣可對(duì)角化的條件，并介紹有關(guān)例題（60分鐘）。1.3 實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化介紹實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量的特殊性質(zhì)（10分鐘）；介紹用正交矩陣化實(shí)對(duì)稱矩陣為對(duì)角矩陣的方法，并介紹有關(guān)例題（35分鐘）。重點(diǎn)：矩陣相似的概念與性質(zhì)，矩陣可對(duì)角化的條件，矩陣對(duì)角化的方法。難點(diǎn)：判定