北京市石景山區(qū)2016屆高三上學期期末考試數(shù)學理試題

1、石景山區(qū)20152016學年第一學期期末考試試卷高三數(shù)學（理）本試卷共6頁，150分.考試時長120分鐘請務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效考試結(jié)束后上交答題卡.第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項 1設(shè)集合，則（）A. 1 B. C. D.2若變量滿足約束條件,則的最大值為（）ABCD3右面的程序框圖表示算法的運行結(jié)果是（ ）A. B. C. D. 4已知數(shù)列是等差數(shù)列，則前項和中最大的是（ ）A. B.或 C.或 D.5“”是直線與直線平行的（ ） A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條

2、件 D.既不充分也不必要條件6若曲線上只有一個點到其焦點的距離為1，則的值為（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7如圖，點為正方體的中心，點為面的中心，點為的中點，則空間四邊形在該正方體的面上的正投影不可能是（ ）8.如圖，在等腰梯形中，分別是底邊的中點，把四邊形沿直線折起，使得面面，若動點平面，設(shè)與平面所成的角分別為（均不為0若，則動點的軌跡為( )A.直線B.橢圓C.圓D.拋物線 第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分 9.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點到原點的距離為_.10.的二項展開式中項的系數(shù)為_（用數(shù)字作答）11.在中，角的對邊分別為.，則_.

3、 12.在極坐標系中，設(shè)曲線和相交于點，則_. 13. 2位男生和3位女生共5位同學站成一排，若3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是_種.（用數(shù)字作答）14.股票交易的開盤價是這樣確定的：每天開盤前，由投資者填報某種股票的意向買價或意向賣價以及相應的意向股數(shù)，然后由計算機根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定適當?shù)膬r格，使得在該價位上能夠成交的股數(shù)最多. （注：當賣方意向價不高于開盤價，同時買方意向價不低于開盤價，能夠成交）根據(jù)以下數(shù)據(jù)，這種股票的開盤價為_元，能夠成交的股數(shù)為_.賣家意向價（元）2.12.22.32.4意向股數(shù)200400500100買家意向價（元）2.12.22.32.4意向股數(shù)6

4、00300300100三、解答題共6小題，共80分解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程15（本小題共13分）已知函數(shù).（）求函數(shù)的最小正周期與單調(diào)增區(qū)間；（）求函數(shù)在上的最大值與最小值16（本小題共13分）某教育主管部門到一所中學檢查學生的體質(zhì)健康情況從全體學生中，隨機抽取12名進行體質(zhì)健康測試，測試成績（百分制）以莖葉圖形式表示如下：成績52657288666778908根據(jù)學生體質(zhì)健康標準，成績不低于76的為優(yōu)良（）寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；（）將頻率視為概率根據(jù)樣本估計總體的思想，在該校學生中任選3人進行體質(zhì)健康測試，求至少有1人成績是“優(yōu)良”的概率；（）從抽取的12人中隨機選取3人

5、，記表示成績“優(yōu)良”的學生人數(shù)，求的分布列及期望17（本小題共14分）在四棱錐中，側(cè)面底面，為中點，底面是直角梯形，.（）求證：平面；（）求證：平面；（）在線段上是否存在一點，使得二面角為？若存在,求的值；若不存在，請述明理由18.（本小題共13分）已知函數(shù) (,為自然對數(shù)的底數(shù)). （）若曲線在點處的切線平行于軸,求的值；（）求函數(shù)的極值；（）當時,若直線與曲線沒有公共點,求的最大值19.（本小題共14分）已知橢圓的焦距為，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形（）求橢圓的標準方程；（）設(shè)為橢圓的左焦點，為直線上任意一點，過作的垂線交橢圓于點，.證明：經(jīng)過線段的中點(其中為坐標原點)

6、20（本小題共13分）給定一個數(shù)列，在這個數(shù)列里，任取項，并且不改變它們在數(shù)列中的先后次序，得到的數(shù)列稱為數(shù)列的一個階子數(shù)列已知數(shù)列的通項公式為（為常數(shù)），等差數(shù)列是數(shù)列的一個3階子數(shù)列（）求的值；（）等差數(shù)列是的一個 階子數(shù)列，且 (為常數(shù)，求證：；（）等比數(shù)列是的一個 階子數(shù)列，求證：石景山區(qū)20152016學年第一學期期末考試高三數(shù)學（理科）參考答案一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分題號12345678答案DDA B BCDC二、填空題共6小題，每小題5分，共30分 題號91011121314答案72 2.2，600三、解答題共6小題，共80分15（本小題共13分）解：. 2分（）

7、的最小正周期為 4分 令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為. 7分（）因為，所以，所以 ，于是 ，所以. 9分當且僅當時，取最小值. 11分當且僅當，即時最大值. 13分16（本小題共13分）解：（）這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為86，中位數(shù)為86； 2分（）抽取的12人中成績是“優(yōu)良”的頻率為，故從該校學生中任選1人，成績是“優(yōu)良”的概率為， 4分設(shè)“在該校學生中任選3人，至少有1人成績是優(yōu)良的事件”為A，則； 6分（）由題意可得，的可能取值為0，1，2，3 7分， 11分所以的分布列為0123 13分17（本小題共14分）解：（）取的中點，連結(jié)，因為為中點，所以，且，在梯形中，所以，四邊形為平行四邊形，所以

8、， 2分因為平面，平面，所以平面. 4分（）平面底面，所以平面，所以. 5分如圖，以為原點建立空間直角坐標系.則 6分，所以， 8分又由平面，可得，因為所以平面. 9分（）平面的法向量為， 10分，設(shè)，所以， 11分設(shè)平面的法向量為，由，得，令所以， 12分所以， 13分注意到，得. 所以在線段上存在一點，使得二面角為，此時 14分18.（本小題共13分）解:()由,得. 2分又曲線在點處的切線平行于軸, 得,即,解得. 4分(), 當時,為上的增函數(shù),所以函數(shù)無極值. 6分當時,令,得,. ,;,. 所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增, 故在處取得極小值,且極小值為,無極大值. 綜上,當時,函數(shù)

9、無極小值當,在處取得極小值,無極大值. 9分()當時, 令, 則直線:與曲線沒有公共點, 等價于方程在上沒有實數(shù)解. 10分假設(shè),此時, 又函數(shù)的圖象連續(xù)不斷,由零點存在定理,可知在上至少有一解,與“方程在上沒有實數(shù)解”矛盾,故. 12分又時,知方程在上沒有實數(shù)解. 所以的最大值為. 13分解法二: ()()同解法一. ()當時,. 直線:與曲線沒有公共點, 等價于關(guān)于的方程在上沒有實數(shù)解,即關(guān)于的方程: (*) 在上沒有實數(shù)解. 10分當時,方程(*)可化為,在上沒有實數(shù)解. 11分當時,方程(*)化為. 令,則有. 令,得, 當變化時,的變化情況如下表:當時,同時當趨于時,趨于, 從而的取值范圍為. 所以當時,方程(*)無實數(shù)解, 解得的取值范圍是. 綜上,得的最大值為. 13分19（本小題共14分）（）解：由已知可得， 2分解得， 所以橢圓的標準方程是. 4分（）證明：由（）可得，的坐標是，設(shè)點的坐標為，則直線的斜率. 5分當時，直線的斜率.直線的方程是.當時，直線的方程是，也符合的形式設(shè)，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立， 消去，得， 8分其判別式. 所以， . 10分設(shè)為的中點，則點的坐標為. 12分所以直線的斜率，又直線的斜率， 所以點在直線上，即經(jīng)過線段的中點. 14分20（本小題共13分）解：（1）