高一數(shù)學(xué)定義定理公理公式匯編

1、集合與元素1、2、3、4、集合集合與集合真子集：若a c 3且4 h b(即至少存在x。g 但電a),則力是別勺真子集。 集合相等：a c ba o ba = b'定義：性質(zhì)：交集并集運算aob = x/xe ahjce bana = a, ac0 = 0, acb = bc4, arb q a,ar>b q b, aqb <> arb = aaub = x/xeba<j a = a, au0 = a aub = bkja, au a, au bp b,aub= b定義：性質(zhì)：card (au b) = card (a) + card( b) card (a c

2、 b)定義：cb,a = x/xeuhjca = a性質(zhì)：(ct/a)na = 0,(qa)ua = (7, q(qa) = a, cu(anb) = (cua)(cub), c(7(aub) = (c(7a)n(qb)補集v高一數(shù)學(xué)必修1知識網(wǎng)絡(luò)（1）元素與集合的關(guān)系：屬于（w）和不屬于（?。┘现性氐奶匦裕捍_定性、互異性、無序性集合的分類：按集合中元素的個數(shù)多少分為：有限集、無限集、空集集合的表示方法：列舉法、描述法（自然語言描述、特征性質(zhì)描述）、圖示法、區(qū)間法 子集：若xw a =>%g b,貝ijaub,即a是佛勺子集。若集合a中有個元素，則集合朋子集有2"個，真子集

3、有（2"-1）個。任何一個集合是它本身的子集，即aca 對于集合人5c,如果aub,且buc,那么ac.空集是任何集合的（真）子集。函數(shù)解析法3.函數(shù)的表示方法5列表法映射定義：設(shè)人b是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系，使對于集合a屮的任意一個元素兒在集合3中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)/： t 3為從集合a到集合3的一個映射1定義：設(shè)兒b是兩個非空的數(shù)集，如果按某一個確處的對應(yīng)關(guān)系，使對于集合人中的任意一個數(shù)勸在集合b中都有唯一確運的數(shù)y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)/： atb為從集合人到集合b的一個函數(shù)。記為y=f（x）定義域2. 函數(shù)的三要素 < 值域?qū)?/p>

4、應(yīng)關(guān)系函數(shù)及其表示s2 最值最大值:最小值:函數(shù)的基木性質(zhì)3.（1）/（-小=-/（兀）用定義域d貝"（x）叫做奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱。 奇叫輜誠似?？O鬻t）叫做偶函數(shù)其圖象關(guān)珅對稱。4.周期性：在函數(shù)/（x）的定義域上恒w/（x+t）=/（x）（70的常數(shù)）則/（小叫做周期函數(shù)，t為周期; t的最小止值叫做/（x）的最小正周期，簡稱周期圖象法如/（習(xí)）>/（芒），貝”（*）在。切上遞減。1 單調(diào)性< 在區(qū)間上，若ci<x<x2<bj)f (x )</(x2 )，貝!l/(x)在a,b上遞增,附：一、函數(shù)的定義域的常用求法：1、分式的分母不等于

5、零；2、偶次方根的被開方數(shù)大于等于零；3、對數(shù)的真數(shù)大于零；4、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1； 5、三角函數(shù)正切函數(shù) y = tanx_+jr兀工3 +亍伙丘z) ；6、如果函數(shù)是由實際意狡確定的解析式，應(yīng)依據(jù)自變量的實際意義確定其取值范圍。二、函數(shù)的解析式的常用求法：1配湊法：2、換元法；3、待定系數(shù)法；4、解方程組的方法三、函數(shù)的值域的常用求法：1、換元法；2、配方法；3、判別式法；4、幾何法；5、不等式法；6、單調(diào)性法；7、 直接法四、函數(shù)的最值的常用求法：1、配方法；2、換元法；3、不等式法；4、幾何法；5、單調(diào)性法五、函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：1、若/(x),(x)均為某區(qū)間

6、上的增(減)函數(shù)，則/(x) + g(x)在這個區(qū)間上也為增(減)函數(shù)2、若/(兀)為增(減)函數(shù)，則-/(勸為減(增)函數(shù)3、若/(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則y = fg(x)是增函數(shù)；若/(兀)與g(x)的單調(diào)性不同，則y =/gcr)是減函數(shù)。簡記為：同增異減.4、奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。5、常用函數(shù)的單調(diào)性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作 函數(shù)圖象。六、函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：1、如果一個奇函數(shù)在x = 0處有定義，則/(0) = 0 ,如果一個函數(shù)y = /(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則/(%) = 0 (反之不成立)2

7、、兩個奇(偶)函數(shù)之和(差)為奇(偶)函數(shù)；之積(商)為偶函數(shù)。3、一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積(商)為奇函數(shù)。4、兩個函數(shù)y - /(w)和 = g(x)復(fù)合而成的函數(shù)，只要其中有一個是偶函數(shù)，那么該復(fù)合函數(shù)就是偶函數(shù)；當(dāng)兩個函數(shù)都是奇函數(shù)時，該復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)。一、1指數(shù)：運算性質(zhì): (a>0, r> swq) 3丫 =(a>0, r、底 q) w(a>0, r> swr).二、1對數(shù)的性質(zhì)： 真數(shù)n為(負(fù)數(shù)和零無對數(shù))；log=;呃衛(wèi)=;對數(shù)恒等式:zn二；10g“n =2. 運算性質(zhì)： loga (mn) =；m og,)=； logamn =(刀wr).

8、換底公式：logab =.(臼>0, <3=# 1, b>0, c>0 , c 1)推論 1： log hn =2- log, b log, a =. 3- log b log/? c =表1指數(shù)函數(shù)對數(shù)數(shù)函數(shù)y = log"無(q > 0,a h 1)定 義 域xg rxe (0,4-oo)值 域(0,2)r圖 象1q<a<1a > 10 <df<l-111111丨 * 丨性 質(zhì)過定點(0,1)過定點(1,0)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)xe (-oo,0)日寸，ye (1,+°°) xe (0,4-oo)

9、n寸，ye (0,1)xw(yo,0)時，ye (0,1) x g (0, +8)時，ye (1, +8)xg (0j)時，yw (0,+oo) xe (l,+8)時，ye (-8,0)xe (0,1)1 時,y g (-00,0) x g (1, +oo)時,y g (0, +oo)十j)/ "護尸0<a<b<i尸log滬a>b>3<a<b<ii'ha>b>三. 1.幕函數(shù)的概念：一般地，我們把形如的函數(shù)稱為幕函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù)；注意：幕函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別.2. 幕函數(shù)的常用性質(zhì)：（1）幕函數(shù)的圖象都過點

10、；（2）當(dāng)4>0時，幕函數(shù)在0,+oo）±_；當(dāng)gvo時，幕函數(shù)在（0,+oo）上（單調(diào)性）;（3）當(dāng)q為奇數(shù)時幕函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)g為偶數(shù)時幕函數(shù)為偶函數(shù).四1零點存在性定理：如果函數(shù)y二f（x）在區(qū)間a,b上的圖象是的一條曲線，并且有 ，那么，函數(shù)y二f（x）在區(qū)間（a,b）內(nèi)有零點,即存在cw（a,b）,使得f（c）=o.2定義二分法的概念：對于在區(qū)間a,b上連續(xù)不斷且f（a）.f（b）<0的函數(shù)y=f（x）,通過不斷的 把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值 的方法叫二分法（bisection）給定精度£ ,用二分

11、法求函數(shù)/（x）的零點近似值的步驟如下：a. 確定區(qū)間a,b,驗證/（«）/（/?）<0,給定精度e；b. 求區(qū)間（d,b）的中點尤;c. 計算若/（西）= 0,則召就是函數(shù)的零點；若/（d）/（尢jvo,則令心召（此 時零點 xoe（67,xj）；若 /（兀）/（b）vo,則令 a = x（此時零點 xoe（x,/?）;d. 判斷是否達到精度e ;即若a-b<e,則得到零點零點值a （或b）:否則重復(fù)步驟 24.高中數(shù)學(xué)必修2知識點一、直線與方程（1）直線的傾斜角定義：兀軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與兀軸平行 或重合時，我們規(guī)定它的傾斜

12、角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0° wav180°（2）直線的斜率 定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即k = tan a o斜率反映直線與軸的傾斜程度。當(dāng) ae 090°）時，z:>0： 當(dāng) aw（90° ,180"）時，k<0； 當(dāng) a = 90° 時，£ 不存在。 過兩點的直線的斜率公式：k =力_ ” （兀1豐七）注意下面四點：（1）當(dāng)x, =x2時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90° : （2m與戸、戶2的順序無

13、關(guān)；（3）以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標(biāo)直接求 得；（4）求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標(biāo)先求斜率得到。（3）直線方程 點斜式：），一）=£0-兀j直線斜率化 且過點（為,刃） 注意：當(dāng)直線的斜率為0°時，k二0,直線的方程是y二力。當(dāng)直線的斜率為90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示.但因i 上每一點的橫坐標(biāo)都等于兀1,所以它的方程是x=xi。 斜截式：y = kx-b,直線斜率為化 直線在y軸上的截距為力 兩點式： =（兀工兀2工旳）直線兩點（可,另），（兀2，）2） 截矩式：丄+丄=1a b其中直線/與尢軸交于點,0）,與歹軸交

14、于點（0,/?）,即2與x軸、y軸的截距分別為a,b。 一般式：ax+by + c = o （a, b不全為o）注意：各式的適用范圍特殊的方程如：平行于x軸的直線：y = b （/?為常數(shù)）；平行于y軸的直線：x-a （a為常數(shù)）；（5）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線過兩條直線厶：ax+b/ + c| = 0, z2: ax + 52>y + c2 =0的交點的直線系方程為+（2為參數(shù)）,其中直線厶不在直線系中。（6）兩直線平行與垂直當(dāng)厶:y = kx + b, l2 y = k2x + b2 時,zj /12 o 何=他,勺工 e ;厶丄 l2 <=> kk2 = 1

15、注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。（7）兩條直線的交點/, :+ g =0 /2 : a2x+ b2y + c2 = 0相交交點坐標(biāo)即方程組（ax+b/ + ci =0的一組解。a2x+ b2 y + c2 = 0方程組無解0厶/厶方程組有無數(shù)解o /與厶重合（8）兩點間距離公式：設(shè)a（x（,y）, b（x2,y2）是平面直角坐標(biāo)系中的兩個點，則 i ab |= 坷尸+02一必）2（9）點到直線距離公式：一點p（x（）,y0）到直線厶：ar+by + c = 0的距離昇山叮的叮4va2 + b2（10）兩平行直線距離公式a：ax+by + c=0 與 l:ax+by

16、+ c2=0 的距離：仁 |g _c? _ "ja? +b，二、圓的方程1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓，定點為圓心，定長為圓的半徑。2、圓的方程標(biāo)準(zhǔn)方程（x-a）2 + （y-b）2 = r,圓心（d,），半徑為（2）一般方程f+dt+£y+f = o當(dāng)d2 +e2 -4f> 0時，方程表示圓，此時圓心為f半徑為r = ljn2 + e2_4fi 2,刁2當(dāng)d2 4- e2 -4f = 0時，表示一個點；當(dāng)d2 + e2 -4f < 0時，方程不表示任何圖 形。（3）求圓方程的方法：一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個圓需要三個獨立

17、條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程, 需求出a, b, r;若利用一般方程，需要求出d, e, f;另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點，以此來確定圓心的位置。3、直線與圓的位置關(guān)系：直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：幾何方法：設(shè)直線z: ax + b v + c = 0 ,圓c:（x-«）2+（y-/?）2 = r2,圓心c仏b）到/的距離為d _bb + c t則有 yla棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱

18、柱、五棱柱等。表示：用各頂點字母，如五棱柱abcde-abc de或用對角線的端點字母，如五棱柱 ad幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且 相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。 棱錐定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何 體分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等表示：用各頂點字母，如五棱錐p-abcde + b2d > r <> /與c相離； d = r 0 /與c相切；d <ro l與c相交(2) 代數(shù)方法：設(shè)直線l:ax+by + c = of圓

19、c: (x-<7)2 + (y-/?)2 = r2,先將方程聯(lián)立 消元，得到一個一元二次方程之后，令其中的判別式為,則有 v0o z與c相離； = 0 o 2與c相切； >0 0/與(?相交注：如果圓心的位置在原點，可使用公式xr0 4-= r2去解直線與圓相切的問題，其中(xo,)表示切點坐標(biāo)，r表示半徑。(3) 過圓上一點的切線方程： 圓c: x2 y2 = r2 f圓上一點為(xo, y0),則過此點的切線方程為xx0 + yy0 = r (課 本命題). 圓(x-a)2+(y-b)2=f圓上一點為仇，y0)f則過此點的切線方程為(xo-a)(x-a)+(yo-b)(y-b)

20、= / (課本命題的推廣).4、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和(差)，與圓心距(d)之間的大小比較來確定。 設(shè)圓 g : (x-at)2 +(y-z?)2 = r2, c2 * (x - a2)2 + (y - b2)2 = r2兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的監(jiān)(差)，g圓心距(d)之間的大小比較來確定。當(dāng)d > r + r時兩圓外離，此時有公切線四條；當(dāng)d = /? +廠時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；d = 0時，為同心圓。當(dāng)r-r<d<rr時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線; 當(dāng)d =/?廣時，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點，只有一條

21、公切線：當(dāng)d < r-r時，兩圓內(nèi)含；三、立體幾何初步1、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征下底面幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的裁面與底面相似，其相似比等于頂點到 截面距離與高的比的平方。（3）棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等表示：用各頂點字母，如五棱臺p-abcde幾何特征：上下底面是相似的平行多邊形 側(cè)面是梯形 側(cè)棱交于原棱錐的頂點（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾 何體幾何特征：底面是全等的圓；母線與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直

22、；側(cè)面展開圖 是一個矩形。（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是一個圓；母線交于圓錐的頂點；側(cè)面展開圖是一個扇形。（6）圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去裁圓錐，裁面和底面之間的部分 幾何特征：上下底面是兩個圓；側(cè)而母線交于原圓錐的頂點；側(cè)面展開圖是一個弓形。（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體 幾何特征：球的截面是圓；球面上任意一點到球心的距離等于半徑。2、空間幾何體的三視圖定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、 俯視圖（從上向下）注：正視圖反映了物體

23、上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度； 俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度； 側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。3、空間幾何體的直觀圖斜二測畫法斜二測畫法特點：原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變；原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。4、柱體、錐體、臺體的表面積與體積（1）幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。（2）特殊幾何體表面積公式（h為高，力為斜高，1為母線）s圓柱側(cè)=2加；s圓錐側(cè)面積=加1 ； s圓臺側(cè)面積=（廠+ r）加'圓柱表=2岔（廠+ /）: s例錐表=+ /） ； s岡臺表=

24、兀（廠+ h + rl + r-）（3）柱體、錐體、臺體的體積公式v=sh ； $=g（s' +后+ s）/2（4）球體的表面積和體積公式:s球而aa上底擴大v二上底縮小a上底擴大上底縮小fe4、空間點、直線、平面的位置關(guān)系（1）平面 平面的概念： a.描述性說明； b.平面是無限伸展的； 平面的表示：通常用希臘字母a、b、y表示，如平面a （通常寫在一個銳角內(nèi)）；也可以用兩個相對頂點的字母來表示，如平面bco 點與平面的關(guān)系：點a在平面。內(nèi)，記作ae a ；點a不在平面a內(nèi)，記作a 點與直線的關(guān)系：點a的直線/上，記作：ag/； 點a在直線/外，記作直線與平面的關(guān)系：直線/在平面a內(nèi)

25、，記作/ uq；直線/不在平面a內(nèi)，記作/（z ao（2）公理1:如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點都在這個平面 內(nèi)。（即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過直線）應(yīng)用：檢驗桌面是否平；判斷直線是否在平面內(nèi)用符號語言表示公理1： aw l,bw a,bw i ua（3）公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。推論：一直線和直線外一點確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。 公理2及其推論作用：它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)它是證明平面重合的依據(jù)（4）公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直 線符號：平面a和b相交，交線是a,

26、記作a pl b =a。符號語言：peacb=>anb = l,pel公理3的作用： 它是判定兩個平面相交的方法。 它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關(guān)系：交線必過公共點。 它可以判斷點在直線上，即證若干個點共線的重要依據(jù)。（5）公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行<6）空間直線與直線之間的位置關(guān)系 異面直線定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線 異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。 異面直線判定：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線 異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點o,分別引直線d ila, b' /b,則把直線n

27、和刃所成的銳角（或直角）叫做異而直線°和方所成的角。兩條異面直線 所成角的范圍是（0° , 90° ,若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線 互相垂直。說明：（1）判定空間直線是異面直線方法：根據(jù)異面直線的定義；異面直線的判定定理 （2）在異面直線所成角定義中，空間一點o是任取的，而和點o的位置無關(guān)。求異面直線所成角步驟：a、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點 選在特殊的位置上。 b、證明作出的角即為所求角c、利用三角形來求角（7）等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補。（8

28、）空間直線與平面之間的位置關(guān)系直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點.宜錢不在平百內(nèi) 腳女51有_個診共點.（或fiaswh有公共點.三種位置關(guān)系的符號表示：acz a aa a =a a a（9）平面與平面之間的位置關(guān)系：平行沒有公共點；a0相交有一條公共直線。a n 0 =/?5. 空間中的平行問題(1) 直線與平面平行的判定及其性質(zhì)線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行，則該直線與此平面平行。 線線平行二線面平行線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交， 那么這條直線和交線平行。線面平行二線線平行(2) 平面與平面平行的判定及其性質(zhì)兩個平面平

29、行的判定定理(1) 如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行(線面平行t面面平行)，(2) 如果在兩個平面內(nèi)，各有兩組相交直線對應(yīng)平行，那么這兩個平面平行。(線線平行t面面平行)，(3) 垂直于同一條直線的兩個平面平行，兩個平面平行的性質(zhì)定理(1) 如果兩個平面平行，那么某一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行。(面面平行t線面平 行)(2) 如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線平行。(面面平行t線線平行)7、空間中的垂直問題(1) 線線、面面、線面垂直的定義 兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。 線而垂直：如果一條

30、直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個平面垂 直。 平而和平而垂直：如果兩個平面相交，所成的二面角(從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組 成的圖形)是直二而角(平而角是直角)，就說這兩個平面垂直。(2) 垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理 線面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個平面。 性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。 面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一 個平面

31、。9、空間角問題(1) 直線與直線所成的角 兩平行直線所成的角：規(guī)定為 兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。 兩條異面直線所成的角：過空間任意一點0,分別作與兩條異面直線d, b平行的直線 a, y,形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所 成的角。(2) 直線和平面所成的角平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為0°。 平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為90"。 平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的笆逸，叫做這條 直線和這個平面所成的角。求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角

32、：在“作角”時依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點到面的垂線，在解題時，注意挖掘題設(shè)中兩個主要信息：(1)斜線上一點到面的垂線；(2)過斜線上的一 點或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。(3) 二面角和二面角的平面角 二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二 面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為頂點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射 線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。 直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個平面垂直；反過來，如

33、果兩個平 面垂直，那么所成的二面角為直二面角 求二面角的方法定義法：在棱上選擇有關(guān)點，過這個點分別在兩個面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角垂面法：已知二面角內(nèi)一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個面的交線所成的角為 二面角的平面角7、空間直角坐標(biāo)系(1) 定義：如圖，obcd d a b c是單位正方體.以a為原點， 分別以0 d, 0 a, 0b的方向為正方向，建立三條數(shù)軸x軸.y軸.z軸。 這時建立了 一個空間直角坐標(biāo)系oxyz.1) 0叫做坐標(biāo)原點 2) x軸，y軸，z軸叫做坐標(biāo)軸.3)過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐 標(biāo)面。(2) 右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直時，可能形成的位

34、置。大拇指指 向為x軸正方向，食指指向為y軸正向，中指指向則為z軸正向，這樣也可以決定三軸間 的相位置。(3) 任意點坐標(biāo)表示：空間一點m的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組cx,y,z)來表示，有序?qū)崝?shù)組 (無,y,z)叫做點m在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作m(x,y,z) (x叫做點m的橫坐標(biāo), y叫做點m的縱坐標(biāo)，z叫做點m的豎坐標(biāo))(4)空間兩點距離坐標(biāo)公式：d = yl(x2 - xj)2 + (j2 - j/)2 + (z2 -zi)2高沖數(shù)學(xué)必修4知識點'正角:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角1、任意角負(fù)角:按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角2、角僅的頂點與原點重合，角的始邊

35、與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象 限，則稱q為第幾象限角.第一象限角的集合為ak-360= <a<k-360° + 90g z) 第二象限角的集合為訃360 +9(t <r36(r+18(t,展z) 第三象限角的集合為a| 360° +180° <a< 360° + 270°,ke z 第四象限角的集合為ak-360° + 270° <a<k-360 + 360°,展 z 終邊在兀軸上的角的集合為aa = kake z 終邊在>，軸上的角的集合為4”二1180&#

36、176;+90°,展z) 終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為aa = k-90ke z)3、與角a終邊相同的角的集合為0|0 = a36o°+a,展z)4、已知q是第幾象限角，確定-(/7gn+)所在象限的方法：先把各象限均分“等 份，再從兀軸的正半軸的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則g原來 是第幾象限對應(yīng)的標(biāo)號即為纟終邊所落在的區(qū)域.n5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度.6、半徑為廠的圓的圓心角g所對弧的長為i,則角。的弧度數(shù)的絕對值是|z| = -.7、弧度制與角度制的換算公式：2“ 36(7,盒，if號卜57.3。8、若扇形的圓心角為g(q為弧度制)，半徑

37、為廠，弧長為周長為c,面積為s, 則 l = ra , c = 2r + z, s=-lr =丄宀2 21 19、設(shè)a是一個任意大小的角，a的終邊上任意一點p的坐標(biāo)是(兀,y),它與原點的距離是 r(r = yjx2 + y2 >0),貝 sinz = , cos a- , tan6r = (xo).10、三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限 正切為正，第四象限余弦為正.11 > 三角函數(shù)線：sina 二 mp, cos a - om , tan a - at 、b/t12、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：("sin，q + cos? g = 1.7

38、 i 72. 9 sincrsirra = l cosp,cosp = 1 sinp) ; (2)= tanz7cosqsin a )sin a = tan a cos a. cos a = tana 丿13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式:(l) sin(2k/r + a) = sinq , cos (2 += cos a , tan(2k;r + g)= tano(k w z) (2) sin(;r + a) = -sina , cos(龍+ a) = -coso、 tan(龍 + a) = tana (3) sin (-q) = -sin a ,cos (a) = cos a , tan (一a)

39、= - tan .(4)sin(;r-a)二sin©,cos(龍一況)= -cosa,tan(-6z) = -tanz.口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限.(5)sin/71a= cosa,cos j=sin a (6) sin(71+ g(2= cos6tcos j= -sina 口訣：正弦與余弦互換，符號看象限.14 函數(shù) y = asin(qx + 0)(a >0,69>0)的性質(zhì)：振幅：a ;周期：t =-;頻率：/ =丄=纟;相位：cox + (p ;初相:3t 2兀函數(shù)y = asin(69x + 0)+ b ,當(dāng)兀二旺時，取得最小值為)爲(wèi)；當(dāng)x,-x2時，取得1

40、1t最大值為兒疵則 a = -(ymax-ymin), b=-(ymax+3；min), - = x2 -xx. < x2).定 義 域 值 域< x k兀,ke z2當(dāng) x = 2k兀（kw z）時,1 ;當(dāng)x = 2k兀七兀周 期 性 奇 偶 性x = 2k 兀2（展 z）時,ymin2龍（展 z）時,ymin =-1奇函數(shù)偶函數(shù)既無最大值也無最小值71奇函數(shù)71 兀(展z)上是增函數(shù)；在在2熾一龍,2紘(rw z)上是增函數(shù)；在23,2£龍+刃(展z)上是增函數(shù).2 + -,2 + 2 2（展z）上是減函數(shù).（展z）上是減函數(shù).對稱中心（3,0）（也 z）對稱軸x

41、= k7c + （ke z）對稱中心 + -,0 (艇 z)2丿対稱車由兀= £%（£w z）向量：既有大小，又有方向的量.數(shù)量：只有大小，沒有方向的量. 有向線段的三要素：起點、方向、長度.對稱中心（kjr ,0 （ke z）i 2丿'無對稱軸16、零向瑩：長度為0的向瑩.單位向量：長度等于1個單位的向量.平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量.零向量與任一向量平行. 相等向量：長度相等且方向相同的向量.a+b = a + ad = ac17向量加法運算：三角形法則的特點：首尾相連. 平行四邊形法則的特點：共起點.(3) 三角形不等式:a-b < a + b <a+b 運算性質(zhì)：交換律：ci-b =b + a :結(jié)合律：（刁+方）+ 0 =廳+ （方+乙）；a-b=c-b=bc5 + 0 = 04-5 = 5.坐標(biāo)運算：設(shè)a =, b =（x2,y2）,則q + b =（兀+兀2，廿+旳）18向量減法運算：三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量.坐標(biāo)運算：設(shè)& =（兀|,yj, & =（x2,y2）,則 a-h =（ -x2,y -y2）. 設(shè)a、b兩點的坐標(biāo)分別為（旺，）,（兀2，旳），則ar =（旺一勺_）2）19、向量數(shù)乘運算：實數(shù)q與向量五的積是一個向量的