高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文：運(yùn)用“變式教學(xué)”構(gòu)建探究型課堂

1、運(yùn)用“變式教學(xué)"構(gòu)建探究型課堂【摘 要】 數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)是指學(xué)生圍繞某個(gè)數(shù)學(xué)問題自主探究、學(xué)習(xí)的過程。這個(gè)過程包 括：觀察、分析數(shù)學(xué)事實(shí)，提出有意義的數(shù)學(xué)問題、猜測探求適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律，給出 解釋、證明。那么，如何構(gòu)建探究型課堂呢？筆者認(rèn)為運(yùn)用“變式教學(xué)”是個(gè)好方法。本文 擬就余弦定理為載體運(yùn)用變式教學(xué)理論談?wù)剺?gòu)建探究型課堂的體會(huì)，供參考?！娟P(guān)鍵詞】變式、探究、課堂、教學(xué)1 “變式教學(xué)”理論所謂變式教學(xué)，是指有冃的、有計(jì)劃地對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兺?，如用不同形式?直觀材料或事例說明概念、命題等的本質(zhì)屬性，對(duì)非本質(zhì)屬性進(jìn)行不同角度、不同層面、不 同背景、不同情形變化，以突出它們的本

2、質(zhì)特征，從而揭示不同知識(shí)點(diǎn)之間內(nèi)在聯(lián)系的一種 教學(xué)方法。變式教學(xué)在中國由來己久,是中國數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的特征之一。變式教學(xué)一般有“概念性變式”和“過程性變式”兩種基本變式?！案拍钚宰兪健笔抢?用概念變式和非概念變式揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性，使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)概念的 多角度理解，進(jìn)而建立新概念和已有概念的本質(zhì)聯(lián)系?！斑^程性變式”是通過變式有層次的 展示知識(shí)的發(fā)生，發(fā)展，形成的過程，從而理解知識(shí)的來龍去脈，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，使學(xué)生抓 住問題的本質(zhì)，加深對(duì)問題的理解，是一個(gè)有意義學(xué)習(xí)的過程。因此，變式教學(xué)是對(duì)學(xué)生進(jìn) 行數(shù)學(xué)技能和思維訓(xùn)練的重要方式，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用“變式教學(xué)”是進(jìn)行探究性學(xué)習(xí) 的

3、一種有效模式。它是借鑒科學(xué)發(fā)明創(chuàng)造的思想方法，通過對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行多角度、多方面 的有價(jià)值的變式探索研究，有冃的、有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本 質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探索“變”的規(guī)律，使所有知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通。從中不僅能增強(qiáng)學(xué) 生的創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)變能力，而且能優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力和 素質(zhì)。本文擬就“余弦定理”的教學(xué)為載體，探討如何運(yùn)用“變式教學(xué)”的基本理論，設(shè)計(jì)適 當(dāng)?shù)奶骄繂栴}，有層次的推進(jìn)課堂教學(xué)。在探究問題的設(shè)計(jì)過程中怎樣通過調(diào)整合適的距離, 以最大程度的引發(fā)學(xué)生的探究。其教學(xué)設(shè)計(jì)過程如下：2 “變式”寓“余弦定理”的教學(xué)設(shè)計(jì)教材：全日制普通高級(jí)中學(xué)

4、教科書人教社教材版 必修5 (p 5-8) 1.2余弦定理2. 1創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生探究性學(xué)習(xí)的動(dòng)力。問題1：如圖，蒼4abc中,d = 2,b = 3,zc = 90°,能求出第三邊嗎？若zc = 60° ,第三邊定了嗎？若定了，如何求第三邊?若zc = 120°呢？也能求第三邊嗎？學(xué)生：根據(jù)作圖能確定第三條邊，且唯一。問題2：既然第三邊c可以由及zc唯一確定，那么對(duì)于這類問題是否也像前面正 弦定理一樣存在某個(gè)定理或公式，可以由及zc表示c?若有，給出這式子；若不可以, 說明理由。設(shè)計(jì)說明：問題是思維的起點(diǎn)。問題1是在zc = 90°這種特殊情況下

5、作了變化，提出 在一般的情況下是否也有類似的性質(zhì)，體現(xiàn)了從特殊到一般的變式思想。采用這種變式，既 使學(xué)生復(fù)習(xí)了原有知識(shí)，為下面定理的學(xué)習(xí)作好了準(zhǔn)備，又激發(fā)了學(xué)生的好奇心，學(xué)習(xí)的積 極性也隨之高漲。學(xué)生自己動(dòng)手畫圖，能促使學(xué)生盡快地進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)，比單純的“提問一 一冋答”這種復(fù)習(xí)模式，對(duì)問題的思考更加深入。這種變式，為學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)進(jìn)行了有效 的鋪墊，又能讓學(xué)生快速地投入學(xué)習(xí)。問題2是對(duì)問題1的逆向思維過程，是學(xué)習(xí)定理的一個(gè)關(guān)鍵之處。在教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師 沒有直接告訴學(xué)生的確有這樣一個(gè)定理，它怎么樣怎么樣。而是設(shè)置了問題2,激發(fā)學(xué)生進(jìn) 行自主探究，發(fā)現(xiàn)定理。并且問題2是以問題1為基礎(chǔ)的，不那么突兀

6、，解決起來要相對(duì)容 易些。正是通過這種變式，教師拉近了新知識(shí)與舊知識(shí)之間的距離，但又具有一定的挑戰(zhàn)性, 能使學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)定理。2.2探究、猜想公式教師用多媒體展示，在aabc中,ac,bc長度不變，把cb繞點(diǎn)c轉(zhuǎn)動(dòng)，a3的長度 隨zc的變化而變化：當(dāng)zc = 90°時(shí)，c2 =a2-b2：當(dāng)zc < 90°時(shí)，c2 < a2+b 當(dāng) zc > 90°時(shí)，c2 >a +/?2o讓學(xué)生觀察、思考、討論。問題1：邊c與zc能否用函數(shù)表示？因?yàn)檫卌的長度隨zc的變化而變化，猜想邊c與zc應(yīng)該能用函數(shù)表示，不妨設(shè)為 c? =/+臚

7、+/(«)問題2： /(zc)= ?是zc的哪種三角函數(shù)？能否由特殊值發(fā)現(xiàn)？學(xué)生：當(dāng) zc = 90° 時(shí)，/(zc)= o；當(dāng) zc > 90° 時(shí)，/(zc)<0;當(dāng) zcv90° 時(shí),/(zc)> 0 o猜想：/(zc)與zc有余弦關(guān)系，且/(zc)= cos c問題3： /(zc)就等于cosc嗎？還與其它量有關(guān)系嗎？能否用特殊三角形進(jìn)行檢驗(yàn) 猜想？設(shè)計(jì)說明：沒有大膽的猜想就不可能有偉大的發(fā)現(xiàn)，可以毫不夸大的說，任何一個(gè)數(shù)學(xué) 上的定理都是經(jīng)過猜想建立的。此處，為了發(fā)現(xiàn)、猜想定理，設(shè)計(jì)成了 3個(gè)問題。問題1是針對(duì)多媒體的展示結(jié)果，

8、把邊c的長度與zc的變化抽彖為函數(shù)，指明了猜想 的方向，給出了關(guān)鍵性的一步。問題2是在問題1提示這是函數(shù)關(guān)系后進(jìn)一步猜想是什么函 數(shù)，熟悉嗎？這樣，學(xué)生就不會(huì)漫無目的的亂猜，他們會(huì)根據(jù)現(xiàn)有的條件作合理的、有fi標(biāo) 的猜想。學(xué)生也明白將未知轉(zhuǎn)化為已知是解決數(shù)學(xué)問題的通法，探究熱情又一次高漲。問題 3就是將整個(gè)猜想細(xì)化，逐步的完善猜想。通過這些有層次的問題的設(shè)計(jì)，逐步清除初始狀 態(tài)z間的差異，得到猜想。這種以問題為線索的變式教學(xué)，既有序的推進(jìn)了課堂教學(xué)，又引 發(fā)了學(xué)生的探究活動(dòng)，學(xué)生的想象力、創(chuàng)造力充分被激發(fā)，思維的質(zhì)和量顯著提高，情感得 到了充分的體驗(yàn)。在新課程改革背景下，如何通過有層次的問題設(shè)

9、計(jì)引發(fā)學(xué)生的主動(dòng)思考, 是我們教師值得關(guān)注的問題。2. 3證明定理余弦定理:三角形屮任何一邊的平方等于其它兩邊的平方和減去這兩邊與它們的夾角的積的兩倍。即 cr =/?2 +c2 -2bccosa b1 =cr +c2-2accosb c2 =a2 +b2 -labcosc則 c = ab 2 = (z?cos c - a)2 + (a sin c 一 0)2 = a2 + h2 - 2ah cos c問題2：還有其它證明方法嗎？公式中的abcosc令你想到了什么？學(xué)過此類公式嗎? 學(xué)生能想到向量的數(shù)量積公式，由長度能想到向量的模，于是：(* 2 2 2 cb-ca) =cb +c4 2cbc

10、acosc = a2 +h2 -2ahcosc設(shè)計(jì)說明：余眩定理的證明還是有點(diǎn)困難的，如果直接了當(dāng)問“怎么證”，基本就是句 廢話。因此，問題1設(shè)計(jì)了一連串的問題，由問題指出了證明的方向，降低了難度，讓學(xué)生 能聯(lián)系到所學(xué)的知識(shí)，得出證明。問題2則是希望能用多種方法證明定理，屬一題多解類型。 變式教學(xué)中的一題多解是發(fā)散思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要體現(xiàn)。一題多解要求學(xué)生從不同 的思維角度去思考問題，獲得同一問題的多種解決方法，并對(duì)不同的解決方法進(jìn)行比較，使 學(xué)生的思路開闊，養(yǎng)成多角度思考問題的習(xí)慣，這將有助于學(xué)生發(fā)散思維能力的培養(yǎng)。2. 4分析結(jié)構(gòu)，應(yīng)用定理。問題：觀察余弦定理，它的結(jié)構(gòu)有什么特點(diǎn)？適

11、合解哪些三角形？學(xué)生觀察、分析、交流，教師總結(jié)：（1）余弦定理適合于所有的三角形，勾股定理只是它的特例。（2）余弦定理非常對(duì)稱，是ajc及對(duì)應(yīng)角的輪換式。（3）它的推論2 ,2 2cosc = -也很對(duì)稱和有用。接著分析運(yùn)用定理及其推論可解兩類三角形，學(xué)生2ab自己解決教科書例3、例4。設(shè)計(jì)說明：在教學(xué)中，通過對(duì)這個(gè)問題的分析討論，加深對(duì)定理的認(rèn)識(shí)。它是適合所 有三角形的，勾股定理是它的特例，也可說余弦定理是勾股定理的推廣。這樣促使學(xué)生新舊 知識(shí)的聯(lián)結(jié)，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)。變式教學(xué)可以探究數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)質(zhì)和相互z間的聯(lián)系，認(rèn)識(shí)和 理解其內(nèi)涵，使學(xué)生不迷戀于問題的表象。這些有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。2

12、. 5歸納小結(jié)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小結(jié)：通過余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明，進(jìn)一步了解向量的工具性作用，明 確利用余弦定理能夠解決兩類三角形問題：已知三邊求任意角；已知兩邊及夾角解三角形。6.作業(yè)層次一：教材習(xí)題a組24層次二 在abc中，已知a =羽,b =近,b = 45° ,求a,crco3 對(duì)“變式教學(xué)”的幾點(diǎn)思考3.1要把握好探究問題的“潛在距離”在變式教學(xué)中，如何設(shè)置作為教學(xué)鋪墊的變式，使其與前后知識(shí)之間建立適當(dāng)?shù)淖兪?鋪墊。為此，顧泠沅等研究者引入了“潛在距離”的概念，以此衡量探究問題與學(xué)生已有知 識(shí)之間的接近程度。研究表明，當(dāng)潛在距離較小時(shí)，適宜學(xué)生理解掌握；當(dāng)潛在距離較大時(shí), 有利激

13、發(fā)學(xué)生探究能力。變式教學(xué)中探究問題的“潛在距離”的度要把握好，如果問題的“潛在距離”太小，學(xué)生的思維空間有限，即使很好的完成了口己的任務(wù)，也只是按照老師的旨意在做，不能發(fā) 揮學(xué)生的自主思考能力，無利學(xué)生思維培養(yǎng)。而若“潛在距離”太大，雖然有利學(xué)生進(jìn)行探 究，但對(duì)能rh于新ih知識(shí)之間相隔太遠(yuǎn)，使學(xué)生不知從何思考起，不能達(dá)到預(yù)期的探究效果, 甚至造成教學(xué)時(shí)間的浪費(fèi)，導(dǎo)致教學(xué)的低效率。因此，在變式教學(xué)中，探究問題的“潛在距 離”要把握得當(dāng)，要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生實(shí)際，作好合適的鋪墊，以最大效果的發(fā)揮學(xué)生的 探究能力。3.2變式教學(xué)應(yīng)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，變式的難度和數(shù)量應(yīng)適度變式教學(xué)必須建立在學(xué)生的認(rèn)

14、知發(fā)展水平和己有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，不能為了變而求 變。在變式的過程中，問題的難度應(yīng)該循序漸進(jìn)，應(yīng)靠近學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)水平，讓學(xué)生通過 適度的努力可以達(dá)到解決問題的目的。例如，在本課猜想定理的過程中，學(xué)生在老師的引導(dǎo) 下猜想/（zc）與zc有函數(shù)關(guān)系，并進(jìn)一步確定是余弦關(guān)系，并且由特殊值得到公式。讓 學(xué)生通過口己積極的數(shù)學(xué)體驗(yàn)，得出相應(yīng)的結(jié)論，而不僅僅是一個(gè)簡單的聽老師講解的過程。 相反，難度過大會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒，不僅不利于問題的解決，還會(huì)降低學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的 積極性。另外，變式問題不能過多、過濫，否則會(huì)使學(xué)生陷入新的題海，這樣不僅加重了學(xué) 生學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)，還會(huì)使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)產(chǎn)生厭煩情緒。3.3變式教學(xué)應(yīng)提高學(xué)生的參與意識(shí)在變式教學(xué)活動(dòng)屮，教師必須轉(zhuǎn)變觀念，發(fā)揚(yáng)教學(xué)民主，師生雙方應(yīng)密切配合，相互合 作，交流互動(dòng)。教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生積極參與變式活動(dòng)，變式過程不能僅由教師來完成。凡是能 rti學(xué)生完成的變式，就應(yīng)讓學(xué)生自主完成，有困難的變式可以在教師的引導(dǎo)下完成，這樣有 助于培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力。另外，教師要關(guān)注學(xué)生的能力的差異，使每個(gè)學(xué)生在變式活 動(dòng)中得到充分的發(fā)展。學(xué)生在變式活動(dòng)中取得的成績，無論大小，也應(yīng)給予肯定和鼓勵(lì)，這 樣不僅可以讓學(xué)生感受到獲得成功的快樂，鍛煉克服困難的意志，還能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)