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文檔簡(jiǎn)介
1、一元二次方程復(fù)習(xí)一) 一元二次方程的定義是一元二次方程的一般式,只含有一個(gè)末知數(shù)、且末知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程,叫做一元二次方程。這三個(gè)方程都是一元二次方程。求根公式為二)。a是二次項(xiàng)系數(shù);b是一次項(xiàng)系數(shù);c是常數(shù)項(xiàng),注意的是系數(shù)連同符號(hào)的概念。這些系數(shù)及一元次方程的根之間有什么樣的關(guān)系呢?1、當(dāng)>0時(shí)方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;2、當(dāng)0時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;3、當(dāng)< 0時(shí)方程無(wú)實(shí)數(shù)根.4、當(dāng)0時(shí)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根(方程有實(shí)數(shù)根);5、ac<0時(shí)方程必有解,且有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根; 6、c=0,即缺常數(shù)項(xiàng)時(shí),方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,且有一個(gè)根是0.另一個(gè)根為7、當(dāng)a、b、c
2、是有理數(shù),且方程中的是一個(gè)完全平方式時(shí),這時(shí)的一元二次方程有有理數(shù)實(shí)數(shù)根。8若,是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根, 即(注意在使用根系關(guān)系式求待定的系數(shù)時(shí)必須滿足0這個(gè)條件,否則解題就會(huì)出錯(cuò)。)例:已知關(guān)于X的方程,問:是否存在實(shí)數(shù)m,使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于56,若存在,求出m的值,若不存在,請(qǐng)說明理由。一元二次方程可變形為的形式。可以用求根公式法分解二次三項(xiàng)式。9、以兩個(gè)數(shù)x1 x2為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是:x2-(x1+x2)x+ x1 x2010幾種常見的關(guān)于的對(duì)稱式的恒等變形三)例題1如果方程x2-3x+c=0有一個(gè)根為1,求另一個(gè)根及常數(shù)項(xiàng)的值。解法一)用方程根的定義
3、解: 解法二)用根系數(shù)關(guān)系解:2用十字相乘法解一元二次方程(一元二次方程的左邊是一個(gè)二次三項(xiàng)式右邊是0,這樣的題型若能用十字相乘法解題的、要盡量使用十字相乘法、因?yàn)樗扔霉椒ń忸}方便得多)。十字相乘法的口訣是:右豎乘等于常數(shù)項(xiàng),左豎乘等于二次項(xiàng)系數(shù),對(duì)角積之和等于一次項(xiàng)系數(shù)。三個(gè)條件都符合,結(jié)論添字母橫寫(看成是關(guān)于誰(shuí)的二次三項(xiàng)式就添誰(shuí))。解下面一道一元二次方程x2-110x+2925=0 1 -651 -45-65 -45= -110四)及根的關(guān)系的綜合運(yùn)用(ax2+bx+c=0, a0)ax2+bx+c=0, (a>0)>0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C>0兩根同號(hào)b>0
4、有兩個(gè)負(fù)根不相等b<0有兩個(gè)正根不相等C< 0兩根異號(hào)b>0負(fù)根絕對(duì)值較大(正根絕對(duì)值較小)b<0正根絕對(duì)值較大(負(fù)根絕對(duì)值較小)b =0兩根絕對(duì)值相等C=0一根為零b>0一根為0另一個(gè)根為負(fù)根b<0一根為0另一個(gè)根為正根=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根b>0有兩個(gè)相等的負(fù)根b<0有兩個(gè)相等的正根b =0有兩個(gè)相等的根都為0五)“”,“x1.x2 ”,“x1+x2”及“0”的關(guān)系綜合判斷一元二次方程根的情況>01有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根 x1.x2>0 x1+x2< 0>02有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根 x1.x2>0x1+x2>
5、;0>03負(fù)根的絕對(duì)值大于正根的絕對(duì)值 x1.x2< 0x1+x2< 0>04兩個(gè)異號(hào)根正的絕對(duì)值較大 x1.x2< 0 x1+x2>0>05兩根異號(hào),但絕對(duì)值相等 x1.x2< 0 x1+x20>06一個(gè)負(fù)根,一個(gè)零根 x1.x2 0x1+x2< 0>07一個(gè)正根,一個(gè)零根 x1.x20x1+x2>008有兩個(gè)相等的負(fù)根 x1.x2>0x1+x2< 009有兩個(gè)相等的正根 x1.x2>0x1+x2>0010有兩個(gè)相等的根都為零 x1.x20x1+x20>011兩根互為倒數(shù) x1.x2112兩
6、根互為相反數(shù) >0 x1+x2013兩根異號(hào) >0 14兩根同號(hào) 0 x1.x2< 0 x1.x2>015有一根為零 >0 x1.x20 16有一根為-1 >0 a-b+c=017無(wú)實(shí)數(shù)根 < 018兩根一個(gè)根大于m,另一個(gè)小于m,(mR) >019 ax2+bx+c (a0)這個(gè)二次三項(xiàng)式是完全平方式 020方程ax2+bx+c 0 (a0)(a、b、c都是有理數(shù))的根為有理根,則是一個(gè)完全平方式。21方程ax2+bx+c 0 (a0)的兩根之差的絕對(duì)值為:22 0,方程ax2+bx+c 0 (a0)有相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。23 < 0, 方
7、程ax2+bx+c 0 (a0)無(wú)實(shí)數(shù)根.24方程ax2+bx+c 0 (a0)一定有一根為“1”0 a+b+c=025方程ax2+bx+c 0 (a0)的解為26方程ax2+bx+c 0 (a0)若0則 注:凡是題中出現(xiàn)了x1.x2< 0;或;或a、c異號(hào)就能確保>0 即a、c異號(hào)方程必有解。1、 m為何值時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;無(wú)實(shí)數(shù)根;有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;有一根為0;兩根同號(hào);有一個(gè)正根一個(gè)負(fù)根;兩根互為倒數(shù)。2、已知方程的兩根一個(gè)大于1,另一個(gè)根小于1,求m的值的范圍。3、已知實(shí)數(shù)a、b滿足,且求的值。4、 已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,(1) 求k的取值范圍
8、(2)化簡(jiǎn)5、用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?說明選用的理由)六)“歸舊”思想在解一元二次方程中的應(yīng)用“歸舊”就是把待解決的問題,通過某種轉(zhuǎn)化,歸結(jié)為能用已掌握的舊知識(shí)去解決的問題。一元二次方程有直接開平方法、配方法、因式分解法和公式法,這幾種解法,都是用“歸舊”的數(shù)學(xué)思想方法求解。下面就各種方法分別加以說明。直接開平方法:適用于等號(hào)左邊是一個(gè)完全平方式,右邊是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)的形式,形如(mx+n)2=p (m0,p0)的方程。我們可以利用平方根的定義“歸舊”為兩個(gè)一元一次方程去解,即有一元一次方程為mx+n=±,分別解這兩個(gè)一元一次方程就得到原方程的兩個(gè)根。用簡(jiǎn)明圖表可表示為:直接開平方法:
9、形如(mx+n)2=p (m0,p0)兩個(gè)一元一次方程。配方法:最適用于二次項(xiàng)系數(shù)為1,一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)的形式的一元二次方程,形如x2+2kx+m=0(當(dāng)然一般的形如ax2+bx+c=0 a0 也可用,但不一定是最合適的方法)。這類方程我們可以通過已掌握的配方的手段,把原方程“歸舊”為上述形如(mx+n)2=p (m0,p0) 的方程,然后再用直接開平方法的方法求解。用簡(jiǎn)明圖表可表示為:配方法:一元二次方程 形如(mx+n)2=p (m0,p0)的方程因式分解法:這種方法平時(shí)用的最多,最適用于等式左邊能分解成幾個(gè)一次因式的積、而右邊必須為零的形式的一元二次方程方程。這類方程我們可以通過已掌握的
10、因式分解的手段,把原方程轉(zhuǎn)化為形如(a1x+c1)(a2x+c2)=0方程,從而“歸舊”為a1x+c1=0 、a2x+c2=0 ,再分別求出這兩個(gè)一元一次方程的根,就得到原一元二次方程的兩個(gè)解。用簡(jiǎn)明圖表可表示為: 因式分解法:一元二次方程兩個(gè)一元一次方程公式法:公式法的實(shí)質(zhì)就是配方法,只不過在解題時(shí)省去了配方的過程,所以解法簡(jiǎn)單。但計(jì)算量較大,只有在不便運(yùn)用上述三種方法,且各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值為較小的數(shù)值情況下才考慮使用該方法。一元二次方程練習(xí)題一、 填空1一元二次方程化為一般形式為:,二次項(xiàng)系數(shù)為:,一次項(xiàng)系數(shù)為:,常數(shù)項(xiàng)為:。2關(guān)于x的方程,當(dāng)時(shí)為一元一次方程;當(dāng)時(shí)為一元二次方程。3已知直角
11、三角形三邊長(zhǎng)為連續(xù)整數(shù),則它的三邊長(zhǎng)是。4. ;。5直角三角形的兩直角邊是34,而斜邊的長(zhǎng)是15,那么這個(gè)三角形的面積是。6若方程的兩個(gè)根是和3,則的值分別為。7若代數(shù)式及的值互為相反數(shù),則的值是。8方程及的解相同,則=。9當(dāng)時(shí),關(guān)于的方程可用公式法求解。10若實(shí)數(shù)滿足,則=。11若,則=。12已知的值是10,則代數(shù)式的值是。二、 選擇1下列方程中,無(wú)論取何值,總是關(guān)于x的一元二次方程的是( )(A) (B)(C) (D)2若及互為倒數(shù),則實(shí)數(shù)為( )(A)± (B)±1 (C)± (D)±3若是關(guān)于的一元二次方程的根,且0,則的值為( )(A) (B)1 (C) (D)4關(guān)于的一元二次方程的兩根中只有一個(gè)等于0,則下列條件正確的是( )(A) (B) (C) (D)5關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根,則( )(A)0 (B)0 (C)0 (D)06已知、是實(shí)數(shù),若,則下列說法正確的是(
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