重積分主要內(nèi)容

1、 主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容1. 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)2. 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法3. 二重積分的應(yīng)用二重積分的應(yīng)用4. 三重積分的概念及其計(jì)算法三重積分的概念及其計(jì)算法5. 利用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計(jì)算利用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分三重積分第九章第九章 重重 積積 分分第九章第九章 重重 積積 分分 1、理解重積分的定義，熟悉重積分的性質(zhì)； 2、掌握二重積分的計(jì)算法（包括直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)），掌握三重積分的計(jì)算法 （包括直角坐標(biāo)，柱面坐標(biāo)，球面坐標(biāo)） 3、熟悉重積分在幾何、物理中的應(yīng)用（包括平面圖形的面積、立體體積；平面薄片和空間立體的質(zhì)量、重心和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（慣性矩）

2、；第一節(jié)第一節(jié) 二重積分的概念二重積分的概念與性質(zhì)與性質(zhì) 二重積分的引入二重積分的引入 二重積分的概念二重積分的概念 二重積分的性質(zhì)二重積分的性質(zhì)=底面積底面積高高特點(diǎn)特點(diǎn)：平頂：平頂.=？特點(diǎn)特點(diǎn)：曲頂：曲頂.2曲頂柱體曲頂柱體的體積的體積一、問題的提出一、問題的提出1平頂柱體平頂柱體的體積的體積二、二重積分的概念二、二重積分的概念1什么是曲頂柱體？什么是曲頂柱體？z,zfx y( , )0f x y 顯然，顯然，平頂柱體的體積平頂柱體的體積=底面積底面積高高，而曲頂，而曲頂柱體的體積不能直接用上式計(jì)算，那么怎樣來計(jì)柱體的體積不能直接用上式計(jì)算，那么怎樣來計(jì)算呢？算呢？ 以以 xoy 平面的

3、平面的有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域d為底為底、側(cè)面是以、側(cè)面是以d的邊界曲線的邊界曲線c作準(zhǔn)線而母線平行于作準(zhǔn)線而母線平行于 軸的柱面，軸的柱面，頂是曲面頂是曲面這里這里且且在在d上連續(xù)所形成的立體上連續(xù)所形成的立體稱為稱為曲頂柱體曲頂柱體（如上（如上圖）。圖）。2. 其體積其體積v怎樣計(jì)算？怎樣計(jì)算？xzyo 由第五章由第五章求曲邊梯形面積的方法求曲邊梯形面積的方法就不難想到就不難想到下面的解決辦法：下面的解決辦法：用一組曲線網(wǎng)將用一組曲線網(wǎng)將xoy面上的區(qū)域面上的區(qū)域d劃分劃分為為n個(gè)小區(qū)域個(gè)小區(qū)域12,.n(1,2, )iin也同時(shí)記為它們的面積，也同時(shí)記為它們的面積，分別以各小閉區(qū)域的邊界曲線

4、為準(zhǔn)線，作母線分別以各小閉區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線，作母線平行于平行于z軸的柱面，這些柱面軸的柱面，這些柱面把原曲頂柱體分為把原曲頂柱體分為n個(gè)小曲頂柱體個(gè)小曲頂柱體當(dāng)這些小閉區(qū)域的直徑很小時(shí)，當(dāng)這些小閉區(qū)域的直徑很小時(shí)，連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) 的變化不大，這時(shí)小的變化不大，這時(shí)小曲頂柱體可曲頂柱體可近似近似看作平頂柱體在每個(gè)看作平頂柱體在每個(gè)( ,)f x y(1,2, )iin中各中各任取任取一點(diǎn)一點(diǎn)(,)(1,2, )iiipin (,)iif以為高而底為為高而底為i的小平頂柱體體積為的小平頂柱體體積為( ,)(1,2, )iiifin 這這n個(gè)平頂柱體體積之個(gè)平頂柱體體積之和和1(,)niiii

5、f 可作為整個(gè)曲頂柱體體積的近似值令可作為整個(gè)曲頂柱體體積的近似值令n個(gè)個(gè)小閉區(qū)域的小閉區(qū)域的直徑中的最大值（記作直徑中的最大值（記作）趨于零趨于零，取上述和的取上述和的極限極限，所得的極限就，所得的極限就定義為所論曲頂柱體的體積定義為所論曲頂柱體的體積 綜合起來，即所謂“分割、近似、作分割、近似、作和、取極限和、取極限”四步。xzod),(yxfz i),(ii 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和分割、求和、取極限、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示的方法，如下動(dòng)畫演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、近似、分割、近似、求和、取極限求和、取極限”的方法，如下動(dòng)

6、畫演示的方法，如下動(dòng)畫演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、近似、分割、近似、求和、取極限求和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示的方法，如下動(dòng)畫演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、近似、分割、近似、求和、取極限求和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示的方法，如下動(dòng)畫演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、近似、分割、近似、求和、取極限求和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示的方法，如下動(dòng)畫演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、近似、分割、近似、求和、取極限求和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示的方法，如下動(dòng)畫演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱

7、體的體積采用 “分割、近似、分割、近似、求和、取極限求和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示的方法，如下動(dòng)畫演示步驟如下：步驟如下：(3)用若干個(gè)小平頂柱體用若干個(gè)小平頂柱體體積之體積之和和近似近似表示曲頂表示曲頂柱體的體積，柱體的體積，xzyod),(yxfz i),(ii10( , )lim.niiiivf (4)取極限：曲頂柱體的體積取極限：曲頂柱體的體積(1)先先分割分割曲頂柱體的曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域底，并取典型小區(qū)域i (2)( , )iiiivf :近似11( , )nniiiiiivvf 1maxii n 其中 設(shè)有一平面薄片，占有設(shè)有一平面薄片，占有xoy面上的閉區(qū)域面上的閉

8、區(qū)域d，在，在點(diǎn)點(diǎn)),(yx處的面密度為處的面密度為),(yx ，假定，假定),(yx 在在d上上連續(xù)，平面薄片的質(zhì)量為多少？連續(xù)，平面薄片的質(zhì)量為多少？ 求平面薄片的質(zhì)量求平面薄片的質(zhì)量 i),(ii將薄片將薄片分割分割成若干小塊，成若干小塊，取典型小塊，將其取典型小塊，將其近似近似看作均勻薄片，看作均勻薄片， 所有小塊質(zhì)量之所有小塊質(zhì)量之和和近似等于薄片總質(zhì)量（近似等于薄片總質(zhì)量（極限）極限）.),(lim10iiniim xyo定義定義 設(shè)設(shè)),(yxf在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域d上有定義，將閉區(qū)上有定義，將閉區(qū)域域d任意任意分成分成n個(gè)小閉區(qū)域個(gè)小閉區(qū)域1 ，,2 ，n ，其，其中中i

9、表示第表示第i個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的面?zhèn)€小閉區(qū)域，也表示它的面積，在每個(gè)積，在每個(gè)i 上上任取一點(diǎn)任取一點(diǎn)),(ii ， 作乘積作乘積 ),(iif i ， ), 2 , 1(ni ， 并作和并作和 iiniif ),(1， 3.二重積分的定義二重積分的定義如果當(dāng)各小閉區(qū)域的如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值直徑中的最大值 趨近于零趨近于零時(shí)， 這時(shí)， 這和式的極限和式的極限存在， 則稱此極限為函數(shù)存在， 則稱此極限為函數(shù)),(yxf在閉區(qū)域在閉區(qū)域 d d 上的上的二重積分二重積分， 記為記為 ddyxf ),(， 即即 ddyxf ),(iiniif ),(lim10. . (1) 在在二二

10、重重積積分分的的定定義義中中，對對閉閉區(qū)區(qū)域域的的劃劃分分是是任任意意的的. 注：注：(2)當(dāng)當(dāng)),(yxf在在閉區(qū)域上連續(xù)閉區(qū)域上連續(xù)時(shí)，或時(shí)，或分片連續(xù)且有界分片連續(xù)且有界，定，定義中和式的極限必存在，即二重積分必存在義中和式的極限必存在，即二重積分必存在. (3)幾何意義：幾何意義：當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積體的體積當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體體積的負(fù)值當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體體積的負(fù)值).(),(),()4(drfdyxfdyxfd 記記上上可可積積，在在存存在在，稱稱若若xyo(5) 面積元素為面積元素為ddxdy二重積分

11、可寫為二重積分可寫為( , )( , )ddf x y df x y dxdy ddyxfv ),()6( ddyxm ),(性質(zhì)性質(zhì)當(dāng)當(dāng) 為常數(shù)時(shí)為常數(shù)時(shí)，k.),(),( dddyxfkdyxkf 性質(zhì)性質(zhì) ddyxgyxf ),(),(.),(),( dddyxgdyxf （二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)對區(qū)域具有可加性對區(qū)域具有可加性.),(),(),(21 ddddyxfdyxfdyxf 性質(zhì)性質(zhì) 若若 為為d的面積，的面積，.1 dddd 性質(zhì)性質(zhì) 若在若在d上上),(),(yxgyxf .),(),( d

12、ddyxgdyxf 推論推論(1).),(),( dddyxfdyxf )(21ddd 則有則有 dyxfdyxfdyxfddd ),(),(),(即證：即證：),(),(),(yxfyxfyxf 證明：證明：）據(jù)據(jù)性性質(zhì)質(zhì)（ 5 dyxfdyxfdyxfddd ),(),(),( 設(shè)設(shè)m、m分分別別是是),(yxf在在閉閉區(qū)區(qū)域域 d 上上的的最最大大值值和和最最小小值值， 為為 d 的的面面積積，則則性質(zhì)性質(zhì) dmdyxfm),(（二重積分估值不等式）（二重積分估值不等式）例例 1 1 估計(jì)估計(jì) dxyyxdi16222 的值，的值， 其中其中 d： 20, 10 yx. 區(qū)域面積區(qū)域面積

13、2 ,16)(1),(2 yxyxf在在d上上),(yxf的的最最大大值值)0(41 yxm),(yxf的的最最小小值值5143122 m)2, 1( yx 故故4252 i. 5 . 04 . 0 i解解 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxf在在閉閉區(qū)區(qū)域域d上上連連續(xù)續(xù)， 為為d的的面面積積，則則在在 d 上上至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)),( 使使得得性質(zhì)性質(zhì)（二重積分中值定理）（二重積分中值定理） ),(),(fdyxfd為連續(xù)函數(shù)。為連續(xù)函數(shù)。，其中，其中、求、求例例),(),(1lim222220yxfdxdyyxfyx 解解：據(jù)據(jù)積積分分中中值值定定理理 ),(1lim),(1lim202022

14、2iiyxfdxdyyxf 220),(1lim iif ).0 , 0(f .0),(,0),(),(3 yxfdyxfdyxfd則則且且上上非非負(fù)負(fù)連連續(xù)續(xù)，在在有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域、若若例例 0),(,),(, 0),(0000 yxfdyxyxf使使則則證證明明：若若00),( , 0),(dyxyxfdd ，使，使則則0),(0 dyxfd0),(),(0 dyxfdyxfdd. 0),( yxf矛盾矛盾例例 4 4 判斷判斷 122)ln(yxrdxdyyx的符號(hào)的符號(hào).0r1 當(dāng)當(dāng)1 yxr時(shí)時(shí), 1)(0222 yxyx故故 0)ln(22 yx;又又當(dāng)當(dāng) 1 yx時(shí)時(shí), 0)

15、ln(22 yx于是于是0)ln(122 yxrdxdyyx.解解性質(zhì)性質(zhì)8. 0),(),(),(1 ddyxfyxfyxfyd 則則軸對稱，軸對稱，關(guān)于關(guān)于、若、若. 0),(),(),(2 ddyxfyxfyxfxd 則則軸對稱，軸對稱，關(guān)于關(guān)于、若、若.),(2),(),(),(11 dddyxfdyxfyxfyxfddyd 則則在第一象限部分，在第一象限部分，為為軸對稱，軸對稱，關(guān)于關(guān)于若若.),(4),(),(),(),(),(,11 dddyxfdyxfyxfyxfyxfyxfddyxd則則在第一象限部分，在第一象限部分，為為軸對稱，軸對稱，關(guān)于關(guān)于若若.),(2),(),(),

16、(11 dddyxfdyxfyxfyxfddxd 則則在第一象限部分，在第一象限部分，為為軸對稱，軸對稱，關(guān)于關(guān)于若若分分計(jì)計(jì)算算、化化簡簡下下列列二二重重積積例例5. 1:,)cos(sin12222 yxddyxxyd 、.2:,)sin(222223yyxddyxxd 、所圍區(qū)域。所圍區(qū)域。及及是由是由其中其中、14,)(322 yxyxyddyxd dxyyx14、22： 1 sin cos()0dxyxy d(答 案 、0)sin(2223 ddyxx 、 12)(3ddyddyx 、1110000444)xyxyxyxxyyxydxydxyd 、思考題思考題 將二重積分定義與定積分定義進(jìn)行比較，將二重積分定義與定積分定義進(jìn)行比較，找出它們的相同之處與不同之處找出它們的相同之處與不同之處.課外思考題：課外思考題： 能否用一個(gè)積分式表示二者？能否用一個(gè)積分式表示二者？ 定積分與二重積分都表示某個(gè)和式的極限定積分與二重積分都表示某個(gè)和式的極限值，且此值只與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關(guān)不值，且此值只與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關(guān)不同的是定積分的積分區(qū)域?yàn)閰^(qū)間，被