高等數(shù)學(xué)：6-2(3) 平面曲線的弧長(zhǎng)

1、6-2(3) 平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng)一、平面曲線弧長(zhǎng)的概念一、平面曲線弧長(zhǎng)的概念二、直角坐標(biāo)的情形二、直角坐標(biāo)的情形三、參數(shù)方程的情形三、參數(shù)方程的情形四、極坐標(biāo)的情形四、極坐標(biāo)的情形xoy0MA nMB 1M2M1 nM設(shè)設(shè)A、B是是曲曲線線弧弧上上的的兩兩個(gè)個(gè)端端點(diǎn)點(diǎn)，在在弧弧上上插插入入分分點(diǎn)點(diǎn)BMMMMMAnni ,110并依次連接相鄰分點(diǎn)得一內(nèi)接折線，當(dāng)分點(diǎn)的數(shù)目并依次連接相鄰分點(diǎn)得一內(nèi)接折線，當(dāng)分點(diǎn)的數(shù)目無限增加且每個(gè)小弧段都縮向一點(diǎn)時(shí)，無限增加且每個(gè)小弧段都縮向一點(diǎn)時(shí)，此折線的長(zhǎng)此折線的長(zhǎng)|11 niiiMM的極限存在，則稱此極限為的極限存在，則稱此極限為曲線弧曲線弧AB的

2、弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng).一、平面曲線弧長(zhǎng)的概念一、平面曲線弧長(zhǎng)的概念 設(shè)設(shè)曲曲線線弧弧為為)(xfy )(bxa ，其其中中)(xf在在,ba上上有有一一階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xoyabxdxx 取取積積分分變變量量為為x，在在,ba上上任任取取小小區(qū)區(qū)間間,dxxx ，以對(duì)應(yīng)小切線段的長(zhǎng)代替小弧段的長(zhǎng)以對(duì)應(yīng)小切線段的長(zhǎng)代替小弧段的長(zhǎng) dy小小切切線線段段的的長(zhǎng)長(zhǎng)22)()(dydx dxy21 弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)元素dxyds21 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).12dxysba 二、直角坐標(biāo)情形二、直角坐標(biāo)情形例例 1 1 計(jì)計(jì)算算曲曲線線2332xy 上上相相應(yīng)應(yīng)于于x從從a到到b的的一一段段弧弧的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度.解解,21xy d

3、xxds2)(121 ,1dxx 所求弧長(zhǎng)為所求弧長(zhǎng)為dxxsba 1.)1()1(322323ab ab例例 2 2 計(jì)計(jì)算算曲曲線線 dnynx 0sin的的弧弧長(zhǎng)長(zhǎng))0( nx.解解nnxny1sin ,sinnx dxysba 21dxnxn 0sin1ntx ndtt 0sin1dtttttn 0222cos2sin22cos2sindtttn 02cos2sin.4n 曲線弧為曲線弧為,)()( tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù).22)()(dydxds 222)()(dttt dttt)()(22 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).)()(22dttts 三

4、、參數(shù)方程情形三、參數(shù)方程情形例例 3 3 求求星星形形線線323232ayx )0( a的的全全長(zhǎng)長(zhǎng).解解 星形線的參數(shù)方程為星形線的參數(shù)方程為 taytax33sincos)20( t根據(jù)對(duì)稱性根據(jù)對(duì)稱性14ss dtyx 20224dttta 20cossin34.6a 例例 4 4 證證明明正正弦弦線線xaysin )20( x的的弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)等等于于橢橢圓圓 taytxsin1cos2 )20( t的的周周長(zhǎng)長(zhǎng).證證設(shè)正弦線的弧長(zhǎng)等于設(shè)正弦線的弧長(zhǎng)等于1sdxys 20211dxxa 2022cos1設(shè)橢圓的周長(zhǎng)為設(shè)橢圓的周長(zhǎng)為2s,cos12022dxxa ,20222dtyxs 根據(jù)

5、橢圓的對(duì)稱性知根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知 dttats 02222cos1sin2dxxa 022cos12,1s 故原結(jié)論成立故原結(jié)論成立.dtta 022cos12曲線弧為曲線弧為)( )( rr 其中其中)( 在在, 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù). sin)(cos)(ryrx)( 22)()(dydxds ,)()(22 drr 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).)()(22 drrs 四、極坐標(biāo)情形四、極坐標(biāo)情形例例 5 5 求求極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下曲曲線線33sin ar的的長(zhǎng)長(zhǎng). .)0( a解解 drrs )()(22313cos3sin32 ar,3cos3sin2 a.23a daa242623cos3s

6、in3sin 30 d23sin 30a 0()3 例例 6 6 求求阿阿基基米米德德螺螺線線 ar )0( a上上相相應(yīng)應(yīng)于于 從從0到到 2的的弧弧長(zhǎng)長(zhǎng).解解,ar drrs )()(22 .)412ln(412222 a 20 daa222 20a d12 平面曲線弧長(zhǎng)的概念平面曲線弧長(zhǎng)的概念直角坐標(biāo)系下直角坐標(biāo)系下參數(shù)方程情形下參數(shù)方程情形下極坐標(biāo)系下極坐標(biāo)系下弧微分的概念弧微分的概念求弧長(zhǎng)的公式求弧長(zhǎng)的公式 五、小結(jié)五、小結(jié)思考題思考題 閉區(qū)間閉區(qū)間,ba上的連續(xù)曲線上的連續(xù)曲線)(xfy 是否一定可求長(zhǎng)？是否一定可求長(zhǎng)？思考題解答思考題解答不一定僅僅有曲線連續(xù)還不夠，必須保證不一定

7、僅僅有曲線連續(xù)還不夠，必須保證曲線光滑才可求長(zhǎng)曲線光滑才可求長(zhǎng)作業(yè)作業(yè) P286 22; 25; 27 ; 30 一、一、 填空題：填空題：1 1、 曲線曲線xyln 上相應(yīng)于上相應(yīng)于83 x的一段弧長(zhǎng)為的一段弧長(zhǎng)為_；2 2、 漸伸線漸伸線)sin(costttax ，)cos(sintttay 上相應(yīng)于上相應(yīng)于變到變到從從 0t 的一段弧長(zhǎng)為的一段弧長(zhǎng)為_；3 3、 曲 線曲 線1 r自自43 至至34 一 段 弧 長(zhǎng) 為一 段 弧 長(zhǎng) 為_ . .二、二、 計(jì)算半立方拋物線計(jì)算半立方拋物線32)1(32 xy被拋物線被拋物線32xy 截得的一段弧的長(zhǎng)度截得的一段弧的長(zhǎng)度 . .三、三、 計(jì)算星形線計(jì)算星形線tax3cos ，tay3sin 的全長(zhǎng)的全長(zhǎng) . .練練 習(xí)習(xí) 題題四四、 求求心心形形線線)cos1( ar的的全全長(zhǎng)長(zhǎng). .五五、 證證明明：曲曲線線xysin )20( x的的弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)等等于于橢橢圓圓2222 yx的的周周長(zhǎng)長(zhǎng). .六六、 在在擺擺線線),sin(ttax )cos1(tay 上上求求分分?jǐn)[擺線線第第一一拱拱成成3:1的的點(diǎn)點(diǎn)的的坐