專題五二次函數(shù)與冪函數(shù)(2021年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題)

1、專題五二次函數(shù)與幕函數(shù)一、題型全歸納題型一幕函數(shù)的圖象及性質(zhì)【題型要點】1.巧識幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)當(dāng)>0時，函數(shù)在第一象 限內(nèi)單調(diào)遞增在直線R=I右側(cè)，帑臥數(shù) 的指數(shù)由下向上逐漸增大當(dāng)<0時，函數(shù)在笫一象限內(nèi)單調(diào)遞減2.幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題的解題策略(1) 關(guān)于圖象辨識問題，關(guān)鍵是熟悉各類幕函數(shù)的圖象特征，如過特殊點、凹凸性等.(2) 關(guān)于比較幕值大小問題，結(jié)合幕值的特點利用指數(shù)幕的運算性質(zhì)化成同指數(shù)幫，選擇適當(dāng)?shù)哪缓瘮?shù)，借 助貝單調(diào)性進行比較或應(yīng)用.(3) 在解決幕函數(shù)與苴他函數(shù)的圖象的交點個數(shù)、對應(yīng)方程根的個數(shù)及近似解等問題時，常用數(shù)形結(jié)合的思 想方法，即在同一坐標(biāo)系下畫出兩

2、函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解.【例1】已知幕函數(shù)f=2"%gn*)的圖象與X軸$軸沒有交點，且關(guān)于 >，軸對稱，則加的所有可能 取值為【解析】因為慕函數(shù)y=xw2 2ffl 3(N*)的圖象與X軸、Iy軸沒有交點，且關(guān)于P軸對稱，所以加一2加一30 且 7w22?/;-3(wN*)為偶數(shù).由臚一2加一30 得一1 <n<3,又 JrIN*,所以加=1, 2. 3,當(dāng)加=1 時， 加22加一3 = 123 = 4為偶數(shù)，符合題意：當(dāng)m=2時，m2-2w-3=4-4-3 =-3為奇數(shù)，不符合題 意：當(dāng)加=3時，臚一2加一3 = 963=0為偶數(shù)，符合題意.綜上所述，加=1,

3、 3.【例2】幕函數(shù)>-=x)的圖象過點(4,2),則幕函數(shù)y=x)的圖象是()【解析】設(shè)幕函數(shù)的解析式為y=x,因為幕函數(shù)y=x)的圖象過點(4, 2),所以2=4%解得=, 所以,其定義域為O, ÷)且是增函數(shù)，當(dāng)OVXVl時，其圖象在直線V=X的上方故選C.題型二 求二次函數(shù)的解析式【題型要點】求二次函數(shù)解析式的方法根據(jù)已知條件確龍二次函數(shù)的解析式，一般用待左系數(shù)法，但所給條件不同選取的求解方法也不同，選擇規(guī)律如下：丿三個點的坐標(biāo)卜宜選用一股式 頂點坐標(biāo))(巳知(對稱軸FH宜選用頂點式 p 大(小)、與母兩交點的EH選用冠刃【例1】已知二次函數(shù)T(X)滿足2)=-h X-

4、I)=-1,且XX)的最大值是8,試確立此二次函數(shù)的解析式.【解析】解法一(利用一般式):"4+2b+c= 11設(shè)(x)=2 + bx+c(0)由題意得Va b+c= 1,Aac-Ira=_4,解得橋=4, 所以所求二次函數(shù)的解析式為a)=-4a-2+4x+7.C= 7.解法二(利用頂點式)：設(shè)1(x)=d(-加F+"(O).大I為夬2)=7( 1),夬一1)=一1,所以拋物線的對稱軸為X= 一 =M所以1 1 2(1A2加=2又根據(jù)題意函數(shù)有最大值&所以 =&所以XX)=Q X一一 +8.因為2)=-h所以a X一一 +2 I2 丿I 2)S=-L 解得

5、a=4,所以4(x)=-4 X- + 8 = 4x2+4x+7.2丿解法三(利用零點式)：由已知得o + l = 0 的兩根為x=2, X2=-E 故可設(shè)(x)+l=(x2)(x+l),4 ( -1) c,即fix)=ax2-a-2a-l.又函數(shù)有最大值8,即石=8.解得a=-4或a=0(舍去),所以所求函數(shù)的解析式為(x)= 4x2+4x+7.型三二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)命題角度一 二次函數(shù)圖象的識別問題【題型要點】確泄二次函數(shù)圖象應(yīng)關(guān)注的三個要點一是看二次項系數(shù)的符號，它確左二次函數(shù)圖象的開口方向.二是看對稱軸和最值，它確龍二次函數(shù)圖象的具體位宜.三是看函數(shù)圖象上的一些特殊點,如函數(shù)圖象與軸的

6、交點、與X軸的交點，函數(shù)圖象的最髙點或最低點等.從這三個方而入手，能準確地判斷出二次函數(shù)的圖象.反之，也可以從圖象中得到如上信息.【例l(2020陜西榆林一中模擬)如圖是二次函數(shù)y=axbxc圖象的一部分，圖象過點出一3, 0),對稱 軸為x= l.給出下面四個結(jié)論：2>4ac:2ab=l；a-b+c=0:5a<Z>.英中正確的結(jié)論是()A. B. ®®C.D. ®【答案】B【解析】因為二次函數(shù)的圖象與X軸交于兩點，所以b2-4acX),即b2>4ac,正確：對稱軸為X=-1,即 寺=1, 2a-b=0,錯誤：結(jié)合圖象，當(dāng)x= l時，JAo

7、,即ab+c>Q,錯誤：由對稱軸為x= 1知，b=2a,又函數(shù)圖象開口向下，所以av,所以5a<2a,即5a<b,正確.故選B命題角度二二次函數(shù)的單調(diào)性及最值問題【題型要點】二次函數(shù)的單調(diào)性及最值問題(1) 類型：對稱軸、區(qū)間都是給立的：對稱軸動、區(qū)間固左：對稱軸定、區(qū)間變動.(2) 解決這類問題的思路：抓住“三點一軸”數(shù)形結(jié)合，三點是指區(qū)間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸, 結(jié)合配方法，根拯函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想即可完成.【例1】求函數(shù)+2-+1在區(qū)間一 1, 2上的最大值.【解析】y(x)=+)2+l品所以介)的圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為X=-G當(dāng)V*即 a&

8、gt;+時,y(x)ma =(2)=4+5 一當(dāng)一 即處一削寸，(x)max = 一 1)=2 2,4 + 5, a>-22, -2【例2】函數(shù)金)=aF+(a3)x+l在區(qū)間一 1, +-)上是遞減的，則實數(shù)a的取值范圍是【解析】當(dāng)a=0時，Hx)=-3x+l在一 1, +©上遞減，滿足條件.a<0當(dāng)a0時，Xx)的對稱軸為X=守，由心)在T，+8)上遞減知<3-a 解得-3<0.綜上，a的取值范圍為一3, 0故填一3, 0命題角度三 一元二次不等式恒成立問題【題型要點】1不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路一是分離參數(shù)：二是不分離參數(shù).兩種思路都是將問題歸結(jié)為

9、求函數(shù)的最值或值域.2. 記牢一元二次不等式恒成立的條件6T>0,(l)a2+bx+c>0(a0)恒成立的充要條件是 Ib4ac<Q.6f<0,a2+b+cv(a)恒成立的充要條件是仁 4 Cb一4ac<Q.【例1】已知函數(shù)J(X)=X2+jx-i,若對于任意xM,加+ 1,都有y(Rv成立，則實數(shù)加的取值范圍 是.【解析】作岀二次函數(shù)金)的草圖，對于任意x加，加+1,都有XX)V0,則有ys)v°'即,f (加+ 1) <0>/W2+?/2-1<0»(加+ 1) 2-n (w + l) IvO,解得一 <7W&

10、lt;0.【例2】已知函數(shù)A)=2+2x+l,x)>x+*在區(qū)間一3, 1上恒成立，則斤的取值范囤為【解析】由題意得x2+x+l>k在區(qū)間一3, 1上恒成立 設(shè)能)=x2+x+1, XT, 1,則 g(X)在一3, 1上遞減所以 g(x)mm=g(T)=l.所以XI.故斤的取值范用為(一 1)題型四分類討論思想在二次函數(shù)問題中的應(yīng)用【題型要點】二次函數(shù)是單穌函數(shù)(在左義域上只有一個最值點的函數(shù))，X=寺為其最值點橫坐標(biāo)，任英 兩側(cè)二次函數(shù)具有相反的單調(diào)性，當(dāng)已知二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)時，要根據(jù)對稱軸與已知區(qū)間 的位巻關(guān)系、二次函數(shù)開口方向進行分類討論，研究其最值【例1】已知

11、函數(shù)用)=x2+2c + l在區(qū)間一 1, 2上有最大值4,則實數(shù)的值為.【解析】：(x)=(x÷l)2÷l-.(1) 當(dāng)=0時，函數(shù)金)在區(qū)間一 1, 2上的值為常數(shù)1,不符合題意，舍去；(2) 當(dāng)QO時，函數(shù)Xx)在區(qū)間一 1, 2上是增函數(shù)，最大值為(2)=8+l=4,解得=|；(3) 當(dāng)GVO時，函數(shù)夬x)在區(qū)間一 1, 2上是減函數(shù)，最大值為夬一 1)=1 一=4,解得心一3.【例2】已知函數(shù)x)=-2zx÷l在區(qū)間2,習(xí)上單調(diào)且有最大值為8,則實數(shù)r的值為.【解析】 函數(shù)x)=-2tr+l圖象的對稱軸是x=6 函數(shù)在區(qū)間2, 5上單調(diào)，故芒2或5.若2

12、,則函數(shù)心)在區(qū)間2, 5上是增函數(shù),9故Xx)ma=y(5)=25 10r+l = 8,解得f=g若r5,則函數(shù)滄)在區(qū)間2, 5上是減函數(shù)，3 93此時fc(x)m3=y(2)=44r+l = 8,解得=了與5矛盾.綜上所述，綜上可知，的值為©或一3.二.高效訓(xùn)練突破一、選擇題1. (2020洛陽一中月考)拋物線y=ax2+bx+c的頂點在第一象限，與X軸的兩個交點分別位于原點兩側(cè), 則, b、C的符號為()A a<0. b<0. c<QB. <0, b>0, c>0C. <0, b<0, c>QD <0, b>0

13、, CVo【解析】由題意知拋物線開口向下，故v.由拋物線與X軸的兩個交點分別位于原點兩側(cè)得do.所以c>0.再由頂點在第一象限得一守X),所以b>02. 二次函數(shù)Xx)=2+加+5滿足條件-1)=3)則幾2)的值為()B. 6A5C. 8D. 與a, b的值有關(guān) 1 + 3【解析】因為函數(shù)J(X)=ax2+bx+5滿足條件夬一 1)=夬3),所以J(x)=ax2+bx+5的圖象關(guān)于X=-=I 對稱，則y(2)=X0)=5.故選A.3. 如圖是V=XS ®y=XbI (3)v=ax在第一象限的圖象，則a, S c的大小關(guān)系為()A. c<b<aB. a<b

14、<cC. b<c<a D a<c<b【解析L根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)，可知選D.4. (2020遼寧第一次聯(lián)考)設(shè)函數(shù)y)=x若Xd)刁3),貝J()A a2>b2B. a1<trC. a<bD. a>b【答案】A.【解析】：函數(shù)/(X)=J=(W)L令=,易知y=k在第一彖限為單調(diào)遞增函數(shù).又),所以a2>b2. 故選A.5. 對任意的x-2,l.不等式W+2-0恒成立，則實數(shù)的取值范圍是()A(8, 0B. (8, 3C0, +)D3, ÷)【解析】設(shè)=2+2(x2,1),英對稱軸為X=-I,所以當(dāng)X=I時，金)取得最大值3 G

15、所以30,解得Q3.故選D.6. (2020石家莊市模擬(一)若函數(shù)/(x)=x2+x+b的圖彖與X軸的交點為(1, 0)和(3, 0),則函數(shù)介)()A.在(一8, 2)上遞減，在2, +oo)上遞增B.在(一co, 3)上遞增C.在1, 3上遞增D.單調(diào)性不能確宦【解析】：由已知可得該函數(shù)圖象的對稱軸為x=2,又二次項系數(shù)為IX),所以XX)在(一co, 2)上是遞減的， 在2, +oo)上是遞增的.7. (2020福建連城一模)己知函數(shù)(x)=2x2-x+l(<0),若XlVXx+x2=0,則(x)與金2)的大小關(guān)系是 ()A. )=(X2)B. MX2)C. Xx1)<(x

16、2)D.與X的值無關(guān)【解析】：由題知二次函數(shù)XQ的圖象開口向下，圖象的對稱軸為x=£因為X1+X2=O,所以直線X=X1, X=R關(guān)于直線X=O對稱，由Xl<A-2,結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知XXl)勺(X2). 258. (2020甘肅甘谷一中第一次質(zhì)檢)若函數(shù)y=-3-4的圧義域為0, 小值域為- ,-4 ,則加的取值范圍是（）AO, 43（3、25【解析】：二次函數(shù)圖象的對稱軸為x=y且/I-=-y, 3）=0）=-4,結(jié)合函數(shù)圖象（如圖所示）9. (2019-襄陽五中期中)已知, b, C9 都是常數(shù)，a>b, c>d.若(x)=2 019-(-)(-b)的零點

17、為G d, 則下列不等式正確的是()A a>c>b>dB. a>b>c>dC. c>d>a>bD c>a>b>d【解析】x）=2 Q19-（-d）（-b）= -2+（+A）-+2 019,又»=»=2 019, G d 為函數(shù)金）的零點，且a>b, c>d.所以可在平而直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)幾力的大致圖象，如圖所示，由圖可知c>>b>d.故選D.10. （2019杭州測試）若函數(shù)x）=-2x÷l在區(qū)間a, +2上的最小值為4,則實數(shù)的取值集合為（）A. -3,3B.

18、 -L3C. -3,3D. -1, -33【解析】因為函數(shù)XX）=X2-2x+l=-l）2的圖彖的對稱軸為直線X=L x）在區(qū)間e +2上的最小值為 4,所以當(dāng) al 時，金皿=/S)=( 1)2=4, =-l(舍去)或 =3;當(dāng) +2l,即 1 時，金)迥=/ +2)=(+l)2=4, =l(舍去)或 =-3:當(dāng) <l<+2,即一 1 VaV 1 時，(x)mm=/(I) = O4.故 的取值集 合為一3,3.故選C.二、填空題1二次函數(shù)的圖象過點(H),對稱軸為x=2,最小值為一 1,則它的解析式為.【解析】依題意可設(shè)XX)=(-2)2 l(>0),又貝圖象過點(0,1)

19、.所以4 1 = 1,所以a=*,所以x)=(-2)2-l.2. (2020咁肅蘭州一中月考)已知函數(shù)3是幕函數(shù)，且在x(0. +oo)上遞減，則實數(shù)m【解析】：根據(jù)幕函數(shù)的左義和性質(zhì)，得臚一加一 1 = 1解得加=2或M= 1,當(dāng)M=2時，x)=x3在(0, +oo)上是減函數(shù)，符合題意；當(dāng)加=一1時，y(x)=l在(0, +oC)上不是減函數(shù)，所以ZW=2.3. 設(shè)函數(shù)金)=皿2_皿一 1,若對于xr, AV)<o恒成立，則實數(shù)加的取值范圍是.MV0,【解析】：當(dāng)加=0時，T(X)=-XO,符合題意當(dāng)0時，金)為二次函數(shù)，則由)<oIM成立得I n即 lJVU,MV0,Z 、，

20、、C解得一4SV0.故實數(shù)加的取值范圍是(一4, 0.I (-?n) 2-4m× (-1) <0,4. 若函數(shù)金)=W-2x+l在區(qū)間a,卄2上的最小值為4,則a的取值集合為【解析】：因為函數(shù)-v)=Xl-2x+ I=(X-I)2,對稱軸x=l,因為(x)在區(qū)間a, a+2上的最小值為4,所以當(dāng) 1 時，y(x)mm=y(a)=(a 1)2=4,解得 a= 1(舍去)或 a=3,當(dāng) a+2l,即 a-l 時，Xx)+2)=(÷ 1 )2=4,解得 a=l(舍去)或 a= 3,當(dāng) *1勺+2,即一IVaVI 時，)mm=y(I)=O4,故 a 的取值集合為一3, 3.5

21、. (2020重慶(區(qū)縣)調(diào)研測試)已知函數(shù)y) = -2x2 + WA- + 3(0w4, 0<-l)的最大值為4,則加的值為.【解析】：v) = 2x2+nix +3 = -23,因為0w4,所以O(shè)l,所以當(dāng)X=芋時，血取得最大值，所以背+3=4,解得w=22.6 (2019-河北師大附中期中)若函數(shù)&) = 2-2x÷3在一1, +oo)上單調(diào)遞減，則實數(shù)加的取值范圉為【解析】當(dāng)加=0時，(x)=-2x+3在R上單調(diào)遞減，符合題意；當(dāng)XO時，函數(shù)金)=wx2-2x+3在-1. +oo)上單調(diào)遞減，只需對稱軸A-=-b且m<Q,解得一 13<0,綜上，實

22、數(shù)加的取值范囤為-1,0.7.泄義：如果在函數(shù)y=x)k義域內(nèi)的給立區(qū)間e切上存在xo(v°vb),滿足冗士“尹辺兒,則稱 Da函數(shù)y=)是S，可上的“平均值函數(shù)“，Xo是它的一個均值點，如Iy=J是一 1, 1上的平均值函數(shù)，0就是 它的均值點.現(xiàn)有函數(shù)XX)= W+mr+1是一 1, 1上的平均值函數(shù)，則實數(shù)加的取值范用是.【解析】：因為函數(shù)x)=+w + 1是一 1, 1上的平均值函數(shù)，設(shè)X。為均值點，所以f I ：| =?M=Xxo)»即關(guān)于XO的方程一ao+wo÷ 1 =In在(1, 1)內(nèi)有實數(shù)根，解方程得XO=I或XO=TM-L所以必有一 1V加一I

23、vl,即0<w<2,所以實數(shù)加的取值范圍是(0, 2).三、解答題1.(2019杭州模擬)已知值域為一 1, +oo)的二次函數(shù)/(x)滿足夬一l+x)=( 1一力，且方程用)=0的兩個實 根 XI, X2 滿足PrI-X2=2.(1) 求(x)的表達式：函數(shù)g(x)=(x)-b在區(qū)間-1,2±的最大值為犬2),最小值久一 1),求實數(shù)上的取值范圍.【解析 由(-l+x)=(-l-)可得y(x)的圖象關(guān)于直線X=-I對稱，設(shè)(a)=a(x÷ 1 )2+7»=<7X2+2ax÷a +%0),由函數(shù)Xx)的值域為一1，+8),可得A=-I,

24、根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=-2, xlx2=i +% 所以X】_X21=寸(XI +x2)24X1X2=、y嚴=2,解得 =l,所以y)=x2÷2x.(2) 由題意得函數(shù)或T)在區(qū)間1,2上單調(diào)遞增，又g(x)=x)-Ax=-伙一2譏所以g(x)的對稱軸方程為XIc-22=V，則-b即®,故斤的取值范囤為(一8, 0,2. (2020Jl寧第一次聯(lián)考)已知幕函數(shù)XX)=(刖一I)?/ T3(加GR)在(0, +oo)上單調(diào)遞增.(1) 求加的值及滄)的解析式；若函數(shù)或I)= 一茁(X)2+2x+l-。在0, 2上的最大值為3,求實數(shù)的值.【解析】：幕函數(shù)金)=("Ll)2'M3(w7R(0, +©上單調(diào)遞增，(?；/ 1)