北京理工大學(xué)理學(xué)院力學(xué)系工程力學(xué)課件 5. 梁的內(nèi)力 剪力彎矩方程 剪力彎矩圖

1、北京理工大學(xué)理學(xué)院力學(xué)系 韓斌常見梁的橫截面形式常見梁的橫截面形式 或或: : 梁有一縱向?qū)ΨQ面，梁有一縱向?qū)ΨQ面， 外力作用在對(duì)稱面內(nèi)，外力作用在對(duì)稱面內(nèi)， 梁變形后，軸線仍在梁變形后，軸線仍在 該對(duì)稱面內(nèi)；該對(duì)稱面內(nèi)； 5. 梁的內(nèi)力梁的內(nèi)力 剪力彎矩方程剪力彎矩方程 剪力彎矩圖剪力彎矩圖xmqf1f2fq簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁f外伸梁外伸梁懸臂梁懸臂梁m常見的幾種簡(jiǎn)單靜定梁：常見的幾種簡(jiǎn)單靜定梁：梁橫截面上的內(nèi)力符號(hào)規(guī)定梁橫截面上的內(nèi)力符號(hào)規(guī)定 : :qxbaafbfl xfs xmqbbf xfs xmxxqaaf剪力剪力sf彎矩彎矩m為正為正mmsf為正為正sfc對(duì)對(duì)x截面用截面法切開，截面用

2、截面法切開，c為截為截面形心，面形心，0iyf0safqxf以以ab梁整體為對(duì)象，可求梁整體為對(duì)象，可求a處和處和b處的約束力：處的約束力：2qlffba（ ）qxqlxfs2)(0icm02)(xfqxxxma22)(2qxqlxxm取左半段為分離體：取左半段為分離體：2maxqlfs2max81qlmqxbaafbfl（m）281qlqxqlxfs2)(22)(2qxqlxxmlx0lx0該梁內(nèi)力該梁內(nèi)力方程為：方程為：（fs）2ql2ql例例 題題 19 變形體靜力學(xué)概述變形體靜力學(xué)概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題簡(jiǎn)支梁在中點(diǎn)處受集簡(jiǎn)支梁在中點(diǎn)處受集中力偶作用，左半段

3、中力偶作用，左半段有均布載荷，試求有均布載荷，試求a+，c-，c+，b- 各面上的各面上的內(nèi)力并列出剪力和彎內(nèi)力并列出剪力和彎矩方程。矩方程。abq2qaaca例例 題題 19 變形體靜力學(xué)概述變形體靜力學(xué)概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題解：解：1.建立建立x軸（向右為正），以整體為對(duì)象求出軸（向右為正），以整體為對(duì)象求出支座約束力：支座約束力：)(45223022qaaqaqafmababq2qaacaafbf)(410qaqafffabyx2.求指定截面的內(nèi)力：求指定截面的內(nèi)力：面：面：afsfm045mqaffas例例 題題 19 變形體靜力學(xué)概述變形體靜力學(xué)概述 及

4、一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題面：面：afmsf面：面：afsfm2qa面：面：abq2qaacaafbfxbfsfm041mqaffbs222412141qaqaqaafmqaqaffaas22432141qaqaafmqaqaffaas例例 題題 19 變形體靜力學(xué)概述變形體靜力學(xué)概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題m(x1)(1xfsabq2qaacaafbfxbf)(2xfsm(x2)3.列內(nèi)力方程列內(nèi)力方程應(yīng)分為兩段：應(yīng)分為兩段：ac段：段：afx1)0(245)()0(45)(12111111axqxqaxxmaxqxqaxfscb段：段：x2)2()

5、2 (4)2 ()()2(4)(222222axaxaqaxafxmaxaqaxfbs用截面法求任意截面上的內(nèi)力時(shí)：用截面法求任意截面上的內(nèi)力時(shí)：解題指導(dǎo)解題指導(dǎo)（1）對(duì)靜定結(jié)構(gòu)先求出全部約束力。）對(duì)靜定結(jié)構(gòu)先求出全部約束力。（2）用截面法切開取任意一半為分離體，截面）用截面法切開取任意一半為分離體，截面上的上的。（3）列平衡方程求出各內(nèi)力分量的大小。）列平衡方程求出各內(nèi)力分量的大小。（4）列內(nèi)力方程注意）列內(nèi)力方程注意，分段點(diǎn)截面又，分段點(diǎn)截面又稱為控制面。稱為控制面。（5）注意內(nèi)力分量的正負(fù)符號(hào)規(guī)定：）注意內(nèi)力分量的正負(fù)符號(hào)規(guī)定：，與外力分量以坐標(biāo)軸方向定正負(fù)不同。，與外力分量以坐標(biāo)軸方向

6、定正負(fù)不同。6. 梁的載荷集度梁的載荷集度q,剪力剪力fs,彎矩彎矩m之間的微分關(guān)系之間的微分關(guān)系dxxq(x)xlafbfabsfssdff m+dmm設(shè)設(shè)，在在x截面處切取截面處切取dx梁段梁段0iyf0)()(sssdffdxxqfq(x)cdx)(xqdxdfs0icm0)(2)(dmmdxdxxqdxfmssfdxdm（）sfdxdm)(xqdxdfs)(22xqdxmd(9.3)7.利用微分關(guān)系繪制剪力彎矩圖利用微分關(guān)系繪制剪力彎矩圖根據(jù)微分關(guān)系（根據(jù)微分關(guān)系（9.3）式，可推斷）式，可推斷fs圖、圖、m圖各段曲線的斜率（曲線走向）及圖各段曲線的斜率（曲線走向）及m圖圖的曲率（彎曲

7、形狀），再結(jié)合分段點(diǎn)的曲率（彎曲形狀），再結(jié)合分段點(diǎn)（控制面）的內(nèi)力數(shù)值，就可確定全部（控制面）的內(nèi)力數(shù)值，就可確定全部?jī)?nèi)力圖。內(nèi)力圖。fs為平行于軸線的直線，為平行于軸線的直線，m為斜率是為斜率是fs的斜直線。的斜直線。根據(jù)微分關(guān)系繪圖原則：根據(jù)微分關(guān)系繪圖原則：sfdxdm)(xqdxdfs)(22xqdxmd（1）某段梁若）某段梁若q(x)=0,則則fs=常數(shù)，常數(shù)，m=一次函數(shù)一次函數(shù)（2）若）若q(x)=常數(shù)常數(shù)=q,則則fs=一次函數(shù)，一次函數(shù)，m=二次函數(shù)二次函數(shù)fs為斜率是為斜率是q的斜直線，的斜直線， m為拋物線：當(dāng)為拋物線：當(dāng)q0, 當(dāng)當(dāng)q0,q=0fsmq 0(3)若某截

8、面處若某截面處fs=0sfdxdm)(xqdxdfs)(22xqdxmd則該截面上則該截面上m取極值：當(dāng)取極值：當(dāng)q0, m取到極小值取到極小值 當(dāng)當(dāng)q0, m取到極大值取到極大值（4）集中力）集中力f作用處，作用處，fs突變，跳躍值為突變，跳躍值為f，m有尖點(diǎn)；有尖點(diǎn)；集中力偶集中力偶m作用處，作用處，m突變，跳躍值為突變，跳躍值為m， fs不受影響。不受影響。ffmmfsq 0（5）在梁的左右兩個(gè)端面上作用的集中力、集中）在梁的左右兩個(gè)端面上作用的集中力、集中力偶，就是該截面上的力偶，就是該截面上的fs，m利用微分關(guān)系作內(nèi)力圖步驟：利用微分關(guān)系作內(nèi)力圖步驟：（1）以整體為對(duì)象求支座約束力。

9、）以整體為對(duì)象求支座約束力。（2）根據(jù)外力的作用點(diǎn)正確分段，分段點(diǎn)為控制面。）根據(jù)外力的作用點(diǎn)正確分段，分段點(diǎn)為控制面。（3）利用截面法求控制面上的）利用截面法求控制面上的fs，m ，得到控制點(diǎn)。，得到控制點(diǎn)。（4）分段判斷各段曲線形狀，連接各控制點(diǎn)。）分段判斷各段曲線形狀，連接各控制點(diǎn)。（5）各控制點(diǎn)數(shù)值標(biāo)絕對(duì)值。）各控制點(diǎn)數(shù)值標(biāo)絕對(duì)值。（6）內(nèi)力圖突變處向上突變還是向下突變，視該集）內(nèi)力圖突變處向上突變還是向下突變，視該集中載荷對(duì)未畫部分的作用是正作用還是負(fù)作用而定。中載荷對(duì)未畫部分的作用是正作用還是負(fù)作用而定。（7）凡）凡fs=0和和m=0的截面，要標(biāo)出其的截面，要標(biāo)出其x坐標(biāo)位置坐標(biāo)位

10、置例例 題題 29 變形體靜力學(xué)概述變形體靜力學(xué)概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題2qaqqa2aaaabcd外伸梁受力如外伸梁受力如圖，繪制剪力圖，繪制剪力彎矩圖，并求彎矩圖，并求 和和maxsfmaxm例例 題題 29 變形體靜力學(xué)概述變形體靜力學(xué)概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題2qaqqa2aaaabcd解：解：1.求約束力求約束力bfdf)(2723222qaaqaaqaaaqfb)(21274qaqaqafd2.作內(nèi)力圖作內(nèi)力圖2qaqa23qa212a22qa2qa22qamb222212227qaqaaqaqamc222818141qaqaq

11、ame281qaesf( )(m)例例 題題 29 變形體靜力學(xué)概述變形體靜力學(xué)概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題2qaqqa2aaaabcdbfdf2qaqa23qa212a22qa2qa281qae3.求內(nèi)力的最大值求內(nèi)力的最大值從圖中可見：從圖中可見：qafs2max2max2qam(m)sf( )例例 題題 39 變形體靜力學(xué)概述變形體靜力學(xué)概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題a2aq2qaabc懸臂梁受力如圖，作剪力懸臂梁受力如圖，作剪力彎矩圖，并求彎矩圖，并求 和和 。maxsfmaxm例例 題題 39 變形體靜力學(xué)概述變形體靜力學(xué)概述 及一般桿件

12、內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題a2aq2qaabc解：解： 1.求約束力求約束力fcmc)(2322qaqaqafc23222qaaqaaqamc()22qamb2. 作內(nèi)力圖作內(nèi)力圖sf( )(m)2qa23qaa2322qa8543232232322maxqaaaqqaaqam22qa852qammaxmcfcq例例 題題 39 變形體靜力學(xué)概述變形體靜力學(xué)概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題3.求內(nèi)力的最大值求內(nèi)力的最大值設(shè)距右端設(shè)距右端xe處處m=023qa852qaa2aq2qaabcfcmsf( )(m)2qaa2322qa22qaxefcmxe022232e

13、eexqxqaxqa0322aaxxeeaaaxe253253從圖中可見：從圖中可見：qafs23max2max85qam例例 題題 49 變形體靜力學(xué)概述變形體靜力學(xué)概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題abcdqqa2a2aa帶有中間鉸的梁，帶有中間鉸的梁，受力如圖，作剪受力如圖，作剪力彎矩圖。力彎矩圖。例例 題題 49 變形體靜力學(xué)概述變形體靜力學(xué)概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題abcdqqa2a2aa解：解：1.求約束力求約束力此梁仍為靜定，因有中此梁仍為靜定，因有中間鉸，必須在中間鉸處間鉸，必須在中間鉸處切開才可求全部約束力。切開才可求全部約束力。a

14、bqa2aacdq2acfdf)(22qaqaffdc對(duì)對(duì)cd：bfcfaf對(duì)對(duì)abc：)(qafc)(3232qaaaqafb)(23qaqaqafa例例 題題 49 變形體靜力學(xué)概述變形體靜力學(xué)概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題2.作內(nèi)力圖作內(nèi)力圖sf( )(m)qa2qaqaqaa22qamb22qa221qa222maxqaaqaaqam注意：中間鉸處注意：中間鉸處0cmabcdqqa2a2aaqa3qaqa思考題思考題比較以下兩梁的內(nèi)力圖：比較以下兩梁的內(nèi)力圖：abcbcmmamabcaaaama=mabcmma=mamfcamfbbfamfasf( )(m)sf(

15、 )(m)mammm8.平面剛架的內(nèi)力圖平面剛架的內(nèi)力圖平面剛架平面剛架 軸線由幾段直線構(gòu)成折線，折點(diǎn)為剛軸線由幾段直線構(gòu)成折線，折點(diǎn)為剛節(jié)點(diǎn)（保持夾角不變）的平面框架結(jié)構(gòu)。節(jié)點(diǎn)（保持夾角不變）的平面框架結(jié)構(gòu)。剛架橫截面上的內(nèi)力剛架橫截面上的內(nèi)力軸力軸力 ，剪力，剪力 ，彎矩，彎矩 mnfsf主要內(nèi)力分量主要內(nèi)力分量有時(shí)可忽略有時(shí)可忽略剛架內(nèi)力及內(nèi)力圖畫法的規(guī)定：剛架內(nèi)力及內(nèi)力圖畫法的規(guī)定：（1）剛架任意截面上的內(nèi)力分量可用截面法求得。）剛架任意截面上的內(nèi)力分量可用截面法求得。（2）（仍規(guī)定（仍規(guī)定fn拉為正，拉為正，fs為正）。為正）。（3）（4）剛架的各直線段畫內(nèi)力圖與梁的畫法類似。）剛架

16、的各直線段畫內(nèi)力圖與梁的畫法類似。例例 題題 49 變形體靜力學(xué)概述變形體靜力學(xué)概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題abcd1m1m4knm5kn1kn/m2m求作圖示剛架的求作圖示剛架的內(nèi)力圖。內(nèi)力圖。例例 題題 49 變形體靜力學(xué)概述變形體靜力學(xué)概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題abcd1m1m4knm5kn1kn/m2m解：解：1.求約束力求約束力dfaxfayf)(321214knfd)(221knfax)(235knfay例例 題題 49 變形體靜力學(xué)概述變形體靜力學(xué)概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題abcd1m1m4knm5kn1

17、kn/m2m3kn2kn2kn2.作內(nèi)力圖作內(nèi)力圖(fn)2kn軸力圖：軸力圖：2kn2knknfn2ab段段例例 題題 49 變形體靜力學(xué)概述變形體靜力學(xué)概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題abcd1m1m4knm5kn1kn/m2m3kn2kn2kn剪力圖：剪力圖：(fs)2kn3kn2kn2kna0212sbf例例 題題 49 變形體靜力學(xué)概述變形體靜力學(xué)概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題abcd1m1m4knm5kn1kn/m2m3kn2kn2kn(m)2kn2knamknmb2121222knm3knscfmc-mc-=3-4= - 1 knm1kn

18、m3knm2/3m彎矩圖：彎矩圖：9.利用對(duì)稱性與反對(duì)稱性簡(jiǎn)化作圖利用對(duì)稱性與反對(duì)稱性簡(jiǎn)化作圖若結(jié)構(gòu)關(guān)于某一軸：若結(jié)構(gòu)關(guān)于某一軸：例例 題題 59 變形體靜力學(xué)概述變形體靜力學(xué)概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題求作內(nèi)力圖。求作內(nèi)力圖。aaaaqqqa/2abc例例 題題 59 變形體靜力學(xué)概述變形體靜力學(xué)概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題解：解：1.求約束力求約束力aaaaqqqa/2abc)(4522/qaqaqaqaffbaafbf例例 題題 59 變形體靜力學(xué)概述變形體靜力學(xué)概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題2.作內(nèi)力圖作內(nèi)力圖221

19、qamaaaaaqqqa/2abc45qa45qa2412345qaaqaaqamcsf( )(m)qafsaqaqa/4qa/4qa221qa221qa241qaa-mafsa-_mcfsc-_c-5qa/4例例 題題 69 變形體靜力學(xué)概述變形體靜力學(xué)概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題3aaaafafaffabcd求作圖示剛架求作圖示剛架的內(nèi)力圖。的內(nèi)力圖。例例 題題 69 變形體靜力學(xué)概述變形體靜力學(xué)概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題3aaaafafaffabcd解：解： 1.求約束力求約束力afdf33fafafafaffda例例 題題 69 變形體靜力學(xué)概述變形體靜力學(xué)概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題3aaaafafaffabcd2.作內(nèi)力圖作內(nèi)力圖3f3f軸力圖：軸力圖：(fn)f/3f/3例例 題題 69 變形體靜力學(xué)概述變形體靜力學(xué)概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題3aaaafafaffabcd3f3f剪力圖：剪力圖：(fs)f/3f/34f/3例例 題題 69 變形體靜力學(xué)概述變形體靜力學(xué)概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題3aaaafafaffabcd3f3f彎矩圖：彎矩圖：(m)fafa2fa/32fa/3fa10.10.用疊加法作用疊加法作內(nèi)力內(nèi)力圖圖abcqqa