工程力學(xué)-彎曲應(yīng)力

1、6 彎曲應(yīng)力1、平面彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力計算。正應(yīng)力公式是在梁純彎曲情況下導(dǎo)出的，并被推廣到橫力彎曲的場合。橫截面上正應(yīng)力公式為橫截面上最大正應(yīng)力公式為 2、橫力彎曲梁橫截面上的切應(yīng)力計算，計算公式為該公式是從矩形截面梁導(dǎo)出的，原則上也適用于槽形、圓形、工字形、圓環(huán)形截面梁橫截面切應(yīng)力的計算。3、非對稱截面梁的平面彎曲問題，開口薄壁桿的彎曲中心。4、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件和切應(yīng)力強(qiáng)度條件為根據(jù)上述條件，可以對梁進(jìn)行強(qiáng)度校核、截面設(shè)計和容許荷載的計算，與此相關(guān)的還要考慮梁的合理截面問題。5、梁的極限彎矩解題范例6.1圖6-6所示簡支梁用其56a號工字鋼制成，試求此梁的最大切應(yīng)力和同一截面腹板部分在

2、與翼板交界處的切應(yīng)力。 圖 6.1解 作剪力圖如圖(c).由圖可知，梁的最大剪力出現(xiàn)在AC段，其值為利用型鋼表查得，56a號工字鋼,最大切應(yīng)力在中性軸上。由此得以下求該橫截面上腹板與翼板交界處C的切應(yīng)力。此時是翼板面積對中性軸的面積矩，由橫截面尺寸可計算得 由型鋼表查得,腹板與翼板交界處的切應(yīng)力為6.2長為的矩形截面懸臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b120mm，h180mm、2m，F(xiàn)1.6kN，試求B截面上a、b、c各點的正應(yīng)力。圖 6.2 解 B截面的彎矩為a點的正應(yīng)力 B點在中性軸上,其正應(yīng)力.c點的正應(yīng)力為 （壓）6.3圖6.3(a)示為一工字形鋼梁，受力如圖6.3(a)示，鋼的容許

3、彎曲應(yīng)力為，容許切應(yīng)力為。試選擇工字鋼的型號。 kN（b）（c）kN.m 圖 6.3解 首先將梁簡化為簡支梁,作出剪力和彎矩圖如(b)(c)，先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇截面,因梁的最大彎矩為根據(jù),可計算梁截面的截面模量，應(yīng)為由型鋼表查得最接近這一要求的是56b號工字鋼，其截面模量為由于在規(guī)定材料的容許應(yīng)力時，為材料留有一定的安全裕度，所以只要超出容許應(yīng)力不是很大(一般5%在之內(nèi)),選用小一號的截面是充許的，這里56b號工字鋼截面模量比所需要的相差不到1%，相應(yīng)地，最大正應(yīng)力也將不會超出容許應(yīng)力1%，因此可以采用。進(jìn)行切應(yīng)力強(qiáng)度校核:梁的最大剪力為利用型鋼表查得，56b號工字鋼的,最大切應(yīng)力為顯然，

4、這個最大切應(yīng)力小于容許切應(yīng)力，切應(yīng)力強(qiáng)度條件滿足。實際上，前面已經(jīng)講到，梁的強(qiáng)度多由正應(yīng)力控制，故在按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選好截面后，在一般情況下不需要再按切應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)度校核。6.4 T字形截面鑄鐵梁受力如圖6.4所示，已知材料的拉、壓容許應(yīng)力分別為，。已經(jīng)給出了截面的部分尺寸，試按合理截面的要求確定尺寸，并按所確定的截面尺寸計算梁的容許荷載。 圖 6.4解 為了達(dá)到合理截面要求，必須使同一橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力之比等于相應(yīng)的拉、壓容許應(yīng)力之比，這樣當(dāng)荷載增大時，截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力將同時達(dá)到容許應(yīng)力，受拉區(qū)和受壓區(qū)的材料可以同樣程度地發(fā)揮潛力。根據(jù)給定條件可知，所以同一截面上應(yīng)

5、有由圖6.4(c).由于正應(yīng)力在橫截面上按直線分布，由幾何關(guān)系可確定中性軸的位置為由于中性軸是通過形心的，根據(jù)形心計算公式，可建立與截面幾何尺寸關(guān)系式為將代入上式可解得。下面確定梁的容許荷載：首先計算截面慣性矩,由于T形截面可劃分為兩個矩形，由幾何關(guān)系可求得兩矩形形心相對于中性軸位置如圖6.4(c),利用平行移軸定理可解出最大彎矩出現(xiàn)在跨中，即最大拉應(yīng)力為 根據(jù)強(qiáng)度條件故有可解得故按拉應(yīng)力強(qiáng)度條件可確定梁的容許荷載為85kN，由于梁的截面尺寸是按最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力同時達(dá)到相應(yīng)容許應(yīng)力的條件確定的，所以按壓應(yīng)力強(qiáng)度條件也會求得同樣的容許荷載。由于與上題同樣的考慮，對于所確定的容許荷載，不需要

6、再進(jìn)行切應(yīng)力強(qiáng)度校核。習(xí)題解析6.1 長度為250mm，截面尺寸為h×b=O.8mm×25mm的薄鋼尺，由于兩端外力偶的作用而彎成中心角為的圓弧,已知彈性模量E=2.1×105MPa。試求鋼尺橫截面上的最大正應(yīng)力。解 6.2 厚度為h=1.5mm的鋼帶,卷成直徑為D=3m的圓環(huán),求此時鋼帶橫截面上的最大正應(yīng)力。已知鋼的彈性模量E=2.1×l05MPa。解 因為 所以 6.3直徑為d的鋼絲，其名義流動極限為?，F(xiàn)在其兩端施加外力偶使彎成直徑為D的圓弧。試求當(dāng)鋼絲橫截面上的最大正應(yīng)力等于時D與d的關(guān)系式。并據(jù)此分析為何鋼絲繩要用許多高強(qiáng)度的細(xì)鋼絲組成。解 所以

7、 由上可見,細(xì)鋼絲強(qiáng)度越大,E越大,D越大,抗彎剛度大. 6.4 截面形狀及所有尺寸完全相同的一根鋼梁和一根木梁,如果所受外力也相同則內(nèi)力圖是否相同?它們的橫截面上的正應(yīng)力變化規(guī)律是否相同?對應(yīng)點處的正應(yīng)力與縱向線應(yīng)變是否相同?解 因 ,且鋼梁與木梁截面尺寸一樣及所受外力相同，所以其內(nèi)力及橫截面的正應(yīng)力變化規(guī)律相同。又因,鋼梁與木梁的彈性模量不同，所以對應(yīng)點處的正應(yīng)力與縱向線應(yīng)變不相同。6.5 一根25a號槽鋼，在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)受矩為Me=5kN·m的一對外力偶作用,如圖6.6(a)所示。試求截面上A、B、C、D四點處的正應(yīng)力。若力偶仍作用于鉛垂平面內(nèi),但將槽鋼繞其軸線轉(zhuǎn)，如圖6.6

8、(b)所示，則此四點處的正應(yīng)力又如何?圖6.5解 因為兩種情況下各橫截面上的彎矩m都等于外力偶矩Me ,但(a)和(b)的慣性矩Iz不同,按應(yīng)力公式 ,故有對于圖（a）: (壓力)(拉力)(拉力最大)對于圖（b）: (A點是壓力最大,D點為拉力最大)6.6矩形截面的懸臂梁，受集中力和集中力偶作用如圖6.7所示。試求II截面和固定端一截面上A、B、c、D四點處的正應(yīng)力。 圖 6.6 解 I-I截面,彎矩為 , II-II截面,彎矩為 對于I-I截面: (A點壓力最大,D點為拉力最大)(拉力)對于II-II截面: (A點拉力最大,D點為壓力最大)(壓力) 6.7一外徑為250mm，壁厚為lOmm，

9、長度L=12m的鑄鐵水管，兩端擱在支座上，管中充滿著水，如圖6.8所示。鑄鐵的容重，水的容重。試求管內(nèi)最大拉、壓正應(yīng)力的數(shù)值。 圖6.7解 鑄鐵水管上的荷載集度q6.8對于橫截面邊長為b×2b的矩形截面梁，試求當(dāng)外力偶矩分別作用在平行于截面長邊及短邊之縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)時,梁所能承擔(dān)的容許彎矩之比，以及梁的抗彎剛度之比。解 因 梁所能承的容許彎矩之比：抗彎剛度之比 6.9 圖6.8示一由1 6號工字鋼制成的簡支梁，其上作用著集中荷載P,在截面c-c處梁的下邊緣上,用標(biāo)距s=20mm的應(yīng)變計量得縱向伸長S=0.0O8mm。已知梁的跨長L=1.5m,a=1m，彈性模量E=2.1×1

10、05MPa試求p力的大小。ABPacc圖 6.8解 因 C截面的彎矩 查表得1 6號工的,代入后得 6.10 簡支梁的荷載情況及尺寸如圖6.9所示，試寫出梁下邊緣總伸長的表達(dá)式。 zybhO圖 6.9BAL解 支座反力6.11 簡支梁由22b號工字鋼制成，受力如圖610所示，P=150kN,材料的容許應(yīng)力=170MPa，試校核梁的正應(yīng)力強(qiáng)度。圖 6.100.5mPAB1.5m解 支座反力最大彎矩在集中力作用處,其值為 滿足要求6.12 由兩根36號槽鋼組成的梁，如圖6.11所示。已知：P=44kN，q=1kNm,如鋼的容許應(yīng)力=170MPa，試校核此粱的正應(yīng)力強(qiáng)度。zyBA6×1=6

11、mppppp圖 6.11解 支座反力查表得36號槽鋼跨中彎矩最大，其值為 不滿足要求6.13 一簡支木梁受力如圖6.12所示，荷載P=5kN,距離a=0.7m，材料的容許應(yīng)力=10MPa橫截面為h/b=3的矩形,試按正應(yīng)力強(qiáng)度條件確定此梁橫截面尺寸。 aaPPABCDbhOzy圖 6.12解 支座反力 跨中彎矩最大，其值為 ,取 。6.14一矩形截面簡支梁系由圓柱形木料鋸成圖6.13,已知P=5kN，a=1.5m，=10MPa。試確定抗彎截面模量為最大時矩形截面的高寬比h/b，以及鋸成此梁所需木料的最小直徑d。 Pa kN.m圖 6.13解 1、支座反力 2、 確定WZ最大時的h/b由 得，

12、3、確定圓木直徑d 6.15 當(dāng)荷載P直接作用在跨長為L=6m的簡支梁AB之中點時，梁內(nèi)最大正應(yīng)力超過容許值30。為了消除此過載現(xiàn)象配置了如圖6.14所示的輔助梁CD，試求此輔助梁的最小跨長a。 圖6.14解 不設(shè)輔梁時,最大彎矩在跨中,其值為 最大正應(yīng)力 設(shè)輔梁時, 跨中最大彎矩為 (減小)最大正應(yīng)力 解得 . 6.16 已知40a號工字鋼制成的長為L=6m的懸臂梁，在自由端受一集中荷載P作用。材料的容許應(yīng)力=170MPa,考慮自重對強(qiáng)度的影響，試按正應(yīng)力強(qiáng)度條件計算此梁的容許荷載P。解 查表得40a號工字鋼的每米長的質(zhì)量為67.598kg, 均布荷載 支座處彎矩最大為 由 解得 6.17 一根簡支木梁,在全梁長度上受集度為q=5kNm的均布荷載作用。已知跨長L=7.5m.截面尺寸為寬度b=300mm，高度h=180mm，木材的容許切應(yīng)力為1MPa。試校核此梁的切應(yīng)力強(qiáng)度。解1、支座反力 2、 最大剪力在支座內(nèi)側(cè),其值為Q=18.75kN6.18由工字鋼制成的簡支梁受力如圖