材料力學(xué)講義(精)

1、§1-1 材料力學(xué)的任務(wù)1幾個(gè)術(shù)語(yǔ)·構(gòu)件與桿件：組成機(jī)械的零部件或工程結(jié)構(gòu)中的構(gòu)件統(tǒng)稱為構(gòu)件。如圖1-1a所示橋式起重機(jī)的主梁、吊鉤、鋼絲繩；圖1-2所示懸臂吊車(chē)架的橫梁AB，斜桿CD都是構(gòu)件。實(shí)際構(gòu)件有各種不同的形狀，所以根據(jù)形狀的不同將構(gòu)件分為：桿件、板和殼、塊體. 桿件：長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于橫向尺寸的構(gòu)件，其幾何要素是橫截面和軸線，如圖1-3a所示，其中橫截面是與軸線垂直的截面；軸線是橫截面形心的連線。按橫截面和軸線兩個(gè)因素可將桿件分為：等截面直桿，如圖1-3a、b；變截面直桿，如圖1-3c；等截面曲桿和變截面曲桿如圖1-3b。板和殼：構(gòu)件一個(gè)方向的尺寸（厚度）遠(yuǎn)小于其它兩個(gè)方

2、向的尺寸，如圖1-4a和b所示。塊體：三個(gè)方向（長(zhǎng)、寬、高）的尺寸相差不多的構(gòu)件，如圖1-4c所示。在本教程中，如未作說(shuō)明，構(gòu)件即認(rèn)為是指桿件。  ·變形與小變形：在載荷作用下，構(gòu)件的形狀及尺寸發(fā)生變化稱為變形，如圖1-2所示懸臂吊車(chē)架的橫梁AB，受力后將由原來(lái)的位置彎曲到AB位置，即產(chǎn)生了變形。 小變形：絕大多數(shù)工程構(gòu)件的變形都極其微小，比構(gòu)件本身尺寸要小得多，以至在分析構(gòu)件所受外力（寫(xiě)出靜力平衡方程）時(shí)，通常不考慮變形的影響，而仍可以用變形前的尺寸，此即所謂“原始尺寸原理”。如圖1-1a所示橋式起重機(jī)主架，變形后簡(jiǎn)圖如圖1-1b所示，截面最大垂直位移f一般僅為跨度l的l

3、/15001/700，B支撐的水平位移則更微小，在求解支承反力RA、RB時(shí)，不考慮這些微小變形的影響。  2對(duì)構(gòu)件的三項(xiàng)基本要求強(qiáng)度：構(gòu)件在外載作用下，具有足夠的抵抗斷裂破壞的能力。例如儲(chǔ)氣罐不應(yīng)爆破；機(jī)器中的齒輪軸不應(yīng)斷裂等。剛度：構(gòu)件在外載作用下，具有足夠的抵抗變形的能力。如機(jī)床主軸不應(yīng)變形過(guò)大，否則影響加工精度。穩(wěn)定性：某些構(gòu)件在特定外載，如壓力作用下，具有足夠的保持其原有平衡狀態(tài)的能力。例如千斤頂?shù)穆輻U，內(nèi)燃機(jī)的挺桿等。構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性問(wèn)題是材料力學(xué)所要研究的主要內(nèi)容。3材料力學(xué)的任務(wù)1）研究構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性；2）研究材料的力學(xué)性能；3）為合理解決工程構(gòu)件設(shè)計(jì)

4、中安全與經(jīng)濟(jì)之間的矛盾提供力學(xué)方面的依據(jù)。構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性問(wèn)題均與所用材料的力學(xué)性能有關(guān)，因此實(shí)驗(yàn)研究和理論分析是完成材料力學(xué)的任務(wù)所必需的手段。  §1-2 變形固體及其基本假設(shè)在外力作用下，一切固體都將發(fā)生變形，故稱為變形固體，而構(gòu)件一般均由固體材料制成，所以構(gòu)件一般都是變形固體。由于變形固體種類(lèi)繁多，工程材料中有金屬與合金，工業(yè)陶瓷，聚合物等，性質(zhì)是多方面的，而且很復(fù)雜，因此在材料力學(xué)中通常省略一些次要因素，對(duì)其作下列假設(shè)：1連續(xù)性假設(shè)：認(rèn)為整個(gè)物體所占空間內(nèi)毫無(wú)空隙地充滿物質(zhì)。2均勻性假設(shè)：認(rèn)為物體內(nèi)的任何部分，其力學(xué)性能相同。3各向同性假設(shè)：認(rèn)為物體內(nèi)在各

5、個(gè)不同方向上的力學(xué)性能相同。§1-3 外力及其分類(lèi)外力是外部物體對(duì)構(gòu)件的作用力，包括外加載荷和約束反力。1. 按外力的作用方式分為：體積力和表面力1）體積力：連續(xù)分布于物體內(nèi)部各點(diǎn)上的力，如物體的自重和慣性力。2）表面力：作用于物體表面上的力，又可分為分布力和集中力。分布力是連續(xù)作用于物體表面的力，如作用于船體上的水壓力等；集中力是作用于一點(diǎn)的力，如火車(chē)輪對(duì)鋼軌的壓力等。2. 按外力的性質(zhì)分為：靜載荷和動(dòng)載荷1）靜載荷：載荷緩慢地由零增加到某一定值后，不再隨時(shí)間變化，保持不變或變動(dòng)很不顯著，稱為靜載荷。2）動(dòng)載荷：載荷隨時(shí)間而變化。動(dòng)載荷可分為構(gòu)件具有較大加速度、受交變載荷和沖擊載荷

6、三種情況。交變載荷是隨時(shí)間作周期性變化的載荷；沖擊載荷是物體的運(yùn)動(dòng)在瞬時(shí)內(nèi)發(fā)生急劇變化所引起的載荷。  §1-4內(nèi)力、截面法和應(yīng)力的概念1內(nèi)力由于構(gòu)件變形，其內(nèi)部各部分材料之間因相對(duì)位置發(fā)生改變，從而引起相鄰部分材料間因力圖恢復(fù)原有形狀而產(chǎn)生的相互作用力，稱為內(nèi)力。注意：材料力學(xué)中的內(nèi)力，是指外力作用下材料反抗變形而引起的內(nèi)力的變化量，也就是“附加內(nèi)力”，它與構(gòu)件所受外力密切相關(guān)。2截面法假想用截面把構(gòu)件分成兩部分，以顯示并確定內(nèi)力的方法。如圖1-5所示：（1）截面的兩側(cè)必定出現(xiàn)大小相等，方向相反的內(nèi)力；（2）被假想截開(kāi)的任一部分上的內(nèi)力必定與外力相平衡。例1-1 鉆床如圖

7、1-6a所示，在載荷P作用下，試確定截面mm上的內(nèi)力。解：（1）沿mm截面假想地將鉆床分成兩部分。取mm截面以上部分進(jìn)行研究（圖1-6b），并以截面的形心O為原點(diǎn)。選取坐標(biāo)系如圖所示。（2）為保持上部的平衡，mm截面上必然有通過(guò)點(diǎn)O的內(nèi)力N和繞點(diǎn)O的力偶矩M。（3）由平衡條件  因此用截面法求內(nèi)力可歸納為四個(gè)字：1）截：欲求某一截面的內(nèi)力，沿該截面將構(gòu)件假想地截成兩部分。2）?。喝∑渲腥我獠糠譃檠芯繉?duì)象，而棄去另一部分。3）代：用作用于截面上的內(nèi)力，代替棄去部分對(duì)留下部分的作用力。4）平：建立留下部分的平衡條件，由外力確定未知的內(nèi)力。3應(yīng)力參照?qǐng)D1-7，圍繞K點(diǎn)取微小面積 。根據(jù)均勻

8、連續(xù)假設(shè)， 上必存在分布內(nèi)力，設(shè)它的合力為 ， 與 的比值為是一個(gè)矢量，代表在 范圍內(nèi)，單位面積上的內(nèi)力的平均集度，稱為平均應(yīng)力。當(dāng) 趨于零時(shí)， 的大小和方向都將趨于一定極限，得到稱為K點(diǎn)處的（全）應(yīng)力。通常把應(yīng)力 分解成垂直于截面的分量 和切于截面的分量 ， 稱為正應(yīng)力， 稱為剪應(yīng)力。應(yīng)力即單位面積上的內(nèi)力，表示某微截面積 處內(nèi)力的密集程度。應(yīng)力的國(guó)際單位為N/m2，且1N/m2 =1Pa（帕斯卡），1GPa=1GN/m2 =109Pa， 1MN/m2=1MPa=106 N/m2=106Pa。在工程上，也用kg(f)/cm2為應(yīng)力單位，它與國(guó)際單位的換算關(guān)系為1 kg/cm2=0.1MPa。

9、§1-5變形與應(yīng)變對(duì)于構(gòu)件上任“一點(diǎn)” 材料的變形，只有線變形和角變形兩種基本變形，它們分別由線應(yīng)變和角應(yīng)變來(lái)度量。1線應(yīng)變 通常用正微六面體（下稱微單元體）來(lái)代表構(gòu)件上某“一點(diǎn)”。如圖1-8，微單元體的棱邊邊長(zhǎng)為 ，變形后其邊長(zhǎng)和棱邊的夾角都發(fā)生了變化。變形前平行于x軸的線段MN原長(zhǎng)為 ，變形后M和N分別移到M和N， 的長(zhǎng)度為 ，這里于是表示線段MN每單位長(zhǎng)度的平均伸長(zhǎng)或縮短，稱為平均線應(yīng)變，若使 趨近于零，則有一點(diǎn)線應(yīng)變稱為M點(diǎn)沿x方向的線應(yīng)變或正應(yīng)變，或簡(jiǎn)稱為應(yīng)變。線應(yīng)變，即單位長(zhǎng)度上的變形量，為無(wú)量綱量，其物理意義是構(gòu)件上一點(diǎn)沿某一方向線變形量的大小。2角應(yīng)變 如圖1-6，正

10、交線段MN和ML經(jīng)變形后，分別是 和 。變形前后其角度的變化是 ，當(dāng)N和L趨近于M時(shí)，上述角度變化的極限值是稱為M點(diǎn)在xy平面內(nèi)的剪應(yīng)變或角應(yīng)變。剪應(yīng)變，即微單元體兩棱角直角的改變量，為無(wú)量綱量。  例1-2 圖1-9a所示為一矩形截面薄板受均布力p作用，已知邊長(zhǎng)l=400mm，受力后沿x方向均勻伸長(zhǎng)l=0.05mm。試求板中a點(diǎn)沿x方向的正應(yīng)變。解：由于矩形截面薄板沿x方向均勻受力，可認(rèn)為板內(nèi)各點(diǎn)沿x方向具有正應(yīng)力與正應(yīng)變，且處處相同，所以平均應(yīng)變即a點(diǎn)沿x方向的正應(yīng)變。，x方向例1-3 圖1-9b所示為一嵌于四連桿機(jī)構(gòu)內(nèi)的薄方板，b=250mm。若在p 力作用下CD桿下移b=0.

11、025，試求薄板中a點(diǎn)的剪應(yīng)變。解：由于薄方板變形受四連桿機(jī)構(gòu)的制約，可認(rèn)為板中各點(diǎn)均產(chǎn)生剪應(yīng)變，且處處相同。  §1-6桿件的基本變形形式桿件受力有各種情況，相應(yīng)的變形就有各種形式，在工程結(jié)構(gòu)中，桿件的基本變形只有以下四種：  1拉伸和壓縮：變形形式是由大小相等、方向相反、作用線與桿件軸線重合的一對(duì)力引起的，表現(xiàn)為桿件長(zhǎng)度的伸長(zhǎng)或縮短。如托架的拉桿和壓桿受力后的變形（圖1-10）。2剪切：變形形式是由大小相等、方向相反、相互平行的一對(duì)力引起的，表現(xiàn)為受剪桿件的兩部分沿外力作用方向發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)。如連接件中的螺栓和銷(xiāo)釘受力后的變形（圖1-11）。3扭轉(zhuǎn)：變形形式是由

12、大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面都垂直于桿軸的一對(duì)力偶引起的，表現(xiàn)為桿件的任意兩個(gè)橫截面發(fā)生繞軸線的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。如機(jī)器中的傳動(dòng)軸受力后的變形（圖1-12）。4彎曲：變形形式是由垂直于桿件軸線的橫向力，或由作用于包含桿軸的縱向平面內(nèi)的一對(duì)大小相等、方向相反的力偶引起的，表現(xiàn)為桿件軸線由直線變?yōu)槭芰ζ矫鎯?nèi)的曲線。如單梁吊車(chē)的橫梁受力后的變形（圖1-13）。桿件同時(shí)發(fā)生幾種基本變形，稱為組合變形。 §2-1軸向拉伸與壓縮桿件及實(shí)例軸向拉伸和壓縮的桿件在生產(chǎn)實(shí)際中經(jīng)常遇到，雖然桿件的外形各有差異，加載方式也不同，但一般對(duì)受軸向拉伸與壓縮的桿件的形狀和受力情況進(jìn)行簡(jiǎn)化，計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖2-1。軸向拉伸是在

13、軸向力作用下，桿件產(chǎn)生伸長(zhǎng)變形，也簡(jiǎn)稱拉伸；軸向壓縮是在軸向力作用下，桿件產(chǎn)生縮短變形，也簡(jiǎn)稱壓縮。實(shí)例如圖2-2所示用于連接的螺栓；如圖2-3所示桁架中的拉桿；如圖2-4所示汽車(chē)式起重機(jī)的支腿；如圖2-5所示巷道支護(hù)的立柱。通過(guò)上述實(shí)例得知軸向拉伸和壓縮具有如下特點(diǎn)：1. 受力特點(diǎn)：作用于桿件兩端的外力大小相等，方向相反，作用線與桿件軸線重合，即稱軸向力。2. 變形特點(diǎn)：桿件變形是沿軸線方向的伸長(zhǎng)或縮短。§2-2橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力1內(nèi)力在圖2-6所示受軸向拉力P的桿件上作任一橫截面mm，取左段部分，并以內(nèi)力的合力 代替右段對(duì)左段的作用力。由平衡條件 ，得  

14、                                 由于 （拉力），則    合力 的方向正確。因而當(dāng)外力沿著桿件的軸線作用時(shí)，桿件截面上只有一個(gè)與軸線重合的內(nèi)力分量，該內(nèi)力（分量）稱為軸力，一般用N表示。若取右段部分，同理 ，知

15、60;  ,得圖中 的方向也是正確的。材料力學(xué)中軸力的符號(hào)是由桿件的變形決定，而不是由平衡坐標(biāo)方程決定。習(xí)慣上將軸力N的正負(fù)號(hào)規(guī)定為：拉伸時(shí)，軸力N為正；壓縮時(shí)，軸力N為負(fù)。2軸力圖軸力圖可用圖線表示軸力沿軸線變化的情況。該圖一般以桿軸線為橫坐標(biāo)表示截面位置，縱軸表示軸力大小。例2-1 求如圖2-7所示桿件的內(nèi)力，并作軸力圖。 解：（1）計(jì)算各段內(nèi)力AC段：作截面11，取左段部分（圖b）。由 得kN （拉力）CB段：作截面22，取左段部分（圖c），并假設(shè) 方向如圖所示。由 得則: kN （壓力） 的方向應(yīng)與圖中所示方向相反。    （2）繪軸力圖 選截面

16、位置為橫坐標(biāo)；相應(yīng)截面上的軸力為縱坐標(biāo)，根據(jù)適當(dāng)比例，繪出圖線。由圖2-7可知CB段的軸力值最大，即 kN。注意兩個(gè)問(wèn)題：1）求內(nèi)力時(shí)，外力不能沿作用線隨意移動(dòng)（如P2沿軸線移動(dòng)）。因?yàn)椴牧狭W(xué)中研究的對(duì)象是變形體，不是剛體，力的可傳性原理的應(yīng)用是有條件的。2）截面不能剛好截在外力作用點(diǎn)處（如通過(guò)C點(diǎn)），因?yàn)楣こ虒?shí)際上并不存在幾何意義上的點(diǎn)和線，而實(shí)際的力只可能作用于一定微小面積內(nèi)。3軸向拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力1）由于只根據(jù)軸力并不能判斷桿件是否有足夠的強(qiáng)度，因此必須用橫截面上的應(yīng)力來(lái)度量桿件的受力程度。為了求得應(yīng)力分布規(guī)律，先研究桿件變形，為此提出平面假設(shè)。平面假設(shè)：變形之前橫截面為平面，

17、變形之后仍保持為平面，而且仍垂直于桿軸線，如圖2-8所示。根據(jù)平面假設(shè)得知，橫截面上各點(diǎn)沿軸向的正應(yīng)變相同，由此可推知橫截面上各點(diǎn)正應(yīng)力也相同，即 等于常量。2）由靜力平衡條件確定 的大小由于 ，所以積分得            則:                      &

18、#160;       （2-1）  式中： 橫截面上的正應(yīng)力 ； 橫截面上的軸力； 橫截面面積正應(yīng)力 的正負(fù)號(hào)規(guī)定為：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。對(duì)于圖2-9所示斜度不大的變截面直桿，在考慮桿自重（容重 ）引起的正應(yīng)力時(shí)，也可應(yīng)用（2-1）式 （2-2）。     其中   ，若不考慮自重，則例2-2 旋轉(zhuǎn)式吊車(chē)的三角架如圖2-10所示，已知AB桿由2根截面面積為cm2的角鋼制成，kN，。求AB桿橫截面上的應(yīng)力。解：（1）計(jì)算AB桿內(nèi)力取節(jié)點(diǎn)A為研究對(duì)象，由平衡條件，

19、得    則    kN（拉力）    （2）計(jì)算AB桿應(yīng)力     MPa例2-3 起吊鋼索如圖2-11所示，截面積分別為cm2，cm2，m，kN，材料單位體積重量N/cm3，試考慮自重繪制軸力圖，并求。解：（1）計(jì)算軸力AB段：取1-1截面  BC段：取2-2截面§3-1剪切及其實(shí)用計(jì)算1工程上的剪切件通過(guò)如圖3-1所示的鋼桿受剪和圖3-2所示的聯(lián)接軸與輪的鍵的受剪情況，可以看出，工程上的剪切件有以下特點(diǎn)： 1）受力特點(diǎn)桿件兩側(cè)作用大小相等，

20、方向相反，作用線相距很近的外力。       2）變形特點(diǎn)兩外力作用線間截面發(fā)生錯(cuò)動(dòng)，由矩形變?yōu)槠叫兴倪呅巍?見(jiàn)動(dòng)畫(huà)：受剪切作用的軸栓)。因此剪切定義為相距很近的兩個(gè)平行平面內(nèi)，分別作用著大小相等、方向相對(duì)（相反）的兩個(gè)力，當(dāng)這兩個(gè)力相互平行錯(cuò)動(dòng)并保持間距不變地作用在構(gòu)件上時(shí)，構(gòu)件在這兩個(gè)平行面間的任一（平行）橫截面將只有剪力作用，并產(chǎn)生剪切變形。2剪應(yīng)力及剪切實(shí)用計(jì)算剪切實(shí)用計(jì)算中，假定受剪面上各點(diǎn)處與剪力Q相平行的剪應(yīng)力相等，于是受剪面上的剪應(yīng)力為 （3-1）式中：剪力；剪切面積; 名義剪切力。  剪切強(qiáng)度條件

21、可表示為： （3-2） 式中：構(gòu)件許用剪切應(yīng)力。剪切面為圓形時(shí)，其剪切面積為：對(duì)于如圖3-3所示的平鍵，鍵的尺寸為，其剪切面積為：。例3-1 電瓶車(chē)掛鉤由插銷(xiāo)聯(lián)接，如圖3-4a。插銷(xiāo)材料為20#鋼，直徑。掛鉤及被聯(lián)接的板件的厚度分別為和。牽引力。試校核插銷(xiāo)的剪切強(qiáng)度。解：插銷(xiāo)受力如圖3-4b所示。根據(jù)受力情況，插銷(xiāo)中段相對(duì)于上、下兩段，沿mm和nn兩個(gè)面向左錯(cuò)動(dòng)。所以有兩個(gè)剪切面，稱為雙剪切。由平衡方程容易求出插銷(xiāo)橫截面上的剪應(yīng)力為故插銷(xiāo)滿足剪切強(qiáng)度要求。例3-2 如圖3-8所示沖床，kN，沖頭MPa，沖剪鋼板 MPa，設(shè)計(jì)沖頭的最小直徑值及鋼板厚度最大值。解：（1）按沖頭壓縮強(qiáng)度計(jì)算所以&#

22、160;                      cm       （2）按鋼板剪切強(qiáng)度計(jì)算            所以    cm。§3-2擠壓及其實(shí)用計(jì)算擠壓：聯(lián)接和被聯(lián)接件接觸面相互壓緊的現(xiàn)象

23、，如圖3-5就是鉚釘孔被壓成長(zhǎng)圓孔的情況。有效擠壓面：擠壓面面積在垂直于總擠壓力作用線平面上的投影。擠壓時(shí)，以表示擠壓面上傳遞的力，表示擠壓面積，則擠壓應(yīng)力為 （3-3）式中：材料的許用擠壓應(yīng)力，一般對(duì)于圓截面：，如圖3-6c所示。            對(duì)于平鍵：，如圖3-7所示。 例3-3 截面為正方形的兩木桿的榫接頭如圖所示。已知木材的順紋許用擠壓應(yīng)力，順紋許用剪切應(yīng)力，順紋許用拉應(yīng)力。若P=40kN，作用于正方形形心，試設(shè)計(jì)b、a及。解：1.順紋擠壓強(qiáng)度條件為 

24、60;                            2. 順紋剪切強(qiáng)度條件為                    &#

25、160;                （a）      （b）3. 順紋拉伸強(qiáng)度條件為       （c）聯(lián)立（a）、（b）、（c）式，解得                

26、60;                 例3-42.5挖掘機(jī)減速器的一軸上裝一齒輪，齒輪與軸通過(guò)平鍵連接，已知鍵所受的力為P12.1kN。平鍵的尺寸為：b=28mm，h=16mm,=70mm，圓頭半徑R14mm（圖310）。鍵的許用切應(yīng)力87MPa，輪轂的許用擠壓應(yīng)力取100MPa，試校核鍵連接的強(qiáng)度。解：（1）校核剪切強(qiáng)度鍵的受力情況如圖310c所示，此時(shí)剪切面上的剪力（圖310d）為  對(duì)于圓頭平鍵，其圓頭部分略去不計(jì)（圖

27、310e），故剪切面面積為所以，平鍵的工作切應(yīng)力       滿足剪切強(qiáng)度條件。（2）校核擠壓強(qiáng)度與軸和鍵比較，通常輪轂抵抗擠壓的能力較弱。輪轂擠壓面上的擠壓力為 P12100N。擠壓面的面積與鍵的擠壓面相同，設(shè)鍵與輪轂的接觸高度為，則擠壓面面積（圖310f)為 故輪轂的工作擠壓應(yīng)力為也滿足擠壓強(qiáng)度條件。所以 ,  此鍵安全。     §4-1 扭轉(zhuǎn)及其工程實(shí)例工程上的軸是承受扭轉(zhuǎn)變形的典型構(gòu)件，如圖4-1所示的攻絲絲錐，圖4-2所示的橋式起重機(jī)

28、的傳動(dòng)軸以及齒輪軸等。扭轉(zhuǎn)有如下特點(diǎn)：1受力特點(diǎn)：在桿件兩端垂直于桿軸線的平面內(nèi)作用一對(duì)大小相等，方向相反的外力偶扭轉(zhuǎn)力偶。其相應(yīng)內(nèi)力分量稱為扭矩。2變形特點(diǎn)：橫截面繞軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，出現(xiàn)扭轉(zhuǎn)變形。若桿件橫截面上只存在扭矩一個(gè)內(nèi)力分量，則這種受力形式稱為純扭轉(zhuǎn)。 §4-2 扭矩和扭矩圖1外力偶矩如圖4-3所示的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，通常外力偶矩不是直接給出的，而是通過(guò)軸所傳遞的功率和轉(zhuǎn)速n由下列關(guān)系計(jì)算得到的。(4-1a)如軸在m作用下勻速轉(zhuǎn)動(dòng)角，則力偶做功為，由功率定義。角速度與轉(zhuǎn)速n（單位為轉(zhuǎn)/分，即r/min）。關(guān)系為（單位為弧度/秒，rad/s）。由于1kW=1000N·m/

29、s，千瓦的功率相當(dāng)于每秒鐘作功，單位為N·m；而外力偶在1秒鐘內(nèi)所作的功為   /60 （N·m）由于二者作的功應(yīng)該相等，則有     /60由此便得（4-1）式。式中：傳遞功率（千瓦，kW） 轉(zhuǎn)速（r/min）如果傳遞功率單位是馬力(PS)，由于1PS=735.5 N·m/s，則有（N·m） (4-1b)式中：傳遞功率（馬力，PS）轉(zhuǎn)速（r/min）2扭矩 求出外力偶矩后，可進(jìn)而用截面法求扭轉(zhuǎn)內(nèi)力扭矩。如圖4-4所示圓軸，由，從而可得AA截面上扭矩T  ， 稱為截面AA上的扭矩；扭矩

30、的正負(fù)號(hào)規(guī)定為：按右手螺旋法則，矢量離開(kāi)截面為正，指向截面為負(fù)?；蚴噶颗c橫截面外法線方向一致為正，反之為負(fù)。例4-1 傳動(dòng)軸如圖4-5a所示，主動(dòng)輪A輸入功率馬力，從動(dòng)輪B、C、D輸出功率分別為馬力，馬力，軸的轉(zhuǎn)速為。試畫(huà)出軸的扭矩圖。解：按外力偶矩公式計(jì)算出各輪上的外力偶矩                            從受力情況看出，軸

31、在BC、CA、AD三段內(nèi)，各截面上的扭矩是不相等的?，F(xiàn)在用截面法，根據(jù)平衡方程計(jì)算各段內(nèi)的扭矩。在BC段內(nèi)，以表示截面II上的扭矩，并任意地把的方向假設(shè)為如圖4-5b所示。由平衡方程，有  得   負(fù)號(hào)說(shuō)明，實(shí)際扭矩轉(zhuǎn)向與所設(shè)相反。在BC段內(nèi)各截面上的扭矩不變，所以在這一段內(nèi)扭矩圖為一水平線（圖4-5e）。同理，在CA段內(nèi)，由圖4-5c，得；在AD段內(nèi)（圖4-5d），；與軸力圖相類(lèi)似，最后畫(huà)出扭矩圖如圖4-5e其中最大扭矩發(fā)生于CA段內(nèi)，且。對(duì)上述傳動(dòng)軸，若把主動(dòng)輪A安置于軸的一端（現(xiàn)為右端），則軸的扭矩圖如圖4-6所示。這時(shí)，軸的最大扭矩。顯然單從受力角度，圖4

32、-5所示輪子布局比圖4-6合理。§4-3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)當(dāng)空心圓筒的壁厚t與平均直徑D（即2r）之比時(shí)稱為薄壁圓筒.1剪應(yīng)力與剪切互等定理若在薄壁圓筒的外表面畫(huà)上一系列互相平行的縱向直線和橫向圓周線，將其分成一個(gè)個(gè)小方格，其中代表性的一個(gè)小方格如圖4-7a所示。這時(shí)使筒在外力偶作用下扭轉(zhuǎn)，扭轉(zhuǎn)后相鄰圓周線繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)一微小轉(zhuǎn)角。縱線均傾斜一微小傾角從而使方格變成菱形(見(jiàn)圖4-7b)，但圓筒沿軸線及周線的長(zhǎng)度都沒(méi)有變化。這表明，當(dāng)薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)，其橫截面和包含軸線的縱向截面上都沒(méi)有正應(yīng)力，橫截面上只有切于截面的剪應(yīng)力，因?yàn)橥脖诘暮穸群苄?，可以認(rèn)為沿筒壁厚度剪應(yīng)力不變，又根據(jù)圓截面的軸對(duì)

33、稱性，橫截面上的剪應(yīng)力沿圓環(huán)處處相等。根據(jù)如圖4-7c所示部分的平衡方程，有    ； （4-2）如圖4-7d是從薄壁圓筒上取出的相應(yīng)于4-7a上小方塊的單元體，它的厚度為壁厚t，寬度和高度分別為，。當(dāng)薄壁圓筒受扭時(shí)，此單元體分別相應(yīng)于p-p,q-q圓周面的左、右側(cè)面上有剪應(yīng)力，因此在這兩個(gè)側(cè)面上有剪力，而且這兩個(gè)側(cè)面上剪力大小相等而方向相反，形成一個(gè)力偶，其力偶矩為。為了平衡這一力偶，上、下水平面上也必須有一對(duì)剪應(yīng)力作用（據(jù)，也應(yīng)大小相等，方向相反）。對(duì)整個(gè)單元體，必須滿足，即所以    （4-3）上式表明，在一對(duì)相互垂直的微面上，垂直于交線

34、的剪應(yīng)力應(yīng)大小相等，方向共同指向或背離交線。這就是剪應(yīng)力互等定理。圖表-7d所示單元體稱純剪切單無(wú)體。2剪應(yīng)變與剪切胡克定律與圖4-7b中小方格（平行四邊形）相對(duì)應(yīng)，圖4-7e中單元體的相對(duì)兩側(cè)面發(fā)生微小的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，使原來(lái)互相垂直的兩個(gè)棱邊的夾角改變了一個(gè)微量，此直角的改變量稱為剪應(yīng)變或角應(yīng)變。如圖4-7b所示若為圓筒兩端的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角，為圓筒的長(zhǎng)度，則剪應(yīng)變?yōu)?#160;    （4-4）薄圓筒扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)表明，在彈性范圍內(nèi)，剪應(yīng)變與剪應(yīng)力成正比，即     （4-5）式（4-5）為剪切胡克定律；稱為材料剪切彈性模量，單位：GP

35、a。對(duì)各向同性材料，彈性常數(shù)三者有關(guān)系    （4-6）3變形能與比能若從薄壁圓筒中取出受純剪切的單元體如圖4-8所示，由于變形的相對(duì)性，可設(shè)單元體左側(cè)面不動(dòng)，右側(cè)面上的剪力由零逐漸增至，右側(cè)面因錯(cuò)動(dòng)沿方向的位移由零增至。因此剪力所作的功為    等于單元體內(nèi)儲(chǔ)存的變形能，故剪切單元體的變形能為    （4-7）其中。以單元體的體積除得單位體積內(nèi)的剪切變形能，即比能為   對(duì)圖4-8所示線彈性情況，當(dāng)剪應(yīng)力在剪切比例極限以內(nèi)時(shí)，有  （4-8a）對(duì)圖4-8所示線彈性關(guān)系（比例

36、極限以內(nèi)），有對(duì)圖4-7b所示受扭薄壁圓筒，由于其剪應(yīng)力與剪應(yīng)變均處處相同，則整個(gè)圓筒的變形能為= （48b）§4-4 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和強(qiáng)度條件平面假設(shè)及變形幾何關(guān)系如圖4-9a所示受扭圓軸，與薄圓筒相似，如用一系列平行的縱線與圓周線將圓軸表面分成一個(gè)個(gè)小方格，可以觀察到受扭后表面變形有以下規(guī)律：(1) 各圓周線繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)一微小轉(zhuǎn)角，但大小，形狀及相互間距不變；(2) 由于是小變形，各縱線平行地傾斜一個(gè)微小角度，認(rèn)為仍為直線；因而各小方格變形后成為菱形。平面假設(shè)：變形前橫截面為圓形平面，變形后仍為圓形平面，只是各截面繞軸線相對(duì)“剛性地”轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。從圖4-9a取出圖4-9b所

37、示微段dx , 其中兩截面pp,qq相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了扭轉(zhuǎn)角d,縱線ab傾斜小角度成為ab，而在半徑()處的縱線cd根據(jù)平面假設(shè)，轉(zhuǎn)過(guò)d后成為cd（其相應(yīng)傾角為，見(jiàn)圖4-9c）由于是小變形，從圖4-9c可知：。于是 （a）對(duì)于半徑為R的圓軸表面（見(jiàn)圖4-9b），則為 （b） 物理關(guān)系 與受扭薄壁圓筒相同，在半徑為處截出厚為d的薄圓筒（圖4-9b），用一對(duì)相距dy而相交于軸線的徑向面取出小方塊（正微六面體）如圖4-9c此為受純剪切單元體。由剪切胡克定理和式（a）得 （c）這表明橫截面上任意點(diǎn)的剪應(yīng)力與該點(diǎn)到圓心的距離成正比，即當(dāng)；當(dāng)，取最大值。由剪應(yīng)力互等定理，則在徑向截面和橫截面上，沿半徑剪應(yīng)力的分布

38、如圖4-10。3靜力平衡關(guān)系在圖4-11所示平衡對(duì)象的橫截面內(nèi)，有，扭矩，由力偶矩平衡條件，得令 （4-9）此處d/dx為單位長(zhǎng)度上的相對(duì)扭角，對(duì)同一橫截面，它應(yīng)為不變量。為幾何性質(zhì)量，只與圓截面的尺寸有關(guān)，稱為極慣性矩；單位為m4或cm4。則 或 （4-10）。  將（4-10）式代回（c）式，得 （4-11）則在圓截面邊緣上，為最大值時(shí)，得最大剪應(yīng)力為 （4-12）此處 （4-13）稱為抗扭截面系數(shù)，單位為m3或cm3。由此得圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件 （4-14）注意到此處許用剪應(yīng)力不同于剪切件計(jì)算中的剪切許用應(yīng)力。它由危險(xiǎn)剪應(yīng)力除以安全系數(shù)n得到，與拉伸時(shí)相類(lèi)似：s b 由相應(yīng)材料的扭

39、轉(zhuǎn)破壞試驗(yàn)獲得，大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，它與相同材料的拉伸強(qiáng)度指標(biāo)有如下統(tǒng)計(jì)關(guān)系：塑性材料 ；脆性材料 4. 、計(jì)算對(duì)實(shí)心圓軸                          對(duì)空心圓軸 （4-15）           （4-16）例4-2 AB軸傳遞的功率為，

40、轉(zhuǎn)速。如圖4-12所示，軸AC段為實(shí)心圓截面，CB段為空心圓截面。已知，。試計(jì)算AC以及CB段的最大與最小剪應(yīng)力。解：（1）計(jì)算扭矩 軸所受的外力偶矩為由截面法（2）計(jì)算極慣性矩 AC段和CB段軸橫截面的極慣性矩分別為      （3）計(jì)算應(yīng)力 AC段軸在橫截面邊緣處的剪應(yīng)力為            CB段軸橫截面內(nèi)、外邊緣處的剪應(yīng)力分別為         

41、                                                   

42、;             §4-5 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形和剛度條件扭轉(zhuǎn)角是指受扭構(gòu)件上兩個(gè)橫截面繞軸線的相對(duì)轉(zhuǎn)角。對(duì)于圓軸，由式（4-10）所以（rad） （4-17）式中稱為圓軸的抗扭剛度，它為剪切模量與極慣性矩乘積。越大，則扭轉(zhuǎn)角越小。讓?zhuān)瑸閱挝婚L(zhǎng)度相對(duì)扭角，則有（rad/m）扭轉(zhuǎn)的剛度條件： （rad/m） （4-18）            

43、                                     或 （°/m） （4-19）例4-3 如圖4-13的傳動(dòng)軸，r/min，馬力，馬力，馬力，已知MPa，°/m，GPa。求：確定AB和BC段直徑。解

44、： 1）計(jì)算外力偶矩（N·m）                    （N·m）                    （N·m）     作扭矩圖，

45、如圖4-13b所示。2）計(jì)算直徑           AB段：由強(qiáng)度條件， （mm）由剛度條件（mm）   取 mmBC段：同理，由扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件得 mm        由扭轉(zhuǎn)剛度條件得 mm    取mm例4-4 如圖4-14所示等直圓桿，已知KN·m，試?yán)L扭矩圖。解：設(shè)兩端約束扭轉(zhuǎn)力偶為，（1）由靜力平衡方程得 ； （a）此題屬于一次超靜定。（2）由變形協(xié)調(diào)方程（可

46、解除B端約束），用變形疊加法有 （b）（3）物理方程       ， （c）由式（c），（b）得  即        并考慮到（a），  結(jié)果  假設(shè)的力偶轉(zhuǎn)向正確，繪制扭矩圖如圖4-14c所示。§4-6 圓柱形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形計(jì)算螺旋彈簧如圖4-15a所示。當(dāng)螺旋角時(shí)，可近似認(rèn)為簧絲的橫截面與彈簧軸線在同一平面內(nèi)，一般將這種彈簧稱為密圈螺旋彈簧。1彈簧絲橫截面上的應(yīng)力如圖4-15b以簧絲的任意橫截面取出密圈彈簧的上部

47、分為研究對(duì)象，根據(jù)平衡方程，橫截面上剪力，扭矩。由引起的剪應(yīng)力，而且認(rèn)為均勻分布于橫截面上（圖4-15c）；若將簧絲的受力視為直桿的純扭轉(zhuǎn)，由引起的最大剪應(yīng)力（圖4-15d）所以在簧絲橫截面內(nèi)側(cè)A點(diǎn)有（4-20）   其中 （4-21）當(dāng)，略去剪應(yīng)力所引起的誤差，可用近似式    （4-22）對(duì)某些工程實(shí)際問(wèn)題，如機(jī)車(chē)車(chē)輛中的重彈簧，的值并不太小，此時(shí)不僅要考慮剪力，還要考慮彈簧絲曲率的影響，進(jìn)一步理論分析和修正系數(shù)k的選取可見(jiàn)有關(guān)參考書(shū)。   密圈彈簧絲的強(qiáng)度條件是：（4-23）式中：彈簧絲材料的許用剪應(yīng)力2.

48、彈簧的變形設(shè)彈簧在軸向壓力（或拉力）作用下，軸線方向的總縮短（或伸長(zhǎng)）量為，這是彈簧的整體的壓縮（或拉伸）變形。如圖4-16a、b，外力對(duì)彈簧做功?；山z橫截面上，距圓心為的任意點(diǎn)的扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力為（a）如認(rèn)為簧絲是純扭轉(zhuǎn)，則其相應(yīng)的單位體積變形能是（b）彈簧的變形能應(yīng)為 （c）此處，其中，彈簧絲總長(zhǎng)為，n為彈簧有效圈數(shù)。于是積分式（c）得 （d）由，則得到 （4-24）式中是彈簧圈的平均半徑。若引入記號(hào)，則式（4-24）可寫(xiě)成 （4-25）代表彈簧抵抗變形的能力，稱為彈簧剛度?？梢?jiàn)與成反比，越大則越小。例4-5 某柴油機(jī)的氣閥彈簧，簧圈平均半徑，簧絲直徑，有效圈數(shù)。彈簧工作時(shí)受KN，求此彈簧的最大

49、壓縮量與最大剪應(yīng)力（略去彈簧曲率的影響）解：由變形公式求最大壓縮量考慮剪切力時(shí)       不考慮剪力影響時(shí)，相差5.9% 。由于 ，還應(yīng)考慮曲率影響，此處從略。§4-7 非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)問(wèn)題 工程上受扭轉(zhuǎn)的桿件除常見(jiàn)的圓軸外，還有其他形狀的截面，下面簡(jiǎn)要介紹矩形截面，如圖4-17a。 桿件受扭轉(zhuǎn)力偶作用發(fā)生變形，變形后其橫截面將不再保持平面，而發(fā)生“翹曲”（圖4-17b）。扭轉(zhuǎn)時(shí)，若各橫截面翹曲是自由的，不受約束，此時(shí)相鄰橫截面的翹曲處處相同，桿件軸向纖維的長(zhǎng)度無(wú)變化，因而橫截面上，只有剪應(yīng)力沒(méi)有正應(yīng)力，這種扭轉(zhuǎn)稱為自由扭

50、轉(zhuǎn)。此時(shí)橫截面上剪應(yīng)力規(guī)律如下（圖14-7c）：1）邊緣各點(diǎn)的剪應(yīng)力與周邊相切，沿周邊方向形成剪流。2）發(fā)生在矩形長(zhǎng)邊中點(diǎn)處，大小為： ， （4-26）次大剪應(yīng)力發(fā)生在短邊中點(diǎn)，大小為，四個(gè)角點(diǎn)處剪應(yīng)力。3）桿件兩端相對(duì)扭轉(zhuǎn)角 ，（4-27）。其中系數(shù)與有關(guān)，可查表（見(jiàn)有關(guān)參考書(shū)）。注意到：對(duì)非圓截面扭轉(zhuǎn)，平面假設(shè)不再成立。上面計(jì)算公式是將彈性力學(xué)的分析結(jié)果寫(xiě)成圓軸公式形式。  當(dāng)時(shí)，截面成為狹長(zhǎng)矩形，此時(shí)，若以表示狹長(zhǎng)矩形的短邊長(zhǎng)度，則式（4-26）化為（4-28）其中，此時(shí)長(zhǎng)邊上應(yīng)力趨于均勻，如圖4-17d所示。在工程實(shí)際結(jié)構(gòu)中受扭構(gòu)件某些橫截面的翹曲要受到約束（如支承處，加載面

51、處等）。此扭轉(zhuǎn)為約束扭轉(zhuǎn)，其特點(diǎn)是軸向纖維的長(zhǎng)度發(fā)生改變，導(dǎo)致橫截面上除扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力外還出現(xiàn)正應(yīng)力。對(duì)非圓截面桿件約束扭轉(zhuǎn)提示：（1）對(duì)薄壁截面（如型鋼）將引起較大的正應(yīng)力。有關(guān)內(nèi)容可參“開(kāi)口薄壁桿件約束扭轉(zhuǎn)”專(zhuān)題；（2）對(duì)實(shí)心截面桿件（如矩形，橢圓形）正應(yīng)力一般很小可以略去，仍按自由扭轉(zhuǎn)處理。例4-6 某柴油機(jī)曲軸的曲柄截面可以認(rèn)為是矩形的，如圖4-18。在實(shí)用計(jì)算中，其扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力近似地按矩形截面桿受扭計(jì)算。若，已知曲柄所受扭矩為，試求這一矩形截面上的最大剪應(yīng)力。解：由截面的尺寸求得查表，并利用插入法，求出于是得：§4-8 薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn)薄壁桿件：桿件的壁厚遠(yuǎn)小于橫截面的其他兩個(gè)

52、尺寸（高和寬）。若桿件截面壁厚中線是一條不封閉的折線或曲線，如圖4-19a，則稱為開(kāi)口薄壁桿件。若為封閉的則稱為閉口薄壁桿件 （圖4-19b）1開(kāi)口薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn)可把截面視為一個(gè)狹長(zhǎng)矩形（圖4-20a）或幾個(gè)狹長(zhǎng)矩形的組合（圖4-20b）。應(yīng)力和變形計(jì)算可引用狹長(zhǎng)矩形截面桿的結(jié)果。最后計(jì)算公式仍用（4-28），只是，意義作適當(dāng)改變。 （1）截面可展成一個(gè)狹長(zhǎng)矩形的，其中h為截面展開(kāi)為狹長(zhǎng)矩形時(shí)的中線長(zhǎng)度，如圖4-20b，。（2）截面可視為n個(gè)狹長(zhǎng)矩形組成的?？砂礄M截面投影形狀保持不變（剛周界）假設(shè)，即根據(jù)各矩形的扭轉(zhuǎn)角（）和整個(gè)橫截面扭角相同，而整個(gè)截面的扭矩T等于各矩形截面承受的分扭矩之

53、和（），得到： （4-29）   說(shuō)明：·發(fā)生在壁最厚的矩形長(zhǎng)邊上。·對(duì)于各種型鋼，考慮圓角和壁厚不均勻影響，對(duì)要乘以修正系數(shù)，對(duì)角鋼，槽鋼，工字鋼。2閉口薄壁桿件受扭閉口薄壁桿件如圖4-21所示對(duì)橫截面上剪應(yīng)力的假設(shè)：（1）沿周邊的切線方向作用；（2）沿壁厚均勻分布。當(dāng)壁厚變化時(shí)，則剪流有（常量）根據(jù)截面內(nèi)剪應(yīng)力組成扭矩的條件：此處（積分代表截面中線所圍面積）于是有（4-30）利用功能原理，對(duì)桿長(zhǎng)為的整桿可寫(xiě)出扭轉(zhuǎn)力偶m所做的功，變形能。由可求得 （4-31a）若壁厚不變，則，有 （4-31b）。其中s為截面中線的周長(zhǎng)。例4-7 圖4-22，所示為開(kāi)口

54、與閉口圓環(huán)薄壁桿件，試比較二者的自由扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力和扭角。設(shè)兩桿材料相同，并具有相同的長(zhǎng)度，平均半徑r和壁厚。解：（1）開(kāi)口，（）（2）閉口， （）， （）（3）比較，可見(jiàn)開(kāi)口薄壁桿件的應(yīng)力和變形都遠(yuǎn)大于同樣情況下的閉口薄壁桿件。§5-1彎曲及其工程實(shí)例圖5-1為工程中常見(jiàn)的橋式起重機(jī)大梁和火車(chē)輪軸，它們都是受彎構(gòu)件。彎曲變形：桿件在垂直于其軸線的載荷作用下，使原為直線的軸線變?yōu)榍€的變形。通常將承受彎曲變形的桿件稱為梁。對(duì)稱彎曲：梁的每一個(gè)橫截面至少有一根對(duì)稱軸，這些對(duì)稱軸構(gòu)成對(duì)稱面。所有外力都作用在其對(duì)稱面內(nèi)時(shí)，梁彎曲變形后的軸線將是位于這個(gè)對(duì)稱面內(nèi)的一條曲線，這種彎曲形式稱為對(duì)稱彎

55、曲，如圖5-2所示。                              對(duì)稱彎曲是彎曲問(wèn)題中最常見(jiàn)的情況。§5-2靜定梁的基本形式靜定梁：梁的所有支座反力均可由靜力平衡方程確定。靜定梁的基本形式有：簡(jiǎn)支梁：一端為固定鉸支座，而另一端為可動(dòng)鉸支座的梁，如圖5-3a所示。懸臂梁：一端為固定端，另

56、一端為自由端的梁，如圖5-3b所示。外伸梁：簡(jiǎn)支梁的一端或兩端伸出支座之外的梁，如圖5-3c所示。                        §5-3梁的內(nèi)力剪力和彎矩如圖5-4a所示的簡(jiǎn)支梁，其兩端的支座反力 、可由梁的靜力平衡方程求得。用假想截面將梁分為兩部分，并以左段為研究對(duì)象（圖5-4b）。由于梁的整體處于平衡狀態(tài)，因此其各個(gè)部分也應(yīng)處于平衡狀態(tài)

57、。據(jù)此，截面II上將產(chǎn)生內(nèi)力，這些內(nèi)力將與外力 、，在梁的左段構(gòu)成平衡力系。由平衡方程，則  ；這一與橫截面相切的內(nèi)力 稱為橫截面II上的剪力，它是與橫截面相切的分布內(nèi)力系的合力。根據(jù)平衡條件，若把左段上的所有外力和內(nèi)力對(duì)截面II的形心 取矩，其力矩總和應(yīng)為零，即，則 ；這一內(nèi)力偶矩稱為橫截面II上的彎矩。它是與橫截面垂直的分布內(nèi)力系的合力偶矩。剪力和彎矩均為梁橫截面上的內(nèi)力，它們可以通過(guò)梁的局部平衡來(lái)確定。剪力、彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定：使梁產(chǎn)生順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的剪力規(guī)定為正，反之為負(fù)，如圖5-5所示；使梁的下部產(chǎn)生拉伸而上部產(chǎn)生壓縮的彎矩規(guī)定為正，反之為負(fù)，如圖5-6所示。 §5-4

58、 剪力圖和彎矩圖一般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置不同而變化，將剪力和彎矩沿梁軸線的變化情況用圖形表示出來(lái)，這種圖形分別稱為剪力圖和彎矩圖。畫(huà)剪力圖和彎矩圖的基本方法有二種：1剪力、彎矩方程法若以橫坐標(biāo) 表示橫截面在梁軸線上的位置，則各橫截面上的剪力和彎矩可以表示為的函數(shù)，即上述函數(shù)表達(dá)式稱為梁的剪力方程和彎矩方程。根據(jù)剪力方程和彎矩方程即可畫(huà)出剪力圖和彎矩圖。畫(huà)剪力圖和彎矩圖時(shí)，首先要建立 和 坐標(biāo)。一般取梁的左端作為 坐標(biāo)的原點(diǎn)，坐標(biāo)和 坐標(biāo)向上為正。然后根據(jù)截荷情況分段列出和 方程。由截面法和平衡條件可知，在集中力、集中力偶和分布載荷的起止點(diǎn)處，剪力方程和彎矩方程可能發(fā)生變化，

59、所以這些點(diǎn)均為剪力方程和彎矩方程的分段點(diǎn)。分段點(diǎn)截面也稱控制截面。求出分段點(diǎn)處橫截面上剪力和彎矩的數(shù)值（包括正負(fù)號(hào)），并將這些數(shù)值標(biāo)在 、坐標(biāo)中相應(yīng)位置處。分段點(diǎn)之間的圖形可根據(jù)剪力方程和彎矩方程繪出。最后注明和的數(shù)值。2微分關(guān)系法考察圖5-7a所示承受任意載荷的梁。從梁上受分布載荷的段內(nèi)截取 微段，其受力如圖5-7b所示。作用在微段上的分布載荷可以認(rèn)為是均布的，并設(shè)向上為正。微段兩側(cè)截面上的內(nèi)力均設(shè)為正方向。若 截面上的內(nèi)力為、，則截面上的內(nèi)力為、。因?yàn)榱赫w是平衡的，微段也應(yīng)處于平衡。根據(jù)平衡條件和，得到略去其中的高階微量后得到（5-1）； (5-2）利用式（5-1）和（5-2）可進(jìn)一步得

60、出       （5-3）。式（5-1）、（5-2）和（5-3）是剪力、彎矩和分布載荷集度 之間的平衡微分關(guān)系，它表明：剪力圖上某處的斜率等于梁在該處的分布載荷集度。彎矩圖上某處的斜率等于梁在該處的剪力。彎矩圖上某處的斜率變化率等于梁在該處的分布載荷集度。根據(jù)上述微分關(guān)系，由梁上載荷的變化即可推知剪力圖和彎矩圖的形狀。例如：若某段梁上無(wú)分布載荷，即，則該段梁的剪力為常量，剪力圖為平行于軸的直線；而彎矩為 的一次函數(shù)，彎矩圖為斜直線。若某段梁上的分布載荷（常量），則該段梁的剪力為 的一次函數(shù)，剪力圖為斜直線；而為 的二次函數(shù)，彎矩圖為拋

61、物線。在本書(shū)規(guī)定的坐標(biāo)中，當(dāng) （ 向上）時(shí)，彎矩圖為向下凸的曲線；當(dāng) （向下）時(shí)，彎矩圖為向上凸的曲線。若某截面的剪力，根據(jù)，該截面的彎矩為極值。利用以上各點(diǎn)，除可以校核已作出的剪力圖和彎矩圖是否正確外，還可以利用微分關(guān)系繪制剪力圖和彎矩圖，而不必再建立剪力方程和彎矩方程，其步驟如下：1求支座反力；2分段確定剪力圖和彎矩圖的形狀；3求控制截面內(nèi)力，根據(jù)微分關(guān)系繪剪力圖和彎矩圖；4確定和。§5-5 平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖桿系結(jié)構(gòu)若在結(jié)點(diǎn)處為剛性連接，則這種結(jié)構(gòu)稱為剛架。各桿連接處稱為剛結(jié)點(diǎn)。剛架變形時(shí)，剛結(jié)點(diǎn)處各桿軸線之間的夾角保持不變。平面剛架各桿的內(nèi)力，除了剪力和彎矩外，還有軸力。

62、作剛架內(nèi)力圖的方法和步驟與梁相同，但因剛架是由不同取向的桿件組成，習(xí)慣上按下列約定：彎矩圖，畫(huà)在各桿的受拉一側(cè)，不注明正、負(fù)號(hào)。剪力圖及軸力圖，可畫(huà)在剛架軸線的任一側(cè)（通常正值畫(huà)在剛架外側(cè)），但須注明正負(fù)號(hào)；剪力和軸力的正負(fù)號(hào)仍與前述規(guī)定相同。曲桿橫截面上的內(nèi)力情況及其內(nèi)力圖的繪制方法，與剛架相類(lèi)似。§6-1純彎曲正應(yīng)力梁的橫截面上同時(shí)存在剪力和彎矩時(shí)，這種彎曲稱為橫彎曲。剪力Q是橫截面切向分布內(nèi)力的合力；彎矩M是橫截面法向分布內(nèi)力的合力偶矩。所以橫彎梁橫截面上將同時(shí)存在剪應(yīng)力和正應(yīng)力。實(shí)踐和理論都證明，其中彎矩是影響梁的強(qiáng)度和變形的主要因素。因此，我們先討論Q = 0，M = 常數(shù)

63、的彎曲問(wèn)題，這種彎曲稱為純彎曲。圖6-1所示梁的CD段為純彎曲；其余部分則為橫彎曲。與扭轉(zhuǎn)相似，分析純彎梁橫截面上的正應(yīng)力，同樣需要綜合考慮變形、物理和靜力三方面的關(guān)系。1變形關(guān)系平面假設(shè)考察等截面直梁。加載前在梁表面上畫(huà)上與軸線垂直的橫線，和與軸線平行的縱線，如圖6-2a所示。然后在梁的兩端縱向?qū)ΨQ面內(nèi)施加一對(duì)力偶，使梁發(fā)生彎曲變形，如圖圖6-2b所示?？梢园l(fā)現(xiàn)梁表面變形具有如下特征： （1）橫線（m-m和n-n）仍是曲線，只是發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，但仍與縱線（如a-a，b-b）正交。（2）縱線（a-a和b-b）彎曲成曲線，且梁的一側(cè)伸長(zhǎng)，另一側(cè)縮短。根據(jù)上述梁表面變形的特征，可以作出以下假設(shè)：梁變

64、形后，其橫截面仍保持平面，并垂直于變形后梁的軸線，只是繞著梁上某一軸轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度。與扭轉(zhuǎn)時(shí)相同，這一假設(shè)也稱平面假設(shè)。此外，還假設(shè)：梁的各縱向?qū)踊ゲ粩D壓，即梁的縱截面上無(wú)正應(yīng)力作用。根據(jù)上述假設(shè)，梁彎曲后，其縱向?qū)右徊糠之a(chǎn)生伸長(zhǎng)變形，另一部分則產(chǎn)生縮短變形，二者交界處存在既不伸長(zhǎng)也不縮短的一層，這一層稱為中性層。如圖6-3所示。中性層與橫截面的交線為截面的中性軸。橫截面上位于中性軸兩側(cè)的各點(diǎn)分別承受拉應(yīng)力或壓應(yīng)力；中性軸上各點(diǎn)的應(yīng)力為零。 下面根據(jù)平面假設(shè)找出縱向線應(yīng)變沿截面高度的變化規(guī)律?？疾炝荷舷嗑酁閐x的微段（圖6-4a），其變形如圖6-4b所示。其中x軸沿梁的軸線，y軸與橫截面的對(duì)稱軸

65、重合，z軸為中性軸。則距中性軸為y處的縱向?qū)觓-a彎曲后的長(zhǎng)度為，其縱向正應(yīng)變?yōu)椋╝）式（a）表明：純彎曲時(shí)梁橫截面上各點(diǎn)的縱向線應(yīng)變沿截面高度線性分布。2物理關(guān)系根據(jù)以上分析，梁橫截面上各點(diǎn)只受正應(yīng)力作用。再考慮到縱向?qū)又g互不擠壓的假設(shè)，所以純彎梁各點(diǎn)處于單向應(yīng)力狀態(tài)。對(duì)于線彈性材料，根據(jù)胡克定律    于是有    （b）式中、均為常數(shù)，上式表明：純彎梁橫截面上任一點(diǎn)處的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的垂直距離y成正比。即正應(yīng)力沿著截面高度按線性分布，如圖6-4d所示。式（b）還不能直接用以計(jì)算應(yīng)力，因?yàn)橹行詫拥那拾霃?以及中性軸的位置

66、尚未確定。這要利用靜力關(guān)系來(lái)解決。3靜力關(guān)系彎矩M作用在x-y平面內(nèi)。截面上坐標(biāo)為y、z的微面積dA上有作用力。橫截面上所有微面積上的這些力將組成軸力N以及對(duì)y、z軸的力矩My和Mz： （c）；  （d）；  （e）在純彎情況下，梁橫截面上只有彎矩，而軸力 和 皆為零。將式（b）代入式（c），因?yàn)?，故有  ， 其中稱為截面對(duì)z軸的靜矩。因?yàn)?，故有。這表明中性軸z通過(guò)截面形心。將式（b）代入式（d），有，  其中稱為截面對(duì)y、z軸的慣性積。使的一對(duì)互相垂直的軸稱為主軸。由于y軸為橫截面的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸必為主軸，而z軸又通過(guò)橫截面形心，所以y、z軸為形心主軸。將式（b）代入式（e），有    ，  得到  （6-1） ， 其中  稱為截面對(duì)z軸的慣性矩；稱為截面的抗彎剛度。式（6-1）表明，梁彎曲的曲率與彎矩成正比，而與抗彎剛度成反比。將式（6-