變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運算教學(xué)設(shè)計

1、專題 018：變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運算（教學(xué)設(shè)計）（師）考點要求：1利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在某點處的切線方程2考查導(dǎo)數(shù)的有關(guān)計算，尤其是簡單的函數(shù)求導(dǎo)3本講復(fù)習(xí)時，應(yīng)充分利用具體實際情景，理解導(dǎo)數(shù)的意義及幾何意義，應(yīng)能靈活運用導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)運算法則進(jìn)行某些函數(shù)求導(dǎo) . 知識結(jié)構(gòu)：1函數(shù) y f(x)從 x1到 x2的平均變化率函數(shù) yf(x)從 x1到 x2的平均變化率為f x2f x1x2x1. 若 xx2x1， yf(x2)f(x1)，則平均變化率可表示為 y x. 2函數(shù) y f(x)在 xx0處的導(dǎo)數(shù)(1)導(dǎo)數(shù)的概念：從函數(shù) y=f(x)在 x=x0處的瞬時變化率是: 0000()(

2、)limlimxxf xxfxfxx我們稱它為函數(shù)( )yf x在0 xx出的導(dǎo)數(shù)，記作0()fx或0|xxy，即0000()()()limxf xxfxfxx說明： （ 1）導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)y=f(x)在 x=x0處的瞬時變化率（ 2）0 xxx，當(dāng)0 x時，0 xx，所以0000( )()()limxf xf xfxxx(2)幾何意義函數(shù) f(x)在點 x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義是在曲線y f(x)上點 (x0，f(x0)處切線的斜率相應(yīng)地，切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)3函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù)稱函數(shù)0()( )()limxf xxf xfxx為 f(x)的導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)有時

3、也記作y . 4基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式若 f(x)c，則 f(x)0；若 f(x)x( r)，則 f(x) x1；若 f(x)sin x，則 f(x)cos x；若 f(x)cos x，則 f(x) sin x；若 f(x)ax(a0，且 a1)，則 f(x) axln_a；若 f(x)ex，則 f (x)ex；若 f(x)logax(a0，且 a 1)，則 f (x)1xln a；若 f(x)ln x，則 f(x)1x. 5導(dǎo)數(shù)四則運算法則(1)f(x) g(x) f(x) g(x)；(2)f(x) g(x) f(x)g(x) f(x)g(x)；(3)f xg xf x g x f x g

4、xg x 2(g(x)0)*6 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù) yf(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)yf(u)，ug(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx yu ux. 7.一個區(qū)別曲線 yf(x)“ 在”點 p(x0，y0)處的切線與 “ 過”點 p(x0，y0)的切線的區(qū)別：曲線 yf(x)在點 p(x0，y0)處的切線是指p 為切點，若切線斜率存在時，切線斜率為kf(x0)，是唯一的一條切線；曲線 yf(x)過點 p(x0，y0)的切線，是指切線經(jīng)過p 點，點 p 可以是切點， 也可以不是切點，而且這樣的直線可能有多條8/兩種法則(1)導(dǎo)數(shù)的四則運算法則*(2) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則9.三個防范1利用公式求導(dǎo)時要特

5、別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆2要正確理解直線與曲線相切和直線與曲線只有一個交點的區(qū)別*3 正確分解復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，做到不重不漏基礎(chǔ)自測：1下列求導(dǎo)過程中1x1x2； (x)12x； (logax)ln xln a1xln a； (ax) (eln ax) (exln a) exln aln aaxln a其中正確的個數(shù)是(d)a1 b2 c3 d 4 2函數(shù) f(x) (x 2a)(xa)2的導(dǎo)數(shù)為 ()a2(x2a2) b2(x2a2) c3(x2a2) d3(x2a2) 解析f (x)(xa)2(x2a)2(xa)3(x2a2)答案c 3(2011 湖南

6、 )曲線 ysin xsin xcos x12在點 m4，0處的切線的斜率為()a12b.12c22d.22解析本小題考查導(dǎo)數(shù)的運算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運算求解能力ycos x sin xcos x sin x cos xsin xsin xcos x211 sin 2x，把 x4代入得導(dǎo)數(shù)值為12. 答案b 4(2011 江西 )若 f(x)x22x4ln x，則 f(x)0 的解集為 ()a(0， ) b(1,0)(2， ) c(2， ) d(1,0) 解析令 f(x)2x 24x2 x2 x1x0，利用系軸標(biāo)根法可解得1x0 或 x2，又 x0，所以 x2.故選 c. 5如圖，函數(shù)f(

7、x)的圖象是折線段abc，其中 a，b，c 的坐標(biāo)分別為 (0,4)，(2,0)，(6,4)，則 f(f(0)_；0limxf 1 x f 1 x _(用數(shù)字作答 )6已知) 1()(23fxxxf, 則)2(f 0 。7若曲線4yx的一條切線l與直線480 xy垂直，則l的方程為430 xy。例題選講：例 1：利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)f(x)x3在 xx0處的導(dǎo)數(shù)，并求曲線f(x)x3在 xx0處切線與曲線f(x)x3的交點審題視點 正確理解導(dǎo)數(shù)的定義是求解的關(guān)鍵解f(x0) limxx0f x f x0 xx0 limxx0 x3x30 xx0 limxx0(x2xx0 x20)3x20. 曲

8、線 f(x)x3在 xx0處的切線方程為yx303x20 (xx0)，即 y3x20 x2x30，由y x3，y 3x20 x2x30，得(xx0)2(x2x0)0，解得 xx0，x 2x0. 若 x00，則交點坐標(biāo)為(x0，x30)，(2x0， 8x30)；若 x00，則交點坐標(biāo)為(0,0)小結(jié)： 利用定義求導(dǎo)數(shù)的一般過程是：(1)求函數(shù)的增量 y；(2)求平均變化率 y x；(3)求極限0limx y x. 例 2：求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yxx5sin xx2；(2)y(x1)(x2)(x3)； (3)ysinx21 2cos2x4；(4)y11x11x；分析：先把式子化為最簡式再進(jìn)行

9、求導(dǎo)解(1)yx12x5sin xx2 x32x3sin xx2，y x32 (x3) (x2sin x)32x523x22x3sin xx2cos x. (2)法一y(x23x2)(x3)x36x211x6，y 3x212x11. 法二y (x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x2) (x3)(x1) (x 2)(x2x1)(x3)(x1)(x2) (2x3)(x3)(x1)(x2) 3x212x11. (3)ysinx2cosx212sin x，y 12sin x 12(sin x)12cos x. (4)y11x11x1x1x1x 1x21x，y21x

10、2 1x 1x221x2. 小結(jié)： (1)熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及四則運算法則是正確求導(dǎo)的基礎(chǔ)(2)必要時對于某些求導(dǎo)問題可先化簡函數(shù)解析式再求導(dǎo)* 例 3：求下列復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）(1)y (2x3)5； (2)yln(2x5)分析：正確分解函數(shù)的復(fù)合層次，逐層求導(dǎo)解(1)設(shè) u2x 3，則 y(2x3)5，由 yu5與 u2x3 復(fù)合而成，y f(u) u(x)(u5)(2x3) 5u4 210u410(2x3)4. (2)設(shè) y ln u，u2x5，則 yx yu uxy12x 5 (2x5)22x5. 小結(jié)： 由復(fù)合函數(shù)的定義可知，中間變量的選擇應(yīng)是基本函數(shù)的結(jié)構(gòu)，解

11、這類問題的關(guān)鍵是正確分析函數(shù)的復(fù)合層次，一般是從最外層開始，由外向內(nèi)，一層一層地分析，把復(fù)合函數(shù)分解成若干個常見的基本函數(shù)，逐步確定復(fù)合過程例 4. 已知曲線y=.34313x（1）求曲線在x=2 處的切線方程；（ 2）求曲線過點（2，4）的切線方程. 解（1）y=x2, 在點 p（2，4）處的切線的斜率k=y|x=2曲線在點p（2，4）處的切線方程為y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0. （2）設(shè)曲線y=34313x與過點 p（ 2，4）的切線相切于點3431,300 xxa，則切線的斜率k=y|0 xx=20 x. 切線方程為),(343102030 xxxxy即.34323020

12、xxxy點 p（2， 4）在切線上， 4=,343223020 xx即, 044,0432020302030 xxxxx,0)1)(1(4)1(00020 xxxx(x0+1)(x0-2)2=0, 解得 x0=-1 或 x0=2, 故所求的切線方程為4x-y-4=0或 x-y+2=0. 例 5 如果曲線103xxy的某一切線與直線34xy平行，求切點坐標(biāo)與切線方程分析：本題重在理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線( )yf x在給定點00(,()p xf x處的切線的斜率0()kfx，用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的斜率就很簡單了。解：切線與直線34xy平行，斜率為 4 又切線在點0 x的斜率為00320(10)

13、31xxxxyxxx41320 x10 x8100yx或12100yx切點為（ 1，-8 ）或（ -1，-12 ）切線方程為) 1( 48xy或)1(412xy即124xy或84xy點評： 函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義揭示了導(dǎo)數(shù)知識與平面解析幾何知識的密切聯(lián)系，利用導(dǎo)數(shù)能解決許多曲線的切線問題，其中尋找切點是很關(guān)鍵的地方。鞏固作業(yè)：a 組：一、選擇題：1函數(shù)22(21)yx的導(dǎo)數(shù)是（c）()a32164xx()b348xx()c3168xx()d3164xx2已知函數(shù))(, 31)(xfxxf則處的導(dǎo)數(shù)為在的解析式可（a）()a) 1(3)1()(2xxxf()b)1(2)(xxf()c2) 1(2)(

14、xxf()d1)(xxf3 曲線24yxx上兩點(4, 0),(2, 4)ab， 若曲線上一點p處的切線恰好平行于弦ab，則點p的坐標(biāo)為（b）()a (1,3)()b(3,3)()c (6,12)()d (2, 4)4若函數(shù)2( )f xxbxc的圖象的頂點在第四象限，則函數(shù)( )fx的圖象是（a）二、填空題：5已知曲線( )yf x在2x處的切線的傾斜角為34，則( 2)f1，( 2)f0 xyo()axyo()bxyo()cxyo()d6已知),(,cos1sinxxxy, 則當(dāng)2y時,x32。7一物體做直線運動的方程為21stt，s的單位是,m t的單位是s，該物體在3 秒末的瞬時速度是

15、5/m s。8設(shè))(xf是可導(dǎo)函數(shù)，且)(,2)()2(lim0000 xfxxfxxfx則1 。9在函數(shù)xxy83的圖象上，其切線的傾斜角小于4的點中，坐標(biāo)為整數(shù)的點的個數(shù)是 3 。10設(shè)f（x）在x=1 處連續(xù)，且f（1） =0,1limx1)(xxf=2, 則(1)f _2_ 。解：f（1）=0, 1limx1)(xxf =2, f（ 1）= 0limxxfxf)1()1(=1limx1)1()(xfxf =1limx1)(xxf=2 三、解答題：11 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yxnex；(2)ycos xsin x；(3)yexln x；(4)y (x1)2(x 1) （5）y=tan

16、x 解(1)y nxn1exxnexxn1ex(nx)(2)ysin2xcos2xsin2x1sin2x. (3)y exln xex1xex1xln x . (4)y(x1)2(x1)(x1)(x21)x3x2x1，y 3x22x1. （5） y.cos1cossincoscos)(cossincos)(sincossin22222xxxxxxxxxxx12 （1）設(shè)函數(shù)2( )(31)(23)f xxxx，求( ),( 1)fxf；（2）設(shè)函數(shù)32( )25f xxxx，若()0fx，求x的值解： （1）32( )61153f xxxx，2( )18225fxxx（2）32( )25f x

17、xxx，2( )341fxxx由()0fx得：203410 xx，解得：01x或013x13已知曲線方程為yx2，求曲線在點a(2,4) 處的切線方程。解：由 y x2 得 y 2xk=y |x 24，因此所求直線的方程為y44(x2)，即 4xy40. 14已知曲線方程為yx2，求過 b(3,5) 點且與曲線相切的直線方程。解：設(shè)切點p 的坐標(biāo)為 (x0， y0) 由 y x2 得 y 2x，k=y |x x02x0，又 k=3500 xy3500 xy=20 x又由200 xy,代入上式得x01 或 x05，切點坐標(biāo)為(1,1) ，(5,25) ，所求直線方程為2xy 10,10 xy25

18、0. 小結(jié)： (1)解決此類問題一定要分清“在某點處的切線”，還是“過某點的切線”。(2)解決“過某點的切線”問題，一般是設(shè)出切點坐標(biāo)解決。15偶函數(shù) f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e 的圖象過點p （ 0，1） ，且在 x=1 處的切線方程為y=x-2 ，求 y=f（x）的解析式解f （ x）的圖象過點p（0， 1） ，又f （ x）為偶函數(shù)， f （ -x ）=f （x）故 ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-db=0，f （ x）=ax4+cx2函數(shù) f （x）在 x=1 處的切線方程為y=x-2 ，可得切點為（1，-1 ）a+c+1=-)1(f=(4ax

19、3+2cx)|x=1=4a+2c，由得 a=25，c=29函數(shù) y=f （x）的解析式為.12925)(24xxxf16求函數(shù)42yxx圖象上的點到直線4yx的距離的最小值及相應(yīng)點的坐標(biāo). 解：首先由424xyxxy得420 x知，兩曲線無交點. 341yx，要與已知直線平行，須3411x，0 x故切點：（0 , 2）. 242d2. 17已知直線1l為曲線22xxy在點(0,2)處的切線，2l為該曲線的另一條切線，且21ll（）求直線2l的方程；（）求由直線1l，2l和x軸所圍成的三角形的面積解： 設(shè)直線1l的斜率為1k，直線2l的斜率為2k，21yx，由題意得10|1xky, 得直線1l的

20、方程為2yx122111llkk211,1xx令得,212,2xyxxy將代入得2l與該曲線的切點坐標(biāo)為( 1, 2),a由直線方程的點斜式得直線2l的方程為：3yx（）由直線1l的方程為2yx,令0=2yx得:由直線2l的方程為3yx，令0=3yx得:由23yxyx得：52y設(shè)由直線1l，2l和x軸所圍成的三角形的面積為s，則：15252( 3)224sb 組：一、選擇題：二、填空題：三、解答題：1(2010 山東 )已知函數(shù)f(x) ln xax1ax1(ar)(1)當(dāng) a 1 時，求曲線yf(x)在點 (2，f(2)處的切線方程；(2)當(dāng) a12時，討論f(x)的單調(diào)性分析：(1)求出在

21、點 (2， f(2)處的斜率及f(2)，由點斜式寫出切線方程；(2)求 f(x)，再對 a 分類討論解：(1)當(dāng) a 1 時， f(x)ln xx2x1，x(0， )所以 f(x)x2 x2x2，x(0， )， (1 分) 因此 f (2)1，即曲線yf(x)在點 (2，f(2)處的切線斜率為1. 又 f(2)ln 22，所以曲線 yf(x)在點 (2，f(2)處的切線方程為y(ln 2 2) x2，即 xyln 2 0.(3 分) (2)因為 f(x)ln xax1ax1，所以 f (x)1xaa1x2ax2 x1ax2， x(0， )(4 分 ) 令 g(x)ax2 x1a，x(0， )當(dāng) a0 時， g(x) x1， x(0， )，所以當(dāng) x(0,1)時， g(x)0，此時 f (x)0，函數(shù) f(x)單調(diào)遞減；當(dāng) x(1， )時， g(x)0，此時 f(x)0，函數(shù) f(x)單