第四講三期及無限期動態(tài)模型

1、第四講三期及無限期動態(tài)模型第一節(jié)三期動態(tài)模型在這一節(jié)中，我們把兩期模型擴(kuò)展到三期。從來不要小看這一簡單的擴(kuò)展，實際上，從這一擴(kuò)展中，我們可以從中學(xué)會怎樣去處理消費(fèi)者生活任意期的問題。當(dāng)然，還有非常重要的一點是，求解三期模型的方法可以 讓我們理解動態(tài)規(guī)劃的本質(zhì)。1.1基本決策環(huán)境經(jīng)濟(jì)活動進(jìn)行三期。代表性消費(fèi)者在初始時擁有k0單位的商品稟賦，這些商品即可以消費(fèi)也可以作為資本使用，也即商品和資本之間是可以一 對一轉(zhuǎn)換的。我們用如下的一個簡單的可分離效用函數(shù)來代表消費(fèi)者的偏好：v(g，C2，C3)= u(g) + pu(C2)+ 珈©)(4.1)該效用函數(shù)具備在第三講第一節(jié)中所描述的一切特征

2、。出于簡單考慮，我們假設(shè)企業(yè)生產(chǎn)只需要資本不需要勞動。企業(yè)根據(jù) 如下的生產(chǎn)函數(shù)進(jìn)行消費(fèi)品的生產(chǎn)：y = f (k)(4.2)其中， y 是產(chǎn)出， k 是資本投入。當(dāng)然，我們假設(shè)生產(chǎn)函數(shù)具有如下性 質(zhì)，即f'(k) >0, f "(k) <0，同時，也滿足稻田條件(Inada conditions )，即) f mli0f(k)= 0。1.2 最優(yōu)化行為顯然，對于這樣一個三期的最優(yōu)化問題，我們現(xiàn)在已經(jīng)不陌生了，簡 單套用處理兩期最優(yōu)的方法，我們就可以處理這個三期最優(yōu)問題。在這里， 我們可以簡單看一下計劃最優(yōu)的情況。計劃者在資源的約束下最大化消費(fèi)者的最大效用。計劃者實

3、際上就是 通過求解如下一個問題來實現(xiàn)效用的最大化：maxU(cJ+ 御©)+ 珂©)( 4.3)c1,c2 ,c3 ,k1,k 2s.t.c1 +k1 = f (k0)(4.4)c2 + k2 = f (k1)(4.5)c3 +k3 = f (k2)(4.6)這里， k1、k2、k3 分別表示每一期中消費(fèi)者為下一期預(yù)留的資本數(shù)量。因為經(jīng)濟(jì)活動只進(jìn)行三期，因此，k3 = 0一定成立，否則，就不是最優(yōu)的了顯然，對于這樣一個最優(yōu)化問題，我們現(xiàn)在已經(jīng)能很容易處理了：構(gòu)建拉格朗日函數(shù)，分別對五個決策變量求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，可以得到兩 個資本供給函數(shù)，再加上三個預(yù)算約束條件，只要我

4、們知道效用函數(shù)和生產(chǎn)函數(shù)的具體形式，我們就能求得最終的最優(yōu)解。雖然拉格朗日方法就可以方便地處理這個最優(yōu)化問題，但是，為了能 更好理解動態(tài)規(guī)劃的思想，在這里，我們還要介紹另一種處理這個最優(yōu)化 問題的方法。想像一下，假如消費(fèi)者現(xiàn)在正處在第三期的開始時，消費(fèi)者會怎樣行為？此時，消費(fèi)者唯一能選的決策變量是C3，消費(fèi)者面臨的是如下這樣個最優(yōu)決策問題:第三期 maxuG)(4.7)s.t.C3 +k3 = f (k2)(4.6)這里，k2是在第二期已經(jīng)決定了的變量。這個最優(yōu)解是明顯的，為:k3 = g(k2)=0( 4.8)?c? = f (k2)- g(k2)= f (k2)(4.9)這里，方程(4.9

5、)稱為政策函數(shù)(Policy function )，它反映的是如下這 樣一個事，即消費(fèi)者準(zhǔn)備為第下一期預(yù)留的資本數(shù)量實際取決于本期已有 的資本數(shù)量，具體到我們這個三期模型里來，也即消費(fèi)者準(zhǔn)備為第四期預(yù) 留的資本數(shù)量k3是本期資本數(shù)量k2的函數(shù)，即k3=g(k2)。當(dāng)然，因為在我們 這個模型里，經(jīng)濟(jì)活動僅進(jìn)行三期，因而不會為第四期預(yù)留資本，也即也 即，k3 = 0?，F(xiàn)在，如果我們把這個最優(yōu)解(4.9 )式代進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，我們可以得到如下這樣一個間接效用函數(shù)(更正規(guī)的名字為值函數(shù)(Value function )：V3 (k2)三u (c?) = u (f (k2)(4.10)V3表示的是如果給定消

6、費(fèi)者可獲得的資本為k2，那么，消費(fèi)者能獲得的最大的效用水平。上述值函數(shù)對 k2求導(dǎo)，可得：?V(k2) = u (f (k2)f '(k2)(4.11)?k?現(xiàn)在，我們再回到第二期。在第二期得初始時，k1是給定的，因為它是在第一期就被決定的。在第二期，消費(fèi)者通過選擇一個合適的(c2、k2 )組合來最大化自己的效用，實際就是在求解如下這樣一個最優(yōu)化問題：第二期maxuG)+ 陸代2) (4.12)C2,k2s.t.c2 + k2 = f (k1)(4.5)因為消費(fèi)者在第二期選擇的k2將被作為第三期的資本使用，因此，第二期選擇的k2將會對第三期的效用產(chǎn)生影響，所以，在第二期作決策時，當(dāng)然需

7、要把這種影響考慮進(jìn)去。在上面的最大化問題中，我們借助值函數(shù)V3來表示了這種經(jīng)由k2而產(chǎn)生的效用。代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，并對k2求導(dǎo)數(shù)，我們可以得到相應(yīng)于這個最優(yōu)化問題的一階條件：?V3u'(C2)= p- -代2)? u'(C2)= w'(C3) f 伙2)(4.13):k 2這個一階條件就是歐拉方程。這個歐拉方程實際上隱含地給出了第二期政策函數(shù)：k2 = g(ki)(4.14)現(xiàn)在，有了這個政策函數(shù)，我們可以定義第二期的值函數(shù)了，它是：V2(kJ f(c?)+ BV3(k?)(4.15)顯然，我們的最優(yōu)選擇依賴于k1，因而，上述值函數(shù)對 k1求導(dǎo)，可得：? ?驢(kj

8、 = u '(c?)?f (kJ-嚴(yán)？+乎 (4.16)?k1?k1 ?k2?k1上式重新整理后，為：?V2, ? ,? ?V3 ?, ? ?k2才(kJ = u '(C2) f (kJ + ? p于h) - u(C2)?于(4.16)?k1? ?k2?k1根據(jù)上面的(4.13)式，我們知道在大括號里的部分等于零(事實上，在這里我們也證明了包洛定理(Envelope theorem)。在第一期的初始時，k°給定，顯然，我們能像第二期一樣來處理第一 期的最優(yōu)化問題：第一期maxu(G)+ N2(kj(4.17)s.t.c1 + k1 = f (k0)(4.4)無論消費(fèi)者

9、選擇怎樣的一個ki值，一旦ki值被確定，它將以最恰當(dāng)?shù)姆绞皆谖磥肀皇褂?，從而給消費(fèi)者帶來最大的效用。這一信息像前面一樣被 濃縮在值函數(shù)V2里。同樣，代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，我們可以得到如下的 一階條件：?V2u'(Ci)= 3- -(ki) ? u'(Ci)=旳'(C2)f'(ki)(4.18)?k1同樣的，這個一階條件就是歐拉方程，它實際上隱含地給出了第一期 政策函數(shù)：ki = g(ko)(4.14)有了這個政策函數(shù)，同上面一樣，我們也能定義如下一個相應(yīng)于第一 期的值函數(shù)：Vi(ko) f(c?)+ W2(ki?)(4.16)這一值函數(shù)實際上給出了當(dāng)消費(fèi)者在初始

10、資本給定為k0的情形下，所有三期能獲得的總效用。現(xiàn)在我們已經(jīng)處理了三期的問題，顯然，如果是四期、五期乃至更多 期我們都能套用這種方法進(jìn)行處理。更有趣的是，當(dāng)時期趨于無限時，如 果上面我們推導(dǎo)的值函數(shù)將收斂到一些特殊的函數(shù)上，那對于我們處理無 限期問題當(dāng)然更有幫助，而實際上，動態(tài)規(guī)劃實際就是設(shè)法處理和回答這 些問題。1.3 一個例子：吃蛋糕問題現(xiàn)在，考慮一個生活三期的個人，他 (她)的偏好由如下效用函數(shù)給出：3刀礦5 net(4.17)t=1這里，et是時期t的消費(fèi)，0V 3<1是主觀貼現(xiàn)率。行為人在第一期的開始有 A0 > 0單位的消費(fèi)品(蛋糕)，該消費(fèi)品(蛋糕)可以無成本地儲藏。

11、該 消費(fèi)者沒有其他收入來源。試解釋消費(fèi)者在生命周期中的蛋糕消費(fèi)模式。 特別的，如果我們假設(shè)A0 =1，也即行為人在生命的初始期有一個蛋糕。并且假設(shè)3 = 0.5。試求在時期1結(jié)束時，有多少蛋糕剩余？在時期 2結(jié)束時和 時期 3 結(jié)束時又各由多少蛋糕剩余？具體求解(1) 給定A2，行為人在第三期的最優(yōu)規(guī)劃問題為：v3 ( A2 ) = max ln e3(4.18 )e3 ,A3s.t.A3 = A2 - e3(4.19)要使第三期的消費(fèi)盡可能地大，解是非常清楚的，即：A3 = g(A2)= 0和 e3 = A2 - g(A2)= A2 (4.20)把這一決策規(guī)則代入目標(biāo)函數(shù)可以求得值函數(shù)：v3

12、(A2)=ln A2(4.21)(2) 給定A1，行為人在第二期的最優(yōu)規(guī)劃問題為：v2(A1) = max ln e2 + 3v3(A2)(4.22)e2 ,A2s.t.A2 = A1 - e2(4.23)把預(yù)算約束代入目標(biāo)函數(shù)，消掉C2，結(jié)合從第三期中已經(jīng)求得的值函數(shù)，我們可以得到時期 2 如下的一個貝爾曼方程：v2(A1)=maxln(A1- A2)+3lnA2(4.24)對應(yīng)于貝爾曼方程右邊的最大化問題的一階條件為:1A, - A2+衛(wèi)=oA2(4.25)我們能求解出相應(yīng)的 A2 :A2 = g(Ai)=+1?0?？一 OP代g(Aj進(jìn)預(yù)算約束方程可以得到時期(4.26)2的消費(fèi)決策規(guī)則

13、:C2 = Ai-g(A) = ?化(切)把這一決策規(guī)則g(A,)代入目標(biāo)函數(shù)可以求得值函數(shù):? aV2(Al)= ln?1+-?0? + 1?0?n+?0?=(1+ -)ln(A,)+ -n - (1+ -In(1+ -) (4.28)(3) 給定Ao，行為人在第一期的最優(yōu)規(guī)劃問題為：v,(A0) = maxIn c, + -2(A,)(4.29)Ci ,A|s.t.A, = Ao - c,(4.30)把預(yù)算約束代入目標(biāo)函數(shù)，消掉c,，結(jié)合從第二期中已經(jīng)求得的值函數(shù),我們可以得到時期1的如下一個貝爾曼方程：v,(Ao) = max In(Ao - A,) + -(1+ - In(A,) +

14、-In - (1 + -)ln(1+ -) (4.31)A|從對應(yīng)于貝爾曼方程右邊的最大化問題的一階條件為中可以得到如下的決策規(guī)則:Ai = g (Ao)=OA 彳？-2OP(4.33)Ci = Ao - g(Ao)=?-12 ?Ao?1 + -+ - ?把這一決策規(guī)則g(A0)代入目標(biāo)函數(shù)可以求得值函數(shù):? ? ?2?人+即+訕?1+ p+卩?+ Bln B- (1+ B)ln(1 +=(1+ B+ B2)ln A0 +( B + 2B2)ln B- (1+ B+ B2)ln(1+ p+ p2) (4.34)因為在第一期的期初 A。=1 ,利用決策規(guī)則可以計算每一期的蛋糕存量:Ai = g(

15、1) = ? 0.5 + 0.5 2?1 + 0.5 + 0.51?0.429(4.35)A2 = g(0.429)09?理?17143(4.36)A3 = g(0.143)= 0(4.37)因而，大多數(shù)蛋糕將在第一期被消費(fèi)掉(0.571 ),在隨后期的消費(fèi)將逐期減少，第二期約為0.286，第三期約為0.143。這是因為有時間貼現(xiàn)的緣故(0< (3<1)。因為行為人偏好目前的效用，她在第一期將吃掉大部分蛋 糕，隨后，逐期減少。第二節(jié)無限期動態(tài)模型與動態(tài)規(guī)劃到目前為止，我們介紹了兩期和三期的模型，在這些模型中，因為期 數(shù)有限，所以，我們一般都能求解出每一期的均衡解。但是，如果我們面

16、對的不是兩期、三期模型，而是一百期、一千期的模型，那么，我們?nèi)绾?去求解每一期的均衡解？當(dāng)然，從原則上講，只要你不怕麻煩，通過構(gòu)建 拉格朗日函數(shù)也是可以求解的，但是，用這種方法去求解的工作量是驚人 的！所以，我們自然會想是否有更為簡便的方法。答案是肯定的，我們在 上一節(jié)的三期模型中，實際上已經(jīng)部分涉及到了這種方法的基本思想，就 是動態(tài)規(guī)劃。但是，因為在上一節(jié)的模型只是一個三期模型，我們用通常 的拉格朗日方法也能很容易求得均衡解，所以，動態(tài)規(guī)劃方法的優(yōu)勢并不 能得到很好體現(xiàn)，在本節(jié)，我們要介紹一個無限期的模型，在這樣的模型 中，我們可以看到動態(tài)規(guī)劃在處理這些問題時會有明顯優(yōu)勢。當(dāng)然，我們 并不是

17、為了要體現(xiàn)動態(tài)規(guī)劃的優(yōu)點而介紹無限期模型，重要的事實是，在 宏觀經(jīng)濟(jì)模型中，一旦我們涉及經(jīng)濟(jì)增長等長期性的問題，我們必須借助 無限期模型來分析問題，所以，無限期模型本身就是宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個 基本模型?？紤]到上述這些因素，在本節(jié)，我們將介紹一個簡單的無限期模型， 借助這個模型，我們一方面看看那些在兩期、三期模型中被運(yùn)用的宏觀經(jīng) 濟(jì)分析的基本思路是如何在無限期模型中被得到繼續(xù)運(yùn)用的；另一方面， 我們也要簡單介紹并展示一下離散時間的動態(tài)規(guī)劃怎樣被運(yùn)用的，這種運(yùn) 用對于求解許多動態(tài)問題是非常有幫助的。1.1 偏好，稟賦和技術(shù)有一個生活無限期的代表性消費(fèi)者，他(她)的偏好如下：4.38)其中，OV B

18、<1 , Ct是消費(fèi)。期效用函數(shù)u(?是一個連續(xù)可微，嚴(yán)格遞增，嚴(yán) 格凹的函數(shù)。它滿足稻田條件，即limu '(c) = I limu'(c)=O。貼現(xiàn)因子B滿Cf 0c f I足3 (0,1)。在每一期，消費(fèi)者擁有一單位的時間稟賦，它可以用作勞動提供到勞動市場上去。同時，消費(fèi)者也擁有ko單位的初始資本，這些資本即可以用于生產(chǎn)也可以用于消費(fèi)，即消費(fèi)品與資本品是可以一對一進(jìn)行轉(zhuǎn)換 的。生產(chǎn)技術(shù)由下式給出：yt = F(kt,nt )( 4.39)其中，y是產(chǎn)出，心是資本投入，nt是勞動投入。生產(chǎn)函數(shù) F(?是一個對兩個變量均連續(xù)可微，嚴(yán)格遞增的、一次齊次、嚴(yán)格準(zhǔn)凹的函數(shù)。并

19、假設(shè)也滿足稻田條件，即 lim Fi(k,1)=limFi(k,1)=0。k O'，k x資本根據(jù)如下規(guī)則得以積累：kt+i = (1- 3)kt + it(4.40)其中，it是投資，0 w S wi是折舊率。因此,經(jīng)濟(jì)的資源約束條件就為：ct +it wyt(4.41)和nt w1( 4.42)在介紹了基本決策環(huán)境以后,按照我們以前的分析思路,接下去我們 應(yīng)該分析行為人的最優(yōu)化行為,然后進(jìn)行均衡分析,最終得到每期均衡的 數(shù)量解和價格解或者分析計劃最優(yōu)的情形,求出每期的均衡數(shù)量解。但是, 現(xiàn)在,我們面臨的是一個無限期模型,用傳統(tǒng)的方法求解均衡解幾近不可 能,所以,在這里,我們首先插入

20、一部分,介紹一下動態(tài)規(guī)劃的基本知識, 然后,直接利用動態(tài)規(guī)劃的知識去處理無限期的問題。1.2動態(tài)規(guī)劃簡介1.2.1 序列形式表述的社會計劃者問題因為我們在前面已經(jīng)證明了競爭均衡解也是帕雷托最優(yōu)解。因此,我 們可以通過求解社會計劃者問題來獲得競爭均衡的有關(guān)數(shù)量解,這樣,上oo4.43)面這個無限期模型中的社會計劃者最優(yōu)化問題可以正規(guī)地描述如下：s.t.Ct + it WF (kt, nt)(4.41)kt+1 = (1- Ukt + it(4.40)nt W1(4.42)Ct >0,kt >0,k0 >0,給定(4.44)max ct,nt ,it ,kt+1t=0 t =0其

21、中，ko外生給定。（4.41）式與（4.42）式就是資源約束條件，因為u（c）是c的嚴(yán)格增函數(shù)，因而， （4.41）式將取等號。而因為勞動并不會帶來負(fù)效用，假如（4.42 ）式?jīng)]有取等號，則意味著nt還可以增加，而nt的增加會增加5從而增加效用，因此，在最優(yōu)時（4.42）式一定會取等號。（ 4.40）式資本積累方程。（ 4.44）式是我們對消費(fèi)和資本強(qiáng)加的非負(fù)約束。現(xiàn)在，用（ 4.40）式替代掉（4.41）式中的h，并定義f（k）= F（k,1）+（1 - 3）k，這樣，函數(shù)f（k）就代表了所有可以用來消費(fèi)和投資的總產(chǎn)品數(shù)量（提醒一下，資本存量也是可以用于消費(fèi)的，即消費(fèi)品與資本品是可以一對一進(jìn)

22、行轉(zhuǎn)換的）。因為在任何一期，都有 nt =1，因此，現(xiàn)在，社會計劃問題能更簡潔地表述為：4.45)ow(ko) = max ptu(f (kt) - kt+Jkt +1t=0 t=0s.t.0 <kt+1 < f （kt）k0 > 0, 給定現(xiàn)在，計劃者面臨的唯一決策是：究竟是應(yīng)該讓行為人今天多消費(fèi)一些呢還是今天少消費(fèi)一些，留下這些東西作為明天的資本，從而使明天能消費(fèi)現(xiàn)在更多的東西。我們定義幕爲(wèi)為計劃者實現(xiàn)了最優(yōu)時的資本存量序列我們面臨的問題是如何去求得這個序列。答案是：動態(tài)規(guī)劃。上面的這個最優(yōu)化問題實際上是一個無限維度的最優(yōu)化問題，也即為了求解上面這個 問題，我們不得不尋找

23、到一個最優(yōu)的無限序列的資本存量(k1 ,k2 ,K )。動態(tài)規(guī)劃的基本思想是試圖通過對決策環(huán)境的探討而發(fā)現(xiàn)一種更簡單的求解這 一最大化問題的方法，但是這個最大化問題的解又是與我們原始的最大化 問題的解是相同的。為了使上面所講的這一點更明白、更具體，我們可以再一次看看我們 的原始的這個計劃者的最優(yōu)化問題：aw(ko)=max”3u(f(kt)-kt+Jkt+1t=0t=0s.t.Okt+i<f (kt),k0給定amax ?u(f(ko)- ki)+ 3"3t-1u(f(kt)- kt+i)?kt +it =O ?t=i?s.t.0%+1 <(&),t_l-ko給定

24、maxk1s.t.O眾iWf(ko), ?k0給定f?u(f(k。)- kj+ 3? ? ?max_、akt+1t =1at=14?)?max?u(f(k0) - k1)+s.t.O 眾仟f(ko),?ko給定?a"3u(f (kt+J-t=0?)?2+注：在第三步到第四步時，只要令 t - 1= T ，把所有的 t 都用 T 代替，就可 以得到?，F(xiàn)在我們注意觀看大括號里的最大化問題，并與原始的最大化問題， 即(4.45)式進(jìn)行比較，可以看到，大括號里的最優(yōu)化問題實際上就是一個 給定初始資本為kl的社會計劃者的最優(yōu)化問題， 也即社會計劃者最大化代表 性行為人從第一期及以后所有期的最大

25、化問題。因為在我們的模型里，行 為人是長生不老的，生產(chǎn)技術(shù)和效用函數(shù)也不會隨著時間的變化而變化， 這就意味著大括號里的最優(yōu)化問題實際上可以表述為 w(k1) ，因此，我們的 原始的最優(yōu)化問題可以重新寫為：w(k0) = 0 眾fax)u(f(k0)-ki)+ M(ki)( 4.46)ko給定進(jìn)行了這樣的轉(zhuǎn)化以后，我們發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)在最大化問題似乎簡單一些了， 因為我們現(xiàn)在不需要面對一個具有無限序列的最大化問題，而僅僅是在處 理一個僅有一個決策變量一一 kl 的最大化問題，這似乎是大大簡化了， 但是我們?nèi)耘f面臨麻煩，實際上我們根本無法求解這個最大化問題，因為 函數(shù) w 出現(xiàn)在右邊， 而我們又不知道這個

26、函數(shù)。 接下來我們要做的工作就是 考慮如何克服這一尷尬！1.2.2 遞歸形式表述的社會計劃者最優(yōu)問題 上面這種關(guān)于計劃者最優(yōu)化的表述形式，即有一個函數(shù)在左邊，同時右邊又有一個關(guān)于該函數(shù)的最優(yōu)化問題的表述形式我們一般把它稱為遞歸 形式?，F(xiàn)在，我們要開始研究具有遞歸表述形式的社會計劃者的問題。因 為我們在( 4.46)式中，已經(jīng)用函數(shù) w 來表述序列形式下的社會計劃者問 題了，因此，這里我們還是用另外一個符號，比如函數(shù)v 來表述遞歸形式下的社會計劃者的最優(yōu)問題。時刻要記住函數(shù)v(k)的含義：在經(jīng)濟(jì)中當(dāng)前期初始資本給定為 k 的情況下， 假如社會計劃者選擇了最優(yōu)的消費(fèi)路徑， 該函 數(shù)給出的就是代表性

27、行為人從當(dāng)前期開始的效用總和(當(dāng)然是要貼現(xiàn)到當(dāng)前期來的)。函數(shù)v (也就是通常所謂的值函數(shù))可以通過解如下的一個遞 歸問題而得到：v(k)=0maXk)u(f(k) - k ')+ W(k')(4.47)再一次提醒大家，函數(shù) v 和函數(shù) w 是兩個完全不同的函數(shù)：函數(shù) v 是 以遞歸形式表述的社會計劃者最優(yōu)問題中的值函數(shù)，而函數(shù)w 是以序列形式表述的社會計劃者最優(yōu)問題中的函數(shù)。計劃者帶進(jìn)當(dāng)前期的資本存量k,是過去決策的一個直接后果，實際上凝結(jié)了所有過去決策的信息，它完全地決定了從今往后可用于支配的資源數(shù)量。因此，它經(jīng)常被稱為“狀態(tài)變量(state variable) ”：她完全

28、地把當(dāng)前的經(jīng)濟(jì)狀態(tài)刻畫出來了(也就是說，計劃者可以在此基礎(chǔ)上進(jìn)行未來的選 擇)。變量k '是計劃者在當(dāng)前所需要決定(或者說控制)變量，因此，她經(jīng) 常被成為“控制變量( control variable )”，因為，這個變量是計劃者在當(dāng)前 能控制的變量。方程( 4.47)是一個函數(shù)方程(也就是 Bellman 方程)：該函數(shù)方程的 解本身是一個函數(shù)，而不是一個數(shù)字或者一個向量。該函數(shù)方程告訴我們， 代表性行為人一生的效用貼現(xiàn)值等于行為人今天接受的效用，u(f(k)- k)，加上行為人從明天開始以后的效用的貼現(xiàn)值，(k)。因此，計劃者實際上是在作這樣一個權(quán)衡：是今天就消費(fèi)，還是為明天積累更

29、多的資本?，F(xiàn)在 我們可以看到，對于這樣一個給定 k 的最優(yōu)化問題要比原先試圖尋找無限 序列的最優(yōu)資本存量kt*；。的最優(yōu)化問題更容易求解。麻煩的問題是我們不得不為每一種可能的資本存量 k 做最大化分析。盡管這樣，我們還是能發(fā) 現(xiàn)，函數(shù)方程要比像( 4.46)式那樣的序列問題更容易求解(個別非常特殊的情況除外)。要解這樣的一個函數(shù)方程，我們實際上是試圖從(4.47 )式中求解出一個值函數(shù) v和一個最優(yōu)的政策函數(shù) k ' = g(k)，這個政策函數(shù)是 k 的函數(shù)，它描述的是對于每一個可能出現(xiàn)的k,為了保證(4.47)式最大化，我們應(yīng)該有怎樣的一個最優(yōu)的k'。一般地說，求解這個動態(tài)規(guī)

30、劃中的函數(shù)方程的解有三種方法，即：猜解法；值函數(shù)迭代法；政策函數(shù)迭代法。在 這里，我們在給出具體的效用函數(shù)和生產(chǎn)函數(shù)的情況下，簡單介紹一下如 何利用猜解的方法來求解函數(shù)方程。假設(shè)期效用函數(shù)為 u(c) = ln(c)，生產(chǎn)函數(shù)為F(k, n)二k “n1-a，并假定完全 折舊，即S = 1。這樣，函數(shù)方程現(xiàn)在成為：v(k) = maXan(ka - k) + w(k')( 4.48 )現(xiàn)在，讓我們試著去求解這個方程。1.2.3猜測并證明法我們首先猜測該解的具體的函數(shù)形式，然后證明這個解確實是這種形式的(需要注意，我們這么做時并不排該函數(shù)方程有其他解的可能性)。這種方法對于處理我們現(xiàn)在這

31、個例子非常有效，但在一些我們也非常關(guān)心的 其他例子里，這種方法就不怎么有效了。讓我們猜：v(k) = A+Bl n(k)(4.49)其中，A和B都是待定系數(shù)。我們可以分如下三個步驟來解它:第一步：給定我們猜測的v，求解函數(shù)方程中右邊的最大化問題，也即求解:Qmaxan(k“ - k') + B(A+Bln(k )(4.50)FOCk，1= JBka - k， k，(4.51)第二步：在最優(yōu)的"為上計算出函數(shù)方程右邊的部分，為:kB +19彳？n+9彳？9彳？況 Bk BP+1 彳？=-ln(1 + BB) + aln(k) +PB+?3?BBln (k) (4.52)第三步，

32、出于解題的目的，我們已經(jīng)猜測函數(shù)方程的左邊為A+Bln（k） 了,當(dāng)然，函數(shù)方程的左邊是應(yīng)該等于右邊的，因此，如果我們能找到一個合適的待定系數(shù) A和B確實能使函數(shù)方程的兩邊等起來，那么，我們就求解 了這個函數(shù)方程。現(xiàn)在，我們把函數(shù)方程的左邊和右邊等起來，可以得到：A+ Bln(k) = - In(1 +?3?+?多？a Bln(k) (4.53)合并同類項后，為(B- a(1 + p)ln(k) = - A-+1?彳？n?754對于任意給定的 k，等式（4.54）都必須成立。而我們發(fā)現(xiàn)等式（4.54） 的右邊與k無關(guān)，而左邊則與 k有關(guān)，也即等式（4.54）的右邊是常數(shù)。為了 使等式（4.54

33、）成立，唯一的辦法是使等式（4.54）的左邊也為常數(shù)，這意 味著B- a（1+伊）=0。解之得B= 。因為等式（4.54）的左邊為零，因1 - aB此要求右邊也為零，這樣待定系數(shù)A就不得不滿足：0= - A- ln(1 +1 3? n?3?B31(4.55)=-A- ln? 1 ?+ BA + aB ln(ap?1 - af?1 - a求解得:? ?0a我們也能求出最優(yōu)的政策函數(shù)k '= g(k)的具體表述形式:g(k)=BBk a1 +田(4.57)需要注意的是在我們這個特殊的例子里，社會計劃者的最優(yōu)策略是在 總產(chǎn)出中，把固定比例 a郵分儲蓄起來，以作為明天的資本存量，而把剩 下的(

34、1- a®部分在今天消費(fèi)掉。可以看到，在我們的這個例子里，儲蓄 比例并不依賴于資本存量水平k,這是非常特殊的，在一般情況下是不會這樣的。另外一點也需要提醒一下，雖然我們已經(jīng)求得了這個函數(shù)方程的解， 但這只是一個，實際上是有可能存在其他解的(雖然在我們的這個特殊的 例子里，解其實就這一個，但這是需要我們證明的)。最后，利用政策函數(shù)g我們能夠求解出原始的以序列形式表述的計劃者最優(yōu)問題中最優(yōu)資本序 列kt+i；o (也即(4.43)式或者(4.45)式中的最優(yōu)化問題)：從k。開始，2ki = g(ko) = a , k2 = g(kj = a= ( a ®+a k。",

35、 更一般地， 我們有丁't-1 a jtkt = (a®)'j=°a k；。顯然，因為Ov a<1，對于任何初始條件ko >0 , 我們有：1lim kt = ( a )1- a(4.58)t f 81.2.4 一個例子：無限期吃蛋糕問題考慮一個如下的具有無限期的吃蛋糕問題。行為人在第一期的期初有Ao >0單位的消費(fèi)品可供消費(fèi)。她能無成本地把消費(fèi)品從的這一期保存到下oot=0一期。她的偏好由(4.38)式的效用函數(shù)代表:(4.38 )這里，Ct是時期t的消費(fèi)，0V 3<1是主觀時間貼現(xiàn)率。效用函數(shù)具有先前 我們所描述的一切特征。定義

36、At為時期t開始是儲存的消費(fèi)品。若我們給 出效用函數(shù)的具體形式為： u(c= lnet，試解釋消費(fèi)者在生命周期中的蛋糕消費(fèi)模式與該問題相應(yīng)的貝爾曼方程為：v(At) = maxu(ct) + (3/(At+1)( 4.59 )ct ,At+1s.t.At+1 = At - ct(4.60)或者，更簡潔地：v(At) = max ln(At- At+i)+ (3v(At+i)(4.61)A+1在我們這個吃蛋糕問題里，狀態(tài)變量是A，選擇變量是ct和At+1。讓我們猜測值函數(shù)采取如下的形式：v(At) = B+ Dl nA(4.62)這里，B和D是待決定的常數(shù)。代我們猜測的值函數(shù)進(jìn)貝爾曼方程，有:B

37、 + Dln At = maxln(At - A+J + (3(B+ D ln At+1) (4.63)At+1對應(yīng)于上述方程右邊的一階條件為：?9. D Q 卩+13?-1+A?O一一+X+A 1A.644代這一候選的決策規(guī)則進(jìn)貝爾曼方程，可以得到:? 1 ? bd ? ?B + Dl n At = I n?At + B?B + D l n?At? (4.65)?1 + BD ?1 + BD ? ?整理后可得：B + Dln At = BB + Qln Q - (1+ Q)ln(1+ BD) +(1 + Q)ln At (4.66)令ln At前的系數(shù)相等，可以求得D:D =1+ BD1-

38、B(4.67)因此，決策規(guī)則為:+1Alop op1 + 1 ? ?4op op1? ?8)6.4?Ct = (1- B) At那么，(4.69)Ct = (1- B) At=(1 - B) 3At-i(4.70)因此，最優(yōu)的消費(fèi)路徑是:B(1- B)a。, B2(1- B)A。丄 l 最后，我們也能求解出B:B= Bln B + (1- Bn(1- B)(1- B)2因此，值函數(shù)由下式給出：v( At) = B + D l nA(4.71)(4.72)Bln B + (1- B)ln(1- B) + 1 A (1- B)21- B(4.73)1.3社會計劃者問題我們現(xiàn)在面對的這個最優(yōu)化問題，

39、用貝爾曼方程的形式表述出來就是:v(kt)=ma+xu(ct)+ 咋+1)(4.74)s.t.Ct + kt+1 = f (kt)(4.75)根據(jù)上面一部分的介紹，當(dāng)給出效用函數(shù)和生產(chǎn)函數(shù)的具體形式，我們是有可能求解出最優(yōu)的資本序列kt+i；0的。但是，就宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)而言，我們最為關(guān)心的還是經(jīng)濟(jì)達(dá)到均衡狀態(tài)以后所表述出來的一些特征，因此， 在很多時候，我們并不需要求出具體的最優(yōu)資本演進(jìn)序列。下面，我們就 來看一下，借助貝爾曼方程，我們?nèi)绾蝸矸治鼋?jīng)濟(jì)的均衡狀態(tài)。1.3.1當(dāng)值函數(shù)可微時貝爾曼方程解的特征如果在動態(tài)最優(yōu)化問題中的值函數(shù)是可微的，Benveniste and Scheinkman (1

40、979)確立了一些關(guān)于該最優(yōu)解的基本特征。假如(4.74)式中的值函數(shù)是可微的、凹的，我們能用一階條件來表述社會計劃者的最優(yōu) 化問題。把約束條件代入目標(biāo)函數(shù)中，我們有v(kt) = maxuf (kt)- kt+J+ 陋心)Kt+1(4.76)(4.76)式右邊最大化問題的一階條件是:-uf(kt)- kt+J+ W'(kt+1)= 0(4.77)但是，我們不知道函數(shù) v，因而也不知道v'。然而，通過對(4.76)式兩邊對kt求偏導(dǎo)，并應(yīng)用包洛定理( Envelope theorem)1，可以得到：v (kt) = uf(kt)- kt+F1(kt,1) + (1- 3)(4.

41、78)在本講末尾，我們給岀了一個包洛定理的簡單證明注意，在這里，我們用到了先前的定義:這個等式往前挪一期，就為：f(k) = F(k,1) + (1- 3)k。我們把上面v，(kt+i)=uf(kt+1)- kt+2F1(kt+1,1)+(1- 0(4.79)現(xiàn)在，用(4.79)式代替掉(4.77)式中的v'(kt+J,得到：-uf(kt)- kt+1+ puf(kt+1)- &+2已(+1,1) + 1- 0=0或者-u '(Ct)+ 旳'(Ct+1)F1(kt+1,1) + 1- 0=0(4.80)方程(4.80)式實際就是我們熟悉的歐拉方程。該式的第一部分

42、表示的 式消費(fèi)者在時期t少消費(fèi)一單位商品而引起的效用損失；第二部分表示的是消費(fèi)者因為在時期t減少了一單位消費(fèi)，這一單位消費(fèi)品在時期(t+1 )成為了資本品，因而可以導(dǎo)致時期(t+1)的消費(fèi)增加，從而效用增加，當(dāng)然， 為了具有可比性，我們必須把時期(t+1 )增加的效用貼現(xiàn)到時期t去。在最優(yōu)時，顯然凈效用的變化應(yīng)該為零。通過令kt = kt+1 = kt+2 = k?，我們能用(4.80)式去求解穩(wěn)定狀態(tài)下的資本 存量：? 1F1(k?,1) = - 1+ 0(4.81)從(4.81 )式我們可以看到，穩(wěn)定狀態(tài)的資本存量僅僅與貼現(xiàn)率和折舊 率有關(guān)。這里需要特別注意的是，正如我們在上面所指出的：就

43、宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)而 言，宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)家最感興趣的是經(jīng)濟(jì)達(dá)到均衡狀態(tài)以后所表述出來的一些 特征，因此，在絕大多數(shù)的時候，我們只要能理解經(jīng)濟(jì)實現(xiàn)穩(wěn)定均衡以后 的狀態(tài)就行了。而從上面的述說中我們可以看到，要得到關(guān)于經(jīng)濟(jì)實現(xiàn)穩(wěn)定狀態(tài)以后的一些基本特征，最為關(guān)鍵的一點是要得到歐拉方程。而就推 導(dǎo)歐拉方程而言，除了借助我們上面介紹的動態(tài)規(guī)劃方法來得到外，我們 還可以借助我們熟悉的拉格朗日方法來得到，在下面介紹競爭均衡的一部 分中，我們就可以看到如何借助拉格朗日方法來推導(dǎo)歐拉方程。這說明非 常重要的一點：重要的是要理解經(jīng)濟(jì)分析的思路，一旦明白了經(jīng)濟(jì)分析的 脈絡(luò)，你會發(fā)現(xiàn)許多數(shù)學(xué)只是一種工具，一種能使我們的分析更具效

44、率、 更簡潔的工具，而不致于迷失在數(shù)學(xué)的海洋中！1.4競爭均衡雖然我們借助計劃者最優(yōu)問題可以求得最優(yōu)的均衡資本數(shù)量，但是， 為了決定競爭均衡的價格，我們還是需要通過分別分析消費(fèi)者和企業(yè)的最 優(yōu)化問題，從而得到一些求解的有用信息。1.4.1消費(fèi)者的問題消費(fèi)者儲存資本并進(jìn)行投資（也即，它們的財富是以資本的形式表示 的），在每一時期里，消費(fèi)者都會把資本租給企業(yè)并向企業(yè)出售自己的勞動。 因為勞動并不會給消費(fèi)者帶來任何負(fù)效用，因此，不論工資率為多少，勞 動供給始終是1單位。消費(fèi)者實際上就相當(dāng)于在求解如下一個跨期最優(yōu)化 問題：oomax V B tu (Ct)c k oiv 11ict , kt + wt = o t = 0(4.82)s.t.Ct + kt+1 = wt + rtkt + (1 - 3)kt(4.83)lim t kt= 0n/w)(4.84)這里，ko給定，Wt是工資率，rt是資本的租金率。方程（4.84）式稱為橫截性條件(Transversality condition )。橫截性條件的基本含義是當(dāng)經(jīng)歷的時期 足夠長以后，未來的資本kt貼現(xiàn)到t=0時期，其現(xiàn)值必須等于零。橫截性條件的主要目的是幫助確定具體的解。因為歐拉方程是一個二階偏微分方程， 所以，光有初始資本ko，并不能得到唯一解，只有付上橫截