高考一輪復(fù)習(xí)專題三角函數(shù)(全)

1、高考一輪復(fù)習(xí)專題三角函數(shù)第 1 講任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)基礎(chǔ)梳理1任意角(1) 角的概念的推廣按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角按終邊位置不同分為象限角和軸線角(2) 終邊相同的角終邊與角 相同的角可寫成 k360(kz) (3) 弧度制1 弧度的角：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1 弧度的角規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，| | lr，l 是以角 作為圓心角時(shí)所對(duì)圓弧的長(zhǎng)，r 為半徑用“弧度”做單位來(lái)度量角的制度叫做弧度制，比值lr與所取的 r 的大小無(wú)關(guān)，僅與角的大小有關(guān)弧度與角度的換算： 3602 弧度；180 弧度弧長(zhǎng)公式： l | |

2、r，扇形面積公式： s扇形12lr 12| | r2. 2任意角的三角函數(shù)定義設(shè) 是一個(gè)任意角，角 的終邊上任意一點(diǎn)p(x，y) ，它與原點(diǎn)的距離為r( r0)，那么角 的正弦、余弦、正切分別是：sin yr，cos xr，tan yx，它們都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)3三角函數(shù)線設(shè)角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn)p，過(guò) p作 pm垂直于 x 軸于 m ，則點(diǎn) m是點(diǎn) p在 x 軸上的正射影由三角函數(shù)的定義知，點(diǎn) p的坐標(biāo)為 (cos_ ，sin_ ) ，即 p(cos_ ，sin_ ) ，其中 cos om，sin mp，單位圓與x軸的正半軸交于點(diǎn)a

3、，單位圓在a點(diǎn)的切線與的終邊或其反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)t，則 tan at . 我們把有向線段 om 、mp 、at叫做 的余弦線、正弦線、正切線三角函數(shù)線有向線段 mp 為正弦線有向線段om為余弦線有向線段 at為正切線一條規(guī)律三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦(2) 終邊落在 x 軸上的角的集合 | k，kz ；終邊落在 y 軸上的角的集合zkk ,2； 終 邊 落 在 坐 標(biāo) 軸 上 的 角 的 集 合 可 以 表 示 為zkk,2. 兩個(gè)技巧(1) 在利用三角函數(shù)定義時(shí)，點(diǎn)p可取終邊上任一點(diǎn)，如有可能則取終邊與單位圓的交點(diǎn)， | op | r 一定是正值(2

4、) 在解簡(jiǎn)單的三角不等式時(shí)，利用單位圓及三角函數(shù)線是一個(gè)小技巧三個(gè)注意(1) 注意易混概念的區(qū)別：第一象限角、銳角、小于90的角是概念不同的三類角，第一類是象限角，第二類、第三類是區(qū)間角(2) 角度制與弧度制可利用180 rad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用(3) 注意熟記 0360間特殊角的弧度表示，以方便解題雙基自測(cè)1( 人教 a版教材習(xí)題改編 ) 下列與94的終邊相同的角的表達(dá)式是( )a2k45(kz) bk36094(kz) ck360315(kz) dk54( kz) 2若 k18045(kz) ，則 在( )a第一或第三象限b第一或第二象限c第二或第四

5、象限d第三或第四象限3若 sin 0 且 tan 0，則 是( )a第一象限角b第二象限角c第三象限角d第四象限角4已知角 的終邊過(guò)點(diǎn) (1,2) ，則 cos 的值為( )a55 b.255 c2 55 d125(2011江西 )已知角 的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x 軸非負(fù)半軸，若 p(4 ，y) 是角 終邊上一點(diǎn)，且 sin 255，則 y_. 考向一角的集合表示及象限角的判定【例 1】?(1) 寫出終邊在直線 y3x 上的角的集合；(2) 若角 的終邊與67角的終邊相同，求在0,2 )內(nèi)終邊與3角的終邊相同的角；(3) 已知角 是第二象限角，試確定2、2所在的象限【訓(xùn)練 1】角 與角 的終

6、邊互為反向延長(zhǎng)線，則( ) ab180 ck360(kz) dk360180(kz) 考向二三角函數(shù)的定義【例 2】?已知角 的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn) p(3，m )( m 0)且 sin 24m ，試判斷角 所在的象限，并求 cos 和 tan 的值【訓(xùn)練 2】(2011課標(biāo)全國(guó) ) 已知角 的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x 軸的非負(fù)半軸重合，終邊在直線y2x 上，則 cos 2 ( )a45 b35 c.35 d.45考向三弧度制的應(yīng)用【例 3】?已知半徑為 10的圓 o中，弦 ab的長(zhǎng)為 10. (1) 求弦 ab所對(duì)的圓心角 的大?。?2) 求 所在的扇形的弧長(zhǎng) l 及弧所在的弓形的面積s. 【訓(xùn)練 3

7、】已知扇形周長(zhǎng)為 40，當(dāng)它的半徑和圓心角取何值時(shí)，才使扇形面積最大？考向四三角函數(shù)線及其應(yīng)用【例 4】?在單位圓中畫出適合下列條件的角 的終邊的范圍 并由此寫出角 的集合：(1)sin 32；(2)cos 12. 【訓(xùn)練 4】求下列函數(shù)的定義域：(1) y2cos x1； (2) ylg(3 4sin2x) 解(1) 2cos x10， cos x12. 重點(diǎn)突破如何利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值【問(wèn)題研究】 三角函數(shù)的定義：設(shè) 是任意角，其終邊上任一點(diǎn)p( 不與原點(diǎn)重合)的坐標(biāo)為 (x，y)，它到原點(diǎn)的距離是r( r x2y20) ，則 sin yr、cos xr、tan yx分別是 的正

8、弦、余弦、正切，它們都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)， 這樣的函數(shù)稱為三角函數(shù)， 這里 x，y 的符號(hào)由 終邊所在象限確定，r的符號(hào)始終為正，應(yīng)用定義法解題時(shí)，要注意符號(hào)，防止出現(xiàn)錯(cuò)誤三角函數(shù)的定義在解決問(wèn)題中應(yīng)用廣泛，并且有時(shí)可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程【解決方案】 利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值時(shí)，首先要根據(jù)定義正確地求得x，y，r 的值；然后對(duì)于含參數(shù)問(wèn)題要注意分類討論【示例】 ?( 本題滿分12 分)(2011 龍巖月考 )已知角 終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)p(x，2)( x0)，且 cos 36x，求 sin 、tan 的值【試一試】已知角 的終邊在直線 3x4y0 上，求 sin cos 45tan .

9、 第 2 講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式基礎(chǔ)梳理1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1) 平方關(guān)系： sin2cos21；(2) 商數(shù)關(guān)系：sin cos tan . 2誘導(dǎo)公式公式一： sin( 2k) sin ，cos( 2k) cos，其中 kz. 公式二： sin( ) sin，cos( )cos，tan( ) tan . 公式三： sin( )sin ，cos( ) cos. 公式四： sin( ) sin ，cos( ) cos. 公式五： sin)2(cos，cos)2(sin . 公式六： sin)2(cos，cos)2(sin . 誘導(dǎo)公式可概括為k2的各三角函數(shù)值的化簡(jiǎn)公式記憶

10、規(guī)律是：奇變偶不變，符號(hào)看象限 其中的奇、偶是指2的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變是指函數(shù)名稱的變化若是奇數(shù)倍，則函數(shù)名稱變?yōu)橄鄳?yīng)的余名函數(shù)；若是偶數(shù)倍，則函數(shù)名稱不變，符號(hào)看象限是指把看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)作為結(jié)果的符號(hào)一個(gè)口訣誘導(dǎo)公式的記憶口訣為：奇變偶不變，符號(hào)看象限三種方法在求值與化簡(jiǎn)時(shí)，常用方法有：(1) 弦切互化法：主要利用公式tan sin cos 化成正、余弦(2) 和積轉(zhuǎn)換法：利用 (sin cos )212sin cos 的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化(3) 巧用“ 1”的變換： 1sin2cos2cos2(1tan2) tan4. 三個(gè)防范(1) 利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值時(shí)，先利用公式

11、化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負(fù)脫周化銳特別注意函數(shù)名稱和符號(hào)的確定(2) 在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開(kāi)方，要特別注意判斷符號(hào)(3) 注意求值與化簡(jiǎn)后的結(jié)果一般要盡可能有理化、整式化雙基自測(cè)1( 人教 a版教材習(xí)題改編 ) 已知 sin( ) 12，則 cos 的值為 ( ) a 12 b.12 c.32 d322 (2012 杭州調(diào)研 ) 點(diǎn)a(sin 2 011， cos 2 011)在直角坐標(biāo)平面上位于 ( )a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限3已知 cos 45，(0，) ，則 tan 的值等于 ( ) a.43 b.34 c43 d344cos)417(s

12、in)417(的值是 ( ) a.2 b2 c0 d.225已知 是第二象限角， tan 12，則 cos _. 考向一 利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)、求值【例 1】?已知)tan()2sin()2cos()sin()(f，求【訓(xùn)練 1】已知角 終邊上一點(diǎn) p(4,3) ，則的值為_(kāi)考向二 同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用)3(f)29sin()211cos()sin()2cos(【例 2】?(2011長(zhǎng)沙調(diào)研 )已知 tan 2. 求：(1)2sin 3cos 4sin 9cos ；(2)4sin23sin cos 5cos2. 【訓(xùn)練 2】已知sin 3cos 3cos sin 5. 則 sin2sin cos

13、 _.考向三 三角形中的誘導(dǎo)公式【例 3】?在abc中，sin acos a2，3cos a2cos( b) ，求abc的三個(gè)內(nèi)角【訓(xùn)練 3】若將例 3 的已知條件“sin acos a2”改為“sin(2 a)2sin( b) ”其余條件不變，求 abc 的三個(gè)內(nèi)角重點(diǎn)突破忽視題設(shè)的隱含條件致誤【問(wèn)題診斷】 涉及到角的終邊、 函數(shù)符號(hào)和同角函數(shù)關(guān)系問(wèn)題時(shí)，應(yīng)深挖隱含條件，處理好開(kāi)方、平方關(guān)系，避免出現(xiàn)增解與漏解的錯(cuò)誤., 【防范措施】 一要考慮題設(shè)中的角的范圍；二要考慮題設(shè)中的隱含條件【示例】 ?若 sin ，cos是關(guān)于 x 的方程 5x2xa0(a 是常數(shù) ) 的兩根，(0，) ，求 c

14、os 2 的值【試一試】 已知 sin cos713，(0 ，) ，求 tan . 第 3 講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)基礎(chǔ)梳理1 “五點(diǎn)法”描圖(1) ysin x 的圖象在 0,2 上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0) ，) 1 ,2(，(，0)，)1,23(，(2 ，0) (2) ycos x 的圖象在 0,2 上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1) ，)0 ,2(，(， 1) ，)0,23(，(2 ，1)2三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)ysin xycos xytan x定義域rrx|xk2，kz 圖象值域 1,1 1,1r對(duì)稱性對(duì)稱軸： xk2( kz) 對(duì)稱中心：(k，0)( kz) 對(duì)稱軸： x

15、k( kz) 對(duì)稱中心：錯(cuò)誤 !無(wú)對(duì)稱軸對(duì)稱中心：)0,2(k( kz) 周期22單調(diào)性單調(diào)增區(qū)間22,22kk( kz) ；單調(diào)減區(qū)間232,22kk(kz) 單調(diào)增區(qū)間 2 k， 2k( kz) ； 單調(diào)減區(qū)間 2 k，2k (kz) 單調(diào)增區(qū)間)2,2(kk( kz) 奇偶性奇偶奇兩條性質(zhì)(1) 周期性函數(shù) yasin( x) 和 yacos( x) 的最小正周期為2| |，ytan( x) 的最小正周期為| |. (2) 奇偶性三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為yasin x或yatan x，而偶函數(shù)一般可化為 yacos xb 的形式三種方法求三角函數(shù)值域 (最值)的方法：(1) 利用 si

16、n x、cos x 的有界性；(2) 形式復(fù)雜的函數(shù)應(yīng)化為yasin( x) k 的形式逐步分析 x的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域；(3) 換元法：把 sin x 或 cos x 看作一個(gè)整體，可化為求函數(shù)在區(qū)間上的值域(最值)問(wèn)題雙基自測(cè)1( 人教 a版教材習(xí)題改編 ) 函數(shù) ycos)3(x，xr( )a是奇函數(shù)b是偶函數(shù)c既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)d既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)2函數(shù) ytan)4(x的定義域?yàn)?( )a.zkkxx,4b.zkkxx,42c.zkkxx,4d.zkkxx,423 (2011 全 國(guó) 新 課 標(biāo) ) 設(shè) 函 數(shù)f ( x) sin( x ) cos( x

17、)（20，）的最小正周期為，且f ( x)f ( x) ，則( )af ( x) 在)2,0(單調(diào)遞減bf ( x) 在)43,4(單調(diào)遞減cf ( x) 在)2,0(單調(diào)遞增df(x) 在)43,4(單調(diào)遞增4ysin)4(x的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是( )a( ， 0) b.)0 ,43(c.)0 ,23(d.)0,2(5(2011合肥三模 ) 函數(shù) f ( x)cos)62( x的最小正周期為 _考向一 三角函數(shù)的定義域與值域【例 1】?(1) 求函數(shù) ylg sin 2x9x2的定義域(2) 求函數(shù) ycos2xsin x（4x）的最大值與最小值【訓(xùn)練 1】(1) 求函數(shù) ysin xco

18、s x的定義域(2) 已知函數(shù) f (x) cos)32( x2sin)4(xsin)4(x，求函數(shù) f ( x) 在區(qū)間2,12上的最大值與最小值考向二 三角函數(shù)的奇偶性與周期性【例 2】?(2011大同模擬 )函數(shù) y2cos2)4(x1 是( )a最小正周期為的奇函數(shù)b最小正周期為的偶函數(shù)c最小正周期為2的奇函數(shù)d最小正周期為2的偶函數(shù)【訓(xùn)練 2】已知函數(shù) f (x) (sin xcos x)sin x，xr ，則 f ( x) 的最小正周期是_考向三 三角函數(shù)的單調(diào)性【例 3】?已知 f ( x)sin xsin)2(x ，x0 ， ，求 f ( x) 的單調(diào)遞增區(qū)間【訓(xùn)練 3】函數(shù)

19、f ( x) sin)32(x的單調(diào)減區(qū)間為 _考向四 三角函數(shù)的對(duì)稱性【例 4】?(1) 函數(shù)ycos)32( x圖象的對(duì)稱軸方程可能是 ( )ax6 b x12 c x6 d x12【訓(xùn)練 4】(1) 函數(shù) y2sin(3 x)（2）的一條對(duì)稱軸為 x12，則_. (2) 函數(shù) ycos(3 x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形則_. 重點(diǎn)突破利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解參數(shù)問(wèn)題含有參數(shù)的三角函數(shù)問(wèn)題， 一般屬于逆向型思維問(wèn)題， 難度相對(duì)較大一些 正確利用三角函數(shù)的性質(zhì)解答此類問(wèn)題，是以熟練掌握三角函數(shù)的各條性質(zhì)為前提的，解答時(shí)通常將方程的思想與待定系數(shù)法相結(jié)合下面就利用三角函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)問(wèn)題進(jìn)行

20、策略性的分類解析一、根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)【示例】 ?(2011鎮(zhèn)江三校模擬 )已知函數(shù) f (x) sin)3( x( 0)的單調(diào)遞增區(qū)間為12,125kk( kz) ，單調(diào)遞減區(qū)間為127,12kk( kz) ，則的值為 _二、根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性求解參數(shù)【示例】? (2011 泉州模擬 ) 已知f(x)cos(3x) 3sin(3x) 為偶函數(shù)，則 可以取的一個(gè)值為 ( )a.6 b.3 c 6 d 3根據(jù)三角函數(shù)的周期性求解參數(shù)【示例】 ? (2011合肥模擬 )若函數(shù) ysin xsin)2( x(0)的最小正周期為7，則_. 根據(jù)三角函數(shù)的最值求參數(shù)【示例】 ? (2011

21、洛陽(yáng)模擬 )若函數(shù) f ( x)asin xbcosx 在 x3處有最小值2，則常數(shù) a、b 的值是 ( )aa1，b3 ba1，b3 ca3，b1 da3，b1 第 4 講正弦型函數(shù)yasin(x)的圖象及應(yīng)用基礎(chǔ)梳理1用五點(diǎn)法畫 yasin( x ) 一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)特征點(diǎn)如下表所示x 02322x 02322yasin( x )0a 0a 0 2函數(shù) ysin x 的圖象變換得到 yasin( x ) 的圖象的步驟3圖象的對(duì)稱性函數(shù) yasin( x )( a0，0)的圖象是軸對(duì)稱也是中心對(duì)稱圖形，具體如下：(1) 函數(shù) yasin( x ) 的圖象關(guān)于直線xxk( 其中 x

22、kk2，kz) 成軸對(duì)稱圖形(2) 函數(shù) yasin( x ) 的圖象關(guān)于點(diǎn) (xk,0)( 其中 xkk，kz) 成中心對(duì)稱圖形一種方法在由圖象求三角函數(shù)解析式時(shí)， 若最大值為 m ， 最小值為 m ， 則 am m2， km m2， 由周期 t確定，即由2t 求出， 由特殊點(diǎn)確定一個(gè)區(qū)別由 ysin x 的圖象變換到y(tǒng)asin ( x )的圖象，兩種變換的區(qū)別：先相位變換再周期變換 (伸縮變換 )，平移的量是 | 個(gè)單位；而先周期變換 ( 伸縮變換)再相位變換， 平移的量是| |( 0) 個(gè)單位原因在于相位變換和周期變換都是針對(duì) x 而言，即 x 本身加減多少值，而不是依賴于x加減多少值兩

23、個(gè)注意作正弦型函數(shù)yasin(x) 的圖象時(shí)應(yīng)注意：(1) 首先要確定函數(shù)的定義域；(2) 對(duì)于具有周期性的函數(shù)， 應(yīng)先求出周期， 作圖象時(shí)只要作出一個(gè)周期的圖象，就可根據(jù)周期性作出整個(gè)函數(shù)的圖象雙基自測(cè)1( 人教 a版教材習(xí)題改編 ) y2sin)42( x的振幅、頻率和初相分別為( ) a2，1，4b2，12，4c2，1，8d2，12，82. 已知簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) f ( x)asin( x )（2）的部分圖象如圖所示，則該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的最小正周期t 和初相 分別為 ( )at6， 6bt6，3ct6，6dt6，33函數(shù) ycos x( xr ) 的圖象向左平移2個(gè)單位后，得到函數(shù)yg( x) 的圖象

24、，則 g(x) 的解析式應(yīng)為 ( ) a sin x bsin x c cos xdcos x4設(shè) 0，函數(shù) ysin)3( x2 的圖象向右平移43個(gè)單位后與原圖象重合，則 的最小值是 ( ) a.23 b.43 c.32 d3 5(2011重慶六校聯(lián)考 )已知函數(shù)f ( x) sin( x )( 0) 的圖象如圖所示，則 _. 考向一作函數(shù) yasin( x) 的圖象【例 1】?設(shè)函數(shù) f (x) cos( x ) （02-0，）的最小正周期為，且)4(f32. (1) 求 和 的值；(2) 在給定坐標(biāo)系中作出函數(shù)f (x) 在0 ， 上的圖象【訓(xùn)練 1】已知函數(shù) f (x) 3sin)4

25、21(x，xr. (1) 畫出函數(shù) f ( x)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖；(2) 將函數(shù) ysin x 的圖象作怎樣的變換可得到f (x) 的圖象？考向二求函數(shù) yasin( x )的解析式【例 2】?(2011江蘇 ) 函數(shù) f (x) asin( x )( a， 為常數(shù)， a0，0)的部分圖象如圖所示，則f (0) 的值是 _【訓(xùn)練 2】已知函數(shù) yasin( x )( a0，| | 2，0)的圖象的一部分如圖所示(1) 求 f (x) 的表達(dá)式；(2) 試寫出 f ( x) 的對(duì)稱軸方程考向三函數(shù) yasin( x ) 的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例 3】?(2012西安模擬 )已知

26、函數(shù) f (x)asin( x )，xr ( 其中 a0，0,0 2) 的圖象與 x 軸的交點(diǎn)中， 相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為2，且圖象上的一個(gè)最低點(diǎn)為m)2,32(. (1) 求 f (x) 的解析式；(2) 當(dāng) x2,12時(shí)，求 f ( x)的值域【訓(xùn)練 3】(2011南京模擬 ) 已知函數(shù) yasin( x )( a0，0) 的圖象過(guò)點(diǎn) p)0,12(，圖象上與點(diǎn) p最近的一個(gè)最高點(diǎn)是q)5,3(. (1) 求函數(shù)的解析式；(2) 求函數(shù) f ( x) 的遞增區(qū)間重點(diǎn)突破怎樣求解三角函數(shù)的最值問(wèn)題【問(wèn)題研究】 (1) 求三角函數(shù)的最值是高考的一個(gè)熱點(diǎn)在求解中，一定要注意其定義域，否則容易產(chǎn)

27、生錯(cuò)誤(2) 主要題型：求已知三角函數(shù)的值域 ( 或最值 )；根據(jù)三角函數(shù)的值域 ( 或最值)求相關(guān)的參數(shù)；三角函數(shù)的值域( 或最值 )作為工具解決其他與范圍相關(guān)的問(wèn)題【解決方案】 形如 yasin xbcosxc 的三角函數(shù)，可通過(guò)引入輔助角 （2222sin,cosbabbaa） ，將原式化為 ya2b2sin( x) c的形式后，再求值域 ( 或最值 )；形如 yasin2xbsin xc 的三角函數(shù)，可先設(shè) t sin x，將原式化為二次函數(shù)yat2bt c 的形式，進(jìn)而在 t 1,1上求值域 (或最值 ) ；形如 yasin xcos xb(sin xcos x) c 的三角函數(shù)，可

28、先設(shè) t sin xcos x，將原式化為二次函數(shù)y12a( t21)bt c 的形式，進(jìn)而在閉區(qū)間 t 2，2 上求最值【示例】 ?( 本題滿分 12 分)(2011 北京 ) 已知函數(shù) f ( x) 4cosxsin)6(x1. (1) 求 f (x) 的最小正周期；(2) 求f(x) 在區(qū)間4,6上的最大值和最小值【試一試】 是否存在實(shí)數(shù) a，使得函數(shù) ysin2xacos x58a32在閉區(qū)間2, 0上的最大值是 1？若存在，求出對(duì)應(yīng)的a 值？若不存在，試說(shuō)明理由第 5 講 兩角和與差的正弦、余弦和正切基礎(chǔ)梳理1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)c()：cos( ) coscoss

29、in sin ；(2)c()：cos( ) coscossin sin ；(3)s()：sin( ) sin coscos_sin ；(4)s()：sin( ) sin coscossin ；(5)t()：tan( ) tan tan 1tan tan ；(6)t()：tan( ) tan tan 1tan tan . 2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)s2：sin 2 2sin_ cos_；(2)c2：cos 2 cos2sin22cos2112sin2；(3)t2：tan 2 2tan 1tan2. 3有關(guān)公式的逆用、變形等(1)tan tan tan( )(1 ?tan_ tan_ )

30、；(2)cos21cos 2 2，sin21cos 2 2；(3)1 sin 2(sin cos )2,1sin 2(sin cos )2，sin cos 2sin)4(. 4函數(shù) f ( ) acos bsin (a，b 為常數(shù) ) ，可以化為f ( ) a2b2sin( ) 或 f ()a2b2cos( )，其中 可由 a，b 的值唯一確定兩個(gè)技巧(1) 拆角、拼角技巧：2()() ；() ；22；2)2()2(. (2) 化簡(jiǎn)技巧：切化弦、“1”的代換等三個(gè)變化(1) 變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”(2) 變名：通過(guò)變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類的目的，其

31、手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等(3) 變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形，使其更貼近某個(gè)公式或某個(gè)期待的目標(biāo)，其手法通常有： “常值代換”、 “逆用變用公式”、 “通分約分”、 “分解與組合”、“配方與平方”等雙基自測(cè)1( 人教 a版教材習(xí)題改編 ) 下列各式的值為14的是( ) a 2cos2121 b12sin275 c.2tan 22.5 1tan222.5dsin 15 cos 15 2(2011福建 )若 tan 3，則sin 2 cos2的值等于 ( ) a 2 b3 c4 d6 3已知 sin 23，則 cos( 2) 等于( ) a 53 b19 c.19 d.534(2

32、011遼寧 )設(shè) sin)4(13，則 sin 2 ( ) a 79 b19 c.19 d.795tan 20 tan 40 3tan 20 tan 40 _. 考向一 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)【例 1】?化簡(jiǎn))4(sin)4tan(221cos2cos2224xxxx. 【訓(xùn)練 1】化簡(jiǎn)：2sin) 1cos)(sin1cos(sin. 考向二 三角函數(shù)式的求值【例 2】?已知 02，且 cos)2(19，sin)2(23，求cos( ) 的值【訓(xùn)練 2】已知，)2,0(，sin 45，tan( ) 13，求 cos 的值考向三 三角函數(shù)的求角問(wèn)題【例 3】?已知 cos 17，cos()1314，

33、且 02，求. 【訓(xùn)練 3】已知，)2,2(，且 tan ，tan 是方程 x23 3x40的兩個(gè)根，求 的值考向四 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用【例 4】?(2010北京 )已知函數(shù) f ( x) 2cos 2 xsin2x. (1) 求 f)3(的值；(2) 求 f (x) 的最大值和最小值【訓(xùn)練 4】已知函數(shù) f (x) 2sin( x)cos x. (1) 求 f (x) 的最小正周期；(2) 求 f (x) 在區(qū)間2,6上的最大值和最小值重點(diǎn)突破三角函數(shù)求值、求角問(wèn)題策略面對(duì)有關(guān)三角函數(shù)的求值、 化簡(jiǎn)和證明， 許多考生一籌莫展， 而三角恒等變換更是三角函數(shù)的求值、求角問(wèn)題中的難點(diǎn)和重點(diǎn)，其難點(diǎn)

34、在于：其一，如何牢固記憶眾多公式，其二，如何根據(jù)三角函數(shù)的形式去選擇合適的求值、求角方法一、給值求值一般是給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值， 解題的關(guān)鍵在于“變角” ，如( ) ，2() ( ) 等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時(shí)要注意角的范圍的討論【示例】 ? (2011江蘇 ) 已知 tan)4(x2，則tan xtan 2 x的值為 _二、給值求角“給值求角”：實(shí)質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值” ，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角【示例】 ? (2011南昌月考 )已知 tan()12，tan 17，且，(0 ，) ，

35、求 2的值三角恒等變換與向量的綜合問(wèn)題兩角和與差的正弦、余弦、正切公式作為解題工具，是每年高考的必考內(nèi)容，常在選擇題中以條件求值的形式考查 近幾年該部分內(nèi)容與向量的綜合問(wèn)題常出現(xiàn)在解答題中，并且成為高考的一個(gè)新考查方向【示例】 ? (2011 溫州一模 )已知向量 a(sin ，2)與 b(1，cos )互相垂直，其中 )2,0(. (1) 求 sin 和 cos 的值；(2) 若 5cos( ) 35cos ，02，求 cos 的值第 6 講正弦定理和余弦定理基礎(chǔ)梳理1正弦定理：asin absin bcsin c2r，其中 r是三角形外接圓的半徑由正弦定理可以變形為：(1) abcsin

36、asin bsin c；(2) a2rsin_ a，b2r sin_ b，c2r sin_ c；(3)sin aa2r，sin bb2r，sin cc2r等形式，以解決不同的三角形問(wèn)題2 余弦定理：a2b2c22bccosa，b2a2c22accosb，c2a2b22abcosc 余弦定理可以變形為： cos ab2c2a22bc，cos ba2c2b22ac，cos ca2b2c22ab. 3sabc12absin c12bcsin a12acsin babc4r12( abc)r( r 是三角形外接圓半徑， r 是三角形內(nèi)切圓的半徑 ) ，并可由此計(jì)算 r，r . 4已知兩邊和其中一邊的對(duì)

37、角，解三角形時(shí)，注意解的情況如已知a，b，a，則a為銳角a為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin aabsin absin aabababab解的個(gè)數(shù)無(wú)解一解兩解一解一解無(wú)解一條規(guī)律在三角形中，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在 abc 中，ab? ab? sin asin b. 兩類問(wèn)題在解三角形時(shí)，正弦定理可解決兩類問(wèn)題：(1) 已知兩角及任一邊，求其它邊或角；(2) 已知兩邊及一邊的對(duì)角，求其它邊或角情況(2) 中結(jié)果可能有一解、兩解、無(wú)解，應(yīng)注意區(qū)分余弦定理可解決兩類問(wèn)題：(1) 已知兩邊及夾角求第三邊和其他兩角； (2) 已知三邊，求各角兩種途徑根據(jù)所給

38、條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1) 化邊為角； (2) 化角為邊，并常用正弦 ( 余弦) 定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換雙基自測(cè)1( 人教 a版教材習(xí)題改編 ) 在abc中，a60，b75，a10，則 c 等于( ) a 52 b10 2 c.10 63d56 2在 abc 中，若sin aacos bb，則 b的值為 ( ) a 30 b45 c60 d903(2011鄭州聯(lián)考 ) 在abc中，a3，b1，c2，則 a等于( ) a 30 b45 c60 d754在 abc 中，a3 2，b23，cos c 13，則 abc的面積為 ( ) a 33 b2 3 c43 d.3 5已知 abc

39、三邊滿足 a2b2c23ab，則此三角形的最大內(nèi)角為_(kāi)考向一利用正弦定理解三角形【例 1】?在abc中，a3，b2，b45. 求角 a，c和邊 c. 【訓(xùn)練 1】(2011北京 ) 在abc中，若 b5，b4，tan a2，則 sin a_；a_. 考向二利用余弦定理解三角形【例 2】?在abc中，a、b、c 分別是角 a、b、c的對(duì)邊，且cos bcos cb2ac. (1) 求角 b的大??；(2) 若 b13，ac4，求 abc的面積【訓(xùn)練 2】 (2011桂林模擬 ) 已知 a，b，c為abc 的三個(gè)內(nèi)角，其所對(duì)的邊分別為 a，b，c，且 2cos2a2cos a0. (1) 求角 a的

40、值；(2) 若a23，bc4，求abc的面積考向三利用正、余弦定理判斷三角形形狀【例 3】?在abc中，若 (a2b2)sin( ab) ( a2b2)sin c ，試判斷 abc的形狀【訓(xùn)練 3】在abc 中，若acos abcos bccos c；則 abc 是( )a直角三角形b等邊三角形c鈍角三角形d等腰直角三角形考向四正、余弦定理的綜合應(yīng)用【例 3】?在abc中，內(nèi)角 a，b，c對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a，b，c，已知 c2，c3. (1) 若abc 的面積等于3，求 a，b；(2) 若 sin c sin( ba)2sin 2 a，求 abc的面積【訓(xùn)練 4】(2011北京西城一模 ) 設(shè)

41、abc的內(nèi)角 a，b，c所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且 cos b45，b2. (1) 當(dāng) a30時(shí)，求 a 的值；(2) 當(dāng)abc 的面積為 3 時(shí)，求 ac 的值重點(diǎn)突破忽視三角形中的邊角條件致錯(cuò)【問(wèn)題診斷】考查解三角形的題在高考中一般難度不大，但稍不注意，會(huì)出現(xiàn)“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”的情況，其主要原因就是忽視三角形中的邊角條件., 【防范措施】解三角函數(shù)的求值問(wèn)題時(shí)，估算是一個(gè)重要步驟，估算時(shí)應(yīng)考慮三角形中的邊角條件 . 【示例】 ?(2011安徽 ) 在abc 中，a，b，c 分別為內(nèi)角 a，b，c所對(duì)的邊長(zhǎng)，a3，b2，12cos( bc) 0，求邊 bc上的高【試一試 】(2011

42、遼寧 ) abc的三個(gè)內(nèi)角a，b，c所對(duì)的邊分別為a，b，c，asin asin bbcos2a2a. (1) 求ba；(2) 若 c2b23a2，求 b. 第 7 講 正弦定理、余弦定理應(yīng)用舉例基礎(chǔ)梳理1用正弦定理和余弦定理解三角形的常見(jiàn)題型測(cè)量距離問(wèn)題、高度問(wèn)題、角度問(wèn)題、計(jì)算面積問(wèn)題、航海問(wèn)題、物理問(wèn)題等2實(shí)際問(wèn)題中的常用角(1) 仰角和俯角在視線和水平線所成的角中， 視線在水平線上方的角叫仰角， 在水平線下方的角叫俯角 ( 如圖(1) (2) 方位角指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如 b點(diǎn)的方位角為 ( 如圖(2) (3) 方向角：相對(duì)于某正方向的水平角，如南偏東30，北偏西

43、45，西偏東60等(4) 坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)一個(gè)步驟解三角形應(yīng)用題的一般步驟：(1) 閱讀理解題意，弄清問(wèn)題的實(shí)際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系(2) 根據(jù)題意畫出示意圖， 將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形問(wèn)題的模型(3) 根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解(4) 將三角形問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題，注意實(shí)際問(wèn)題中的有關(guān)單位問(wèn)題、近似計(jì)算的要求等兩種情形解三角形應(yīng)用題常有以下兩種情形(1) 實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2) 實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形， 先解夠條件的三角形， 然后逐步求解其他三角形， 有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程( 組) ，解方程 (組)得出所要求的解雙基自測(cè)1( 人教 a版教材習(xí)題改編 ) 如圖，設(shè)a，b兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在a所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)c ，測(cè)出 ac的距離為 50 m ，acb 45，cab 105后，就可以計(jì)算出a，b兩點(diǎn)的距離為 ( ) a 502 m b50 3 m c25 2 m d.2522 m 2 從 a處望 b處的仰角為 ， 從 b處望 a處的俯角為 ， 則， 的關(guān)系為 ( ) a b c 90 d1803若點(diǎn) a在點(diǎn)