7常用解題方法

1、第七章 常用解題方法7.1 一般解題方法、配方法 所謂配方，就是把一個(gè)解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項(xiàng)配成一 個(gè)或幾個(gè)多項(xiàng)式正整數(shù)次冪的和形式 . 通過配方解決數(shù)學(xué)問題的方法叫配方法 . 其中，用的最多的是配成完全平方式 . 配方法是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形的方 法，它的應(yīng)用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等 式、求函數(shù)的極值和解析式等方面都經(jīng)常用到它 .、因式分解法 因式分解，就是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式 . 因式分解是恒等變 形的基礎(chǔ)，它作為數(shù)學(xué)的一個(gè)有力工具、一種數(shù)學(xué)方法在代數(shù)、幾何、三角等的 解題中起著重要的作用 . 因式分解的方法有許多，除中

2、學(xué)課本上介紹的提取公因 式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項(xiàng)添項(xiàng)、求根分解、 換元、待定系數(shù)等等 .、換元法 換元法是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法.我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個(gè)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中，用新的變 元去代替原式的一個(gè)部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易于解決 .、判別式法與韋達(dá)定理22 一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a、b、c 屬于 R，a0）根的判別， =b2-4ac，不 僅用來判定根的性質(zhì)，而且作為一種解題方法，在代數(shù)式變形，解方程（組），解不等式，研究函數(shù)乃至幾何、三角運(yùn)算中都有非常廣泛的應(yīng)用 .韋達(dá)定理除

3、了已知一元二次方程的一個(gè)根， 求另一根； 已知兩個(gè)數(shù)的和與積， 求這兩個(gè)數(shù)等簡單應(yīng)用外，還可以求根的對(duì)稱函數(shù)，計(jì)論二次方程根的符號(hào)，解 對(duì)稱方程組，以及解一些有關(guān)二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應(yīng)用 .、待定系數(shù)法 在解數(shù)學(xué)問題時(shí)，若先判斷所求的結(jié)果具有某種確定的形式，其中含有某些 待定的系數(shù)，而后根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的等式，最后解出這些待定系 數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某種關(guān)系，從而解答數(shù)學(xué)問題，這種解題方法稱 為待定系數(shù)法 . 它是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的方法之一 .、構(gòu)造法 在解題時(shí)，我們常常會(huì)采用這樣的方法，通過對(duì)條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造輔助 元素，它可以是一個(gè)圖形、一個(gè)方程 （組）、

4、一個(gè)等式、一個(gè)函數(shù)、一個(gè)等價(jià)命題 等，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數(shù)學(xué)方 法，我們稱為構(gòu)造法 . 運(yùn)用構(gòu)造法解題，可以使代數(shù)、三角、幾何等各種數(shù)學(xué)知 識(shí)互相滲透，有利于問題的解決 .7. 1.7、反證法 反證法是一種間接證法，它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從 這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達(dá)到肯定原 命題正確的一種方法 . 反證法可以分為歸謬反證法 （ 結(jié)論的反面只有一種 ）與窮舉 反證法 （結(jié)論的反面不只一種 ）。用反證法證明一個(gè)命題的步驟，大體上分為： （1） 反設(shè)； （2）歸謬； （3）結(jié)論.反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，

5、為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表述形 式是有必要的，例如：是 /不是；存在 /不存在；平行于 /不平行于；垂直于 /不垂直 于；等于/不等于；大 （小）于/不大（?。┯冢欢际?不都是；至少有一個(gè) /一個(gè)也沒有； 至少有 n 個(gè)/至多有 （n一 1）個(gè)；至多有一個(gè) /至少有兩個(gè)；唯一 /至少有兩個(gè) .歸謬是反證法的關(guān)鍵， 導(dǎo)出矛盾的過程沒有固定的模式， 但必須從反設(shè)出發(fā)， 否則推導(dǎo)將成為無源之水， 無本之木。推理必須嚴(yán)謹(jǐn) .導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類型： 與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設(shè)矛盾；自相矛 盾.、面積法 平面幾何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面

6、積計(jì)算有關(guān)的性質(zhì)定理， 不僅可用于計(jì)算面積，而且用它來證明平面幾何題有時(shí)會(huì)收到事半功倍的效果 運(yùn)用面積關(guān)系來證明或計(jì)算平面幾何題的方法，稱為面積方法，它是幾何中的一 種常用方法 .用歸納法或分析法證明平面幾何題，其困難在添置輔助線 . 面積法的特點(diǎn)是 把已知和未知各量用面積公式聯(lián)系起來，通過運(yùn)算達(dá)到求證的結(jié)果 . 所以用面積 法來解幾何題，幾何元素之間關(guān)系變成數(shù)量之間的關(guān)系，只需要計(jì)算，有時(shí)可以 不添置補(bǔ)助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到 .7.2 解填空的方法 要想迅速、正確地解填空題，除了具有準(zhǔn)確的計(jì)算、嚴(yán)密的推理外，還要有 解選擇題、填空題的方法與技巧 . 下面通過實(shí)例介紹常用方法

7、 .7.2.1 直接推演法：直接從命題給出的條件出發(fā)，運(yùn)用概念、公式、定理等進(jìn)行推 理或運(yùn)算，得出結(jié)論，選擇正確答案，這就是傳統(tǒng)的解題方法，這種解法叫直接 推演法 .7.2.2 驗(yàn)證法：由題設(shè)找出合適的驗(yàn)證條件，再通過驗(yàn)證，找出正確答案，亦可將 供選擇的答案代入條件中去驗(yàn)證， 找出正確答案， 此法稱為驗(yàn)證法（也稱代入法） 當(dāng)遇到定量命題時(shí)，常用此法 .7.2.3 特殊元素法：用合適的特殊元素（如數(shù)或圖形）代入題設(shè)條件或結(jié)論中去， 從而獲得解答 .這種方法叫特殊元素法 .7.2.3 排除、篩選法：對(duì)于正確答案有且只有一個(gè)的選擇題， 根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)或推理、 演算，把不正確的結(jié)論排除，余下的結(jié)論再經(jīng)篩選，從而作出正確的結(jié)論的解法 叫排除、篩選法 .圖解