北京市2020年石景山一模及答案

1、2020 年石景山區(qū)高三統(tǒng)一測試一模數(shù) 學(xué)本試卷共6 頁，滿分為150 分，考試時間為120 分鐘請務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效，考試結(jié)束后上交答題卡第一部分 （選擇題共 40 分）一、選擇題共 10小題，每小題4 分，共 40 分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1.設(shè)集合 P1，2，3，4 ， Q x | x |3, xR，則 P Q等于A. 1B.1,2，3C.3，4D.3,2, 1,0,1,2,32.在復(fù)平面，復(fù)數(shù) 5+6i ,3-2i 對應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B. 若 C 為線段 AB 的中點(diǎn)，則點(diǎn) C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是A. 8+4iB.2+8iC.4+2iD.1+4i

2、3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間0,上單調(diào)遞減的是A. yx22B. y 2 xC. y ln xD. y1x4.圓 x2y22 x8y130 的圓心到直線 ax y 10 的距離為1，則 a4B.3C.3D.2A.435.將 4 位志愿者分配到博物館的3 個不同場館服務(wù)，每個場館至少1人，不同的分配方案有（）種A. 36B.64C.72D.816. 如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是1，粗線表示一正方體被某平面截得的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為A.2B.4C.5D.87.函數(shù) fxcosx（0 ）的最小正周期為，則 fx 滿足6A.在 0,上單調(diào)遞增B. 圖象關(guān)于直線 x對稱36C. f

3、3D. 當(dāng) x512時有最小值3128.設(shè) an 是等差數(shù)列，其前 n 項和為 Sn .則 “S1 +S32S2 ”是 “ an 為遞增數(shù)列 ”的A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件9.設(shè) f (x) 是定義在 R 上的函數(shù)，若存在兩個不等實(shí)數(shù)x1 , x2 R ，使得f ( x1 x2 )f ( x1)f (x2 ) ，則稱函數(shù)f ( x) 具有性質(zhì) P ，那么下列函數(shù)：212x 0 ； f ( x) x2 f ( x)x； f (x)| x2 1| ；0x0具有性質(zhì) P 的函數(shù)的個數(shù)為A.0B.1C.2D. 310. 點(diǎn) M ，N 分別是

4、棱長為2的正方體 ABCDA1B1C1 D1 中棱 BC,CC1 的中點(diǎn)，動點(diǎn)P 在正方形 BCC1B1（包括邊界）運(yùn)動.若 PA1 面 AMN ，則 PA1 的長度圍是A.2,5B.32 , 5D1C12B1A1P N32 ,3C.D. 2,32DCMAB第二部分 （非選擇題共110 分）二、填空題共5 小題，每小題5 分，共 25 分uuv3 )uuuv(3,1)，則 ABC11.已知向量 BA (1 ,， BC_ 222212.已知各項為正數(shù)的等比數(shù)列a中， a11 ，其前 nS n N *，且n項和為 n112a1a2，則 S4 _a313.能夠說明 “設(shè) a, b 是任意非零實(shí)數(shù)，若

5、ab，則 11”是假命題的一組“ab整數(shù) a, b 的值依次為 _14.已知 F 是拋物線 C: y24x的焦點(diǎn)， M 是 C 上一點(diǎn)， FM 的延長線交y 軸于點(diǎn)N若M 為FN的中點(diǎn)，則FN_15.石景山區(qū)為了支援邊遠(yuǎn)山區(qū)的教育事業(yè)，組織了一支由13 名一線中小學(xué)教師三、解答題共 6 小題，共 85 分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程16.（本小題 14 分）如圖，在正四棱錐PABCD中， ABPB2 2，ACBDO（）求證：BO面 PAC ；P（）求二面角APCB 的余弦值DCOAB17.（本小題 14 分）2020 年，將實(shí)行新的高考方案.新方案規(guī)定：語文、數(shù)學(xué)和英語是考生的必考科

6、目，考生還需從物理、 化學(xué)、生物、歷史、地理和政治六個科目中選取三個科目作為選考科目若一個學(xué)生從六個科目中選出了三個科目作為選考科目，則稱該學(xué)生的選考方案確定；否則，稱該學(xué)生選考方案待確定例如，學(xué)生甲選擇“物理、化學(xué)和生物 ”三個選考科目，則學(xué)生甲的選考方案確定， “物理、化學(xué)和生物”為其選考方案某校為了解高一年級 840名學(xué)生選考科目的意向，隨機(jī)選取60 名學(xué)生進(jìn)行了一次調(diào)查，統(tǒng)計選考科目人數(shù)如下表：性別 選考方案確定情況物理化學(xué)生物歷史地理政治選考方案確定的有16 人16168422男生12 人860200選考方案待確定的有選考方案確定的有20 人610201626女生12 人281000

7、2選考方案待確定的有( )估計該學(xué)校高一年級選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生有多少人？( )從選考方案確定的16 名男生中隨機(jī)選出2 名，求恰好有一人選“物理、化學(xué)、生物”的概率；（）從選考方案確定的16 名男生中隨機(jī)選出2 名，0兩名男生選考方案不同的分布列和期望 .設(shè)隨機(jī)變量，求1兩名男生選考方案相同18.（本小題 14 分）已知銳角 ABC ，同時滿足下列四個條件中的三個： A = p a = 13 c = 15 sin C =133( )請指出這三個條件，并說明理由；( )求 ABC 的面積 .19.（本小題 15 分）x2y21( a b 0)的右焦點(diǎn)為 F (1,0) ，離心率為

8、2已知橢圓 C :b2. 直線 l 過點(diǎn)a22F 且不平行于坐標(biāo)軸，l 與 C 有兩個交點(diǎn)A, B ，線段 AB 的中點(diǎn)為 M .（）求橢圓C 的方程；（）證明：直線OM 的斜率與 l 的斜率的乘積為定值；（）延長線段 OM 與橢圓 C 交于點(diǎn) P ，若四邊形 OAPB 為平行四邊形， 求此時直線 l 的斜率20. （本小題 14 分）已知函數(shù)f ( x)x2 ( x0), g( x)a ln x (a0) （）若f (x)g(x) 恒成立，數(shù) a 的取值圍；（）當(dāng) a 1 時，過 f ( x) 上一點(diǎn)（1，1）作 g(x) 的切線，判斷：可以作出多少條切線，并說明理由21.（本小題 14 分

9、）有限個元素組成的集合A a1 , a2 , an ， nN * ，記集合A 中的元素個數(shù)為card (A) ，即 card (A)n .定義 A A xy | xA, yA ，集合 AA 中的元素個數(shù)記為 card ( A+A) ,當(dāng) card ( A+A)= n(n1) 時，稱集合A具有性質(zhì) P .2( ) A 1,4,7 ， B 2,4,8 ，判斷集合 A, B 是否具有性質(zhì) P ，并說明理由；（）設(shè)集合 A a1 , a2, a3 ,2020 ， a1a2 a32020 且 ai N * (i1,2,3)，若集合 A 具有性質(zhì) P ，求 a1a2a3 的最大值；（）設(shè)集合 A a1 ,

10、a2, , an ，其中數(shù)列 an 為等比數(shù)列， ai0(i1,2,n) 且公比為有理數(shù)，判斷集合集合A 是否具有性質(zhì)P 并說明理由 .數(shù)學(xué)試卷答案及評分參考一、選擇題：本大題共10 個小題，每小題4 分，共 40 分題號12345678910答案BCDAABDCCB二、填空題：本大題共5 個小題，每小題5 分，共 25 分11 ；12 15；13 2， - 1 ；答案不唯一614 3；15. 小學(xué)中級 三、解答題：本大題共6 個小題，共85 分解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟16（本小題 14 分）（）證明：聯(lián)結(jié) PO z在正四棱錐 PABCD 中，PO 底面 ABCD P因?yàn)?BO

11、平面 ABCD ，所以 POBO 3 分在正方形 ABCD 中 ， BOAC ，DC又因?yàn)?POI ACO ，所以 BO面 PAC 6 分Ax（）解：由（）知，PO ， AO ， BO 兩兩垂直，以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.OBy 7 分在正方形 ABCD 中，因?yàn)?AB22 ，所以 AO2又因?yàn)?PB2 2 ，所以 PO2所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 P(0, 0, 2)，點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 C(2,0,0)，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 B(0, 2, 0) 8 分uuuruuur(2, 2, 0) 則PC (2,0, 2) ，CB 9 分由（）知，BO平面 PAC 所以平面 PAC 的一個法

12、向量為uruuurn1OB (0, 2, 0) 10 分uur設(shè)平面 PBC 的一個法向量 n2( x , y , z ) uuruuur0,nPC2x2z0,2 g則 uuruuur即2x2 y0.n2 gCB0,令 y1，則x1 ， z1故平面 PBC 的一個法向量ur uururuurn1 gn2cos n1 , n2uruur| n1 | n2uurn2 ( 1,1,1) 13 分33所以二面角APCB 的余弦值為3 14 分317.（本小題 14分）解： ( )由數(shù)據(jù)知， 60人中選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生有8+20=28 人 1分所以該學(xué)校高一年級選考方案確定的學(xué)生中選考生

13、物的學(xué)生有28392 人 4 分84060( )選考方案確定且為“物理，化學(xué)，生物 ”的男生共有 8 人。 5分設(shè) “恰好有一人選物理、化學(xué)、生物”為事件 A 6 分p( A)C81C818 8 分C16215（）由數(shù)據(jù)可知，選考方案確定的男生中有8 人選擇物理、化學(xué)和生物；有4 人選擇物理、化學(xué)和歷史；有2人選擇物理、化學(xué)和地理；有2人選擇物理、化學(xué)和政治 . 9 分的可能取值為0，1.C81C81C41C41C21 C217P(0)C16210C82C42C22C223P( 1)C16210所以的分布列為：01P731010733E0110 10 1018. （本小題 14 分）解：（）

14、ABC同時滿足，理由如下：若 ABC 同時滿足，則在銳角ABC中，sin C11 ，所以 0<C632又因?yàn)锳所以<A+C,332所以B,ABC是銳角三角形矛盾，2這與所以 ABC 不能同時滿足, ，所以 ABC 同時滿足，.因?yàn)?ca所以 CA 若滿足則 AC, 則 B,這與 ABC 是銳角三角形矛盾62故 ABC 不滿足 .故 ABC 滿足，12 分14 分3 分6 分7 分9 分 a2b 2 c2 2bc cos A10132b21522b15 12b8 b712b7213215207cosC2713Cb813ABCS1 bcsin A30 314219. 15c1 ec2

15、2a2a2b2c2a2 ,b 1 4x2y21 . 52lyk( x1)( k0)x2y21y2yk( x1)(k0)(2k 2 1)x24k 2 x2k 220A(x1, y1 ) , B(x2 , y2 ) 7 x1x24k 2MAB2k 21xMx1x22k 2yMk ( xM 1)k 822k 21212kkOMyM1 9xM2kkOMkl1k1.2k2uuuruuuruuurOAPB, OAOBOPxP x1x24k 22k21yP y1 y2 k( x1 1) k (x2 1) k ( x1x22)2k2k 21P(4k 2)22 (2k)222k 212k 21k21k222OA

16、PBlk2.220.14.h(x）=f ( x) g( x)x2a ln x ( x0)a2x2a2h ( x)=2xxxh ( x)= 2x2a20xa .x2xh ( x), h( x)aa(ax(0,), )222h (x)0+h( x)1012131415 1 3 5(0,)h(a )aa lnaaa ln a 6 222222h( a ) 00 a 2e .20a2eh( x)0f ( x)g(x). 72. 8a1g ( x)ln x .（1，1）l g ( x)ln xP( x0 , y0 ) 9g (x0 )y011ln x01x01x01x0x0 ln x02x01010m(

17、 x)x ln x2x1m(x) (0,)P.m (x)ln x1m ( x)ln x10xe .11xm ( x), m( x)x(0, e)e( e,)m ( x)0+m( x)m( x) (0, e)(e,).11ln12141 0m(2 )e2222eeeem(e)eln e2e 1e10m(e2 )e2ln e22e211013m( x) ( 12 ,e) (e,e2 )x ln x2x10.e所以 過點(diǎn)（1，1）可作出 yln x 的 2 條切線 .14 分21.（本小題14 分）解： ( )集合 A 不具有性質(zhì) P ，集合 B 具有性質(zhì) P .AA 2,5,8,11,14 , c

18、ard ( A+A)=53(3 1) 不具有性質(zhì) P ;21) 具有性質(zhì)BB 4,6,8,10,12,16, card ( B+B)=63(3P . 3 分2,（）若三個數(shù)a,b, c 成等差數(shù)列，則A a, b, c 不具有性質(zhì) P ，理由是 a c 2b .因?yàn)?a1a2a32020 且 aiN * (i 1,2,3) 所以 a32019 ，要使 a1a2a3 取最大，則 a32019 ；a22018 ，易知 2018,2019 ,2020 不具有性質(zhì) P ，要使 a1a2 a3 取最大，則 a22017 ；a12016 ，要使 a1a2a3 取最大，檢驗(yàn)可得a1 2013 ；（ a1a2a3 )max6049 8 分（