2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標ⅲ）（含解析版）

1、2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1（5分）已知集合a1，0，1，2，bx|x21，則ab（）a1，0，1b0，1c1，1d0，1，22（5分）若z（1+i）2i，則z（）a1ib1+ic1id1+i3（5分）西游記三國演義水滸傳和紅樓夢是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了100位學生，其中閱讀過西游記或紅樓夢的學生共有90位，閱讀過紅樓夢的學生共有80位，閱讀過西游記且閱讀過紅樓夢的學生共有60位，則該校閱讀過西游記的

2、學生人數(shù)與該學校學生總數(shù)比值的估計值為（）a0.5b0.6c0.7d0.84（5分）（1+2x2）（1+x）4的展開式中x3的系數(shù)為（）a12b16c20d245（5分）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前4項和為15，且a53a3+4a1，則a3（）a16b8c4d26（5分）已知曲線yaex+xlnx在點（1，ae）處的切線方程為y2x+b，則（）aae，b1bae，b1cae1，b1dae1，b17（5分）函數(shù)y在6，6的圖象大致為（）abcd8（5分）如圖，點n為正方形abcd的中心，ecd為正三角形，平面ecd平面abcd，m是線段ed的中點，則（）abmen，且直線bm，en是相交直

3、線bbmen，且直線bm，en是相交直線cbmen，且直線bm，en是異面直線dbmen，且直線bm，en是異面直線9（5分）執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的為0.01，則輸出s的值等于（）a2b2c2d210（5分）雙曲線c：1的右焦點為f，點p在c的一條漸近線上，o為坐標原點若|po|pf|，則pfo的面積為（）abc2d311（5分）設(shè)f（x）是定義域為r的偶函數(shù)，且在（0，+）單調(diào)遞減，則（）af（log3）f（2）f（2）bf（log3）f（2）f（2）cf（2）f（2）f（log3）df（2）f（2）f（log3）12（5分）設(shè)函數(shù)f（x）sin（x+）（0），已知f（x）在0，2有

4、且僅有5個零點下述四個結(jié)論：f（x）在（0，2）有且僅有3個極大值點f（x）在（0，2）有且僅有2個極小值點f（x）在（0，）單調(diào)遞增的取值范圍是，）其中所有正確結(jié)論的編號是（）abcd二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13（5分）已知，為單位向量，且0，若2，則cos， 14（5分）記sn為等差數(shù)列an的前n項和若a10，a23a1，則 15（5分）設(shè)f1，f2為橢圓c：+1的兩個焦點，m為c上一點且在第一象限若mf1f2為等腰三角形，則m的坐標為 16（5分）學生到工廠勞動實踐，利用3d打印技術(shù)制作模型如圖，該模型為長方體abcda1b1c1d1挖去四棱錐oefgh后所得的幾

5、何體，其中o為長方體的中心，e，f，g，h分別為所在棱的中點，abbc6cm，aa14cm.3d打印所用原料密度為0.9g/cm3不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為 g三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成a、b兩組，每組100只，其中a組小鼠給服甲離子溶液，b組小鼠給服乙離子溶液每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同經(jīng)過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子

6、的百分比根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如圖直方圖：記c為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到p（c）的估計值為0.70（1）求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；（2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）18abc的內(nèi)角a、b、c的對邊分別為a，b，c已知asinbsina（1）求b；（2）若abc為銳角三角形，且c1，求abc面積的取值范圍19圖1是由矩形adeb、rtabc和菱形bfgc組成的一個平面圖形，其中ab1，bebf2，fbc60°將其沿ab，bc折起使得be與bf重合，連結(jié)dg，如圖2（1）證明：圖2中的a，c

7、，g，d四點共面，且平面abc平面bcge；（2）求圖2中的二面角bcga的大小20已知函數(shù)f（x）2x3ax2+b（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）是否存在a，b，使得f（x）在區(qū)間0，1的最小值為1且最大值為1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，說明理由21已知曲線c：y，d為直線y上的動點，過d作c的兩條切線，切點分別為a，b（1）證明：直線ab過定點；（2）若以e（0，）為圓心的圓與直線ab相切，且切點為線段ab的中點，求四邊形adbe的面積（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。選修4-4：坐標系與參數(shù)方程（10分）22如圖，

8、在極坐標系ox中，a（2，0），b（，），c（，），d（2，），弧，所在圓的圓心分別是（1，0），（1，），（1，），曲線m1是弧，曲線m2是弧，曲線m3是?。?）分別寫出m1，m2，m3的極坐標方程；（2）曲線m由m1，m2，m3構(gòu)成，若點p在m上，且|op|，求p的極坐標選修4-5：不等式選講（10分）23設(shè)x，y，zr，且x+y+z1（1）求（x1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值；（2）若（x2）2+（y1）2+（za）2成立，證明：a3或a12019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項

9、中，只有一項是符合題目要求的。1（5分）已知集合a1，0，1，2，bx|x21，則ab（）a1，0，1b0，1c1，1d0，1，2【分析】解求出b中的不等式，找出a與b的交集即可【解答】解：因為a1，0，1，2，bx|x21x|1x1，所以ab1，0，1，故選：a【點評】本題考查了兩個集合的交集和一元二次不等式的解法，屬基礎(chǔ)題2（5分）若z（1+i）2i，則z（）a1ib1+ic1id1+i【分析】利用復數(shù)的運算法則求解即可【解答】解：由z（1+i）2i，得z1+i故選：d【點評】本題主要考查兩個復數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法法則，虛數(shù)單位i的冪運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題3（5分）西游記三國演義水滸傳和紅

10、樓夢是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了100位學生，其中閱讀過西游記或紅樓夢的學生共有90位，閱讀過紅樓夢的學生共有80位，閱讀過西游記且閱讀過紅樓夢的學生共有60位，則該校閱讀過西游記的學生人數(shù)與該學校學生總數(shù)比值的估計值為（）a0.5b0.6c0.7d0.8【分析】作出維恩圖，得到該學校閱讀過西游記的學生人數(shù)為70人，由此能求出該學校閱讀過西游記的學生人數(shù)與該學校學生總數(shù)比值的估計值【解答】解：某中學為了了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了100位學生，其中閱讀過西游記或紅樓夢的學生共有90位，閱讀過紅樓夢的學生共有80位

11、，閱讀過西游記且閱讀過紅樓夢的學生共有60位，作出維恩圖，得：該學校閱讀過西游記的學生人數(shù)為70人，則該學校閱讀過西游記的學生人數(shù)與該學校學生總數(shù)比值的估計值為：0.7故選：c【點評】本題考查該學校閱讀過西游記的學生人數(shù)與該學校學生總數(shù)比值的估計值的求法，考查維恩圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題4（5分）（1+2x2）（1+x）4的展開式中x3的系數(shù)為（）a12b16c20d24【分析】利用二項式定理、排列組合的性質(zhì)直接求解【解答】解：（1+2x2）（1+x）4的展開式中x3的系數(shù)為：1×+2×12故選：a【點評】本題考查展開式中x3的系數(shù)的求法，考查

12、二項式定理、排列組合的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題5（5分）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前4項和為15，且a53a3+4a1，則a3（）a16b8c4d2【分析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q（q0），根據(jù)條件可得，解方程即可【解答】解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q（q0），則由前4項和為15，且a53a3+4a1，有，故選：c【點評】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項和公式，考查了方程思想，屬基礎(chǔ)題6（5分）已知曲線yaex+xlnx在點（1，ae）處的切線方程為y2x+b，則（）aae，b1bae，b1cae1，b1dae1，b1【分析】求得函數(shù)y的導數(shù)，可得切線的斜率，由切

13、線方程，可得ae+1+02，可得a，進而得到切點，代入切線方程可得b的值【解答】解：yaex+xlnx的導數(shù)為yaex+lnx+1，由在點（1，ae）處的切線方程為y2x+b，可得ae+1+02，解得ae1，又切點為（1，1），可得12+b，即b1，故選：d【點評】本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率，考查直線方程的運用，考查方程思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題7（5分）函數(shù)y在6，6的圖象大致為（）abcd【分析】由y的解析式知該函數(shù)為奇函數(shù)可排除c，然后計算x4時的函數(shù)值，根據(jù)其值即可排除a，d【解答】解：由yf（x）在6，6，知f（x），f（x）是6，6上的奇函數(shù)，因此排除c又f（4），因此排除a

14、，d故選：b【點評】本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是奇偶性和特殊值，屬基礎(chǔ)題8（5分）如圖，點n為正方形abcd的中心，ecd為正三角形，平面ecd平面abcd，m是線段ed的中點，則（）abmen，且直線bm，en是相交直線bbmen，且直線bm，en是相交直線cbmen，且直線bm，en是異面直線dbmen，且直線bm，en是異面直線【分析】推導出bm是bde中de邊上的中線，en是bde中bd邊上的中線，從而直線bm，en是相交直線，設(shè)dea，則bd，be，從而bmen【解答】解：點n為正方形abcd的中心，ecd為正三角形，平面ecd平面abcd，m是線段ed的中點，bm平面bd

15、e，en平面bde，bm是bde中de邊上的中線，en是bde中bd邊上的中線，直線bm，en是相交直線，設(shè)dea，則bd，be，bma，ena，bmen，故選：b【點評】本題考查兩直線的位置關(guān)系的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理能力與計算能力，是中檔題9（5分）執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的為0.01，則輸出s的值等于（）a2b2c2d2【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量s的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案【解答】解：第一次執(zhí)行循環(huán)體后，s1，x，不滿足退出循環(huán)的條件x0.01；再次執(zhí)行循環(huán)體

16、后，s1+，x，不滿足退出循環(huán)的條件x0.01；再次執(zhí)行循環(huán)體后，s1+，x，不滿足退出循環(huán)的條件x0.01；由于0.01，而0.01，可得：當s1+，x，此時，滿足退出循環(huán)的條件x0.01，輸出s1+2故選：c【點評】本題考查的知識點是程序框圖，當循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時，常采用模擬循環(huán)的方法解答，屬于基礎(chǔ)題10（5分）雙曲線c：1的右焦點為f，點p在c的一條漸近線上，o為坐標原點若|po|pf|，則pfo的面積為（）abc2d3【分析】求出雙曲線的漸近線方程，求出三角形pof的頂點p的坐標，然后求解面積即可【解答】解：雙曲線c：1的右焦點為f（，0），漸近線方程為：yx，不妨p在第一象限

17、，可得tanpof，p（，），所以pfo的面積為：故選：a【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，是基本知識的考查11（5分）設(shè)f（x）是定義域為r的偶函數(shù)，且在（0，+）單調(diào)遞減，則（）af（log3）f（2）f（2）bf（log3）f（2）f（2）cf（2）f（2）f（log3）df（2）f（2）f（log3）【分析】根據(jù)log34log331，結(jié)合f（x）的奇偶和單調(diào)性即可判斷【解答】解：f（x）是定義域為r的偶函數(shù)，log34log331，0f（x）在（0，+）上單調(diào)遞減，故選：c【點評】本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，關(guān)鍵是指對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的靈活應用，屬基礎(chǔ)題12（5分）設(shè)函數(shù)f（x

18、）sin（x+）（0），已知f（x）在0，2有且僅有5個零點下述四個結(jié)論：f（x）在（0，2）有且僅有3個極大值點f（x）在（0，2）有且僅有2個極小值點f（x）在（0，）單調(diào)遞增的取值范圍是，）其中所有正確結(jié)論的編號是（）abcd【分析】根據(jù)f（x）在0，2有且僅有5個零點，可得52+，解出，然后判斷是否正確即可得到答案【解答】解：當x0，2時，x+，2+，f（x）在0，2有且僅有5個零點，52+，故正確，因此由選項可知只需判斷是否正確即可得到答案，下面判斷是否正確，當x（0，）時，x+，若f（x）在（0，）單調(diào)遞增，則，即3，故正確故選：d【點評】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是數(shù)形

19、結(jié)合的應用，屬中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13（5分）已知，為單位向量，且0，若2，則cos，【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的應用，求出相應的長度和數(shù)量積即可得到結(jié)論【解答】解：22，（2）244+59，|3，cos，故答案為：【點評】本題主要考查向量夾角的求解，根據(jù)向量數(shù)量積的應用分別求出數(shù)量積及向量長度是解決本題的關(guān)鍵14（5分）記sn為等差數(shù)列an的前n項和若a10，a23a1，則4【分析】根據(jù)a23a1，可得公差d2a1，然后利用等差數(shù)列的前n項和公式將用a1表示，化簡即可【解答】解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則由a10，a23a1可得，d2a1，故答案為：4【點評】

20、本題考查等差數(shù)列前n項和性質(zhì)以及等差數(shù)列性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題15（5分）設(shè)f1，f2為橢圓c：+1的兩個焦點，m為c上一點且在第一象限若mf1f2為等腰三角形，則m的坐標為（3，）【分析】設(shè)m（m，n），m，n0，求得橢圓的a，b，c，e，由于m為c上一點且在第一象限，可得|mf1|mf2|，mf1f2為等腰三角形，可能|mf1|2c或|mf2|2c，運用橢圓的焦半徑公式，可得所求點的坐標【解答】解：設(shè)m（m，n），m，n0，橢圓c：+1的a6，b2，c4，e，由于m為c上一點且在第一象限，可得|mf1|mf2|，mf1f2為等腰三角形，可能|mf1|2c或|mf2|2c，即有6+m

21、8，即m3，n；6m8，即m30，舍去可得m（3，）故答案為：（3，）【點評】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查分類討論思想方法，以及橢圓焦半徑公式的運用，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題16（5分）學生到工廠勞動實踐，利用3d打印技術(shù)制作模型如圖，該模型為長方體abcda1b1c1d1挖去四棱錐oefgh后所得的幾何體，其中o為長方體的中心，e，f，g，h分別為所在棱的中點，abbc6cm，aa14cm.3d打印所用原料密度為0.9g/cm3不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為118.8g【分析】該模型體積為voefgh6×6×4132（cm3），再由3d打印所用原料

22、密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，能求出制作該模型所需原料的質(zhì)量【解答】解：該模型為長方體abcda1b1c1d1，挖去四棱錐oefgh后所得的幾何體，其中o為長方體的中心，e，f，g，h，分別為所在棱的中點，abbc6cm，aa14cm，該模型體積為：voefgh6×6×414412132（cm3），3d打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為：132×0.9118.8（g）故答案為：118.8【點評】本題考查制作該模型所需原料的質(zhì)量的求法，考查長方體、四棱錐的體積等基礎(chǔ)知識，考查推理能力與計算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，

23、屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成a、b兩組，每組100只，其中a組小鼠給服甲離子溶液，b組小鼠給服乙離子溶液每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同經(jīng)過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如圖直方圖：記c為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到p（c）的估計值為0.70（1）求乙離子殘留百分比直方圖中

24、a，b的值；（2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)列出方程組，能求出乙離子殘留百分比直方圖中a，b（2）利用頻率分布直方圖能估計甲離子殘留百分比的平均值和乙離子殘留百分比的平均值【解答】解：（1）c為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到p（c）的估計值為0.70則由頻率分布直方圖得：，解得乙離子殘留百分比直方圖中a0.35，b0.10（2）估計甲離子殘留百分比的平均值為：2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10

25、+7×0.054.05乙離子殘留百分比的平均值為：3×0.05+4×0.1+5×0.15+6×0.35+7×0.2+8×0.156.00【點評】本題考查頻率、平均值的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題18abc的內(nèi)角a、b、c的對邊分別為a，b，c已知asinbsina（1）求b；（2）若abc為銳角三角形，且c1，求abc面積的取值范圍【分析】（1）運用三角函數(shù)的誘導公式和二倍角公式，以及正弦定理，計算可得所求角；（2）運用余弦定理可得b，由三角形abc為銳角三角形，可得a2+a2

26、a+11且1+a2a+1a2，求得a的范圍，由三角形的面積公式，可得所求范圍【解答】解：（1）asinbsina，即為asinacosbsina，可得sinacossinbsina2sincossina，sina0，cos2sincos，若cos0，可得b（2k+1），kz不成立，sin，由0b，可得b；（2）若abc為銳角三角形，且c1，由余弦定理可得b，由三角形abc為銳角三角形，可得a2+a2a+11且1+a2a+1a2，解得a2，可得abc面積sasina（，）【點評】本題考查三角形的正弦定理和余弦定理、面積公式的運用，考查三角函數(shù)的恒等變換，以及化簡運算能力，屬于中檔題19圖1是由矩

27、形adeb、rtabc和菱形bfgc組成的一個平面圖形，其中ab1，bebf2，fbc60°將其沿ab，bc折起使得be與bf重合，連結(jié)dg，如圖2（1）證明：圖2中的a，c，g，d四點共面，且平面abc平面bcge；（2）求圖2中的二面角bcga的大小【分析】（1）推導出adbe，cgbe，從而adcg，由此能證明a，c，g，d四點共面，推導出abbe，abbc，從而ab面bcge，由此能證明平面abc平面bcge（2）作ehbc，垂足為h，以h為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立空間直角坐標系hxyz，運用空間向量方法求二面角bcga的大小【解答】證明：（1）由已知得adbe，c

28、gbe，adcg，ad，cg確定一個平面，a，c，g，d四點共面，由已知得abbe，abbc，ab面bcge，ab平面abc，平面abc平面bcge解：（2）作ehbc，垂足為h，eh平面bcge，平面bcge平面abc，eh平面abc，由已知，菱形bcge的邊長為2，ebc60°，bh1，eh，以h為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所求的空間直角坐標系hxyz，則a（1，1，0），c（1，0，0），g（2，0， ），（1，0，），（2，1，0），設(shè)平面acgd的法向量（x，y，z），則，取x3，得（3，6，），又平面bcge的法向量為（0，1，0），cos，二面角bcga的大

29、小為30°【點評】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理能力與計算能力，是中檔題20已知函數(shù)f（x）2x3ax2+b（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）是否存在a，b，使得f（x）在區(qū)間0，1的最小值為1且最大值為1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，說明理由【分析】（1）f（x）6x22ax6x（x）令f（x）6x（x）0，解得x0，或?qū)分類討論，即可得出單調(diào)性（2）對a分類討論，利用（1）的結(jié)論即可得出【解答】解：（1）f（x）6x22ax6x（x）令f（x）6x（x）0，解得x0，或a0時，f（x）6x2

30、0，函數(shù)f（x）在r上單調(diào)遞增a0時，函數(shù)f（x）在（，0），（，+）上單調(diào)遞增，在（0，）上單調(diào)遞減a0時，函數(shù)f（x）在（，），（0，+）上單調(diào)遞增，在（，0）上單調(diào)遞減（2）由（1）可得：a0時，函數(shù)f（x）在0，1上單調(diào)遞增則f（0）b1，f（1）2a+b1，解得b1，a0，滿足條件a0時，函數(shù)f（x）在0，上單調(diào)遞減1，即a3時，函數(shù)f（x）在0，1上單調(diào)遞減則f（0）b1，f（1）2a+b1，解得b1，a4，滿足條件01，即0a3時，函數(shù)f（x）在0，）上單調(diào)遞減，在（，1上單調(diào)遞增則最小值f（）a×+b1，化為：+b1而f（0）b，f（1）2a+b，最大值為b或2a+b

31、若：+b1，b1，解得a33，矛盾，舍去若：+b1，2a+b1，解得a±3，或0，矛盾，舍去綜上可得：存在a，b，使得f（x）在區(qū)間0，1的最小值為1且最大值為1a，b的所有值為：，或【點評】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、方程與不等式的解法、分類討論方法、等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題21已知曲線c：y，d為直線y上的動點，過d作c的兩條切線，切點分別為a，b（1）證明：直線ab過定點；（2）若以e（0，）為圓心的圓與直線ab相切，且切點為線段ab的中點，求四邊形adbe的面積【分析】（1）求得y的導數(shù)，可得切線的斜率，可得切線da，db的方程，求得交點d的坐

32、標，可得ab的方程，化簡可得ab恒過定點；（2）設(shè)直線ab的方程為ykx+，由（1）可得x1+x22k，x1x21，求得ab中點h（k，k2+），由h為切點可得e到直線ab的距離即為|eh|，求得k，再由四邊形adbe的面積為sabe+sabd，運用點到直線的距離公式和弦長公式，計算可得所求值【解答】解：（1）證明：y的導數(shù)為yx，設(shè)切點a（x1，y1），b（x2，y2），即有y1，y2，切線da的方程為yy1x1（xx1），即為yx1x，切線db的方程為yx2x，聯(lián)立兩切線方程可得x（x1+x2），可得yx1x2，即x1x21，直線ab的方程為y（xx1），即為y（x1+x2）（xx1），可

33、化為y（x1+x2）x+，可得ab恒過定點（0，）；（2）法一：設(shè)直線ab的方程為ykx+，由（1）可得x1+x22k，x1x21，ab中點h（k，k2+），由h為切點可得e到直線ab的距離即為|eh|，可得，解得k0或k±1，即有直線ab的方程為y或y±x+，由y可得|ab|2，四邊形adbe的面積為sabe+sabd×2×（1+2）3；由y±x+，可得|ab|4，此時d（±1，）到直線ab的距離為；e（0，）到直線ab的距離為，則四邊形adbe的面積為sabe+sabd×4×（+）4；法二：（2）由（1）得直線ab的方程為ytx+由，可得x22tx10于是x1+x22t，x1x21，y1+y2t（x1+x2）+12t2+1，|ab|×2（t2+1）設(shè)d1，d2分別為點d，e到直線ab的距離，則d1，d2因此，四邊形adbe的面積s|ab|（d1+d2）（t2+3）設(shè)m為線段ab的中點，則m（t，t2+）由于，而，與向量（1，t）平行，所以t+（t22）t0解得t0或t±1當t0時，s3；當t&