有限元考試試題及答案——第一組

1、有限元考試試題及答案一、簡(jiǎn)答題（ 5 道，共計(jì) 25 分） 。1.有限單元位移法求解彈性力學(xué)問(wèn)題的基本步驟有哪些？（ 5分）答： （ 1 ）選擇適當(dāng)?shù)膯卧愋蛯椥泽w離散化；（ 2）建立單元體的位移插值函數(shù)；（ 3）推導(dǎo)單元?jiǎng)偠染仃?；?4）將單元?jiǎng)偠染仃嚱M裝成整體剛度矩陣；（ 5）代入邊界條件和求解。2 . 在劃分網(wǎng)格數(shù)相同的情況下，為什么八節(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元精度大于四邊形矩形單元？ （ 5 分）答： 在對(duì)于曲線邊界的邊界單元， 其邊界為曲邊， 八節(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元邊上三個(gè)節(jié)點(diǎn)所確定的拋物線來(lái)代替原來(lái)的曲線，顯然擬合效果比四邊形矩形單元的直邊好。3 .軸對(duì)稱單元與平面單元有哪些區(qū)別？ （

2、5分）答： 軸對(duì)稱單元是三角形或四邊形截面的空間的環(huán)形單元， 平面單元是三角形或四邊形平面單元； 軸對(duì)稱單元內(nèi)任意一點(diǎn)有四個(gè)應(yīng)變分量， 平面單元內(nèi)任意一點(diǎn)非零獨(dú)立應(yīng)變分量有三個(gè)。4 .有限元空間問(wèn)題有哪些特征？ （5分）答： （ 1 ）單元為塊體形狀。常用單元：四面體單元、長(zhǎng)方體單元、直邊六面體單元、曲邊六面體單元 、軸對(duì)稱單元。 （ 2 ）結(jié)點(diǎn)位移3 個(gè)分量。 （ 3 ）基本方程比平面問(wèn)題多。 3 個(gè)平衡方程， 6 個(gè)幾何方程， 6 個(gè)物理方程。5 .簡(jiǎn)述四節(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元的平面問(wèn)題分析過(guò)程。 （ 5）分）答： （ 1） 通過(guò)整體坐標(biāo)系和局部坐標(biāo)系的映射關(guān)系得到四節(jié)點(diǎn)四邊形等參單元的母單

3、元，并選取單元的唯一模式；（ 2 ） 通過(guò)坐標(biāo)變換和等參元確定平面四節(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元的幾何形狀和位移模式；（ 3 ） 將四節(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元的位移模式代入平面問(wèn)題的幾何方程， 得到單元應(yīng)變 分量的計(jì)算式，再將單元應(yīng)變代入平面問(wèn)題的物理方程，得到平面四節(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元的應(yīng)力矩陣；（ 4）用虛功原理求得單元?jiǎng)偠染仃?，最后用高斯積分法計(jì)算完成。二、論述題（3道，共計(jì)30分）。1 .簡(jiǎn)述四節(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元的平面問(wèn)題分析過(guò)程。（10分）答：（1）通過(guò)整體坐標(biāo)系和局部坐標(biāo)系的映射關(guān)系得到四節(jié)點(diǎn)四邊形等參單元的母單元，并選取單元的唯一模式；（2）通過(guò)坐標(biāo)變換和等參元確定平面四節(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元的幾

4、何形狀和位移模式；（3）將四節(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元的位移模式代入平面問(wèn)題的幾何方程，得到單元應(yīng)變分量的計(jì)算式，再將單元應(yīng)變代入平面問(wèn)題的物理方程，得到平面四節(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元的應(yīng)力矩陣；（4）用虛功原理求得單元?jiǎng)偠染仃嚕詈笥酶咚狗e分法計(jì)算完成。2 .軸對(duì)稱問(wèn)題的簡(jiǎn)單三角形單元是否是常應(yīng)力，常應(yīng)變？為什么？ （10分）答：不是常應(yīng)力和常應(yīng)變。因?yàn)閼?yīng)變與位移分量的關(guān)系式為 ：，這里除含有微分算符外，還包含了wrz的倒數(shù)項(xiàng)1/r ,則即使位移模式為線性的,但由于該項(xiàng)的存在，使得應(yīng)變與坐標(biāo)有關(guān),即不會(huì)是常應(yīng)變。應(yīng)力應(yīng)變的物理關(guān)系為D ,由于應(yīng)變不是常應(yīng)變,則所求得的應(yīng)力也不會(huì)是常應(yīng)力。3 .在薄板彎曲理論

5、中做了哪些假設(shè)？薄板單元和厚板單元的基本假設(shè)有什么 不同？ （ 10分）答：四種假設(shè)：1）變形前的中面法線在變形后仍為彈性曲面的法線。2）變形前后板的厚度不變。3）板變形時(shí)，中面無(wú)伸縮。4）板內(nèi)各水平層間互不擠壓。不同點(diǎn)：薄板單元假設(shè)橫向纖維無(wú)擠壓，板的中面法線變形后仍保持為直線，該直線垂直于變形后的中面， 但是厚板單元的假設(shè)考慮橫向變形的影響，板的中面法線變形后仍基本保持為直線，但該直線不再垂直于變形后的中面，法線繞坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)角不再 是撓度的導(dǎo)數(shù)，而是獨(dú)立的變量。三、計(jì)算題（3道,共計(jì)45 分）。1.如圖所示等腰直角三角形單元,其厚度為t ,彈性模量為E ,泊松比°；單元的邊長(zhǎng)及結(jié)

6、點(diǎn)編號(hào)見圖中所示。形函數(shù)矩陣N應(yīng)變矩陣B和應(yīng)力矩陣(12 分)單元?jiǎng)偠染仃嘖e解：設(shè)圖1所示的各點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)于是,可得單元的面積為形函數(shù)矩陣NiNiN為 4(0 a 工(0 a1 z 2 (a aax0g(ax(2)應(yīng)變矩陣-a點(diǎn) 3 (0, 0)1 (a, 0),點(diǎn) 2 (a, a),120a ,及2ay)B和應(yīng)力矩陣-aB212 a0gy)S分別為B31 2 a-a00IN1in2IN3N1N2N3-aB1 B2B3Sia1 a-a2-a ， S200與 0 a , S3 a1 a 02-a與0 a0(3)單元?jiǎng)偠染仃嘖eD B1B2SiS2S3K11 K12 K13e _ TK B DBt

7、A K21K22K23K31 K32 K33Et431113111102 020002 12010012000201110012.如圖所示的四結(jié)點(diǎn)矩形單元，求出節(jié)點(diǎn)3的位移。設(shè)厚度t = 1m,仙=0,為常量。(13分)注：對(duì)于四節(jié)點(diǎn)矩形單元有:1N11141N2114 1N3 - 1141N4 - 1141一 Ni -(1 i )(1 i ) (i 1,2,3,4)4kjk11k12k13ek14eTk21k22k23k24,kB D B tdxdyAk31k32k33k34k41k42k43k44T111BiD Bj tdxdy abt11 B D Bj d dA81Et2b a對(duì)于四節(jié)點(diǎn)

8、矩形單元有:(i,j 1,2,3,4)1N1- 1141N2 - 114- Ni 1(1 i )(1 i ) (i 1,2,3,4)14N3 - 1141N4114ek11k12k13k14e- T .k21k22k23k24B D B tdxdyAk31k32k33k34k41k42k43k44TkjBiD Bj tdxdyAabtD Bj dEt812b ia13ij1"(i,j1,2,3,4)ke ee，代入邊界條件國(guó)=1= 22= 2>=國(guó)=必=0,將對(duì)應(yīng)的行和列劃掉沒剩下的方程為:-P-P又Ni4(1)(1(i123,4),且1,31 , a=1,b=1所以k33所以

9、P3-P-PP3-P-P解得P38P5E3.有一如圖3(a)所示的剪力墻,墻頂作用豎向荷載P。將該剪力墻劃分為兩個(gè)三結(jié)點(diǎn)三角形常應(yīng)力單元，單元和結(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖3(b)所示，并將荷載P分成兩個(gè)P/2作用在3、4結(jié)點(diǎn)。已知單元厚度為t ,彈性模量為E,泊松比仙=1/3。求結(jié)點(diǎn)3和結(jié)點(diǎn)4的位移，以及單元的應(yīng)變和應(yīng)力。(20分)解：建立直角坐標(biāo)系(注Y軸向下為正)，單元i,j,m 對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)編號(hào)為 3,1,4 ,單元對(duì) 應(yīng)的節(jié)點(diǎn)編號(hào)為2,4,1 。對(duì)于單元：i(0,0),j(0,4),m(2,0)bi=yi-ym=4; bj=ym-yi=0 ; bm=yi-yj=-4ci=xm-xj=2; cj=xi-xm=-2 ; cm=xj-xi=0三角形面積A=1/2*2*4=44 00 0401幾何矩陣B=0 2020082 42 004彈性矩陣D=單元?jiǎng)偠染仃噆1EtW2)2(9 4(1 2() )1)4(3 2 )4(k2 k14(2(94(12(8161)8( ) )1)1)481)4(3 24(然后合成總剛8164(1)K。8(整體節(jié)點(diǎn)力矢量為F節(jié)點(diǎn)位移矢量為d2(1004()1)481)F1x1)1608(12(1004(1)F1yF2xU31608(1F2yV30U4V4F Kd,采用縮減矩陣法劃去位移為零的行與列，得2(9)Et04(3 2 )2一