線性代數(shù)課件：3-3 向量組的等價

1、定義.給定兩個向量組1212:,:, mtAB 如果 中的每個向量 都可由向量組線性表示，則稱向量組 可由向量組 線性表示，若向量組 與 互相可以線性表示，則稱向量組 與 等價.B(1,2, )iitb=LABAAABB向量組等價概念具有下列性質(zhì) （1）反身性：每個向量組與它自身等價. （2）對稱性：向量組 與 等價，則 與 等價.（3）傳遞性：向量組 與 等價且 與 等價，則 與 等價. BBAAAABBCC向量組的等價1231212123121311 ,0 ,1 ,3 ,3 ,0123,1,aaabbb ba a a-=問能否由表示。1112123122122313211232123(),

2、(),1213110021101330101101123001122111 ,22,12aaABXaaaaXa a ab bbaaa baaa=-=-=-+-= -+:記所以即1212,(5),(6)rmiiia aaaaaLL定義給定向量組如果它的一個部分組滿足如下條件： （1）向量組（6）線性無關； （2）向量組（5）中每個向量都可由向量組（6）線性表示. 則稱向量組（6）為向量組（5）的一個極大線性無關組.極大線性無關組例.求向量組123(1,0,0) ,(0,1,0) ,(0,0,1) ,TTTaaa=456(4,1,0) ,(0,4,1) ,(1,1,1)TTTaaa=的一個極大無關

3、組.解 顯然 線性無關，而該向量組中任意4個向量都線性相關，所以，向量組中任意一向量都可由 線性表示.由定義 ， 為向量組 的一個極大無關組.可以驗證 123,a a a123,a a a123,a a a126,.,a aa 也是原來向量組的一個極大無關組.456,a a a例.求全體 維向量構成的 向量組 的一個極大無關組.nnR解 ： 中單位坐標向量組nR而 中任一向量 都可表示為nR),(, 21naaaannaaaa2211n,21線性無關即 中任一向量都可由 線性表示，nRn,21n,21所以 為 的一個極大無關組.nR定理.如果向量組 可以由向量組r,21 線性表示，且 線性無關

4、，s,21r,21則. sr 證 假設 由已知條件知 中的每一個向量都可以表示為 的線性組合，即sr r,21s,21srsrrrsssskkkkkkkkk22112222121212121111Ksr),(),(2121即rsssrrkkkkkkkkkK212221212111其中00021212221212111rrsssrrxxxkkkkkkkkk因為方程組中方程個數(shù) 小于未知數(shù)個數(shù) 所以，方程組有非零解s, rrbbb,21rrbbb2211rrbbb2121),(rsbbbK2121),(1200(,)00sb bb= LM即存在不全為零的 個數(shù) 使rrbbb,2102211rrbb

5、b成立.所以向量組 線性相關，這與已知條r,21件中 線性無關矛盾，所以 r,21. sr 推論1 有如下向量組rA,:21sB,:21如果向量組 可由向量組 線性表示，且則向量組 必線性相關.ABsr A推論2 任意兩個線性無關的等價的向量組所含向量個數(shù)相同.證 設rA,:21sB,:21是兩個等價的線性無關的向量組，由推論1知. rssr 且. sr 所以推論3 在一個向量組中，它的任意兩個極大無關組所含向量個數(shù)相同.證 因向量組與它的極大無關組等價，由等價的傳遞性，向量組的任意兩個極大無關組等價，由推論2，向量組的任意兩個最大無關組所含向量個數(shù)相同.向量組的秩定義 一個向量組中，它的極大

6、線性無關組所含向量個數(shù)稱為向量組的秩.推論 兩個等價的向量組有相同的秩.證 設向量組 的秩為 向量組 的秩為 再取A,1rB,2r 的一個極大無關組 的一個極大無關組ABA ,11B顯然 與 等價， 與 等價.而 與 等價，AA1ABB1B由等價的傳遞性： 與 等價，再由推論2知：1A1B 與 所含向量個數(shù)相同，即向量組 與向量組1B1AA 的秩相同.B例 求向量組123(1,0,0) ,(0,1,0) ,(0,0,1) ,TTTaaa=45(1,1,1) ,(1,1,0)TTaa=的秩，并求出它的一個極大無關組.解 顯然， 線性無關， 中123,a a a12345,aaaaa任意一個向量都

7、可由 線性表示，由123,a a a定義， 為向量組的一個極大無關組，123,a a a且所給向量組的秩為3.推論 向量組 能由向量組sA,:21tB,:21線性表示，則),(21sR),(21tR向量組的秩與矩陣的秩的關系定義 矩陣 的行向量組的秩稱為 的行秩； 的列向量組的秩稱為 的列秩.AAAA定理 矩陣 的列秩等于 的行秩 等于 的秩.AAA解 將向量組 作為矩陣 的各個行123,aaaA105254321121A000032101121321032101121的秩為2，所以向量組 的秩為2.123,aaa例.求下列向量組的秩1(1,2,1,1),a=-2(2,3,4,5),a=-3(

8、2,5,0,1),a=-123451725230111,21406403121aaaaa-=解121304601421110325271AB00000011001213025271121304601421110325271例 求下列向量組的秩和一個極大無關組，并將其余的向量表示成極大無關組的一個線性組合.所以向量組 的秩為3.54321, 為所給向量組的一個極大無關組.321,繼續(xù)對 實施行變換化為規(guī)范的階梯形矩陣.00000011003131010313200100000011001103023071BA所以412351221113333 ，123412102 ,4 ,0 ,4 .1234a

9、aaa-= -=設求該向量組的秩和它的一個極大無關組，并將其余向量用該極大無關組表示。12341321413(),A1210120224040012 ,12340,000,.,2,22Aa a a aa aaa aaa=-=-:構造矩陣并對 作初等行變換，將其化為簡化的階梯性矩陣A=所以該向量組的秩為2，極大無關組為min ( ), ( ),Ar A r BmpBpn其中 為證明r(AB的矩陣，為)的矩陣12111212122212121211221212,(),(),(),1,2,()(,)(,),)(pij p nnnppppnnkkkpkpnpABbbbbbbbbbbAnrBbbbABBrkArr Aa aaa aag