2022年2022年九年級圓的基礎知識點、經典例題與課后習題

1、精選學習資料 - - - 歡迎下載圓【學問梳理】1. 圓的有關概念和性質1圓的有關概念圓： 平面上到定點的距離等于定長的全部點組成的圖形叫做圓,其中定點為圓心,定長為半徑?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧,簡稱弧, 大于半圓的弧稱為優(yōu)弧,小于半圓的弧稱為劣弧弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦,經過圓心的弦叫做直徑（2）圓的有關性質圓為軸對稱圖形；其對稱軸為任意一條過圓心的直線；圓為中心對稱圖形,對稱中心為圓心垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的弧推論：平分弦（不為直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的弧說明：依據垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說,假如具備：過圓心；垂直于弦

2、；平分弦；平分弦所對的優(yōu)??；平分弦所對的劣??；上述五個條件中的任何兩個條件都可推出其他三個結論；弧.半圓.優(yōu)弧.劣?。夯。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧,簡稱弧,用符號“”表示, 以 cd 為端點的弧記為“”,讀作“圓弧 cd”或“弧 cd”；半圓：直徑的兩個端點分圓成兩條弧,每一條弧叫做半圓；優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣??；為了區(qū)分優(yōu)弧和劣弧,優(yōu)弧用三個字母表示； 弧.弦.圓心角的關系：在同圓或等圓中,假如兩個圓心角,兩條弧,兩條弦中有一組量相等,那么它們所對應的其余各組量都分別相等推論：在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等；直徑所對的圓周角為直角； 90”的圓周角

3、所對的弦為直徑等圓：能夠完全重合的兩個圓叫做等圓,半徑相等的兩個圓為等圓；等?。涸谕瑘A或等圓中,能夠相互重合的弧叫做等??；圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.弦心距 :從圓心到弦的距離叫做弦心距.（3）對圓的定義的懂得 ：圓為一條封閉曲線,不為圓面；圓由兩個條件唯獨確定：一為圓心（即定點）,二為半徑（即定長）2. 與圓有關的角（1）圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角；圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（2）圓周角：頂點在圓上,兩邊分別和圓相交的角,叫圓周角；圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半（3）圓心角與圓周角的關系：同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓

4、周角等于它所對的圓心角的一半（4）圓內接四邊形：頂點都在圓上的四邊形,叫圓內接四邊形圓內接四邊形對角互補,它的一個外角等于它相鄰內角的對角3. 點與圓的位置關系及其數(shù)量特點：假如圓的半徑為r,點到圓心的距離為d,就點在圓上 <=> d=r;點在圓內 <=> d<r;點在圓外 <=> d>r.其中點在圓上的數(shù)量特點為重點,它可用來證明如干個點共圓,方法就為證明這幾個點與一個定點.的距離相等；4. 確定圓的條件 :1. 懂得確定一個圓必需的具備兩個條件:圓心和半徑 、圓心打算圓的位置 、半徑打算圓的大小 .經過一點可以作很多個圓、經過兩點也可以作很多

5、個圓、其圓心在這個兩點線段的垂直平分線上 .2. 經過三點作圓要分兩種情形:(1) 經過同始終線上的三點不能作圓. 2經過不在同始終線上的三點、能且僅能作一個圓 .定理: 不在同始終線上的三個點確定一個圓.3. 三角形的外接圓.三角形的外心.圓的內接三角形的概念:1三角形的外接圓和圓的內接三角形: 經過一個三角形三個頂點的圓叫做這個三角形的外接圓 、這個三角形叫做圓的內接三角形. 2三角形的外心 : 三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心.3三角形的外心的性質 :三角形外心到三頂點的距離相等.5. 直線與圓的位置關系1. 直線和圓相交.相切相離的定義:1相交: 直線與圓有兩個公共點時、叫做直線

6、和圓相交 、這時直線叫做圓的割線.2相切: 直線和圓有惟一公共點時、叫做直線和圓相切 、這時直線叫做圓的切線、惟一的公共點做切點 .3相離: 直線和圓沒有公共點時 、叫做直線和圓相離 .2. 直線與圓的位置關系的數(shù)量特點:設 o 的半徑為 r,圓心 o 到直線的距離為d；d<r <=>直線 l 和 o 相交.d=r <=>直線 l 和 o 相切.d>r <=>直線 l 和 o 相離.3. 切線的總判定定理 :經過半徑的外端并且垂直于這個條半徑的直線為圓的切線.4. 切線的性質定理 :圓的切線垂直于過切點的半徑.2精品學習資料精選學習資料 - -

7、- 歡迎下載推論 1 經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點.推論 2 經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心.分析性質定理及兩個推論的條件和結論間的關系、可得如下結論 :假如一條直線具備以下三個條件中的任意兩個、就可推出第三個 .垂直于切線 ;過切點 ;過圓心 .5. 三角形的內切圓.內心.圓的外切三角形的概念.和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓、內切圓的圓心叫做三角形的內心 、 這個三角形叫做圓的外切三角形.6. 三角形內心的性質 :1三角形的內心到三邊的距離相等.2過三角形頂點和內心的射線平分三角形的內角.由此性質引出一條重要的幫助線: 連接內心和三角形的頂點、該線平分三角形的這個內角

8、 .6. 圓和圓的位置關系 .1. 外離.外切.相交.內切.內含包括同心圓 這五種位置關系的定義 .1外離: 兩個圓沒有公共點 、并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時、叫做這兩個圓外離 .2外切: 兩個圓有惟一的公共點 、并且除了這個公共點以外、每個圓上的點都在另一個圓的外部時 、 叫做這兩個圓外切 .這個惟一的公共點叫做切點.3相交: 兩個圓有兩個公共點 、此時叫做這個兩個圓相交.4內切: 兩個圓有惟一的公共點 、并且除了這個公共點以外、一個圓上的都在另一個圓的內部時 、叫做這兩個圓內切 .這個惟一的公共點叫做切點.5內含: 兩個圓沒有公共點 、 并且一個圓上的點都在另一個圓的內部時、叫做這

9、兩個圓內含 .兩圓同心為兩圓內的一個特例.2. 兩圓位置關系的性質與判定:1兩圓外離<=> d>r+r2兩圓外切<=> d=r+r3兩圓相交<=> r-r<d<r+r r r4兩圓內切<=> d=r-r r>r5兩圓內含<=> d<r-r r>r3. 相切兩圓的性質 :精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載4. 相交兩圓的性質 :7. 圓內接四邊形假如兩個圓相切 、那么切點肯定在連心線上.相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載如四邊形的四個頂點都在同一

10、個圓上、這個四邊形叫做圓內接四邊形、這個圓叫做這個四邊形的外接圓.圓內接四邊形的特點 : 圓內接四邊形的對角互補;圓內接四邊形任意一個外角等于它的內錯角.8.弧長及扇形的面積1.圓周長公式 :圓周長 c=2r r 表示圓的半徑 2.弧長公式 :3精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載弧長 ln rr 表示圓的半徑 、 n 表示弧所對的圓心角的度數(shù)1803. 扇形定義 :一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形.4. 弓形定義 :由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形.弓形弧的中點到弦的距離叫做弓形高.5. 圓的面積公式 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載圓的面積

11、 sr2r 表示圓的半徑 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載6. 扇形的面積公式 :nr2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載扇形的面積s扇形r 表示圓的半徑 、 n 表示弧所對的圓心角的度數(shù)360精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載弓形的面積公式 :如圖 5abaooobab精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載c1當弓形所含的弧為劣弧時、s弓圖形 5cs扇形cs三角形精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2當弓形所含的弧為優(yōu)弧時、s弓形s扇形s三角形精

12、品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載3當弓形所含的弧為半圓時、s弓形1r22s扇形精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載4精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例題解析【例題 1】如圖 1, o 為abc 的外接圓, ab 為直徑,如等于（）boc80 ,就a精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a 60ob50oc40od30oadooacbcb圖 1圖 2圖 3【例題 2】如圖 2,以 o 為圓心的兩個同心圓中,大圓的弦ab 與小圓相切于點c,如大圓半徑為10cm,小

13、圓半徑為 6cm,就弦 ab 的長為cm【例題 3】如圖 3, abc內接于 o,ab=bc, abc=120°, ad為 o的直徑, ad6,那么 bd 【例題 4】如圖 4 已知 o的兩條弦 ac,bd相交于點 e, a=70o, c=50o,那么 sin aeb的值為（）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a. 1b.23c.32d.322精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載圖 4精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【例題 5】如圖 5,半圓的直徑 ab（ 1）求弦 ac 的長；10 ,點 c 在半圓上, bc6c精品學習資料精選學習資料 - -

14、- 歡迎下載（ 2）如 p 為 ab 的中點, pe ab 交 ac 于點 e,求 pe 的長e精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載5abp（圖 8）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載三.課堂練習1.如圖 6,在 o 中, abc=40°,就 aoc度精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載acobabcocs1s2ab精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載圖 6圖 7圖 82.如圖 7,ab 為 o 的直徑, ac 為弦,如 aco = 32°,就 cob 的度數(shù)等于3.已知 o 的直徑 ab=8cm,c 為 o 上的一點, bac=3

15、0o,就 bc= cm.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載4.如圖 8,已知在 rt abc 中,acbrt, ab4 ,分別以 ac , bc 為直精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載徑作半圓,面積分別記為s1 , s2 ,就s1 + s2 的值等于精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載5.如圖 9, o 的半徑 oa 10cm, p 為 ab 上一動點,就點p 到圓心 o 的最短距離為 cm；圖 96.如圖 10,在 o 中, acb= bdc=60°,ac=23cm ,（1）求 bac 的度數(shù)；（2）求

16、 o 的周長6精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載7.已知：如圖 11, o 的直徑 ab 與弦 cd 相交于,弧 bc弧 bd, o 的切線 bf 與弦 ad 的延長線相交于點f1求證:c d bf精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2連結 bc、如 o 的半徑為 4、cos3bcd=4、 求線段 ad.cd的長精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載8.如圖 12,在 abc 中,ab=bc ,以 ab 為直徑的 o與 ac 交于點 d,過d 作 dfbc,交 ab 的延長線于 e,垂足為 f1求證：直線 de 為 o 的切線；2當 ab=5 ,ac=8 時,求

17、cose 的值圖 12四.經典考題解析1. 如圖 13,在 o中,已知 a cb cdb60,ac 3,就 abc的周長為 .7精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載圖 13圖 14圖 152. “圓材埋壁”為我國古代九章算術中的問題：“今有圓材,埋在壁沖, 不知大小,以鋸鋸之,深一寸,鋸道長一尺,間徑幾何”用數(shù)學語言可表述為 如圖 14,cd為 o 的直徑,弦 abcd于點 e,ce1 寸, ab=10寸,就直徑 cd 的長為（）a 125 寸 b 13 寸c 25 寸 d 26 寸cd3. 如圖 15,已知 ab為半圓 o的直徑,弦 ad和 bc相交于點 p,那么ab 等于（）a

18、sin bpdbcosbpdc tan bpdd cot bpd4. o的半徑為 5,ab.cd為 o的兩條弦,且 abcd, ab=6, cd=8,求 ab 與 cd之間的距離5. 如圖 16,在 m中,弧 ab 所對的圓心角為1200,已知圓的半徑為2cm,并 建立如下列圖的直角坐標系,點c為 y 軸與弧 ab的交點；（ 1）求圓心 m的坐標；8精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（ 2）如點 d 為弦 ab所對優(yōu)弧上一動點,求四邊形acbd的最大面積yd精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載maob c圖 16x精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載五.課后訓練

19、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1. 如圖 17,在 o中,弦 ab=1.8cm,圓周角 acb=30 cm,就 o的直徑等于精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載圖 17圖 18圖 192. 如圖 18,c 為 o上一點, o為圓心如 c=35°,就 aob的度數(shù)為（）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a 35b 70c 105d150精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載3. 如圖 19, o內接四邊形 abcd中,ab=cd,就圖中和 1 相等的角有 4. 在半徑為 1 的圓中,弦 ab.ac分別為3 和2 ,就 bac的度數(shù)為多少？5

20、. 如圖 20,弦 ab的長等于 o的半徑, 點 c 在 o上,就 c 的度數(shù)為 .圖20圖21圖229精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載6. 如圖 21,四邊形 abcd內接于 o,如 bod=10°0 a50°b80°c 100°d130°,就 dab的度數(shù)為（）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載7. 如圖 22,四邊形 abcd為 o的內接四邊形, 點 e 在 cd的延長線上, 假如bod=12°0 ,那么 bce等于（）a 30°b60°

21、c90°d120°8. 如圖, o的直徑 ab=10,de ab于點 h,ah=2（ 1）求 de 的長；（ 2）延長 ed到 p,過 p作 o的切線,切點為c, 如 pc=22 5 ,求 pd的長精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載一.填空題：（21 分）九年級數(shù)學圓練習題精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1.如圖,在 o中,弦 ab oc,aoc115,就boc = 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2.如圖,在 o中, ab為直徑,c15,就bad = 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載3.如圖,點 o為abc 的外心,已

22、知aaoabd40 ,就acb = c精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ooco10aobabdbbc精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（1 題圖）（2 題圖）（3 題圖）（4 題圖）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載4.如圖, ab為 o的直徑,弧 bc=弧 bd,a25,就bod精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載caoaobboapbcd（5 題圖）（6 題圖）（7 題圖）5.如圖, o的直徑為 8,弦 cd垂直平分半徑 oa,就弦 cd6.已知 o的半徑為 2cm,弦 ab2cm, p 點為弦 ab上一動點,就線段op的范疇為7.如圖,在

23、o中, b=50o, c=20o,就 boc的= 二.解答題（ 70 分）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1.如圖,ab為 o的直徑 . 如 odac,與 bd么？的大小有什么關系？為什cd精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載boa精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2.已知：如圖,在 o中,弦 ab=cd求.證：弧 ac=弧 bd； aoc=bod精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載odacb11精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載3.如圖,已知： o中, ab.cb為弦, oc交 ab于 d,求證：（1） odb> obd,（ 2

24、） odb> obc；oadbc4.已知如圖, ab.ac為弦, omab于 m, onac于 n, mn為 abc的中位線嗎？amnob5.已知如圖, ab.cd為 o的直徑, df.be為弦,且 df=be,求證： d=bcafeobd6.已知如圖, ab為 o的直徑, c為 o上的一點, cdab于 d,ce平分 dco,交 o于 e,求證：弧 ae=弧 ebcadob12e精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載7.如圖,已知 abc,ac=3,bc=4, c=90°,以點 c為圓心作 c,半徑為 r .(1) 當 r 取什么值時,點 a.b 在 c外.(2) 當 r 在什么范疇時,點a 在 c內,點 b 在 c 外.2 當 r 在什么范疇時, c與線段 ab相切；acb三.運算以下各題： （ 40 分）1.如圖,已知 ab為 o的直徑, ac為弦, odbc交 ac于 d,od= 2cm,求