反三角函數(shù)與簡單三角方程

1、 1、反三角函數(shù)：概念：把正弦函數(shù)，時(shí)的反函數(shù)，成為反正弦函數(shù)，記作. ，不存在反函數(shù).含義：表示一個(gè)角；角；.反余弦、反正切函數(shù)同理，性質(zhì)如下表.名稱函數(shù)式定義域值域奇偶性單調(diào)性反正弦函數(shù)增奇函數(shù)增函數(shù)反余弦函數(shù)減非奇非偶減函數(shù)反正切函數(shù)R 增奇函數(shù)增函數(shù)反余切函數(shù)R 減非奇非偶減函數(shù) 其中： （1） 符號(hào)arcsinx可以理解為，上的一個(gè)角(弧度)，也可以理解為區(qū)間，上的一個(gè)實(shí)數(shù)；同樣符號(hào)arccosx可以理解為0，上的一個(gè)角(弧度)，也可以理解為區(qū)間0，上的一個(gè)實(shí)數(shù)； （2） yarcsinx等價(jià)于sinyx, y，, yarccosx等價(jià)于cosyx, x0, , 這兩個(gè)等價(jià)關(guān)系是解反

2、三角函數(shù)問題的主要依據(jù)； （3）恒等式sin(arcsinx)x, x1, 1 , cos(arccosx)x, x1, 1, arcsin(sinx)x, x，, arccos(cosx)x, x0, 的運(yùn)用的條件； （4） 恒等式arcsinxarccosx, arctanxarccotx的應(yīng)用。2、最簡單的三角方程方程方程的解集其中：（1）含有未知數(shù)的三角函數(shù)的方程叫做三角方程。解三角方程就是確定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集； （2）解最簡單的三角方程是解簡單的三角方程的基礎(chǔ)，要在理解三角方程的基礎(chǔ)上，熟練地寫出最簡單的三角方程的解； （3）要熟悉同名三角函數(shù)相等時(shí)角度

3、之間的關(guān)系在解三角方程中的作用； 如：若，則；若，則； 若，則；若，則； （4）會(huì)用數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)思想進(jìn)行含有參數(shù)的三角方程的解的情況和討論?！纠}精講】 例1. 分析與解： 例4. 分析與解： 例5. 分析與解： 例6.使成立的x的取值范圍是( ) 分析與解： 該題研究不等關(guān)系，故需利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，又因?yàn)榍髕的取值范圍，故需把x從反三角函數(shù)式中分離出來，為此只需對(duì)arcsinx，arccosx同時(shí)取某一三角函數(shù)即可，不妨選用正弦函數(shù)。 例7. 分析與解：這是三角函數(shù)的反三角運(yùn)算，其方法是把角化到相應(yīng)的反三角函數(shù)的值域內(nèi)。 例8. 求值：(1) (2) 分析：問題的關(guān)鍵是能認(rèn)清

4、三角式的含義及運(yùn)算次序，利用換元思想轉(zhuǎn)化為三角求值。 解： 例9.知函數(shù)（1）求函數(shù)的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間；（2）解不等式： 解：（1）由得 又的定義域?yàn)?，值域?yàn)橛謺r(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，從而遞增的單調(diào)遞增區(qū)間是，同理的單調(diào)遞減區(qū)間是（2）即 解不等式組得 不等式的解集為簡單的三角方程例1.寫出下列三角方程的解集(1); (2); (3)解集x|x=(k+arctg3)2，kZ例2.求方程在上的解集.說明  如何求在指定區(qū)間上的解集？(1)先求出通解，(2)讓k取適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，一一求出在指定區(qū)間上的特解，(3)寫指定區(qū)間上的解例3.解方程解：方程化為說明  可化為關(guān)于某一三

5、角函數(shù)的二次方程，然后按二次方程解例4. 解方程除以cos2x化為2tg2x-3tgx-2=0 說明  關(guān)于sinx，cosx的齊次方程的解法：方程兩邊都除cosnx(n=1，2，3，)(cosx=0不是方程的解)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于tgx的方程來解例5.解方程：(1) (2)思考：引入輔助角，化為最簡單的三角方程2x-30°=k180°+(-1)k30°x=k90°+(-1)k15°+15°(kZ)所以解集是x|x=k90°+(-1)k15°+15°，kZ于是x=k60°

6、+(-1)k10°+22°38，(kZ)原方程的解集為x|x=k60°(-1)k10°+22°38，kZ最簡單的三角方程例6.解方程解 原方程可化為 ，即 解這個(gè)關(guān)于的二次方程，得，由，得解集為；由，得解集為所以原方程的解集為說明方程中的可化為，這樣原方程便可看成以為未知數(shù)的一元二次方程，當(dāng)時(shí)，可用因式分解將原方程轉(zhuǎn)化成兩個(gè)最簡方程，從而求得它們的解【拓展提高】例1.若方程存在實(shí)數(shù)解，求的取值范圍解一 由原方程，得 ，即 解這個(gè)以為未知數(shù)的一元二次方程，因?yàn)橐狗匠逃薪?，只需解得所以的取值范圍為說明 有關(guān)三角方程的實(shí)數(shù)解問題，不僅要考慮以為未知

7、數(shù)的一元二次方程的，而且必須考慮的值在內(nèi)解二 由原方程得 ， 得因?yàn)?，所以所以的取值范圍為說明 當(dāng)方程有解時(shí)，必須滿足，則原題就轉(zhuǎn)化為求的最大值、最小值問題例2.求方程的解集解一由原方程得，得，由，得解集為；由，得解集為所以原方程的解集為解二由原方程得，即得或，即或，所以原方程的解集為解三由原方程得，即得或，即或，所以原方程的解集為說明 由于轉(zhuǎn)化方法的不同，所得解集的表達(dá)形式不同，通過驗(yàn)證這些解集是相等的集合對(duì)于兩個(gè)相等的同名三角函數(shù)所組成的三角方程，可直接利用以下關(guān)系得到方程的解（1），則或；（2），則或；（3），則【鞏固練習(xí)】反三角函數(shù)1.的值是 ( )A. B. C. D.2.下列關(guān)系式

8、中正確的是 ( )A. B. C. D.3.函數(shù)的定義域是 ( )A. B. C. D.4.在上和函數(shù)相同的函數(shù)是 ( )A. B. C. D.5.函數(shù)的反函數(shù)是 .6.求在上的反函數(shù).7.比較與的大小. 8.研究函數(shù)的定義域、值域及單調(diào)性.9.計(jì)算:10.求下列函數(shù)的定義域和值域： (1) yarccos; (2) yarcsin(x2x); (3) yarccot(2x1), 解：(1) yarccos, 0<1, x1, y0, ). (2) yarcsin(x2x), 1x2x1, x, 由于x21(x)2, 1x2x, yarcsin. (3) yarccot(2x1), 由于

9、2x1>1, 0< arccot(2x1)<, xR, y(0, ).11.求函數(shù)y(arccosx)23arccosx的最值及相應(yīng)的x的值。 解：函數(shù)y(arccosx)23arccosx, x1, 1, arccosx0, 設(shè)arccosxt, 0t, yt23t(t)2, 當(dāng)t時(shí),即xcos時(shí), 函數(shù)取得最小值， 當(dāng)t時(shí),即x1時(shí)，函數(shù)取得最大值23.簡單的三角方程1.解下列方程.(1) (2)(2)5x=2k+3x或5x=2k+-3x或2.方程sin2xsinx在區(qū)間(0, 2)內(nèi)的解的個(gè)數(shù)是 3個(gè) . 解：作出函數(shù)ysin2x和ysinx的圖象，由圖象知，它們的交點(diǎn)有3個(gè)。3.