倒煤臺問題1993B美賽 數(shù)學(xué)建模 西南財大培訓(xùn) 飛機裝卸問題解答

1、飛機裝卸問題分析摘要本文研究了在飛機裝卸與等待過程中有關(guān)費用最小化的問題。首先，在每天五點裝卸臺的初始狀態(tài)為裝滿，當(dāng)天工作不延遲到下一天的假設(shè)下建立了模型一。根據(jù)飛機到達(dá)時間服從均勻分布，得到各飛機等待時間的概率密度函數(shù)。分12種情況分別求出等待時間和工作時間的分段函數(shù)，并由此解得飛機的等待費用和工作組工作費用，其和即為總費用。機場工作方案為當(dāng)還在對前一架飛機進行裝貨時，后一架已經(jīng)到達(dá)，啟用第二個工作組；前一飛機裝滿離開后，裝卸臺所剩貨物已經(jīng)不足裝滿一架飛機，而在繼續(xù)向裝卸臺中裝貨時，后一架已經(jīng)到達(dá)，啟用第二個工作組；除此外用一個工作組?？傎M用為: 元。 而后，在模型一的基礎(chǔ)上，考慮實際情況受

2、前一天遲滯的影響，早上五點時裝卸臺不一定滿，放寬當(dāng)天工作不延遲到下一天的假設(shè)。且原方案中啟用第二個工作組的時刻不能使總費用最低，因此建立計算機隨機數(shù)模擬優(yōu)化模型，尋找啟用第二個工作組的最佳時刻，使總費用最低。利用計算機隨機模擬，找出當(dāng)裝卸臺需要單位貨物才能裝滿，當(dāng)天還有架飛機還未到達(dá)時，能使總費用最小，啟用第二個工作組的時刻，即為機場工作方案。工作方案為同時有兩架或三架飛機時，先到先裝，裝滿才裝下一架。在時刻，機場無飛機等待，裝卸臺需要單位貨物才能裝滿，當(dāng)天還有架飛機還未到達(dá)，有時刻，當(dāng) 時用一組工人工作，當(dāng)時用兩組工人工作。具體數(shù)值見表3，總費用為9112.3萬元。關(guān)鍵詞 計算機模擬 優(yōu)化問

3、題 一、問題重述航空貨運已是物流的一個重要組成部分。成都機場某公司經(jīng)營機場某一貨物裝卸臺，當(dāng)貨機到達(dá)時，貨物通過裝卸臺吊裝到飛機上。一架貨機要用3小時裝滿，而裝卸臺的容量是一架半貨機。每天，運輸部門向這個裝貨設(shè)施發(fā)送三架貨機，貨機到達(dá)時間不確定。這些貨機在上午5點到下午8點的任何時間內(nèi)到達(dá)。如果一貨機到達(dá)后因等待裝貨而停滯在那里（即處于等待服務(wù)狀態(tài)）的話，機場要征收停機費15000元/小時架。一個裝貨工作組要用6個小時用裝卸車把空的裝卸臺裝滿。這個工作組的費用是每小時9000元?？梢哉{(diào)用第二個工作組及其裝卸車來提高裝貨速度，而費用為每小時12000元，出于安全的原因，當(dāng)往裝卸臺裝貨時，不能往貨

4、機上裝貨。每當(dāng)由于往裝卸臺裝貨而中斷往貨機上裝貨時，就要征收停機費。如果你是公司的管理者，你將如何進行安排。注意：你們的分析至少應(yīng)包括考慮以下的問題：1、建立合理的裝貨安排模型來選擇最佳方案使費用少？ 2、必要的結(jié)果，比如：最佳方案，年預(yù)期開支（預(yù)期開支是指工作組的費用與停機費的總和）3、用計算機模擬的方法檢驗?zāi)銓栴}的分析和結(jié)果。二、模型假設(shè)1飛機需裝滿才能起飛。2. 增加一個工作組參與裝卸能使裝卸速度提高一倍。3. 飛機到達(dá)機場后直接進行裝卸，不考慮維修，加油等時間。 三、符號說明 第一和第二架飛機到達(dá)的時間差； 第二架飛機的等待時間的密度函數(shù)； 第二和第三架飛機到達(dá)的時間差； 第三架飛機

5、的等待時間的密度函數(shù)； 第二架飛機等待時間； 第三架飛機等待時間； 總費用； 工人的裝卸費用； 飛機的等待費用； 機場無飛機等待的時刻，； 當(dāng)天未到飛機數(shù)，； 裝卸臺的剩余容量，以每小時向飛機搬運的貨物量為單位，； 使用一個工作組事件； 使用兩個工作組事件； 使用一個工作組的概率； 使用兩個工作組的概率； 從一個工作組轉(zhuǎn)為用兩個工作組的時刻，此時還有架飛機未到，裝卸臺還有單位貨物未裝滿； 工人給裝卸臺裝貨的速度， 當(dāng)天未到的架飛機均在后到達(dá)的概率； 當(dāng)天未到的飛機中至少有一架在時刻之前到達(dá)的概率； 當(dāng)天第一架飛機到達(dá)時刻； 當(dāng)天第一架飛機到達(dá)時刻； 當(dāng)天第一架飛機到達(dá)時刻； 前一天第三架飛機到

6、達(dá)時刻；四、問題求解4.1 模型一建立與求解 4.1.1模型一建立（1）飛機裝卸規(guī)則（方案）每天五點裝卸臺滿貨，每天獨立；時間是連續(xù)的；當(dāng)還在對前一架飛機進行裝貨時，后一架飛機已經(jīng)到達(dá)，啟用第二個工作組；證明如下：設(shè)在a機裝機過程中b機到達(dá)，等待a機飛走的時間為，此時裝卸臺上的貨物量為（用一個工作組一小時裝飛機工作量為單位，）。則a機飛走后，用一個工作組裝裝卸臺產(chǎn)生的裝卸費和等待費用為： ， 1-（1）用兩個工作組裝裝卸臺產(chǎn)生的裝卸費和等待費用為：1-（2）兩式相減可得： ， 1-（3）在條件下，必有，即用兩個工作組總費用更小。前一架飛機裝滿貨離開后，裝卸臺所剩的貨物已經(jīng)不足裝滿一架飛機，后一

7、架飛機已經(jīng)到達(dá)，啟用第二個工作組。（2）模型建立 設(shè)三架飛機到達(dá)的時間分別為， 則第一和第二架飛機到達(dá)的時間差為： ， 1-（4） 第二三架飛機達(dá)到的時間差為： ， 1-（5） 設(shè)為第二架飛機等待時間，為第三架飛機等待時間，且滿足在間的獨立的均勻分布。則第二架飛機的等待時間的密度函數(shù)為： ， 1-（6）其中為第一和第二架飛機到達(dá)的時間差，為第二架飛機的等待時間的密度函數(shù)。 第三架飛機的等待時間的密度函數(shù)為： ， 1-（7） 其中為第二和第三架飛機到達(dá)的時間差，為第三架飛機的等待時間的密度函數(shù)。 則可計算第二架飛機等待時間，現(xiàn)取其期望得： ， 1-（8）其中為第二架飛機等待時間，為第二架飛機的等

8、待時間的密度函數(shù)。同理第三架飛機等待時間的期望為： ， 1-（9）其中為第三架飛機等待時間，為第三架飛機的等待時間的密度函數(shù)。由于假設(shè)每天五點裝卸臺初始量為滿，因此第一架飛機的等待時間必定為0?？偟却龝r間： ， 1-（10）4.1.2模型求解 （1）求解等待時間和費用現(xiàn)需求出第二架飛機等待時間以及第三架飛機等待時間的分布函數(shù)和期望，用MATLAB編程求解，算法如下，程序見附錄1：Step 1：運用matlab中int函數(shù)求積分，求出第二架飛機等待時間的期望值；Step 2：將各值賦給a，輸出矩陣a；Step 3：運用matlab中int函數(shù)求積分，求出第三架飛機等待時間的期望值；Step 4：

9、將各值賦給b，輸出矩陣b。其分段函數(shù)和每段概率表示如下表（表1）：表1 飛機等待時間表條件1第二駕飛機等待的時間第一架飛機等待時間的期望條件2第三架飛機的滯期時間第二架飛機等待時間的期望000000且000000而總的滯期時間為： 1-（11）（2）求解工作費用各組的工作時間表達(dá)式見下表（表2）：表2 工作時間表條件1第二架飛機開始裝貨前只用第一工作組工作的時間第二架飛機開始裝貨前兩組工作組工作的時間條件2第二架飛機離開后第三架飛機開始裝貨前只用第一工作組工作的時間第二架飛機離開后第三架飛機開始裝貨前兩組工作組工作的時間010240024000且0400120而工作費用為： 1-（12）利用M

10、ATLAB編程，算法如下，程序見附錄2Step1: 分別用matlab中int函數(shù)求積分求出一個裝卸工作組工作時間，兩個裝卸工作組工作時間；Step2: 分別求和再乘以各自工作組的工作費用求得一天費用總和。得： 1-（13）綜上求得機場工作方案為：當(dāng)還在對前一架飛機進行裝貨時，后一架飛機已經(jīng)到達(dá)，啟用第二個工作組；前一架飛機裝滿貨物離開后，裝卸臺所剩的貨物已經(jīng)不足裝滿架飛機，而在繼續(xù)向裝卸臺中裝貨時，后一架飛機已經(jīng)到達(dá)，啟用第二個工作組。4.2模型二建立4.1.1 模型一局限 上述模型一有以下局限：（1） 每天早上5點裝卸臺已滿的假設(shè)不合理；（2） 沒有考慮第一天的飛機裝卸工作延遲到第二天，對

11、第二天工作的影響；（3） 飛機到達(dá)后開始轉(zhuǎn)為用第二個工作組并不能保證這樣能使裝卸費用和飛機等待費用最小；故在模型一的基礎(chǔ)上優(yōu)化建立模型二，找出由一個工作組轉(zhuǎn)為兩個工作組時刻。4.1.2 模型二建立思路 模型目標(biāo)是設(shè)計機場工作方案使得飛機裝卸費用和等待費用最小。為保證費用最小，需找出由一個工作組轉(zhuǎn)為兩個工作組的時刻。因飛機的到達(dá)時間機場工作人員不可預(yù)測，不能將其作為安排工作的條件，故選用裝卸臺剩余容量和每天飛機未到架數(shù)作為自變量。對此建立轉(zhuǎn)換時刻和這兩個變量的函數(shù)關(guān)系，列出費用表達(dá)式。用計算機模擬找出費用最小的方案，即為最佳方案。4.1.3 模型二（1）目標(biāo)函數(shù) 目標(biāo)是使得總花費最小?？偦ㄙM分為

12、飛機等待費用和裝卸費用，故有： ， 2-（1）其中表示總費用，表示工人的錢裝卸費用，表示飛機的等待費用。 （2）飛機裝卸規(guī)則對任意一架飛機，在其裝機過程中有其余飛機到達(dá)，在該機飛走后，用兩個工作組裝裝卸臺。同時有兩架或三架飛機時，先到先裝，裝滿才裝下一架。在時刻，機場無飛機等待，裝卸臺需要單位（以每小時向飛機搬運的貨物量為單位，）貨物才能裝滿，當(dāng)天還有架飛機還未到達(dá)，他們到達(dá)的時刻相互獨立地服從的均勻分布。則存在時刻，方案要求在時用一組工人，時用兩組工人。 證明如下：設(shè)用一個工作組為事件，用兩個工作組為事件，表示用一個工作組的概率，表示用兩個工作組的概率。無飛機在機場等待且裝卸臺不滿時，有：

13、， 2-（2）其中表示機場無飛機等待的時刻，表示裝卸臺的剩余容量（以每小時向飛機搬運的貨物量為單位，），表示用一個工作組的概率，表示用兩個工作組的概率。定義存在時刻，使得：， 2-（3）在，給定時，是關(guān)于的增函數(shù)，是關(guān)于的減函數(shù)，即隨時時間的推移，為了使當(dāng)天的任務(wù)盡量完成，使用兩個工作組的概率增大，使用一個組的概率減小。則方案要求在時用一組工人，時用兩組工人最優(yōu)。每天未到飛機數(shù)隨著時間增加是減少的，故易得： ， 2-（4）（3）縮小搜索范圍現(xiàn)縮小的范圍。在時刻機場無飛機等待，且裝卸臺有單位貨物待裝。定義工人給裝卸臺裝貨的速度為單位/小時，以一個工作組每小時向飛機搬運的貨物量為單位，即飛機的容量

14、為3單位，裝卸臺的容量為4.5單位，則： ， 2-（5）定義事件為當(dāng)天未到的架飛機均在，即時刻之后到達(dá)，事件為未到的飛機中至少有一架在，即時刻之前到達(dá)。對于事件，一個工作組就可在時刻裝滿工作臺，不增加飛機的等待時間，為使費用最少，所以。這時用一個工作組工作，有： ， 2-（6）對于事件，飛機最晚到達(dá)的時刻恰好能夠滿足兩個工作組將裝卸臺填滿，故時刻開始兩個工作組一起工作，使最早到達(dá)的那架飛機等待時間最短，則費用最少，所以。這時用兩個工作組工作, 有：， 2-（7）故有：， 2-（8）其中表示機場中無飛機等待的時刻，表示當(dāng)天未到的架飛機均在后到達(dá)的概率，表示用一個工作組的概率，表示未到的飛機中至少

15、有一架在時刻之前到達(dá)的概率。對于，當(dāng)時，因每天的飛機必會在晚上8點前到達(dá)機場，故為0；時，因飛機到達(dá)時刻滿足的均勻分布，故可由時間長之比求得。所以有：， 2-（9） 其中表示機場中無飛機等待的時刻，表示當(dāng)天未到的架飛機均在后到達(dá)的概率，表示裝卸臺的剩余容量（以每小時向飛機搬運的貨物量為單位），表示當(dāng)天未到飛機數(shù)，。對于，當(dāng)時，即，此時飛機是在時刻之前到達(dá)，不滿足假設(shè)，故為0；當(dāng)時，即，因飛機到達(dá)時刻滿足的均勻分布，故可由時間長之比求得。所以有： ， 2-（10） 其中表示機場中無飛機等待的時刻，表示當(dāng)天未到的架飛機均在后到達(dá)的概率，表示裝卸臺的剩余容量（以每小時向飛機搬運的貨物量為單位），表示

16、當(dāng)天未到飛機數(shù)，。 設(shè)：滿足， 2-（11）滿足， 2-（12） 則有，分別為的上下限，即：， 2-（13） 其中 表示將一個工作組換成兩個工作組的時刻。綜上，對于任意給定的，都可通過上述（9），（10），（11），（12），（13）公式解得 的范圍，即縮小范圍模型為： 2-（14）（4）費用公式 總費用分為飛機等待費用和工人裝卸費用。即： ， 2-（15） 其中表示總費用，表示工人的裝卸費用，表示飛機的等待費用。 對于工人的裝卸費用，因飛機的裝卸工作有延遲到第二天完成的可能，故工人需時刻盡量使裝卸臺裝滿以減少未到飛機的等待時間。由以上可知機場安排工作組的決策按照，進行，在之前使用一個工作組工

17、作，在之后使用兩個工作組工作。設(shè)分別為當(dāng)天第一架飛機，第二架飛機，第三架飛機到達(dá)機場的時間，為前一天第三架飛機到達(dá)時刻。故有： ， 2-（16） 其中為一個工作組換位兩個工作組的時刻。 對于飛機等待費用，當(dāng)裝卸臺上貨物量能滿足一架飛機所需的貨物時，飛機無等待費用，當(dāng)無法滿足時，飛機產(chǎn)生等待費用，等待時間為工作組將裝卸臺裝至能滿足飛機需要的時間。故有：， 2-（17）其中分別為當(dāng)天第一架飛機，第二架飛機，第三架飛機到達(dá)機場的時間，為裝卸臺剩余容量，為一個工作組換位兩個工作組的時刻。（5）總模型綜上所述，建立計算機模擬優(yōu)化模型。模型如下：給定一離散的，；由縮小范圍模型找出的范圍；用計算機模擬不同的

18、時間點，最小化總費用，分別找出三種未到飛機數(shù)費用最少的三個時刻，；重復(fù)上述13步驟，找出對于每個和對應(yīng)的費用最小的點；則所有的即為機場的決策函數(shù)。4.1.4 模型二求解利用MATLAB軟件編程求解，算法如下，程序見附錄3：Step1：定義裝卸臺剩余容量，因為裝卸臺最大容量為4.5，屬于0到4.5之間；Step2：初始值定為0.1，每次循環(huán)加上0.1；Step3：分別定義、為還有三架飛機、兩架飛機、一架飛機未到達(dá)時，啟用第二個工作組的時間點，、與相關(guān)；Step4：將、分別以1為步長在時間5到20之間循環(huán)；Step5: 用計算機隨機生成三架飛機到達(dá)時間x、y、z；Step6：根據(jù)啟動第二組時間、以

19、及飛機到達(dá)時間x、y、z可以求出一天內(nèi)飛機的等待費與貨物裝卸費之和Step7：找到每天最小費用，記錄下此；時的以及與之對應(yīng)的、Step8：加上0.1，再重復(fù)Step3Step7；Step9：求出最小費用的平均值，乘以一年的天數(shù)得到一年的費用模擬值。結(jié)果為見下表（表3）：表3 模型二方案表Q0.10.20.30.40.50.60.70.80.911.11.21.31.41.5t(Q,3)121591310118910101311989t(Q,2)161512141114121214141314131215t(Q,1)201820191718181918181816181818Q1.61.71.8

20、1.922.12.22.32.42.52.62.72.82.93t(Q,3)58138106689897887t(Q,2)13121314101013111412101391010t(Q,1)161617171716171816151716171414Q3.13.23.33.43.53.63.73.83.944.14.24.34.44.5t(Q,3)677855867866766t(Q,2)111011129696811896710t(Q,1)161614151413161114131513141414機場根據(jù)裝卸臺剩余容量，和未到飛機數(shù)，選擇符合此時條件的時刻將一個工作組變?yōu)閮蓚€工作組工作。

21、 用計算機模擬得到總費用為9112.3萬元 。五、模型評價5.1 模型優(yōu)點（1）本文先從簡單的角度著手建立模型，然后放寬限制條件建立更嚴(yán)密的模型。過程嚴(yán)謹(jǐn)，理論性強，邏輯嚴(yán)密，而且易于理解。（2）本文大量運用了計算機程序，所有數(shù)據(jù)均由計算機處理，故誤差由計算機精度產(chǎn)生，模型據(jù)有良好的穩(wěn)定性。5.2 模型不足 沒有從理論上證明模型的最優(yōu)性，同時要得到更好的結(jié)果，計算量較大。六、參考文獻(xiàn)1 韓中庚，數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用M，北京：高等教育出版社，20052 韓中庚，數(shù)學(xué)建模競賽獲獎?wù)撐木x與點評，北京：科學(xué)出版社，20073 姜啟源，數(shù)學(xué)模型（第二版），北京：高等教育出版社，19924 韓中庚，數(shù)學(xué)

22、建模方法及其應(yīng)用，北京：高等教育出版社，2005.65 謝金星，優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件，北京：清華大學(xué)出版社，2005.76 李尚任，數(shù)學(xué)建模競賽教程，南京：江蘇教育出版社，1996.06七、附錄7.1模型一等待時間MATLAB程序syms t;a(1)=int(1/15*(4-t),0,3);a(2)=int(1/15*(5-t)/2,3,5);a(3)=int(1/15*0*t,5,7);a(4)=int(1/15*0*t,7,15);asyms x y;b(1)=int(int(9-x-y)/112.5,y,0,7-x),x,0,3);b(2)=int(int(11-x-y

23、)/2/112.5,y,7-x,11-x),x,0,3);b(3)=int(int(15-x-2*y)/2/112.5,y,0,5.5-x/2),x,3,5);b(4)=int(int(19-x-2*y)/4/112.5,y,(11-x)/2,(19-x)/2),x,3,5);b(5)=int(int(15-x-2*y)/2/112.5,y,0,3),x,5,7);b(6)=int(int(12+x+y)/2/112.5,y,3,12-x),x,5,7);b(7)=int(int(4-y)/112.5,y,0,3),x,7,15);b(8)=int(int(5-y)/2/112.5,y,3,5

24、),x,7,15);b 7.2模型一工作費用MATLAB程序clearclcsyms t;a1(1)=int(1/15*0*t,0,3);a1(2)=int(1/15*(t-3),3,5);a1(3)=int(1/15*(t-3),5,7);a1(4)=int(4/15+0*t,7,15);a1; a2(1)=int(1/15*t,0,3);a2(2)=int(1/15*(5-t)/2,3,5);a2(3)=int(1/15*0*t,5,7);a2(4)=int(1/15*0*t,7,15);a2; syms x y;b1(1)=int(int(0*x*y,y,0,7-x),x,0,3);b1

25、(2)=int(int(x+y-7)/112.5,y,7-x,11-x),x,0,3);b1(3)=int(int(4/112.5+0*x*y,y,11-x,15),x,0,3);b1(4)=int(int(0*x*y,y,0,5.5-x/2),x,3,5);b1(5)=int(int(2*y+x-11)/2/112.5,y,(11-x)/2,(19-x)/2),x,3,5);b1(6)=int(int(4/112.5+0*x*y,y,(19-x)/2,15),x,3,5);b1(7)=int(int(0*x*y,y,0,3),x,5,7);b1(8)=int(int(y-3)/112.5+0

26、*x,y,3,12-x),x,5,7);b1(9)=int(int(5-x)/112.5+0*y,y,0,12-x),x,5,7);b1(10)=int(int(0*x*y,y,0,3),x,7,15);b1(11)=int(int(y-3)/112.5+0*x,y,3,5),x,7,15);b1(12)=int(int(2/112.5+0*x*y,y,5,15),x,7,15);b1; b2(1)=int(int(2/112.5+0*x*y,y,0,7-x),x,0,3);b2(2)=int(int(11-x-y)/2/112.5,y,7-x,11-x),x,0,3);b2(3)=int(i

27、nt(0*x*y,y,11-x,15),x,0,3);b2(4)=int(int(2/112.5+0*x*y,y,0,5.5-x/2),x,3,5);b2(5)=int(int(19-x-2*y)/4/112.5,y,(11-x)/2,(19-x)/2),x,3,5);b2(6)=int(int(0*x*y,y,(19-x)/2,15),x,3,5);b2(7)=int(int(9-x)/2/112.5+0*y,y,0,3),x,5,7);b2(8)=int(int(12-x-y)/2/112.5,y,3,12-x),x,5,7);b2(9)=int(int(0*x*y,y,0,12-x),x,5,7);b2(10)=int(int(1/112.5+0*x*y,y,0,3),x,7,15);b2(11)=int(int(5-y)/2/112.5+0*x,y,3,5),x,7,15);b2(12)=int(int(0*x*y,y,5,15),x,7,15); b2; s=900