賈善毅畢業(yè)論文513改

1、本科生畢業(yè)論文（申請(qǐng)學(xué)士學(xué)位）論文題目作者姓名專業(yè)名稱指導(dǎo)教師二階變系數(shù)線性微分方程的解法賈善毅數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（專升本）許志才/張玲2014年6月學(xué)生：（簽字）學(xué)號(hào)：2012220141論文答辯日期：2014年x月xx日指導(dǎo)教師：（簽字）toc387085409摘要：1abstract:11緒論11.1微分方程的發(fā)展和應(yīng)用11.2二階變系數(shù)線性常微分方程的重要性21.3本文的研究?jī)?nèi)容及意義22二階變系數(shù)線性微分方程特、通解與系數(shù)的關(guān)系22. 1基本概念22. 2高階線性齊次微分方程32. 3二階變系數(shù)線性齊次微分方程的解法62.4二階變系數(shù)線性微分方程的求解定理82.5二階變系數(shù)線性微分方程特

2、解、通解與系數(shù)的關(guān)系102.6二階變系數(shù)微分方程可積的條件12結(jié)論16參考文獻(xiàn)16致謝17二階變系數(shù)線性微分方程的解法扌商要：我們所學(xué)習(xí)的微分方程在數(shù)學(xué)理論中占有重耍地位，在科學(xué)研究、工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng) 用。這篇文章主要研究了二階變系數(shù)線性微分方程的幾種求解方法。首先介紹了微分方程的發(fā)展和 應(yīng)用，以及它在生活中的重要性和研究的內(nèi)容及意義。然后闡述了二階變系數(shù)線性微分方程的基木 概念，隨后具體詳細(xì)的給出了二級(jí)變系數(shù)線性微分方程的解法，求解定理和它們跟特解、通解與系 數(shù)的關(guān)系，最后講述了可積的條件。關(guān)鍵詞：變系數(shù)；二階變系數(shù)線性微分方程；通解；特解solve for varied coeffi

3、cient second orderliner differential equationabstract： differential equations plays an important role in the mathematical theory, which has been widely used in scientific research, engineering and technology. in this article, we mainly study several methods for solving the second order linear differ

4、ential equation with variable coefficients. at first, we introduces the development and application of differential equations, and its importance in life and the research content and significance. and then we introduce the basic concepts of second order linear differential equation with variable coe

5、fficients, and then we give solution of second order linear differential equation with variable coefficients, and their solving theorem, the relations of special solution, general solution and coefficient in detail. finally we give the integrable condition of second order linear differential equatio

6、n with variable coefficients.key words： varied coefficient; second order linear differential equation with variable coefficients; general solution ; special solution1緒論1.1微分方程的發(fā)展和應(yīng)用數(shù)學(xué)分析中所研究的函數(shù)，是反映客觀現(xiàn)實(shí)世界運(yùn)動(dòng)過程中雖與量z間的一種關(guān)系。但是在人 量的實(shí)際問題中遇到稍微復(fù)雜的一些運(yùn)動(dòng)過程時(shí)，反映運(yùn)動(dòng)規(guī)律量與量z間的關(guān)系往往不能直接寫 出來，卻比較容易的建立這些變雖和它們的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系式。這種聯(lián)系著自

7、變雖、未知函數(shù)及它的 倒數(shù)的關(guān)系式，數(shù)學(xué)上稱為微分方程叮。微分方程是研究自變量、未知函數(shù)及它的導(dǎo)數(shù)z間的關(guān)系 的數(shù)學(xué)科學(xué)。它是伴隨著微積分的產(chǎn)生和發(fā)展而形成的一門歷史悠久的學(xué)科，至今已冇300多年的 歷史了。微分方程來源于生產(chǎn)實(shí)踐，研究微分方程的冃的就在于學(xué)握它所反映的客觀規(guī)律，能動(dòng)的解釋 所出現(xiàn)的各種現(xiàn)象并預(yù)測(cè)未來的可能情況。常微分方程是研究自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的事物、物體 和現(xiàn)象運(yùn)動(dòng)、演化和變化規(guī)律的敲為基木的數(shù)學(xué)方法。牛頓在研究天體力學(xué)和經(jīng)典力學(xué)的時(shí)候，利 用了微分方程這個(gè)工具，證實(shí)了地球繞太陽的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)橢圓，從理論上得到了行星運(yùn)動(dòng)的規(guī) 律。此后，法國(guó)天文學(xué)家勒維烈利用微分方程計(jì)算

8、出海王星的位置，這些都是表面微分方程在自然 科學(xué)領(lǐng)域和社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。在常微分方程發(fā)展的初期，人們主要是針對(duì)各種實(shí)際問題列出方程，用積分得方法求其準(zhǔn)確的 解析表達(dá)式，也就是初等積分法。這種方法一直沿用到i 九世紀(jì)中期，直到法國(guó)數(shù)學(xué)家劉維爾與1841 年在他的一篇論文中提到大多數(shù)常微分方程不能用初等積分法求解，由此促使人們放棄這種方法。 從此常微分方程進(jìn)入了基礎(chǔ)定理和新型方法的研究階段。隨著科學(xué)的發(fā)展和社會(huì)的進(jìn)步，常微分方程在越來越多的領(lǐng)域內(nèi)冇著重要的作用，例如化學(xué)， 生物學(xué)，自動(dòng)控制，電子技術(shù)等，都提出了大量的微分方程問題，同樣在社會(huì)科學(xué)的領(lǐng)域也存在著 微分方程問題。此外，微分方程

9、與數(shù)學(xué)的其他分支的關(guān)系也是非常密切的，他們往往互相聯(lián)系，互相促進(jìn)，例 如兒何學(xué)就是常微分方程理論的豐富源泉z和冇力工具，對(duì)微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響。 反過來，微分方程進(jìn)一步發(fā)展的需要，也推動(dòng)著其他數(shù)學(xué)分支的發(fā)展。滁州學(xué)院木科畢業(yè)論文1.2二階變系數(shù)線性常微分方程的重要性常微分方程作為其他自然科學(xué)和偏微分方程的基礎(chǔ)，一直以來受到很多學(xué)者們的重視，許多學(xué) 者發(fā)表了相關(guān)著作和論文，從而使微分方程的理論發(fā)展到比較完善的程度。眾所周知，所冇的常系數(shù)一階、二階微分方程都是可解的，而變系數(shù)二階線性微分方程卻很難 解。二階變系數(shù)齊次線性微分方程，如能知道它的一個(gè)非零特解，則可利用降階法求得與它線性無 關(guān)

10、的另一個(gè)特解；對(duì)于非齊次線性微分方程，只需要再運(yùn)用常數(shù)變異法求出它的一個(gè)特解，問題就 解決了。因此，問題的關(guān)鍵就在于尋找齊次線性微分方程的一個(gè)非零特解。所以二階變系數(shù)線性微 分方程的求解在微分方程理論中冇著十分重要的地位，尋求一種簡(jiǎn)便的計(jì)算方法是完全冇必要的。1.3本文的研究?jī)?nèi)容及意義二階變系數(shù)線性微分方程解法的基本理論已發(fā)展到了一定程度，很多研究者也提出了很多不同 的特殊方法解決一些具體特殊的變系數(shù)方程。論文正是在通過對(duì)有關(guān)二階變系數(shù)微分方程的教材和文獻(xiàn)的研究，總結(jié)了前人的成果，從本質(zhì) 上闡述了二階變系數(shù)線性微分方程解法的基木思想和步驟。2二階變系數(shù)線性微分方程特、通解與系數(shù)的關(guān)系2.1基本

11、概念如果在微分方程中，自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，我們稱這種方程為常微分方程。若”（兀）、9（兀）為連續(xù)非常數(shù)的函數(shù)，方程yw4- p（x）yq（x）y = f（x）則稱為二階變系數(shù)線性微分方程。其屮卩（兀）、譏兀）及/（兀）都是某區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。如果 /（尤）恒等于零，那么該方程稱為二階變系數(shù)齊次線性微分方程；如果/（兀）非恒等于零，那么該方程稱為二階變系數(shù)非齊次線性微分方程。我們把含有2個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)c, c2的解y =(p(x,c,c2)稱為二階方程i dx dlx dx、 ay a y dy=0的通解。為了確定微分方程的一個(gè)特定的解，我們通常給出這個(gè)解所必須的條件這就是所謂的定解 條件，

12、常見的定解的條件是初值條件和邊值條件。2.2高階線性齊次微分方程考慮正規(guī)形n階線性微分方程)2)+ p,(x)y(n_,) + pf)my = q(x)(2.2.1)其中a(x)(z = 1,2l比)及q(x)在區(qū)間d,b上連續(xù)。若q(x) = 0 ,則微分方程(2.2.1)變?yōu)閖(n) + 門(x) y 57 + + pn (x)y = q(2.2.2)我們稱方程(2.2.2)為階線性齊次微分方程。若q(x)不恒為零，則稱微分方程(2.2.1)為丹階 線性非齊次微分方程，并稱(2.2.2)為(2.2.1)對(duì)應(yīng)的線性齊次微分方程。也稱方程(221)、(2.2.2) 為線性系統(tǒng)。定理2.1 階線

13、性齊次微分方程(2.2.2) 一定存在斤個(gè)線性無關(guān)解。證明微分方程(2.2.2)存在分別滿足下列初始條件>1 (兀0) t，兀(兀0)，,y(兀0)= 0 ；y2m=1,兒(兀0)，,y廠(兀°)=°兒(兀°) = 1，y ；(兀°)，'廠(無)=o的n個(gè)解必(兀), (兀)，幾(兀)，(兀0，兀w s，列)又因w必(兀0),旳(兀0),，兒(心)=1工0,于是根據(jù)定理2.1,這個(gè)舁個(gè)解在a.b h線性無關(guān)。性質(zhì)2.14(疊加原理)若兒力丄，幾是方程(2.2.2)的解,那么對(duì)于任意個(gè)常數(shù)c,c2，lc“,滁州學(xué)院木科畢業(yè)論文函數(shù)y = cy

14、 +c2y2 +l +c“兒也是方程(2.2.2)的解。定理2.2 (齊次線性微分方程的通解結(jié)構(gòu))如果)w，2，l，幾是方程(2.2.2)的一個(gè)基木解組，那 么y = ciyi+c2y2+l +c”幾包含了方程(2.2.2)的所有的解，瓦中cpc2,l，為個(gè)任意常數(shù).定理2.3 (非齊次線性微分方程的通解結(jié)構(gòu)定理)如果必，兒丄，幾是方程(2.2.2)的一個(gè)基本解 組，是方程(2.2.1)的一個(gè)特解，那么y = c1y1+c2y2+l +。兒 + 才包含了方程(2.2.1)的所有的解，其屮c,c2,l £為刃個(gè)任意常數(shù).對(duì)于一般的斤階線性齊次微分方程(2.2.2),是否也可以求得它的通

15、解呢？ 一般比較難，對(duì)于 這個(gè)問題，二階線性齊次微分方程y”+ p|(x)y'+ p(x)y = o(2.2.3)與黎卡提方程之間可以互相轉(zhuǎn)換。從而求解微分方程(223)本質(zhì)上就是求解黎卡提方程。因此， 對(duì)微分方程(222),即使n = 2, 一般來說，也不能用初等積分法求得它的通解，盡管如此，我們 卻可以從理論上弄清楚微分方程(2.2.2)的通解結(jié)構(gòu)，這對(duì)求微分方程(2.2.2)的解或研究解的性 質(zhì)具有重要的指導(dǎo)意義。對(duì)于特殊的線性微分方程常系數(shù)齊次利非齊次線性常微分方程，已有一 套成熟的辦法進(jìn)行求解。1、常系數(shù)線性齊次微分方程的解法我們已經(jīng)看到，為了求刃階線性齊次微分方程l 卜三/

16、0+ p(x)yg)+l +ph(x)y = o(2.2.4)的通解，我們只需要求出它的個(gè)線性無關(guān)解，但令人遺憾的是，即使對(duì)二階線性齊次微分方程也 沒有通用的解法，于是人們就自然轉(zhuǎn)向研究微分方程的特殊類型的求解。我們先考慮微分方程l y三+l +a= 0(2.2.5)其中系數(shù)4衛(wèi)2丄，色為實(shí)常數(shù)，稱(2.2.5)為"階常系數(shù)線性齊次微分方程。2、待定指數(shù)法為求出微分方程(2.2.5)的基木解組，根據(jù)微分方程(2.2.5)木身的特點(diǎn)以及復(fù)指數(shù)函數(shù)的求 導(dǎo)特征，我們猜想，微分方程(2.2.5)可能冇指數(shù)函數(shù)y = exx(2.2.6)形式的解，其中2是特定的常數(shù)，2可以是實(shí)數(shù)，也可以是復(fù)

17、數(shù)，由于才二2/',* = /加丄？(")二/e加，從而知leax = x f(2)(2.2.7)只屮戸(久)三 2" +l +g”_|2 + q”.因此，將式(2.2.6)代入微分方程(2.2.5)后，便得e"'(2"+a&" +l + a“)= 0.因0ho,于是，有如下結(jié)論：y = 0是微分方程(2.2.5)的解當(dāng)且僅當(dāng)久是一元兀次方程1 +l +o“_2 + a“ = 0.(2.2.8)的根。因此，只耍2是方程(2.2.8)的根，指數(shù)函數(shù)e加就是微分方程(2.2.5)的解。這種對(duì)方程(225) 的求解方法是歐拉于

18、1743年提出的，稱為歐拉待定指數(shù)法。例1求微分方程y“+2y'3y二0的通解解 特征方程為/+2y-3 = 0o特征根為人=1,入=3,對(duì)應(yīng)的基本解組為=e=e-3故微分方程的通解為y = qe" + c2e'3v 例2求微分方程)r”3y”+9y'+13y = 0的通解。解特征方程為23-3/l2+9 + 13 = 0o由于/t - 3, + 92 +13 =仇 +1)(/ - 42 +13)所以特征根為人=1,/1, = 2 + 3i,人=2 3z,因而實(shí)值基本解組為必=e_a, y2 = e2v cos3x,兒=e2v sin 3x.所以微分方程的通解

19、為y = qea + e v (c2 cos 3x + c3 sin 3x).滁州學(xué)院木科畢業(yè)論文但是對(duì)于變系數(shù)線性微分方程的求解卻一-直沒有一個(gè)普遍應(yīng)用的辦法。在此，以二階變系數(shù)線 性微分方程為例，討論其求解方法。2.3二階變系數(shù)線性齊次微分方程的解法本節(jié)主要討論兩種求解二階變系數(shù)線性微分方程的解法1化為常系數(shù)法有些變系數(shù)線性齊次微分方程，可以選擇適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q化為常系數(shù)線性齊次微分方程，從而可求得其通解。(1)在口變量變換下，可化為常系數(shù)的微分方程考慮歐拉方程(231)心與*加冬+巧“, df dx這里a,b,c為常數(shù)，g工0。它的特點(diǎn)是y的k階導(dǎo)數(shù)(p = 0,1,2,規(guī)定才=y )的系

20、數(shù)是x的k次 方乘以常數(shù)。歐拉方程是一種特殊的變系數(shù)線性微分方程。我們想找一個(gè)變換，使微分方程(2.3.1)式的線性及齊次性保持不變，且把變系數(shù)化為常系數(shù) 依據(jù)(2.3.1)式本身的特點(diǎn)，選取口變量的變換x = ef(232)就可達(dá)到上述冃的。事實(shí)上，因?yàn)閐x dt dx(2.3.3)代入微分方程(2.3.1)式，則原微分方程變?yōu)?234)微分方程(2.3.4)式是常系數(shù)二階線性齊次微分方程。因而可求得其通解。再由變換(2.3.2)式,代回原變量，就得到原微分方程(2.3.1)式的通解。(2)在未知函數(shù)的線性齊次變換下，可化為常系數(shù)的微分方程考慮二階變系數(shù)線性齊次微分方程y ” + pi o)

21、 y'+ p2 (兀)y = o,( 2.3.5)討論函數(shù)勺(勸,02(兀)滿足什么條件時(shí)，可以適當(dāng)?shù)木€性齊次變換y = a(x)z(2.3.6)將方程(2.3.5)化為常系數(shù)線性微分方程。這里的d(x)是待定函數(shù)。為此，把(2.3.6)代入微分方 程(2.3.5)，可得到a(x)z"+ 2a '(x) + p (x)a(x)z'+ a "(x) + p、(x)a x) + p2 (兀)。(兀)z = 0.(2.3.7)欲使(2.3.7)式為常系數(shù)線性齊次微分方程，必須選取a(q使得z”、z及z的系數(shù)均為常數(shù)。令z 的系數(shù)為零，即2a *(%)+ p

22、、(x)a(x) = 0可求得。心)=2”心皿，代入(2.3.7)式，整理得到(2.3.8)z ”+ #2 (兀)一扌才(兀)一* “ s)z = 0由此可見方程(2.3.5)可經(jīng)過線性齊次變換(2.3.9)y = e - z化為關(guān)于z的線性齊次微分方程(2.3.8)。當(dāng)z的系數(shù)(2.3.10)i(x)= p1(x)- f (x)-】(兀)為常數(shù)時(shí)，方程(2.3.8)為常系數(shù)微分方程。方程(2.3.5)在形如式(2.3.9)的變換下，函數(shù)/(兀)的值不會(huì)改變，故稱/(x)為方程(2.3.5)的 不變式。因此，當(dāng)不變式“兀)為常數(shù)時(shí)，方程(2.3.5)可經(jīng)變換(2.3.9)化為常系數(shù)線性齊次微分

23、方 程。2降階法若已知一元兄次代數(shù)方程的ry v n)個(gè)根，則可提出r個(gè)因式，使刃次方程降低r次，化為n-k 次方程，與此類似，對(duì)于料階線性齊次微分方程)z)+ p(w"+l +幾(小=0(2.3.11)若能找到它的r伙v")個(gè)線性無關(guān)解，則可選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q，使料階微分方程(2.3.1)降低k階， 化為n-k階微分方程，且保持線性及齊次性。這里討論已知而解線性齊次微分方程冇一個(gè)非零解的情況。設(shè)y =刃(x)是二階微分方程y"+ |(兀)才+ #2(x)y = 0(2.3.12)的一個(gè)非零解，令y = yi(x)zf則由(2.3.7)式有a(x)z"+ 2

24、a *(x) + px (兀)a(兀)z' = 0令=上式化為一階線性齊次微分方程a(x)u ”+ 2a '() + p x)ax)u' = 0可求得方程(2.3.5)的與月線性無關(guān)的另一解力 為px x)dx>2= >11i。j >1一般的高階微分方程沒有普遍的解法，處理問題的基木原則是降階，利用變換把高階微分方程 的求解問題轉(zhuǎn)化為較低階的方程來求解，因?yàn)橐话銇碚f低階微分方程的求解會(huì)比求解高階微分方程 方便些。特別的，對(duì)于二階變系數(shù)齊次線性微分方程，如能知道它的一個(gè)非零特解，則可利用降階 法求得與它線性無關(guān)的另一個(gè)特解；對(duì)于非齊次線性微分方程，只需要

25、再運(yùn)用常數(shù)變異法求出它的 一個(gè)特解，問題就解決了。因此，問題的關(guān)鍵就在于尋找齊次線性微分方程的一個(gè)非零特解。2.4二階變系數(shù)線性微分方程的求解定理己知變系數(shù)二階常微分方程yv+a(x)y'+b(x)y = /(x),在相對(duì)應(yīng)riccati方程°z' = z -a(x)z + b(x)可知一個(gè)特解的情況下，給出了方程)r'+d(x)y 4b(x)y = /(%)(2.4.1)求解的積分公式罔。引理1設(shè)。(兀),b(x)及/(%)時(shí)連續(xù)函數(shù)，h z(x)是ricctai方程z -cx)z+b(x)滁州學(xué)院木科畢業(yè)論文的一個(gè)特解，則方程的通解積分公式為y =護(hù)曲（j

26、肝 t （打（兀）"心®% + q）引理2設(shè)心），0及心時(shí)連續(xù)函數(shù)，且如-非-存之（常數(shù)），則方程曲）的通解可以求出。1 1 9定理汕若比）-于3盲皿）之（常數(shù)），則方程（2.4.1）相對(duì)應(yīng)的rz方程的特解是:(i) 當(dāng) c = 0 時(shí)，z = a(x)-2 x(ii) 當(dāng) c > 0 時(shí)，z =丄a(兀)+ 4c tan 4cx(iii) 當(dāng) cvo時(shí)，2 = *0(朗+(1 + £ xjw7推論2.1.1 fl（）,設(shè)a（q,方（x）及/（勸時(shí)連續(xù)函數(shù)，且風(fēng)兀）-卜3）-三。（常數(shù)），則方程(2.4.1)對(duì)應(yīng)其次方程y”+ a(x)yl+ b(x)y =

27、 0的通解是:(i)當(dāng) c = 0 時(shí)，y =幺 $a(x)dx(c2x-c,)；a(x)dx(ii)當(dāng) c>0 時(shí)，y =(命sin+ cos cx);（iii）二階變系數(shù)線性微分方程（2.4.1）（。（無）豐0）能化為常系數(shù)線性微分方程的充要條件是:p2 -4q(x) + 2px) = k2-4l (kj 為常數(shù))。qx)+2pmq(x)定理2.2設(shè)方程(2.4. 1)滿足條件seq(x)p（c為常數(shù)）。其中£ =1 q(x) > 0-lq(x) < 0則方程（2.4.1）可化為沖+£空空2dt2 2 dt ' q(x)x=x(t) °

28、;推論2. 4.1若存在常數(shù)使得r 4- rp（x） + q（x） = 0 ,則方程（2.4.1）的通解為:dx+ c2dx+ q 。-2rx-1 p(x)dx c| p(x)dxy = e xe j f(x)e j推論2. 4. 2?(%) = xpm + 1-x2 ,則方程(2.4.1)的通解為:y = ”皿打(切心 + q如寸。推論2. 4.3若p(x) = y(x),則方程(2.4.1)的通解為：推論2. 4.4若p(x),q(x)是關(guān)于x的連續(xù)函數(shù),且p(x) = -q(xxcex -1) + 1 ,則方程ldxyu+p(x)y'+q(x)y = 0 的解為丿=幺“)。2.5

29、二階變系數(shù)線性微分方程特解、通解與系數(shù)的關(guān)系命題 5.1 設(shè)b(t) < 0,若bt) = -2a(t)b(t)f 則方程(252)x ” + a(t)x 4 b(t)x = 0兩特解為tdtdt反之，若方程有x、x2兩解滿足西兀2 =1，則(2.5.2)式成立。命題5. 2若，則方程(2.5.2)兩特解為24j d(/)dr f ci(t)dte 2j 、憶 2),反之，若兀1，無2是原方程的解，且k = tx2 ,則(2.5.2)式成立。命題5.3若千伙_1)宀心)+扣(/)_伙_1)2嚴(yán)=處)，則方程(2.2)兩特解為-扣伙-1)宀曲)力e 2反之，若兀i ,兀2是原方程的解,且兀

30、1 =兀2廣，則(z5.2)式成立。1 1 9 1命題5.4若護(hù)+"+才,斗曲)+1如 則方程(2.5.2)兩特解為e -、,反之,若兀1 = d兀2 ,則(2.5.2)式成立。人卄 12/、12(加 + 2)2 + 2£2命題 5.6 若-6/-(r) + -6zv) = (o + -p 424( + 1)一丄。(/)+狀"+2)力一丄 jd(q+""+2)d/+好則方程(2.5.2)兩特解為幺2k + x 、t 0 2"+1lt反之，若“=te 兀2,則(252)式成立。命題 5. 7 a(t) + b(t) = 0 <=&

31、gt; 方程(2.5.2)有特解。命題5.8 k(k 一 1" +燈d(f) + b(f)尸=0o方程(2.5.2)有特解( k為常數(shù)。)命題5.9 1 + 0() +級(jí)/) = 00方程(2.5.2)有特解幺'。k( 命題 5.10 £(2 + q) + (l + m)aa)+ ba)/ = 0o 方程(2.5.2)有特解 r 幺 o例2.1求方程(x+l)yjy'2(2x+l)y = °的一個(gè)特解，并求此方程的通解。解方程可改寫為八+'一斗v。x + 1x + 1其中2(2x+l)尢+ 1丄一2(2兀+ 1)尸0x+1x+12xr =

32、2滿足上式，所以方程有一個(gè)特解v =幺。該方程通解為 e f dxy = cxe2x + c2e2x . w dx e=c,e2x + c2e2xe4x(x + l)dxc=c.e2x(4x + 5)e'2x1 1 62. 6二階變系數(shù)微分方程可積的條件定義6.1 一元二次方程ar + pa + q = o(2.6.1)為方程y ”+ 以(兀)一咻)y'+ qu2(x) + r(u(x)v(x)-u x)y = f(x)(2.6.2)的特征方程，它的兩個(gè)根人,入稱為特征根。定理二階變系數(shù)非齊次線性方程（2.6.2）可積的一個(gè)充分條件是廠為特征方程（261）的-問心)+咻mvtv

33、v i v 1 ji v a i ,根，不妨設(shè)廠=入，且方程（2.6.2）的通解為y _ /心皿口心一人）j"（x皿 jv（x）dx j這里人，人是特征根,cl® 為任意常數(shù)。推論6.1二階變系數(shù)非齊次線性方程n+ pu（x）y*4-qu2（x）-rux）y = fx）可積的一個(gè)充分條件是r為特征方程（2.6.1）的根，不妨設(shè)廠=久,且上式的通解為尸/ “皿j嚴(yán)人川（皿（”（兀）異mdx + c2 這里人，入是特征根，為任意常數(shù)。推論6. 2二階變系數(shù)齊次線性方程y n+pu(x) v(x)y'+ qu2 (x) + r(u(x)v(x) 一 u '(x)y

34、 = 0(人一石)jv(x)v* e可積的一個(gè)充分條件是r為特征方程（6.1）的根，不妨設(shè)r = , h上式的通解 cbc + c9,這里九人是特征根，q,c2為任意常數(shù)。推論6. 3變系數(shù)齊次線性方程y”+ pux)yqu2(x)- ru'(x)y = 0可積的一個(gè)充分條件是r為特 u(x)clx c (/lo人)心)心s征方程(2.6.1)的根，不妨設(shè)廠=人，r上式的通解為y = q j ice - j dx + c2f這 里人，人 是特征根，c|,c2為任意常數(shù)。定理6.4二階變系數(shù)非齊次線性方程y ”+ pu(x) - v(x)y'+ qu2 (x) + r(w(x)v

35、(x)-u x)y = /(x)y- ru(x)y ” 可積的一個(gè)充分條件r是為特征方程(2.6.1)的根，不妨設(shè)廠二且上式的通解為(1 -砒)7(顯1"心心 + c腫必+ c2這里入，心是特征根，工0為常數(shù)，c,c2為任意常數(shù)。推論6. 5二階變系數(shù)非齊次線性方程y ” + "心)才+ qu2 (x) 一 ru x)y = f(x)y- ru(x)y ”可積的一個(gè)充分條件是r為特征方程(6.1)的根，不妨設(shè)廠二人，仇上式的通解為u(x)dxj嚴(yán)初心()打廠必m)怙+c祜必+c?這里人，入是特征根，工0為常數(shù)，q,c2為任意常數(shù)。定理6. 2若二階變系數(shù)線性微分方程y ”+

36、 卩(兀)才+ “2 (兀)y =心)(2.6.3)存在可微函數(shù)0(x)滿足關(guān)系式2p (%) + p； (x) 一他(%) = 20(兀)+ b (2.6.4)則方程(2.6.3)有通積分p(x)dx r -(p(x)dx z f /、-pkx(px)dxy = eli e j (i qx)e-ax + c)dx + c2在(2.6.4)中若(px) = -p,(x)則方程(2.6.3)的通積分為：y =疋的川曲腫曲恥怯+q）dx + c2。推論6. 6若方程（2.6.3）滿足條件2兀（兀）+開（x）-4/?2（x）= 0,貝方程（2.6.3）可積，其通 積分為 y = e 2加ej（j q

37、x）e''m，xdx + cx ）dx + c2 。應(yīng)用舉例 例 6.1 解方程 y+ y1 tgx + y sec2 a: = sin x o解由于方程api (x) = tgx, p2 (x) = sec x, qx) = sinx,且2p '(x) + /?!2(x)-4/?2(x) = 2sec2 x + r2x-4sec2 x = 2(-fgx)'+(/gx),取隊(duì)燈=_tgx,則冇久勸二一卩乙勸二卩。)，于是根據(jù)定理6.2,原方程的通積分為dx + cjdx + c2 3 36例6.2解方程沽（；+ 3）才+（尹+才"。解方程改寫為嚴(yán)_3（

38、£+3） + 6才+2（占+£+9）一（£+荻",取 p = -3,w(x)=丄+ 3(兀)=一6,再取 q = 2j=l,則特征方程 a2 - 3a + 2 = 0,特 x征根人=1, & = 2 ,由定理得方程的通解為尸尸皿 j jg* .尸托代-陽一6% + c沖皿+ q =xe3vj xe3cx (兀+q)力 + c21 3 2 2 2139273 1滁州學(xué)院木科畢業(yè)論文例6.3 求解方程：x3y-2x2yu+4xy'-4y = x3ex解 將原方程兩端同除以*,得j"-2x2yu+4xy-4y = x3ea,取pi(x) = 一2 / x, p2(x) = 4/x2,p3(x) = -4/ xq(x) = ex ,由于此方程滿足條件/?|2(x)+ 3/?| (x) 3刃(兀)=(2 / x)2 + 3(2 / x) 3(4 / x2)=(1